Un estimado de intervalo o intervalo de confianza ( IC

Transcripción

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2 Un estmado puntual, por ser un sólo número, no proporcona por sí msmo nformacón alguna sobre la precsón y confabldad de la estmacón. Debdo a la varabldad que pueda exstr en la muestra, nunca se tendrá el caso de que x = μ. Por lo que el estmado puntual nada dce sobre lo cercano que esta de μ. La alternatva para reportar un solo valor del parámetro que se esté estmando es calcular e nformar sobre un ntervalo de valores factbles Defncón Un estmado de ntervalo o ntervalo de confanza (IC). Sempre se calculará prmero selecconando un nvel de confanza, que es una medda de el grado de fabldad (credbldad) del el ntervalo.

3 Por ejemplo, magnemos que usamos el estadístco X para calcular un estmado puntual de la resstenca real a la ruptura de certas toallas de papel, supongamos que x = U. Un ntervalo de confanza con un nvel de confanza de 95% de la resstenca real promedo a la ruptura podría tener un límte nferor de y uno superor de Entonces, en un nvel de confanza de 95%, es posble tener cualquer valor de μ entre y Un nvel de confanza de 95% mplca que 95% de todas las muestras daría lugar a un ntervalo que ncluye μ o cualquer otro parámetro que se esté estmando, y sólo 5% de las muestras producrá un ntervalo erróneo. Cuanto mayor sea el nvel de confanza creeremos que el valor del parámetro que se estma está dentro del ntervalo. Interpretacón Una nterpretacón correcta de la confanza de 95% radca en la nterpretacón frecuente de probabldad a largo plazo: decr que un evento A tene una probabldad de 0.95, es decr que s el expermento donde A está defndo re realza una y otra vez, a largo plazo A ocurrrá 95% de las veces. Para este caso el 95% de los ntervalos de confanza calculados contendrán a μ.

4 μ En ambas grafcas se presentan repetdas construccones de ntervalos de confanza de 95%. Se observa en la grafca de la zquerda que de los 11 ntervalos calculados, sólo 2 no contenen el valor de μ. Para la gráfca superor de los 50 ntervalos sólo 3 no contenen el valor de μ. De acuerdo con esta nterpretacón, el nvel de confanza de 95% no es tanto un enuncado sobre cualquer ntervalo en partcular, más ben se refere a lo que sucedería s se tuveran que construr un gran número de ntervalos semejantes.

5 Exsten varas tablas en las cuales podemos encontrar el valor de z, según sea el área proporconada por la msma. En esta seccón se realzará un ejemplo para encontrar el valor de z utlzando tres tablas dferentes. Ejemplo: Encuentre el valor de z para un nvel de confanza del 95 %. 1) S se utlza una tabla en donde el área bajo la curva es de (0 a z) o de ( z a 0) 2) Dvdmos el ntervalo de confanza en dos partes, puesto que una parte será postva y la otra será negatva es una espece de (±), en este caso el 95% es 0.95/2= ) S la seccón achurada del lado derecho corresponde a un área de 0.475, la dferenca entre el área de la mtad de la curva y este valor es: = ) Buscamos este valor en la tabla y obtenemos el valor de z z=1.96 Independentemente del valor del NC éste será el procedmento a segur para localzar a z. En caso de que no se encuentre el valor exacto tendremos que nterpolar.

6 z Recordemos x Para un estadístco Para la meda z z z x x x n x x x z n Como en este caso no conocemos el parámetro y lo queremos estmar por medo de la meda de la muestra, sólo se despejó μ de la formula anteror.

7 De esta formula se puede observar que tanto el tamaño de la muestra n como el valor de z se conocerán. El valor de z se puede obtener de la tabla de la dstrbucón normal a partr del IC establecdo. Pero en ocasones se desconoce σ por lo que en esos casos lo correcto es utlzar otra dstrbucón llamada t de student s la poblacón de donde provenen los datos es normal. Para el caso de tamaños de muestra grande se puede utlzar una estmacón puntual de la desvacón estándar, es decr gualar la desvacón estándar de la muestra a la de la poblacón (s=s).

8 Ejemplo Datos a) Formula Z x=2.6 =0.3 n=36 IC=95% IC=99% x z n Se encuentra que la concentracón promedo de znc que se saca del agua a partr de una muestra de medcones de znc en 36 stos dferentes es de 2.6 gramos por mlltro. Encuentre los ntervalos de confanza de 95% y 99% para la concentracón meda de znc en el río. Suponga que la desvacón estándar de la poblacón es 0.3. z 95 % s s

9 Ejemplo Datos b) Formula Z x=2.6 =0.3 n=36 IC=95% IC=99% x z n Se encuentra que la concentracón promedo de znc que se saca del agua a partr de una muestra de medcones de znc en 36 stos dferentes es de 2.6 gramos por mlltro. Encuentre los ntervalos de confanza de 95% y 99% para la concentracón meda de znc en el río. Suponga que la desvacón estándar de la poblacón es z % 2.58 z99 % s s

10 Ejemplo Datos Para estmar el gasto promedo de los clentes de la Flor de Mchoacán, estudantes negocos tomaron una muestra de 200 clentes y encuentran que el gasto promedos es de $67.42 pesos. Con una desvacón estándar de $13.08 Cuál es el ntervalo de confanza del 90 % para los gastos promedo de todos los clentes? x=67.42 = z % n=200 IC=90% z90 % s s Formula Z x z n

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