Variable Estadística

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1 Varable Estadístca 1.- Los afconados al bésbol aprenden de memora las estadístcas de este juego. Por ejemplo, cuántos home runs (golpes que envían la pelota fuera del campo de juego) son necesaros para lderar la lga? La tabla contene los líderes de la lga amercana y el total de home runs entre 197 y 1991: Año Jugador Home runs Año Jugador Home runs 197 Dc Allen Thomas and Jacson Regge Jacson Jm Rce Dc Allen Tony Armas Sccot and Jacson Darrell Evans Grag Nettles Jesse Barfeld Jm Rce Mar McGwre Jm Rce Jose Canseco Gorman Thomas Fred McGrff Regge Jacson Cecl Felder Four players 1991 Canseco and Felder 44 Se pde: a) construr el dagrama de barras. b) El polígono de frecuencas. c) Dagrama de frecuencas acumuladas. d) Moda y medana. La meda de golpes para los 167 jugadores de la lga amercana que ntentaron batear más de 00 veces en la temporada de 1980 vene representada en la sguente tabla: CLASE FRECUENCIA CLASE FRECUENCIA CLASE FRECUENCIA 0,185-0, ,55-0, ,35-0, ,195-0,05 3 0,65-0, ,335-0, ,05-0,15 1 0,75-0,85 3 0,345-0, ,15-0,5 4 0,85-0,95 3 0,355-0, ,5-0, ,95-0, ,365-0, ,35-0,45 0 0,305-0, ,375-0, ,45-0, ,315-0,35 4 0,385-0,395 1 e) Dbujar el hstograma, polígono de frecuencas y dagrama de frecuencas acumuladas. f) Calcular meda, moda, medana, varanza, desvacón típca, coefcente de varacón, sesgo y curtoss. g) Cuál es el percentl correspondente a un jugador cuyo promedo es 0,315? h) Dbujar el dagrama de cajas. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 1

2 Varable Estadístca.- De una varable estadístca se conocen los sguentes valores 1, 1,,,,, 3 y 3; s consderamos otra varable estadístca con valores 1,,, 3, 3, 4, 4 y 5. Determnar la meda, la medana, la moda y la varanza de cada varable. Cuál es la meda, la medana, la moda y la varanza de la varable estadístca que resulta de unr las dos anterores? Conocdas dos muestras de una msma varable con dstntas medas y dstnto tamaño cuál es la meda del resultado de unr dchas muestras? 3.-De una varable estadístca se sabe que los momentos respecto al orgen son: m 0 =1, m 1 =1, m =, m 3 =4 y el prmer cuartl Q 1 =0.7. Calcular, coefcente de asmetría, varanza, meda, medana y tercer cuartl. 4.- Dada la gráfca correspondente a un polígono de frecuencas relatvas acumulatvo de una varable estadístca agrupada en ntervalos de una muestra de tamaño n=0. A) Formar la tabla de dstrbucón de frecuencas absolutas. B) Dbujar el hstograma y el polígono de frecuencas. D) Encontrar la medana, moda y meda. F El porcentaje de dsco ocupado (en Mbytes) para dstntos usuaros de una estacón de trabajo está agrupados en las cuatro clases de gual longtud sguentes: Clases [5.0, 3.5) [3.5, 40.0) [40.0, 47.5) [47.5, 55.0] Frecuenca Calcular: a. El prmer y tercer cuartl. b. Meda, desvacón típca y cuasvaranza. 6.- Dada la tabla de dstrbucón de frecuencas: x n a. Representar en el polígono de frecuencas absolutas. b. Calcular el valor de los cuartles, meda, medana y varanza muestral (cuasvaranza). c. Representar en el dagrama de cajas. Exsten puntos atípcos en la muestra? Por qué? d. Un valor en la muestra de 4, sería un valor atípco?, por qué? U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA

3 Varable Estadístca 7.- Se tabulan los valores de los errores de cerre en nvelacón obtendos en 74 polígonos. Calcular: a) meda, b) medana, c) moda, d) coefcente de varacón. Valor en dm del error Nº. de polígonos Al fnalzar el curso de Álgebra y Geometría se realzó un examen de tpo test a los trescentos alumnos matrculados obtenéndose la sguente tabla referente al número de preguntas acertadas: Nº de preguntas acertadas Nº de alumnos Se pde: a) Representa el hstograma de la dstrbucón de frecuencas anteror. b) Hallar la meda y varanza muestral. c) Cuál será el número P de preguntas acertadas tal que la mtad de los alumnos obtengan un número de preguntas acertadas mayor que P? d) Cuál es número medo de preguntas acertadas y el número de preguntas acertadas que más se repte? Para la concesón de unas becas se realza una segunda parte de examen al que sólo se permte presentarse a los 60 alumnos con mejor nota en el test. Se pde: e) Hallar el número de preguntas acertadas como mínmo que se ha exgdo a un alumno para realzar la segunda parte del examen. Una vez fnalzada la segunda parte del examen se han obtendo las sguentes notas: Nota Nº de alumnos Se pde: f) Por qué no se debe agrupar los datos en ntervalos como se realzó con las notas del test? g) Hallar la medana, la moda y el recorrdo ntercuartílco. h) De las dos dstrbucones de notas en cuál de ellas la meda es más representatva. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 3

4 Varable Estadístca ) Que resulta más dfícl, obtener 8 preguntas acertadas en el examen tpo test u obtener un 6,5 en la segunda parte del examen? j) S se concede una beca a los 5 alumnos con mejor nota en la segunda parte del examen. A partr de qué nota se concederán las becas? 9.- Se ha realzado una prueba de rendmento a 0 alumnos elegdos al azar, los resultados obtendos sobre el rendmento se muestran en el sguente gráfco: a) A partr del gráfco calcular 5 la medana, los cuartles y el rango de la varable. 0 b) Formar la tabla de c) Representar el dagrama de dstrbucón de frecuencas absolutas frecuencas absolutas. 5 d) Calcular: Los cuartles, la medana, la moda, varanza muestral. e) Consderando los 0 alumnos como la poblacón calcular los coefcentes de asmetría y curtoss de Fsher La sguente tabla muestra una dstrbucón de frecuencas de la duracón de 400 componentes fabrcados por una determnada marca. Determnar: Duracón a) Frecuenca relatva de la sexta clase. (horas) b) Porcentaje de componentes cuya duracón es [300, 400) 14 menor que 600 horas. [400, 500) 46 c) Porcentaje de componentes cuya duracón es mayor o gual a 900 horas. d) Porcentaje de componentes cuya duracón es al menos de 500 horas pero menor de 1000 horas. e) Estmar el porcentaje de componentes con duracones de menos de 560 horas. f) Estmar el porcentaje de componentes con duracones de 970 o más horas. [500, 600) [600, 700) [700, 800) [800, 900) [900, 1000) [1000, 1100) [1100, 100) g) Qué número de horas duran el 95% de los componentes? Número de componentes h) Representar el hstograma de frecuencas absolutas y el polígono de frecuencas relatvas acumuladas. ) Calcular la meda, moda, la desvacón estándar de la muestra, Coefcente de varacón y el coefcente de asmetría de Pearson. j) Suponendo que los 400 componentes son la poblacón total, calcular la varanza y los coefcentes de asmetría y curtoss de Fsher En un taller de reparacón de vehículos se recogen datos sobre los días que se tarda en reparar un vehículo, y se obtene Días en taller Nº de coches a) Representar el polígono de frecuencas absolutas. b) Calcular la moda, medana, el prmer y tercer cuartl, y El percentl 96. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 4

5 Varable Estadístca c) Calcular los momentos respecto del orgen de orden 1,, 3 y 4. d) Calcular los momentos respecto de la meda de orden 1,, 3 y 4. e) Calcular la meda, varanza, desvacón estándar, Coefcente de varacón y el coefcente de asmetría. f) Calcular la varanza y los coefcentes de asmetría y curtoss de Fsher de los días de estanca en el taller los 75 vehículos. g) Exsten reparacones atípcas en cuanto a la duracón en la reparacón? 1.- En un aparcamento cobran por cada mnuto que está estaconado el vehículo 1,5 céntmos. El tempo que los vehículos permanecen estaconados dentro un día cualquera se muestra en el sguente polígono de frecuencas: Respecto del tempo que un vehículo está en el aparcamento calcular: a) Porcentaje de vehículos estaconados más de dos horas pero menos de cuatro horas. b) Estmar el porcentaje de vehículos que estaconan menos de 100 mnutos. c) Qué número de mnutos está estaconado dentro el 90% de los vehículos. d) La moda, los cuartles prmero y tercero, y la medana. e) La meda, desvacón estándar muestral y el coefcente de asmetría de Pearson. f) Realzar el dagrama de cajas. g) A partr de cuántos mnutos el tempo consderado será atípco? Respecto del pago (preco por mnuto estaconado) calcular: h) El ngreso medo y el ngreso más frecuente por vehículo. ) La empresa arrendatara del servco está estudando modfcar la tarfa exstente de la sguente manera: a todos los vehículos se les cobrará 50 céntmos de por entrar y 1,4 céntmos de por cada mnuto que tengan su coche dentro del aparcamento. Bajo esta suposcón, y con los datos de que dspone, qué alternatva da un ngreso medo mayor? 13.- Investgados los precos de ordenadores de 50 marcas dstntas se han obtendo los sguentes resultados: a) Determnar la dstrbucón de precos agrupados en frecuencas absolutas. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 5

6 Varable Estadístca b) Representar gráfcamente el dagrama de barras y el polígono de frecuencas acumuladas. c) Calcular el preco medo y el más frecuente. d) Calcular la varanza y el coefcente de varacón. e) Obtener el sesgo y la curtoss o apuntamento. f) S queremos un ordenador cuyo preco corresponda como mínmo al 10% de los precos más caros, cuál será el preco correspondente? g) Exsten precos atípcos según el dagrama de cajas? 14.- S en una poblacón de 10 personas el coefcente ntelectual tene la sguente dstrbucón: Coef Int. n a) Representar el hstograma de frecuencas. b) Representar el polígono de frecuencas acumuladas. c) Atendendo al coefcente ntelectual, se consderan ben dotadas al 5% de las personas con mayor coefcente. A partr de qué coefcente ntelectual mínmo se consderará como ben dotada a una persona de esta poblacón? d) Qué proporcón de la poblacón es más ntelgente que una persona con coefcente ntelectual 100? e) En qué percentl está stuada una persona de coefcente ntelectual 90? f) Obtener la meda, la moda, la medana y la varanza de la poblacón Los sguentes datos corresponden a las cotas taqumétrcas ncales de un terreno en orden crecente: VÉRTICES Cota ncal (x ) 1 10,3 101, , , 5 101, , , , 9 101, , , , , , A.- Construr un sumaro estadístco que ncluya las frecuencas: absolutas, relatvas, absolutas acumuladas y relatvas acumuladas. B- Representar los datos medante un polígono de frecuencas absolutas acumuladas. C.- Calcular el valor y explca el método empleado de los sguentes estadístcos. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 6

7 Percentl 10 Varable Estadístca Valor Fórmula empleada o método de cálculo Meda Varanza Desvacón típca Coefcente de varacón Coefcente de asmetría de Fsher Coefcente de apuntamento D.- S se consderan el 10% de los vértces que tenen mayor cota. Cuál es la cota mínma? E.- Representa un dagrama de cajas y efectúa el estudo de posbles puntos atípcos Se ha tomado una fotografía aérea de una certa escena; dentro de ella se ha selecconado una parcela de la que se han tomado 8 muestras de los nveles de grs (pxeles) correspondentes a otros tantos puntos, obtenéndose los sguentes valores: 41, 39, 43, 40, 4, 44, 38, 4, 40, 46, 45, 44, 40, 43, 40, 4, 45, 45, 46, 39, 41, 39, 39, 43, 4, 47, 46, 40. Se quere hacer un estudo de estos datos: agrupándolos en ntervalos de ampltud dos: A.- Dbujar el hstograma y el polígono de frecuencas absolutas: B.- Dbujar el polígono de frecuencas absolutas acumuladas. C.- Calcular el valor y explca el método empleado de los sguentes estadístcos. Valor Fórmula empleada o método de cálculo Medana Percentl Qunto Coefcente de varacón Coefcente de asmetría de Fsher Curtoss 17.- La sguente tabla recoge los salaros anuales en mles de euros de 0 trabajadores: Se pde: a) Polígono de frecuencas absolutas. b) Proporcón de trabajadores que obtene un salaro superor o gual a c) Qué percentl le corresponde a un trabajador con un salaro de 0000? d) Coefcente de Varacón. e) Dagrama de cajas. Hay valores atípcos? U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 7

8 18.- Dada la dstrbucón de frecuencas: Intervalo Varable Estadístca n Se pde: a) Polígono de frecuencas absolutas acumuladas. b) El prmer cuartl. c) Coefcente de apuntamento o Curtoss. Interpretacón 19.- Se toman 0 meddas a un grupo de 4 o más satéltes en ntervalos de 15 seg. En la tabla adjunta se reflejan las meddas de las varables GP: 4,7 4,7 4,8 4, ,1 5,1 5,1 5,1 5,1 5, 5, 5, 5,3 5,3 5,3 5,3 Se pde: a) Polígono de frecuencas absolutas acumuladas. b) Qué percentl le corresponde a un valor de GP de 5? d) La moda. e) La varanza muestral o cuasvaranza. f) Realzar el dagrama de cajas. Hay valores atípcos? 0.- Las calfcacones obtendas por alumnos de Matemátcas en un examen fueron las sguentes: Nota n a) Representar el polígono de frecuencas absolutas. b) Cuál es el valor de la medana? c) En qué percentl está stuada una persona con una calfcacón de 5? d) Interpretar el Coefcente de asmetra de Fsher. 1.- La sguente tabla recoge las calfcacones de una prueba tpo test de Cálculo: Se pde: a) Porcentaje de alumnos que obtene una calfcacón superor o gual a 6. b) El Percentl 90. c) Qué percentl le corresponde a un alumno que tene una calfcacón de 8? d) La moda y los cuartles. e) La meda, desvacón estándar o desvacón típca. f) Realzar el dagrama de cajas. g) Hay valores atípcos? Dada la dstrbucón de frecuencas de la varable tempo (segundos) utlzado en la realzacón del test: Intervalo n U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 8

9 Se pde: h) El tempo más frecuente. ) La medana. j) Sesgo. ) Curtoss. Varable Estadístca Se desea estudar la altura de un grupo de alumnos. Las alturas expresadas en centímetros fueron: Construr un dagrama de caja. Hay valores atípcos? 3.- Se ha meddo decsés veces la longtud en metros que separa dos puntos, Los resultados obtendos se muestran en la sguente tabla: 13,404 13,443 13,445 13,447 13,449 13,450 13,453 13,455 13,457 13,460 13,460 13,465 13,455 13,453 13,445 13,455 Calcular la moda, la medana, los cuartles y el percentl 90. Representar el dagrama de caja y estudar la exstenca de puntos atípcos. 4.- Los sguentes valores corresponden a la temperatura máxma dara (ºF) de 36 días, obtendos a las 14 horas en una certa estacón meteorológca. 84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 7, 75, 76, 73, 70, 63, 70, 78, 5, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 58, 57, 1. a) Calcular: meda, desvacón típca y el coefcente de varacón. b) Estudar la exstenca de datos atípcos. S exste algún valor atípco omtr, dcho valor y calcular de nuevo el apartado a). c) Con los datos de los apartados a y b construr un gráfco con el dagrama de caja, de ambos apartados. 5.- Los valores de 50 medcones realzadas con un dstancometro con aprecacón en mlímetros han sdo agrupados en 6 ntervalos según la tabla sguente: e -1 e n U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 9

10 Varable Estadístca Total 50 a) Porcentaje de medcones cuya dstanca es mayor o gual que b) Representar el polígono de frecuencas absolutas acumuladas y el hstograma de frecuencas absolutas. c) Calcular, los cuartles y la medana. d) Estmar el porcentaje de medcones cuya dstanca sea menos de e) Qué dstanca tenen como máxmo el 95% de las medcones? f) Calcular la meda, moda y varanza. 6.- Del conjunto de redes topográfcas que ntervenen en un trabajo topográfco estamos nteresados en estudar el número de vértces geodéscos que consttuyen cada red topográfca. Para ello, selecconamos 30 redes topográfcas, obtenéndose la sguente tabla: Nº de vértces en las 30 redes x Frecuenca absoluta n Respecto del número de vértces geodéscos que consttuyen la red (característca a estudar) Calcular: a) Representar el polígono de frecuencas absolutas y el polígono de frecuencas acumuladas. b) Hallar los cuartles, la medana y los percentles 5 y 10. c) Qué número de vértces tenen el 80% de las redes? d) Calcular la meda, moda y varanza. e) Representar el dagrama de caja. 7.- Se quere analza el resultado de una secuenca de cfras elegdas, al azar, , todas las cfras han sdo elegdas al azar medante extraccones de una urna con 10 bolas numeradas del 0 al 9. La sguente tabla recoge la dstrbucón de frecuencas absolutas: x n Se pde: a) Moda. b) Meda. c) Dagrama de cajas, hay valores atípcos? d) Coefcente de asmetría. 8.- La varable estadístca X toma los sguentes valores: Se pde: a) Construr la tabla de frecuencas de X. b) Calcular e nterpretar las meddas de poscón, dspersón y asmetría de la varable. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 10

11 Varable Estadístca c) Construr e nterpretar el dagrama de caja de X. Localzar los datos atípcos. d) Determnar qué meddas se ven afectadas al cambar el valor 6 por 46. Construr e nterpretar el dagrama de caja de la varable modfcada. Localzar los datos atípcos. 9.- El gráfco adjunto representa el polígono de frecuencas acumuladas sobre las edades de 300 personas encuestadas en Madrd al azar en la Plaza de Colón entre las 3 y las 4 de la mañana. Se pde: (a) Determnar s esta muestra es representatva de las edades de los habtantes de Madrd. (b) Aproxmar la medana, el tercer cuartl y el octavo decl, e nterpretarlos en térmnos de la varable estudada. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 11

12 Varable Estadístca 1.- Los afconados al bésbol aprenden de memora las estadístcas de este juego. Por ejemplo, cuántos home runs (golpes que envían la pelota fuera del campo de juego) son necesaros para lderar la lga? La tabla contene los líderes de la lga amercana y el total de home runs entre 197 y 1991: Año Jugador Home runs Año Jugador Home runs 197 Dc Allen Thomas and Jacson Regge Jacson Jm Rce Dc Allen Tony Armas Sccot & Jacson Darrell Evans Grag Nettles Jesse Barfeld Jm Rce Mar McGwre Jm Rce Jose Canseco Gorman Thomas Fred McGrff Regge Jacson Cecl Felder Four players 1991 Canseco and Felder 44 Se pde: a) construr el dagrama de barras. b) El polígono de frecuencas. c) Dagrama de frecuencas acumuladas. d) Moda, y medana La meda de golpes para los 167 jugadores de la lga amercana que ntentaron batear más de 00 veces en la temporada de 1980 vene representada en la sguente tabla: CLASE FRECUENCIA CLASE FRECUENCIA CLASE FRECUENCIA 0,185-0, ,55-0, ,35-0, ,195-0,05 3 0,65-0, ,335-0, ,05-0,15 1 0,75-0,85 3 0,345-0, ,15-0,5 4 0,85-0,95 3 0,355-0, ,5-0, ,95-0, ,365-0, ,35-0,45 0 0,305-0, ,375-0, ,45-0, ,315-0,35 4 0,385-0,395 1 e) Dbujar el hstograma, polígono de frecuencas y dagrama de frecuencas acumuladas. f) Calcular meda, moda, medana, varanza, desvacón típca, coefcente de varacón, sesgo y curtoss. g) Cuál es el percentl correspondente a un jugador cuyo promedo es 0,315? h) Dbujar el dagrama de cajas. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 1

13 Varable Estadístca Solucón: x n N a) Construr el dagrama de barras. b) El polígono de frecuencas. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 13

14 c) Dagrama de frecuencas acumuladas. Varable Estadístca d) Moda, y medana Es bmodal 3 y 39 La mtad corresponde al ntervalo medano (39,40) y se toma el valor 39.5 CLASE n N x x n x n x 3 n x 4 n 0,185-0, ,19 0,19 0,0361 0, , ,195-0, , 0,6 0,1 0,04 0,0048 0,05-0, ,1 0,1 0,0441 0, , ,15-0, , 0,88 0,1936 0,0459 0, ,5-0, ,3,99 0,6877 0, , ,35-0, ,4 4,8 1,15 0,7648 0, ,45-0, ,5 3,75 0,9375 0, , ,55-0, ,6 4,16 1,0816 0,8116 0, ,65-0, ,7 4,86 1,31 0, , ,75-0, ,8 6,44 1,803 0, , ,85-0, ,9 6,67 1,9343 0, , ,95-0, ,3 4,8 1,44 0,43 0,196 0,305-0, ,31 0,93 0,883 0, , ,315-0, ,3 1,8 0,4096 0, , ,35-0, ,33 1,3 0,4356 0, , ,335-0, ,34 0,34 0,1156 0, , ,345-0, ,35 0,35 0,15 0, , ,355-0, , ,365-0, , ,375-0, , ,385-0, ,39 0,39 0,151 0, , sumas ,96 1,66 3, , momentos m 0,69 0, , , U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 14

15 e) Dbujar el hstograma. Varable Estadístca Polígono de frecuencas Dagrama de frecuencas acumuladas f) Calcular meda, moda, medana, varanza, desvacón típca, coefcente de varacón, sesgo y curtoss. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 15

16 Meda X f x n 1 44,96 x n x N N Varable Estadístca 0, 69 La moda corresponde al ntervalo de mayor frecuenca (0.75, 0.95) puesto que ambos tenen 3 por frecuenca. La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N ,5 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo (0.65,0.75). N N j1 a 83,5 730,01 Por consguente la medana es M e j1 0, 65 0,7083 n 18 j Varanza 1 (x X) n N xn 1, 661 N 167 X 0,69 0, Desvacón típca 0, , Coefcente de varacón 0, CV 0,1156 X 0, 69 Sesgo g 3 (x X) f m3 3mm1m1 8, Curtoss 4 (x X) f 4 06 m m3m1 6mm m 1 1 3, g , , g) Cuál es el percentl correspondente a un jugador cuyo promedo es 0,315? El valor 0,315 está recogdo en la tabla (y en el dagrama de frecuencas acumuladas) y corresponde exactamente a 156 del total 167, luego obtenemos aproxmadamente el percentl 93 h) Dbujar el dagrama de cajas. Calculamos los 5 valores: Mínmo, Q1, M, Q3, Máxmo U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 16

17 Mínmo = 0,19 Varable Estadístca Q1 es el valor que deja a su zquerda el 5% de la poblacón, es decr, N ,75 que 4 4 no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo (0.35,0.45). Por consguente es: N N j1 a 4 41,750,01 Q1 e j1 0, 35 0, nj 0 M 0,7083 n 167 Q3 es el valor que deja a su zquerda el 75% de la poblacón, es decr, 3 15, que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo (0.35,0.45). Por consguente la medana es: N N j1 a 4 15,5 1140,01 Q3 e j1 0, 85 0, nj 3 Máxmo = 0,39 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 dagrama de cajas Observando el rango ntercuartílco IQR = Q3-Q1= 0, , tenemos como límtes Q1-1,5 IQR= 0, ; quedando como límte nferor el mínmo 0,19. Q3+ 1,5 IQR= 0, sendo el límte superor y exsten valores atípcos. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 17

18 Varable Estadístca.- De una varable estadístca se conocen los sguentes valores 1, 1,,,,, 3 y 3; s consderamos otra varable estadístca con valores 1,,, 3, 3, 4, 4 y 5. Determnar la meda, la medana, la moda y la varanza de cada varable. Cuál es la meda, la medana, la moda y la varanza de la varable estadístca que resulta de unr las dos anterores? Conocdas dos muestras de una msma varable con dstntas medas, dstntas varanzas, pero del msmo tamaño cuál es la meda y varanza del resultado de unr dchas muestras? Solucón: X= {1, 1,,,,, 3, 3} Meda: 1 16 X nx = n 8 1 x n x n x n N sumas momentos 0,5 La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N 8 4 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto, es el sguente M=. La moda corresponde al valor de mayor frecuenca que es. Varanza: (x X) n 0,5 1 N Y= {1,,, 3, 3, 4, 4, 5} y n y n y n N sumas momentos 3 1,5 Meda: 1 4 Y ny = 3 N 8 1 La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N 8 4 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto, es el sguente M=3. La moda corresponde al valor de mayor frecuenca que son {,3,4}. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 18

19 Varanza: (y Y) n 1,5 N 1 Meda: 1 40 Z nz =,5 N 16 1 Varable Estadístca Z= {1, 1,,,,, 3, 3, 1,,, 3, 3, 4, 4, 5} z n z n z n N , , , ,5 16 sumas momentos,5,5 La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N 16 8 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto, es el sguente M=. La moda corresponde al valor de mayor frecuenca que es. Varanza: (z Z) n,5 1 N Consderamos dos dstrbucones con dstntas medas y dstnto tamaño: N N 1 N m X x x NX x y N NX my X Y m m 1 Nm Nm Y y y my m 1 1 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 19

20 Varable Estadístca 3.-De una varable estadístca se sabe que los momentos respecto al orgen son: m 0 =1, m 1 =1, m =, m 3 =4 y el prmer cuartl Q 1 =0,7. Calcular, coefcente de asmetría, varanza, meda, medana y tercer cuartl. Solucón: Sesgo g 3 (x X) f m 1 m1 m 3m m m 43 Varanza (x X) n m m N Meda 1 X nx m1 1 N 1 Medana Por ser smétrca concde con la meda e gual a 1. Tercer cuartl Por smetría con respecto a la medana es 1,3. 0 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 0

21 Varable Estadístca 4.- Dada la gráfca correspondente a un polígono de frecuencas relatvas acumulatvo de una varable estadístca agrupada en ntervalos de una muestra de tamaño n=0. A) Formar la tabla de dstrbucón de frecuencas absolutas. B) Dbujar el hstograma y el polígono de frecuencas. C) Encontrar la medana, moda y meda. F Solucón: a) b) Hstograma CLASE f N n x x n 0-0 0, , , , sumas momentos m 44 Polgono de frecuencas U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 1

22 Meda Varable Estadístca N 1 0 X n x = 44 La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N 0 10 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo (40, 60). Por consguente, la medana es: N N j1 a Mej ,5 n 8 j La moda corresponde al ntervalo de mayor frecuenca que es (40, 60). U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA

23 Varable Estadístca 5.- El porcentaje de dsco ocupado (en Mbytes) para dstntos usuaros de una estacón de trabajo está agrupados en las cuatro clases de gual longtud sguentes: Clases [5.0, 3.5) [3.5, 40.0) [40.0, 47.5) [47.5, 55.0] Frecuenca Calcular: a)el prmer y tercer cuartl. b) Meda, desvacón típca y cuasvaranza. Solucón: Clase x n N n x n x 5 3,5 8, ,5 479,6875 3, , ,5 6570, ,5 43, ,5 47, , ,5 0 8, , , ,5 Q 1 3,5 35,5 Q , , ,75 X 41,15 41,15 5, S 5, ,5096 5,1718 7, Prmer Segundo Desvacón Cuartl Cuartl Meda típca Cuasvaranza 35,5 46,56 41,15 7,30 53,5096 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 3

24 Varable Estadístca 6.- Dada la tabla de dstrbucón de frecuencas: x n a. Representar en el polígono de frecuencas absolutas. b. Calcular el valor de los cuartles, meda, medana y varanza muestral. (cuasvaranza). c. Representar en el dagrama de cajas. Exsten puntos atípcos en la muestra? Por qué? d. Un valor en la muestra de 4, sería un valor atípco?, por qué? Solucón: a) b) x n N Q1 =8, Q3 =10, M = 9, meda = 9.05, Varanza muestral o cuasvaranza.681. IQR = c) d) Un valor de 4 sería atípco por ser menor que Q1 1.5 IQR = 5 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 4

25 Varable Estadístca 7.- Se tabulan los valores de los errores de cerre en nvelacón obtendos en 74 polígonos. Calcular: a) meda, b) medana, c) moda, d) coefcente de varacón. Solucón: Valor en dm del error Nº. de polígonos x x n x N n 0,55 0,85 6 0,7 6 0,85 0, ,3 44 0,315 0, , ,345 0, , ,375 0, , ,405 0, , ,435 0, , ,465 0, , ,6 1,4 1,78 7,16 3,6 8,04 7,8 0, 0, , , , , , , , a) Meda artmétca: Sumas 1 88,60 N X n x f x 88,6 0, , b) Cálculo de la medana M N 74 N 1a 410, 03 Me 1 0,375 0,3915 n 40 c) La moda corresponde al valor de mayor frecuenca que es el ntervalo modal (0.375, 0.405) cuya marca de clase es 0,39 d) Varanza Desvacón típca (x X) n 0, N 1 Coefcente de varacón 0, , , CV 0, X 0, U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 5

26 Varable Estadístca 8.- Al fnalzar el curso de Álgebra y Geometría se realzó un examen de tpo test a los trescentos alumnos matrculados obtenéndose la sguente tabla referente al número de preguntas acertadas: Nº de preguntas acertadas Nº de alumnos Se pde: a) Representa el hstograma de la dstrbucón de frecuencas anteror. b) Hallar la meda y varanza muestral. c) Cuál será el número P de preguntas acertadas tal que la mtad de los alumnos obtengan un número de preguntas acertadas mayor que P? d) Cuál es número medo de preguntas acertadas y el número de preguntas acertadas que más se repte? Para la concesón de unas becas se realza una segunda parte de examen al que sólo se permte presentarse a los 60 alumnos con mejor nota en el test. Se pde: e) Hallar el número de preguntas acertadas como mínmo que se ha exgdo a un alumno para realzar la segunda parte del examen. Una vez fnalzada la segunda parte del examen se han obtendo las sguentes notas: Nota Nº de alumnos Se pde: f) Por qué no se debe agrupar los datos en ntervalos como se realzó con las notas del test? g) Hallar la medana, la moda y el recorrdo ntercuartílco. h) De las dos dstrbucones de notas en cuál de ellas la meda es más representatva. ) Que resulta más dfícl, obtener 30 preguntas acertadas en el examen tpo test u obtener un 6,5 en la segunda parte del examen? j) S se concede una beca a los 5 alumnos con mejor nota en la segunda parte del examen. A partr de qué nota se concederán las becas? Solucón Nº de preguntas acertadas Nº de alumnos Marca de clase (e 0 -e 1 ] n x n x n (x -meda) N 0 a a a a a a a sumas U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 6

27 a) Hstograma Varable Estadístca N n x X = b) X n x =36 N c) Medana M=30+(300/-90)10/100=36 d) Meda=36 y Moda=(30+40)/=35 e) Debemos calcular la nota que deja por debajo a =40 ALUMNOS. Que sobre los 300 representa el 80%. Buscaremos el percentl 80: (40 190)10 P80 40 =47, Obvamente 48 preguntas. Polígono de frecuencas absolutas acumuladas Segundo examen Notas Nº alumnos x n N I n x n (x -meda) , ,7 5, ,5 0, ,0 6, , , sumas ,5 60,8 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 7

28 Varable Estadístca f) No es necesaro, ya que sólo son 6 notas dstntas. g) Medana=5,5; Q1=5; Mo=5,5; Q3=6; IQR=Q3-Q1=6-5=1 h) La meda es más representatva s tene un coefcente de varacón menor. 13 CV(1ª nota) 0,36 X ,5 n x X 60,8 X nx =5,65 =1,01 1 N 1 60 N 60 1 CV(ª nota) 0,18 Es más representatva la segunda nota. X 5,65 ) Acertar 30 o más preguntas en la prmera parte es acertar 70%, ya que son 10 sobre 300. Obtener 5,5 o más en la ª parte es acertar el 66,6%, ya que son 40 sobre 60. j) S se concede beca a las 5 mejores notas, se obtene beca s la nota del alumno es gual o superor a 5,75. ) Los valores mínmo y máxmo de la varable son xmín=4 y xmáx=8, respectvamente. El rango ntercuartílco es IQR=1 y el valor de 1,5 veces el rango ntercuartílco es 1,5, por tanto las barreras son: LI = máx [xmín, Q1-1.5*IQR] = máx [4, 3.5] = 4. LS = mín [xmáx, Q3+1.5*IQR] =mín [8, 7.5] = 7,5. así pues, representamos la barrera superor 7,5 y la observacón xmáx=8 que además es un valor atípco por ser mayor que el valor de la barrera. Nº de preguntas acertadas Nº de alumnos Marca de clase (e 0 -e 1 ] n x n x n (x -meda) N 0 a a a a a a a sumas j) S se concede beca a las 5 mejores notas, se obtene beca s la nota del alumno es gual o superor a 6. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 8

29 Varable Estadístca 9.- Se ha realzado una prueba de rendmento a 0 alumnos elegdos al azar, los resultados obtendos sobre el rendmento se muestran en el sguente gráfco: a) A partr del gráfco calcular 5 0 la medana, los cuartles y el rango de la varable. b) Formar la tabla de 15 dstrbucón de frecuencas 10 absolutas c) Representar el dagrama de 5 0 frecuencas absolutas. d) Calcular: Los cuartles, la medana, la moda, varanza muestral. e) Consderando los 0 alumnos como la poblacón calcular los coefcentes de asmetría y curtoss de Fsher. Solucón: a) En este caso el tamaño de la muestra es N = 0. Q1? N/4 = 5, observamos que la poscón 5ª corresponde al ntervalo (4,6), por tanto, Q 1 = 5. Q3? 3N/4 = 15, observamos que la poscón 15 corresponde a la magen x=8, por tanto, Q 3 = 8. En el caso de la medana N/ = 10, observamos que la poscón 10ª corresponde al ntervalo (6,8), podemos consderar: M = 7. b) La dstrbucón de frecuencas absolutas es: c) Dagrama de barras x n N n = 0 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 9

30 Varable Estadístca d) En la tabla volvemos a observar que Q1 = 5; Q3 = 8; M = 7. En el gráfco y en la tabla podemos ver que el valor con mayor frecuenca es x = 8 luego la moda es M 0 = 8. x n N nx nx x n x x n 3 x x n 4 x x 1 1 4,800 3, ,59 530, ,00 31,360 87,808 45, ,000 3,00,560, ,00 8,640 10,368 1, ,800 40, ,07 419,430 sumas , 59,5 110,64 Varanza muestral a) Sesgo: 107. S 5.64 ; 19 g b) Curtoss: 1 3 g 3 n x x N 4 n x x N , ; 110, , 0 0,89 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 30

31 Varable Estadístca 10.- La sguente tabla muestra una dstrbucón de frecuencas de la duracón de 400 componentes fabrcados por una determnada marca. Determnar: a) Frecuenca relatva de la sexta clase. b) Porcentaje de componentes cuya duracón es menor que 600 horas. c) Porcentaje de componentes cuya duracón es mayor o gual a 900 horas. d) Porcentaje de componentes cuya duracón es al menos de 500 horas pero menor de 1000 horas. e) Estmar el porcentaje de componentes con duracones de menos de 560 horas. f) Estmar el porcentaje de componentes con duracones de 970 o más horas. g) Qué número de horas duran el 95% de los componentes? h) Representar el hstograma de frecuencas absolutas y el polígono de frecuencas relatvas acumuladas ) Calcular la meda, moda, la desvacón estándar de la muestra, Coefcente de varacón y el coefcente de asmetría de Pearson. j) Suponendo que los 400 componentes son la poblacón total, calcular la varanza y los coefcentes de asmetría y curtoss de Fsher. Solucón a) La frecuenca relatva de la sexta clase [800, 900) es 0,155 componentes b) El porcentaje de componentes cuya duracón es menor que 600 horas es 9,5% componentes. c) El porcentaje de componentes cuya duracón es mayor o gual a 900 horas es 1-0,81=0,19, es decr el 19%. d) El porcentaje de componentes cuya duracón es al menos de 500 horas pero menor de 1000 horas es: 93% - 15%=78%. Duracón (horas) Duracón (horas) Número de componentes [300, 400) 14 [400, 500) 46 [500, 600) 58 [600, 700) 76 [700, 800) 68 [800, 900) 6 [900, 1000) 48 [1000, 1100) [1100, 100) 6 Número de componentes [300, 400) 14 0,035 0,035 [400, 500) 46 0,115 0,15 [500, 600) 58 0,145 0,95 [600, 700) 76 0,19 0,485 [700, 800) 68 0,17 0,655 [800, 900) 6 0,155 0,81 [900, 1000) 48 0,1 0,93 [1000, 1100) 0,055 0,985 e) Para el cálculo del porcentaje de componentes con duracones de menos de 560 horas, utlzamos la fórmula del [1100, 100) Sumas 6 0, cálculo de los percentles y se obtene un resultado de α=0,37 y por tanto 3,7% f) Para el cálculo del porcentaje de componentes con duracón de 970 o más horas. Se realza como en el caso anteror y se obtene 10,6%. g) Nos pden el número de horas que duran el 95% de los componentes. De modo análogo a los anterores P 95 =1036. f F U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 31

32 Varable Estadístca h) Hstograma Polígono de frecuencas relatvas acumuladas ) Meda X nx 715,5 horas. N 400 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 3

33 Varable Estadístca El ntervalo modal y la moda (su punto medo) se observa drectamente de la tabla de datos. La dstrbucón es unmodal, el ntervalo modal es [600 a 700), sendo la moda 650 horas. La desvacón estándar de la muestra es S n x x CV S 190, 4 X 715,5 El cálculo de 0.6. X Mo As S derecha respecto de la moda. j) Varanza = n x x 715, , ,75. N ,4. N ,34 es cas smétrca, un poco desvada a la El coefcente de asmetría de Fsher es: g Nos confrma la cas smetría. 3 n x x N , El coefcente de apuntamento o curtoss es: 4 n x x g N la normal. 0,74, por tanto,un poco menos apuntada que U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 33

34 Varable Estadístca 11.- En un taller de reparacón de vehículos se recogen datos sobre los días que se tarda en reparar un vehículo, y se obtene Días en taller Nº de coches a) Representar el polígono de frecuencas absolutas. b) Calcular la moda, medana, el prmer y tercer cuartl, y El percentl 96. c) Calcular los momentos respecto del orgen de orden 1,, 3 y 4. d) Calcular los momentos respecto de la meda de orden 1,, 3 y 4. e) Calcular la meda varanza, desvacón estándar, Coefcente de varacón y el coefcente de asmetría. f) Calcular la varanza y los coefcentes de asmetría y curtoss de Fsher de los días de estanca en el taller los 75 vehículos. g) Exsten reparacones atípcas en cuanto a la duracón en la reparacón? Solucón a) Polígono de frecuencas absolutas. Moda=Mo= µ =σ = varanza = 6,71 medana=m= S = varanza muestral = 6,80 Q1 = 1 S = desvacón estandar muestral =,61 Q3 = 4 CV= Coefcente de varacón = 0,94 P96 = 9 As = Coefcente de asmetría de Pearson = 0,30 meda=m1,77 µ 3 = 37,3 m 14,4 µ 4 = 41,04 m3 114,37 g1 =Sesgo=,14 m4 1193,76 g =Curtoss= 6,16 En el últmo apartado, como Q1=1, Q3 = 4; 1.5*IQR=4.5 por tanto las barreras son: LI = = -3.5, por tanto, no hay valores atípcos. LS = = 8.5, por tanto, los vehículos reparados en 10 días o más son atípcos. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 34

35 Varable Estadístca 1.- En un aparcamento cobran por cada mnuto que está estaconado el vehículo 1,5 céntmos. El tempo que los vehículos permanecen estaconados dentro un día cualquera se muestra en el sguente polígono de frecuencas: Respecto del tempo que un vehículo está en el aparcamento calcular: a) Porcentaje de vehículos estaconados más de dos horas pero menos de cuatro horas. b) Estmar el porcentaje de vehículos que estaconan menos de 100 mnutos. c) Qué número de mnutos está estaconado dentro el 90% de los vehículos. d) La moda, los cuartles prmero y tercero, y la medana. e) La meda, desvacón estándar muestral y el coefcente de asmetría de Pearson. f) Realzar el dagrama de cajas. g) A partr de cuántos mnutos el tempo consderado será atípco? Respecto del pago (preco por mnuto estaconado) calcular: h) El ngreso medo y el ngreso más frecuente por vehículo. ) La empresa arrendatara del servco está estudando modfcar la tarfa exstente de la sguente manera: a todos los vehículos se les cobrará 5 céntmos de por entrar y 1,4 céntmos de por cada mnuto que tengan su coche dentro del aparcamento. Bajo esta suposcón, y con los datos de que dspone, qué alternatva da un ngreso medo mayor? Solucón Del gráfco se obtene la sguente dstrbucón de frecuencas: Tempo de nº de vehículos estaconamento n N F , , , , , a) El 81.33% de los vehículos están aparcados gual o menos que 4 horas. El 15.33% de los vehículos están aparcados gual o menos de horas, por tanto, el 66% de los vehículos están entre y 4 horas. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: ESTADÍSTICA 35

36 b) Varable Estadístca P 60 11,1% 190 c) P 40 71, 50 d) El ntervalo modal es (180, 40] mnutos; moda = 10 mnutos Q ,3 mnutos M ,7 mnutos Q ,4 mnutos e) El tempo medo es; XT nx 184,4 mnutos. N S n x X N A X M S o s 0, 41 0 f) Dagrama de cajas. 63,7 mnutos. exste asmetría por la zquerda respecto de la moda. g) Es un estaconamento atípco s supera: Ls=Q3+1,5(Q3-Q1)=364,61 mnutos. Respecto del pago (preco por mnuto estaconado) calcular: h) Ingreso medo = 1,5 tempo medo =1,5184,4= 76,6 céntmos El ngreso más frecuente es 1,5 la moda del estaconamento = 1,5 10 = 315 ) Sea g la nueva varable de cobro; g=5+1,4*tempo: g 5 1,4X 5 1,4184,4 63,16 La prmera opcón es más benefcosa. U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 36

37 Varable Estadístca 13.- Investgados los precos de ordenadores de 50 marcas dstntas se han obtendo los sguentes resultados: a) Determnar la dstrbucón de precos agrupados en frecuencas absolutas. b) Representar gráfcamente el dagrama de barras y el polígono de frecuencas acumuladas. c) Calcular el preco medo y el más frecuente. d) Calcular la varanza y el coefcente de varacón. e) Obtener el sesgo y la curtoss o apuntamento. f) S queremos un ordenador cuyo preco corresponda como mínmo al 10% de los precos más caros, cuál será el preco correspondente? g) Exsten precos atípcos según el dagrama de cajas? Solucón: a) x n N b) Dagrama de barras U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 37

38 Varable Estadístca Polígono de frecuencas absolutas acumuladas x n xn ,16319E ,61569E+11 sumas ,8413E+11 momentos c) Meda n Xfx x nx N N 1 50 Moda El valor que más repte Mo=700 d) Varanza (x X) n N 50 Desvacón típca ,913 Coefcente de varacón 7,913 CV 0, X 616 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 38

39 Varable Estadístca e) Sesgo 3 (x X) f g1 0, Asmétrca por la derecha ,913 Curtoss 4 (x X) f g , Más apuntada que ,913 la dstrbucón Normal de la msma meda y msma desvacón típca. f) Percentl 90 El 90% de 50 es 45 que drectamente según el polígono de frecuencas acumuladas es corresponde a los valores 800 y 1000 se toma el punto medo 900 g) Dagrama de cajas. Calculamos los 5 valores: Mínmo, Q1, M, Q3, Máxmo Mínmo = 300 Q1 es el valor que deja a su zquerda el 5% de la poblacón, es decr, N 50 1,5 que no 4 4 se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto es el sguente 400. M 700 es el valor central. N 50 Q3 es el valor que deja a su zquerda el 75% de la poblacón, es decr, 3 37,5 que 4 4 no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto es el sguente 750. Máxmo = 150 Observando el rango ntercuartílco IQR = Q3-Q1= 350, tenemos como límtes Q1-1,5 IQ= -15; quedando como límte nferor el mínmo 300. Q3+ 1,5 IQ= 175 quedando como límte superor el máxmo 150. No hay valores atípcos. 400,00 600,00 800, ,00 100,00 Precos U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 39

40 Varable Estadístca 14.- S en una poblacón de 10 personas el coefcente ntelectual tene la sguente dstrbucón: Coef. Int n a) Representar el hstograma de frecuencas. b) Representar el polígono de frecuencas acumuladas. c) Atendendo al coefcente ntelectual, se consderan ben dotadas al 5% de las personas con mayor coefcente. A partr de qué coefcente ntelectual mínmo se consderará como ben dotada a una persona de esta poblacón? d) Qué proporcón de la poblacón es más ntelgente que una persona con coefcente ntelectual 100? e) En qué percentl está stuada una persona de coefcente ntelectual 90? f) Obtener la meda, la moda, la medana y la varanza de la poblacón. Solucón: a) Hstograma b) Polígono de frecuencas acumuladas c) Percentl 95 P95 es el valor que deja a su zquerda el 95% de la poblacón, es decr, N que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay que nterpolar en el ntervalo (110,10). j1 0,95N N a P95 e j n 5 j U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 40

41 Varable Estadístca d) Según la tabla de dstrbucón de frecuencas acumuladas para 100 le corresponde 76 personas del total de 10, luego 44 de 10 es la proporcón de personas con CI superor a 100: 36,67% e) Exsten 30 personas con el CI menor o gual a 90 del total de 10, luego es la cuarta parte el percentl 5 o prmer cuartl. f) Intervalo n N xn n(x x) , , , , , , , , ,5 Meda n Xfx x nx 96,75 1 1N N 1 10 Moda El ntervalo modal es (90, 100) se toma el valor 95 Medana Cálculo de la medana M N 10 N 1a 3010 M e ,5 n 46 Varanza (x X) n N , ,4375 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 41

42 Varable Estadístca 15.- Los sguentes datos corresponden a las cotas taqumétrcas ncales de un terreno en orden crecente: VÉRTICES Cota ncal (x ) 1 10,3 101, , , 5 101, , , , 9 101, , , , , , A.- Construr un sumaro estadístco que ncluya las frecuencas: absolutas, relatvas, absolutas acumuladas y relatvas acumuladas. B.- Representar los datos medante un polígono de frecuencas absolutas acumuladas. C.- Calcular el valor y explca el método empleado de los sguentes estadístcos. Valor Fórmula empleada o método de cálculo Percentl 10 Meda Varanza Desvacón típca Coefcente de varacón Coefcente de asmetría de Fsher Coefcente de apuntamento D.- S se consderan el 10% de los vértces que tenen mayor cota. Cuál es la cota mínma? E.- Representa un dagrama de cajas y efectúa el estudo de posbles puntos atípcos. Solucón: U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 4

43 A.- Construr un sumaro estadístco que ncluya las frecuencas: absolutas, relatvas, absolutas acumuladas y relatvas acumuladas. x n f N F , , ,4 0, , 100,78 1 0, , ,03 1 0, , , 0, , ,3 1 0, , ,37 1 0, ,6 101,48 1 0, , ,8 1 0, , ,87 1 0, ,8 101,98 0, , ,3 1 0, Varable Estadístca B- Representar los datos medante un polígono de frecuencas absolutas acumuladas. C.- Calcular el valor y explca el método empleado de los sguentes estadístcos. Valor Fórmula empleada o método de cálculo Percentl ,4 10% de 15=1,5 <=N Meda Varanza 101,78 0, X fx 1 1 (x X) n N Desvacón típca Coefcente de varacón 0, , CV X Coefcente de asmetría de Fsher Coefcente de apuntamento -0, , g 3 (x X) f (x X) f g 3 3 D.- S se consderan el 10% de los vértces que tenen mayor cota. Cuál es la cota mínma? 90% de 15=13,5 <14=N11 que corresponde a 101,98 E.- Representa un dagrama de cajas y efectúa el estudo de posbles puntos atípcos. Calculamos los 5 valores: Mínmo, Q1, M, Q3, Máxmo Mínmo = 100 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 43

44 Varable Estadístca Q1 es el valor que deja a su zquerda el 5% de la poblacón, es decr, N 15 3, 75 que no 4 4 se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto es el sguente 100,78. M 101,3 es el valor central. N 15 Q3 es el valor que deja a su zquerda el 75% de la poblacón, es decr, 3 11,5 que 4 4 no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto es el sguente 101,87. Máxmo = 10,3 Observando el rango ntercuartílco IQR = Q3-Q1= 1,09, tenemos como límtes Q1-1,5 IQR= 99,145; quedando como límte nferor el mínmo 100. Q3+ 1,5 IQR= 103,505 quedando como límte superor el máxmo 10,3. No hay valores atípcos. 100,00 100,50 101,00 101,50 10,00 U. D. de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 44

45 Varable Estadístca 16.- Se ha tomado una fotografía aérea de una certa escena; dentro de ella se ha selecconado una parcela de la que se han tomado 8 muestras de los nveles de grs (pxeles) correspondentes a otros tantos puntos, obtenéndose los sguentes valores: 41, 39, 43, 40, 4, 44, 38, 4, 40, 46, 45, 44, 40, 43, 40, 4, 45, 45, 46, 39, 41, 39, 39, 43, 4, 47, 46, 40. Se quere hacer un estudo de estos datos: agrupándolos en ntervalos de ampltud dos: A.- Dbujar el hstograma y el polígono de frecuencas absolutas: B.- Dbujar el polígono de frecuencas absolutas acumuladas. C.- Calcular el valor y explca el método empleado de los sguentes estadístcos. Valor Fórmula empleada o método de cálculo Medana Percentl Qunto Coefcente de varacón Coefcente de asmetría de Fsher Curtoss Solucón: A.- Dbujar el hstograma: y el polígono de frecuencas absolutas: Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 45

46 Varable Estadístca B.- Dbujar el polígono de frecuencas absolutas acumuladas. C.- Calcular el valor y explca el método empleado de los sguentes estadístcos. Valor Fórmula empleada o método de cálculo Medana 4, N N j1 a Me j1 n Percentl Qunto Coefcente de varacón Coefcente de asmetría de Fsher N 38,56 5 Nj 1a 100 P5 e j1 n 0, CV X 0, g 3 (x X) f j j 4 (x X) f , Curtoss g 3 3 La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N 8 14 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo [4, 44). N N j1 a 14 1 Por consguente la medana es M ej 1 4 n 7 4, El percentl 5º es el valor que deja a su zquerda el 5% de la poblacón, es decr, N que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo [4, 44). N N j1 a 0 1, 4 0 Por consguente la medana es P5 ej ,56 n 5 j j Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 46

47 Varable Estadístca 17.- La sguente tabla recoge los salaros anuales en mles de euros de 0 trabajadores: Se pde: a) Polígono de frecuencas absolutas b) Proporcón de trabajadores que obtene un salaro superor o gual a c) Qué percentl le corresponde a un trabajador con un salaro de 0000? d) Coefcente de Varacón. e) Dagrama de cajas. Hay valores atípcos? Solucón: x n N a) b) Proporcón de trabajadores que obtenen un salaro superor o gual a =11 sobre el total de 0, resulta 11/0 c) Qué percentl le corresponde a un trabajador con un salaro de 0 ml? Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 47

48 Varanza Varable Estadístca La frecuenca relatva correspondente al valor 0 o menos es 16/0 aproxmadamente 0,8, luego es el percentl 80 d) Meda Desvacón típca X n x n x x n X n 1 47 fx x nx N N 0 3, (x X) n N ,04 5,04 15, Coefcente de Varacón 15, CV 0, X 3,6 e) Dagrama de cajas: Mínmo=10, Q1=16, M=19, Q3=0, Máxmo=16 Observando el rango ntercuartílco IQR = Q3-Q1= 0-16=4, tenemos como límtes Q1-1,5 IQR= 10; sendo el límte nferor y no exsten valores atípcos. Q3+ 1,5 IQR= 4 sendo el límte superor y exsten valores atípcos. Hay valores atípcos? 40, 60 y 70. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 48

49 18.- Dada la dstrbucón de frecuencas: Varable Estadístca Intervalo n Se pde: a) Polígono de frecuencas absolutas acumuladas. b) El prmer cuartl. c) Coefcente de apuntamento o Curtoss. Interpretacón Solucón: Intervalo x n N xn x x n 3 x x n , , , , , , , , , , , ,00000 MOMENTOS Meda ,911 3,4765E+11 a) Polígono de frecuencas absolutas acumuladas. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 49

50 Varable Estadístca b) El prmer cuartl Es el valor que deja a su zquerda el 5% de la poblacón, es decr, N 3 5,75 que 4 4 no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo (500, 1000). Por consguente, la medana es: N N j1 a 4 5, M e j ,3 n 3 j c) Curtoss 4 (x X) f , g , ,911 Es menos apuntada que la dstrbucón Normal de la msma meda y la msma desvacón típca Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 50

51 Varable Estadístca 19.- Se toman 0 meddas a un grupo de 4 o más satéltes en ntervalos de 15 seg. En la tabla adjunta se reflejan las meddas de las varables GP: 4,7 4,7 4,8 4, ,1 5,1 5,1 5,1 5,1 5, 5, 5, 5,3 5,3 5,3 5,3 Se pde: a) Polígono de frecuencas absolutas acumuladas. b) Qué percentl le corresponde a un valor de GP de 5? c) La moda. d) La varanza muestral o cuasvaranza. e) Realzar el dagrama de cajas. Hay valores atípcos? Solucón: a) Polígono de frecuencas absolutas acumuladas. x n N 4,7 4, , , , ,3 4 0 b) La frecuenca relatva correspondente al valor 5 o menos es 8/0 aproxmadamente 0,4, luego es el percentl 40 c) La moda. Moda es el valor que más se repte que es la calfcacón de 5,1. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 51

52 Varable Estadístca d) La varanza muestral o cuasvaranza. x n xn 4,7 9,4 0,738 4,8 1 4,8 0,079 4,9 1 4,9 0, ,0196 5,1 5 5,5 0,0045 5, 3 15,6 0,0507 5,3 4 1, 0, ,4 0,66 Momentos 5,07 0,0331 Meda n 1 101, 4 Xfx x nx 5,07 1 1N N 1 0 Varanza (x X) n 0,66 S 0, N1 19 e) Realzar el dagrama de cajas. Mínmo=4,7, Q1=5, M=5,1, Q3=5,, Máxmo=5,3 Prmer cuartl gual a 5, el prmer valor que excede al 0,5 de frecuenca relatva acumulada. Segundo cuartl o medana gual a 5,1, el prmer valor que excede al 0,5 de frecuenca relatva acumulada. Tercer cuartl gual a 5,, el prmer valor que excede al 0,75 de frecuenca relatva acumulada. Observando el rango ntercuartílco IQR = Q3-Q1= 5,-5=0,, tenemos como límtes Q1-1,5 IQR= 4,7; sendo el límte nferor y no exsten valores atípcos. Q3+ 1,5 IQR= 5,5 no exsten valores atípcos y sendo el límte superor 5,3 Hay valores atípcos? No hay. 4,80 5,00 5,0 GP Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 5

53 Varable Estadístca 0.- Las calfcacones obtendas por alumnos de Matemátcas en un examen fueron las sguentes: Nota n a) Representar el polígono de frecuencas absolutas. b) Cuál es el valor de la medana? c) En qué percentl está stuada una persona con una calfcacón de 5? d) Interpretar el Coefcente de asmetra de Fsher. Solucón: a) Nota n N b) La medana. La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo (4,6). Por consguente la medana es: N N j1 a M ej1 4 5, n 69 j c) La frecuenca relatva correspondente al valor 5 será (17+69/)/130 aproxmadamente, 0,39615, luego es aproxmadamente el percentl 40 Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 53

54 Varable Estadístca x n x n x x n 3 x x n , , ,5354, , , , ,0130 Sumas , ,65680 Meda Varanza Sesgo g n X f x x n x N N ,308 1 (x X) n N 387, , ( x X) f Asmétrca por la zquerda., , , Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 54

55 Varable Estadístca 1.- La sguente tabla recoge las calfcacones de una prueba tpo test de Cálculo: Se pde: a) Porcentaje de alumnos que obtene una calfcacón superor o gual a 6. b) El Percentl 90. c) Qué percentl le corresponde a un alumno que tene una calfcacón de 8? d) La moda y los cuartles. e) La meda, desvacón estándar o desvacón típca. f) Realzar el dagrama de cajas. g) Hay valores atípcos? Dada la dstrbucón de frecuencas de la varable tempo (segundos) utlzado en la realzacón del test: Intervalo Se pde: h) El tempo más frecuente. ) La medana. j) Sesgo. ) Curtoss Solucón: n x n N f F , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 55

56 Varable Estadístca a) Porcentaje de alumnos que obtene una calfcacón superor o gual a =1 sobre el total de 39, resulta 1/39% b) El Percentl 90. El 90% de 39 es gual a 35,1 y en la columna de frecuencas absolutas acumuladas el prmer valor que lo excede es 36 que corresponde al 7 = P90 c) Qué percentl le corresponde a un alumno que tene una calfcacón de 8? La frecuenca relatva correspondente al valor 8 ó menos es 37/39 aproxmadamente 0,94871, luego es el percentl 94,87 d) La moda y los cuartles. Moda es el valor que más se repte que es la calfcacón de 5. Prmer cuartl gual a 4, el prmer valor que excede al 0,5 de frecuenca relatva acumulada. Segundo cuartl o medana gual a 5, el prmer valor que excede al 0,5 de frecuenca relatva acumulada. Tercer cuartl gual a 6, el prmer valor que excede al 0,75 de frecuenca relatva acumulada. e) La meda, desvacón estándar o desvacón típca. x n x n x n , , , Meda n 1 18 X f x x n x N N ,67 Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 56

57 Varanza (x X) n 1 N Desvacón típca Varable Estadístca f) Realzar el dagrama de cajas. xn 1030 X 4, N 39 4, , , Mínmo=0, Q1=4, M=5, Q3=6, Máxmo=9 Observando el rango ntercuartílco IQR = Q3-Q1= 6-4=, tenemos como límtes Q1-1,5 IQR= 1; sendo el límte nferor y exsten valores atípcos. Q3+ 1,5 IQR= 9 sendo el límte superor y no exsten valores atípcos. g) Hay valores atípcos? El cero. 0,00,00 4,00 6,00 8,00 notas test Intervalo n N x x n x x n , , , , , , , ,76 h) El tempo más frecuente. La moda está en el ntervalo (1000, 1100) Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 57

58 Varable Estadístca ) La medana. La medana es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N 39 19,5 que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto hay nterpolar en el ntervalo (800, 900). Por consguente, la medana es: N N j1 a 19, M e j ,5 n 4 j j) Sesgo x x x n x x 3 n 4 x x n , ,16E , ,4 1,404E , ,7 5,447E , , , , , , ,5 1,838E ,557E ,1 1,08E , ,31,775E ,5063-0, , g 3 (x X) f , Lgeramente asmétrca por la zquerda. ) Curtoss -0, (x X) f , g , ,76 Menos apuntada que la dstrbucón Normal de la msma meda y msma devacón típca muestral. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 58

59 Varable Estadístca.- Se desea estudar la altura de un grupo de alumnos. Las alturas expresadas en centímetros fueron: Construr un dagrama de caja. Hay valores atípcos? Solucón Prmeramente, ordenamos los datos y observamos las frecuencas absolutas x n N Cuartles Q1? N/4 = 0/4=5 Q1 = 166; Medana Q = M? N/ =0/=10 Q = (168+17)/=169; Q3? 3N/4 = 15 Q3 = ( )/=177 El rango ntercuartílco IQR=Q3-Q1=11 Límte nferor= Q1-1.5*IQR=149,5 Límte superor= Q3+1.5*IQR=193,5 El límte nferor es 149,5 y exsten un valor menor que es 149 por lo tanto EXISTE UN VALOR ATIPICO. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 59

60 Varable Estadístca 3.- Se ha meddo decsés veces la longtud en metros que separa dos puntos, Los resultados obtendos se muestran en la sguente tabla: 13,404 13,443 13,445 13,447 13,449 13,450 13,453 13,455 13,457 13,460 13,460 13,465 13,455 13,453 13,445 13,455 Calcular la moda, la medana, los cuartles y el percentl 90. Representar el dagrama de caja y estudar la exstenca de puntos atípcos. Solucón: Para realzar este apartado, ordenamos los datos utlzando la tabla de dstrbucón de frecuencas absolutas acumuladas. La moda es el valor de máxma frecuenca. La dstanca 13,455 se repte tres veces y es x N 13, ,443 13, , , , , , , , , la dstanca de mayor frecuenca, por tanto M 0 =13,455 metros s La medana (M) es el valor de la observacón que ocupe el lugar central N 8, de modo que 13,453 13,453 M = =13,453 metros s Ya que N es un valor entero, el prmer cuartl Q1 es el valor 4 medo de los valores stuados entre el cuarto y el qunto dato, N 4 4 y N 1 5, así pues, 4 13,445 13,447 Q 1 = P 5 = 13,446 metros s El 75 % del total de las observacones es 1, el tercer cuartl Q3 estará entre los valores N que ocupan los lugares y N , es decr, 4 13,455 13,457 Q 3 = P 75 = 13,456 metros s Los nueve décmos de 16 es 14.4, por tanto, el percentl 90 ocupará el lugar 15, D 9 =P 90 = 13,460 metros s Calculamos los valores necesaros para la representacón del dagrama. Los valores máxmo y mínmo de la varable son xmáx=13,465 y xmín=13,404, respectvamente. El rango ntercuartílco es IQR=13,456-13,446=0.01 y el valor de 1,5 veces el rango ntercuartílco es 0,015, por tanto, las barreras son: LI = máx [xmn, Q1-1,5*IQR] = máx [13,404, 13,431] = 13,431, así pues, representamos la barrera 13,431 y la observacón xmn=13,404 que además es un valor atípco por ser menor que el valor de la barrera. LS = mín [xmáx, Q3+1,5*IQR] =mín [13,465, 13,471] = 13,465. En este caso representamos el valor mínmo de la varable 13,465 por ser un valor menor que el de la barrera 13,471. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 60

61 Varable Estadístca Con los valores anterores representamos el dagrama de caja. Una nterpretacón de este gráfco puede ser la sguente: Observamos que las meddas de poscón central meda y medana son muy smlares, pero la meda es menor que la medana y, por tanto, exste asmetría negatva; hecho que tambén se evdenca por estar la medana más próxma al lateral derecho de la caja que al borde zquerdo. La dspersón de los datos es pequeña como evdenca la anchura de la caja, pero el recorrdo es elevado debdo al dato 13,404 que representa un posble punto atípco. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 61

62 Varable Estadístca 4.- Los sguentes valores corresponden a la temperatura máxma dara (ºF) de 36 días, obtendos a las 14 horas en una certa estacón meteorológca. 84, 49, 61, 40, 83, 67, 45, 66, 70, 69, 80, 58, 68, 60, 67, 7, 75, 76, 73, 70, 63, 70, 78, 5, 67, 53, 67, 75, 61, 70, 81, 76, 79, 58, 57, 1. a) Calcular: meda, desvacón típca y el coefcente de varacón. b) Estudar la exstenca de datos atípcos. S exste algún valor atípco omtr, dcho valor y calcular de nuevo el apartado a). c) Con los datos de los apartados a y b construr un gráfco con el dagrama de caja, de ambos apartados. Solucón: a) Para el cálculo utlzaremos la tabla x n N n x n x Meda: X 1 N 1 n x ,58 Varanza de la poblacón: xn X X 165,80 N 36 Desvacón típca de la poblacón: 165,8 1,88 Coefcente de varacón: CV 1,88 X 65,58 0,1964 Prmer cuartl: N 9 y N 1= Q1 59 Tercer cuartl: 3 N 7 y 3 N Q3 75 Medana: N18 y N M Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 6

63 Varable Estadístca b) El rango ntercuatílco y las barreras del gráfco son: IQR=75-59=16 LS =mín[ x máx, Q3+1,5 16]=mín[84, 99]=84. LI =máx[ x mn, Q1-1,5 16]=máx[1, 35]=35. El valor x=1 ºF es una temperatura atípca del conjunto de datos. c) S omtmos la observacón 1ºF y procedemos de forma análoga al apartado a) se tene: Meda: X nx 66,86 N 1 35 xn Varanza de la poblacón: X X 11,1 N 35 Desvacón típca de la poblacón: 10,59 Coefcente de varacón: CV Prmer cuartl: 10,59 X 66,86 0,1584 N 8, 75 4 Q1 60 Tercer cuartl: 3 N 6,5 Q Medana: N 17,5 M 68 4 Los valores del rango ntercuartílco y de las barreras son: Rango ntercuartílco: IQR=75-59=15. LI =máx[ x mn, Q1-1,5 16] = máx[40, 37.5]=40. LS =mín[ x máx, Q3+1,5 15] = mín[84, 97.5] = 84. Con los datos calculados anterormente, obtenemos el dagrama de cajas de ambas seres de datos. Realzado el dagrama de cajas en ambos casos, una lectura de este gráfco sería que la dspersón y la asmetría son mayores en el apartado a) que en el apartado b). En a) la caja es algo más ancha y, por tanto, mayor la dspersón. Tambén observamos que en b) la meda está más próxma a la medana que en a) y por ello es más smétrca y más sgnfcatva en b) al ser menor la dspersón. 5 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1 0, Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 63

64 Varable Estadístca 5.- Los valores de 50 medcones realzadas con un dstancometro con aprecacón en mlímetros han sdo agrupados en 6 ntervalos según la tabla sguente: e -1 e n 1,150 1, ,155 1, ,160 1, ,165 1, ,170 1, ,175 1,180 7 Total 50 a) Porcentaje de medcones cuya dstanca es mayor o gual que 1,160. b) Representar el polígono de frecuencas absolutas acumuladas y el hstograma de frecuencas absolutas. c) Calcular, los cuartles y la medana. d) Estmar el porcentaje de medcones cuya dstanca sea menos de 1,175. e) Qué dstanca tenen como máxmo el 95% de las medcones? f) Calcular la meda, moda y varanza. Solucón: a) Porcentaje de medcones cuya dstanca es mayor o gual que 1,160 mayor que 1,160 son =40, por tanto 40*100/50 = 80% b) Polígono de frecuencas absolutas acumuladas Hstograma Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 64

65 Varable Estadístca c) Cuartl prmero: poscón 50/4=1,5 Q1=1,16+(1,5-10)*0,005/11= 1, Medana poscón 50/=5 M = Q =1,165+(5-1)*0,005/13= 1, Cuartl tercero: poscón 3 50/4=37,5 Q3= =1,17+(37,5-34)*0,005/9= 1,1719 d) Por ser el problema nverso se puede plantear 1,175=1,170+((a*50/100-34)*0,005)/9 despejando se obtene a=77. Es decr, percentl 77. e) Percentl 95 poscón 95*50/100=47,5 P95 =1,175+(47,5-43)*0,005/7= 1, f) e -1 e n x N n x n (x - meda) 1, ,150 1, , ,61 0, ,155 1, , ,945 0, ,160 1, , ,7875 0, ,165 1, , ,1775 1,87E-05 1,170 1, , ,555 0, ,175 1,18 7 1, ,45 0, Totales ,315 0,0068 Meda X f x n ,315 x n x N N ,1663 El ntervalo modal es de 1,165 a 1,170. Varanza (x X) n 0,0068 5, N 50 1 Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 65

66 Varable Estadístca 6.- Del conjunto de redes topográfcas que ntervenen en un trabajo topográfco estamos nteresados en estudar el número de vértces geodéscos que consttuyen cada red topográfca. Para ello, selecconamos 30 redes topográfcas, obtenéndose la sguente tabla: Nº de vértces en las 30 redes x Frecuenca absoluta n Respecto del número de vértces geodéscos que consttuyen la red (característca a estudar) Calcular: a) Representar el polígono de frecuencas absolutas y el polígono de frecuencas acumuladas. b) Hallar los cuartles, la medana y los percentles 5 y 10. c) Qué número de vértces tenen el 80% de las redes? d) Calcular la meda, moda y varanza. e) Representar el dagrama de caja. Solucón: a) Polígono de frecuencas absolutas b) Cuartl prmero: poscón 30/4 = 7,5 Q1 = Medana: poscón 30/ = 15 M = Q =3 Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 66

67 Varable Estadístca Cuartl tercero: poscón 3*30/4 =,5 Q3 =4 Percentl 5 poscón 5*30/100 = 1,5 P5 =1 Percentl 10 poscón 10*30/100 = 3. Obsérvese que se corresponde con los valores 1 y tomamos P10 =1,5 c) Percentl 80 poscón 80*30/100 = 4 P80 =4 d) x n N n x n (x -meda) , , , , , ,80 sumatoro ,97 Meda n 1 91 Xfx x nx 3,03 1 1N N 1 30 La moda es 3. Varanza (x X) n 46,97 1,57 1 N 30 e) No hay valores atípcos Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 67

68 Varable Estadístca 7.- Se quere analza el resultado de una secuenca de cfras elegdas, al azar, , todas las cfras han sdo elegdas al azar medante extraccones de una urna con 10 bolas numeradas del 0 al 9. La sguente tabla recoge la dstrbucón de frecuencas absolutas: x n Se pde: a) Moda. b) Meda. c) Dagrama de cajas, hay valores atípcos? d) Coefcente de asmetría Solucón: a) La Moda es gual a 9 puesto que es el valor correspondente a la máxma frecuenca 14 b) Meda n X f x x n x N N ,77 c) Dbujar el dagrama de cajas. Calculamos los 5 valores: Mínmo, Q1, M, Q3, Máxmo Mínmo = 0 x n N Q1 es el valor que deja a su zquerda el 5% de la poblacón, es decr, N que no 4 4 se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto Q1= Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 68

69 Varable Estadístca Q=M es el valor que deja a su zquerda el 50% de la poblacón, es decr, N que no se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto M=5 Q3 es el valor que deja a su zquerda el 75% de la poblacón, es decr, 3N que no 4 4 se corresponde con un valor de la columna de frecuencas absolutas acumuladas y por tanto Q3=8 Observando el rango ntercuartílco IQR = Q3-Q1= 8-=6, tenemos como límtes LI=Q1-1,5 IQR= -7; quedando como límte nferor el mínmo 0. LS=Q3+ 1,5 IQR= 17 quedando como límte superor el máxmo 9 y no exsten valores atípcos. d) Coefcente de asmetría o Sesgo: g 3 x 3 X f 0, , x X f 0, Asmétrca por la zquerda. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 69

70 Varable Estadístca 8.- La varable estadístca X toma los sguentes valores: Se pde: a) Construr la tabla de frecuencas de X. b) Calcular e nterpretar las meddas de poscón, dspersón y asmetría de la varable. c) Construr e nterpretar el dagrama de caja de X. Localzar los datos atípcos. d) Determnar que meddas se ven afectadas al cambar el valor 6 por 46. Construr e nterpretar el dagrama de caja de la varable modfcada. Localzar los datos atípcos. Solucón: a) Tabla de frecuencas Valor Frec. absoluta Frec. relatva Frec. Rel. Acumulada Frec. Rel. Acumulada 0 1 0,05 1 0, ,5 10 0, ,5 30 0, ,5 39 0, , b) Número total de datos: N=40 Meda x n xn x n sumatoro X 1 nx 5,0 N 1 Medana 5,0 el que ocupa el lugar central Moda 5,0 el de mayor frecuenca xn 1068 Varanza X 5 1,70000 N 40 Desvacón típca 1,30384 Prmer cuartl Q1=4,5 Tercer cuartl Q3=5,5 Rango Intercuartílco IQR=Q3-Q1=1,0 Coef. de asmetría medana g x X f 0, por concdr meda, moda y Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 70

71 Varable Estadístca 1,30384 Coef. de varacon CV 0,6 X 5 c) Menor valor no atípco: 4 Mayor valor no atípco: 6; IQR=1 LI =máx[ x mn, Q1-1,5 1] = máx[0, 3]=3. LS =mín[ x máx, Q3+1,5 1] = mín[10, 6] = 6. Datos atípcos: 0 y 1 d) Meddas que se ven afectadas: Meda, varanza (cuasvaranza), desvacón típca (cuasdesvacón típca), máxmo, rango, segundo cuartl, rango ntercuartílco, coefcente de asmetría y coefcente de varacón. Meddas propuestas para detectar datos atípcos: El rango, los cuartles, el rango ntercuartílco Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 71

72 Varable Estadístca 9.- El gráfco adjunto representa el polígono de frecuencas acumuladas sobre las edades de 300 personas encuestadas en Madrd al azar en la Plaza de Colón entre las 3 y las 4 de la mañana. Se pde: (c) Determnar s esta muestra es representatva de las edades de los habtantes de Madrd. (d) Aproxmarla medana, el tercer cuartl y el octavo decl, e nterpretarlos en térmnos de la varable estudada. Solucón: a) Obvamente no. No ntervene toda la poblacón de Madrd b) Medana= 4 es la antmagen o magen nversa de N/=150; Q3=30 es la antmagen o magen nversa de 3N/4=175; D8=33 es la antmagen o magen nversa de 8N/10=40. Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura ESTADÍSTICA 7

73 Varable Estadístca 9.- El gráfco adjunto representa el polígono de frecuencas acumuladas sobre las edades de 300 personas encuestadas en Madrd al azar en la Plaza de Colón entre las 3 y las 4 de la mañana. Se pde: (c) Determnar s esta muestra es representatva de las edades de los habtantes de Madrd. (d) Aproxmar la medana, el tercer cuartl y el octavo decl, e nterpretarlos en térmnos de la varable estudada. Solucón: a) Obvamente no b) Medana= 4; Q3=30; D8=33 Undad Docente de Matemátcas de la ETSITGC Asgnatura CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 7

74 Hstograma En un hstograma se representan las frecuencas de una varable estadístca medante áreas. De tal forma que un hstograma es un conjunto de rectángulos que tenen como base los ntervalos de clase y cuya superfce son las frecuencas (absolutas o relatvas). Por tanto, las alturas son proporconales a las frecuencas, y será el cocente entre la frecuenca y la ampltud del ntervalo. S algún ntervalo es de dstnta ampltud, el cálculo de su altura (h) se efectuará hallando el cocente n/a o f/a, donde a representa la ampltud del ntervalo. n a f a n f e -1 e e -1 e U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 94

75 Polígono de frecuencas acumuladas Para varables estadístcas sn agrupar en ntervalos de clase. Representamos en el eje de abscsas los dstntos valores de la varable estadístca. Levantamos sobre cada uno de ellos un perpendcular cuya longtud será la frecuenca (absoluta, N, o relatva, F ) acumulada correspondente a ese valor. De esta forma aparece un dagrama de barras crecente. Trazando segmentos horzontales de cada extremo de barra a cortar la barra stuada a su derecha se obtene el dagrama o polígono de frecuencas acumuladas. 40 N x Para varables estadístcas agrupadas en ntervalos de clase. En el eje de abscsas representamos los dstntos ntervalos de clase de una varable estadístca que han de estar naturalmente solapados. Sobre el extremo superor de cada ntervalo se levanta una línea vertcal de longtud equvalente a la frecuenca (absoluta o relatva) acumulada del msmo. Se obtene así un dagrama de barras crecente, que unendo sus extremos da lugar al polígono de frecuencas acumuladas. Alcanzará su máxma altura en el últmo ntervalo, que tendrá de frecuenca N ó 1 según se trate de frecuencas acumuladas absolutas o relatvas. N N e e e e e U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía

76 Moda Moda es el valor de la varable que se presenta con más frecuenca dentro de la dstrbucón. En las dstrbucones sn agrupar se observa drectamente el valor de mayor frecuenca. En las agrupadas, defnmos la clase modal como la que tene mayor frecuenca. NOTA: Algunas dstrbucones pueden presentar varas modas. Cada moda corresponde a un máxmo absoluto del dagrama de barras o hstograma. Para varables aleatoras La moda es el máxmo de la funcón de densdad o de la funcón de probabldad U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 143

77 Meda artmétca La meda de una varable estadístca es la suma ponderada de los valores posbles por sus respectvas frecuencas: X n f x N x 1 N x = valores que toma la varable o marca de clase. f = frecuencas relatvas. n = frecuencas absolutas. N = número total de la poblacón o muestra. Relacón entre las medas armónca, geométrca y artmétca: HG X La meda o esperanza matemátca de una varable aleatora es: E = E = n xpx ( ) 1 para una varable dscreta y fnta. 1 nx m E x x.f (x).dx cuando la varable es contnua con funcón de densdad f(x). Meda armónca Medda de tendenca central de una varable estadístca es el cocente entre el tamaño de la muestra y la suma de los cocentes de las frecuencas por los N valores de las correspondentes de la varable: H n 1 x x = valores que toma la varable o marca de clase. f = frecuencas relatvas. n = frecuencas absolutas. N = número total de la poblacón o muestra. Relacón entre las medas armónca, geométrca y artmétca: HG X Meda cuadrátca Medda de tendenca central de una varable estadístca es la raíz cuadrada de la suma ponderada de los cuadrados de los posbles valores de la varable multplcados por sus respectvas frecuencas: n MC fx x 1 1N Meda geométrca Medda de tendenca central de una varable estadístca que resulta de la raíz n- ésma del producto de los valores posbles de la varable, elevados a a sus N n1 n n respectvas frecuencas: G x 1.x...x x = valores que toma la varable o marca de clase. f = frecuencas relatvas. n = frecuencas absolutas. N = número total de la poblacón o muestra. Relacón entre las medas armónca, geométrca y artmétca: HG X U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 136

78 Medana Medana de un trángulo es el segmento que une un vértce con el punto medo del lado opuesto. Medana de un trángulo esférco es el arco de crcunferenca máxma que une un vértce con el punto medo del lado opuesto. En Estadístca: La medana es el valor de la varable que ocupa el lugar central, es decr, que la mtad de la poblacón es menor y la otra mtad es mayor que él. La medana es un valor M tal que F(M)=1/, se defne así como raíz de una ecuacón. Para las varables estadístcas se ordenan en forma crecente, dejando gual número de observacones nferores que superores a ella. a) En las dstrbucones sn agrupar, en general, no tene solucón, puesto que la funcón F(x) varía por saltos: 1) S nngún valor posble x corresponde a F(x )=1/ se convene en consderar 1 como medana el valor x tal que: F( x 1) Fx ( ) ) S uno de los valores x corresponde a F( x ) 1 (lo que ocurre solamente s el total N de la poblacón es par) la medana está ndetermnada entre los valores x y x +1. El ntervalo (x, x +1 ) se denomna medano, o ben llamamos medana al punto medo de dcho ntervalo. b) En las agrupadas pueden darse dos casos: INTERVALO x n N e 0 -- e 1 x 1 n 1 N 1 e 1 -- e x n N e j- e j-1 x j-1 N j-1 N j-1 e j-1 -- e j x j n j N j e e x n N 1) N concde con uno de los recogdos en la columna de frecuencas acumuladas, por ejemplo N j, en este caso la medana es e j. ) N está entre N j1 y N j. La medana se encontrará en el ntervalo ( e, e ). La medana será M e j1 h y por nterpolacón lneal se obtene h. Ampltud del ntervalo: a = e j e j-1 nj a N N ( N j1) a ( N j1) a N h M ej 1 N j1 h n j n j j1 j

79 Varanza Varanza o momento de segundo orden respecto de la meda en una varable estadístca es la meda de los cuadrados de las desvacones a la meda: ( x X) n 1 N x = valores de la varable o marcas de clase. La varanza de una varable aleatora es el momento de segundo orden respecto a la meda: E xx n x x P(X ) para una varable dscreta y fnta. 1 V = V = densdad f(x). x x.f(x).dx cuando la varable es contnua con funcón de Varanza explcada En la recta de regresón de la Y sobre X la varanza total de la varable Y puede descomponerse en dos partes una parte explcada por la regresón (la varanza de la regresón) y otra parte no explcada (la varanza resdual). La varanza explcada, será la obtenda por el producto de la varanza de Y por el coefcente de determnacón R. La varanza muestral vene dada por: S N N 1 Varanza muestral o cuasvaranza, es decr: S N ( x X) ( x X) 1 1 N 1 N N 1 Nótese que para N sufcentemente grande la dferenca entre y S es muy pequeña. Varanza resdual La varanza resdual se defne como la varanza de los errores o resduos Varanza resdual de una varable aleatora X con respecto a otra Y es gual a la varanza de Y por (1-r ), sendo r el coefcente de correlacón lneal entre ambas varables. 1 La varanza resdual o no explcada r (y * y j) nj n (1r ) y,j Sendo el valor ajustado o teórco= y* U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 07

80 Desvacón típca La desvacón típca o desvacón cuadrátca meda es la raíz cuadrada postva de la varanza: ( ) ( x X) f 1 o ben, xf X Desvacón típca muestral La desvacón típca muestral es la raíz cuadrada postva de la varanza muestral. x X n N S ( ) 1 ( N 1) N 1 1 U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 5

81 Coefcente de varacón de Pearson Es el cocente de la desvacón típca y la meda. CV X Es sempre postvo y no exste s la meda vale cero. Es frecuente expresarlo en tanto por cento. Es ndependente de la undad que se utlce, pues no tene undades y por tanto nos permte comparar la dspersón de dos dstrbucones que tengan undades dferentes, o que tengan medas muy dstntas. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 7

82 Sesgo Para obtener una medda admensonal de la smetría de una varable estadístca, se defne el coefcente de asmetría o sesgo X Mo Coefcente de Asmetría de Pearson: As. Mde la asmetría respecto de la moda. S A s =0 es smétrca respecto de la moda. X M0. S A s >0 es asmétrca a la derecha de la moda. X M0. S A s <0 es asmétrca a la zquerda de la moda. X M0. S la moda no es únca, no está defndo. Coefcente de Asmetría de Fsher: g 1 n 3 n x X Es un coefcente admensonal y mde la asmetría respecto de la meda. S g 1 =0 la dstrbucón es smétrca o no sesgada. S g 1 <0 la dstrbucón es asmétrca o sesgada a la zquerda y XM M. e o S g 1 >0 la dstrbucón es asmétrca o sesgada a la derecha y Mo Me X. El sesgo es la dferenca entre el valor esperado de un estmador y el verdadero valor del parámetro: E(θ*) - θ

83 Curtoss El coefcente de Curtoss es el grado de apuntamento de una dstrbucón. Será mayor cuanto mayor sea la concentracón de valores alrededor de la meda. Se mde en relacón a la dstrbucón Normal, de la msma meda y desvacón típca. 4 El coefcente de apuntamento de Fsher, es: g 3 4 De forma que es nulo para la dstrbucón normal. S el coefcente es postvo la dstrbucón está más apuntada que la dstrbucón Normal (de la msma meda y desvacón típca), y se dce leptocúrtca. S es menos apuntada el coefcente es negatvo y se dce platcúrtca. Mesocúrtca es cuando el coefcente es nulo. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 4

84 Cuantles Cuantl de orden es un valor de la varable estadístca que deja a su zquerda una parte de la poblacón y a la derecha una parte 1- de la poblacón. El Cuantl de orden (0 1) es x tal que F(x )=. Sendo F la funcón de dstrbucón o la frecuenca relatva acumulada. Los más utlzados son los cuartles Q1, Q y Q3 que dejan a su zquerda 1/4, 1/ y 3/4 de la poblacón respectvamente. Obsérvese que Q = M (Medana). Los decles D1, D,..., D9 dejan a su zquerda 1/10, /10,..., 9/10 de la poblacón respectvamente. Los percentles P1, P,..., P99 dejan a su zquerda 1/100, /100,... 99/100 de la poblacón respectvamente. El cálculo de los msmos es smlar al cálculo de la medana. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 33

85 Dagrama de cajas o Box-plot Se construye sólo para varables cuanttatvas. Pasos a segur: Se dbuja un rectángulo cuyos extremos son Q 1 y Q 3 y se ndca la poscón de la medana medante una línea vertcal. Tambén se ndca la meda medante una cruz (+). Se dbuja una línea desde cada extremo del rectángulo hasta el valor más alejado no atípco. Se calculan los límtes de admsón (barreras o bgotes) L I =Q 1-1,5 (Q 3 - Q 1 ) L S =Q 3 +1,5 (Q 3 - Q 1 ) Se marcan todos los datos consderados como atípcos (outlers) son los que quedan fuera de los límtes de admsón se ndcan medante un círculo. Exsten otros valores atípcos más graves (atípcos extremos) que superen 3 veces el rango ntercuartlíco y se representan por cruces (x). S no hubese nngún dato atípco las barreras llegarían hasta el valor mínmo y máxmo. Q 1 Q = M Q 3 + Q 1-1,5(Q 3 -Q 1 ) Q 3 +1,5(Q 3 -Q 1 ) U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 56

86 Dstrbucón de frecuencas Dstrbucón de frecuencas: es conjunto de modaldades con sus respectvas frecuencas. Según sean éstas (absolutas, relatvas,...) así lo será la dstrbucón correspondente. Las dstrbucones de frecuencas se representan medante tablas estadístcas. Se clasfcan en dos tpos: - Sn agrupar: aparecen los datos ndvdualzados con sus respectvas frecuencas. Se utlza cuando la varable toma pocos valores dferentes. - Agrupados en ntervalos se dvde el campo de la varable en ntervalos llamados de clase, que tendrán como frecuenca el número de elementos que estén en el ntervalo. Se utlza cuando la varable toma muchos valores dstntos entre sí. La dstrbucón de frecuencas quedaría así: Intervalo 0 1 Marca de clase x Frecuenca absoluta Frecuenca relatva Frecuenca relatva acumulada Frecuenca absoluta acumulada e,e x 1 n 1 f 1 F 1 N 1 1 e,e x n f F N e 1,e x n f F N e 1,e x n f F N U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 64

87 La varanza muestral vene dada por: Varanza muestral o cuasvaranza ( x X) ( x X) N N 1 1 S, es decr: S N 1 N 1 N N 1 Nótese que para N sufcentemente grande la dferenca entre y S es muy pequeña. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 07

88 Rango de un sstema de vectores Rango de un sstema de vectores es gual al número máxmo de vectores lnealmente ndependentes que contene. Rango de una aplcacón lneal Rango de la aplcacón lneal f es la dmensón del subespaco Imagen de f. Rango de una matrz Rango de la matrz A es el orden del menor de mayor orden no nulo de A. Lo denotaremos por r(a) o ben por rg(a). En Estadístca Rango o recorrdo de una varable estadístca Es la dferenca entre el mayor y el menor valor de la varable estadístca. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 170

89 Momentos de una varable aleatora El momento de orden respecto al orgen se defne como m Ex el caso de varables dscretas: m Ex contnua: m Ex = x. f( x).dx La meda o esperanza matemátca es: = x. P( x ) n 1 m1 Ex x en y s la varable es El momento de orden respecto a la meda, m 1, de la dstrbucón se defne como E x m 1. Entre estos tene partcular mportanca la varanza que es el momento de segundo orden respecto a la meda: E xm La raíz cuadrada postva de la varanza se llama desvacón típca Momentos de una varable estadístca Se llama momento de orden r respecto al valor "c" en una varable estadístca, r r n a la cantdad: ( x c) f ( x c), donde r es un entero postvo. 1 1 N Según los valores de "c", se defnen varas clases de momentos: Momentos no centrales o respecto al orgen, c0 m x r f x r n r N 1 1 Momentos centrales o respecto a la meda c X x X f x X n r r r ( ) ( ) N 1 1 A los caracteres de una varable estadístca bdmensonal les vamos a llamar x e y, cada uno de ellos presentará varas modaldades x 1,..., x r e y 1,..., y s respectvamente. r s 1 h Momentos respecto al orgen: mh, xyn j j N r s 1 h Momentos respecto a la meda: h, ( x X) ( yj Y) n N 1 1 j1 1 j1 j U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 144

90 Rango ntercuartílco El rango ntercuartílco es la dferenca entre los cuartles Q 1 y Q 3 de una varable estadístca: IQR Q3 Q1. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 171

91 Polígono de frecuencas Polígono de frecuencas de una varable dscreta, sn agrupar: es una línea que se obtene unendo los extremos superores de las barras en el dagrama de barras. frecuenca (absoluta o relatva) ,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0 Para varables estadístcas agrupadas en ntervalos de clase. El polígono de frecuencas es una línea que se obtene unendo los puntos medos de las bases superores (los techos) de cada rectángulo en el hstograma. De forma que empece y acabe sobre el eje de abscsas, en el punto medo del que sería el ntervalo anteror al prmero y posteror al últmo. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 131

92 Meddas de centralzacón Nos dan una dea de los valores de la varable estadístca alrededor de los que se agrupa la dstrbucón. Meda artmétca, geométrca y armónca Medana Moda Cuantles Meddas de dspersón Las meddas de dspersón nos dan una dea de la mayor o menor concentracón de los valores de la varable estadístca alrededor de algún valor. Rango o recorrdo Recorrdo sem-ntercuartílco Varanza Varanza muestral o cuasvaranza. Desvacón típca Desvacón típca muestral. Coefcente de varacón de Pearson Momentos U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 116

93 Dagrama de barras Esta representacón es válda para las frecuencas de una varable dscreta, sn agrupar. Se colocan sobre el eje de las abscsas los dstntos valores de la varable y sobre cada uno de ellos se levanta una línea o barra perpendcular, cuya altura es la frecuenca (absoluta, relatva) de dcho valor. U.D. de Matemátcas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesa y Cartografía 47