Problemas resueltos de estadística aplicada a las ciencias sociales

Transcripción

1

2 Problemas resueltos de estadístca aplcada a las cencas socales Pablo Juan Verdoy Modesto Joaquín Beltrán María José Pers Departament de Matemàtques Cods d assgnatura RA10, RL0906

3 Edta: Publcacons de la Unverstat Jaume I. Serve de Comuncacó Publcacons Campus del Ru Sec. Edfc Rectorat Serves Centrals Castelló de la Plana e-mal: Col leccó Sapenta, Prmera edcó, 2015 ISBN: Publcacons de la Unverstat Jaume I és una edtoral membre de l une, cosa que en garantex la dfusó de les obres en els àmbts naconal nternaconal. Aquest text està subjecte a una llcènca Reconexement-NoComercal-CompartrIgual de Creatve Commons, que permet copar, dstrbur comuncar públcament l obra sempre que especfque l autor el nom de la publcacó sense objectus comercals, també permet crear obres dervades, sempre que sguen dstrbuïdes amb aquesta matexa llcènca.

4 ÍNDICE Prólogo Introduccón Undad 1. Estadístca descrptva unvarante Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Undad 2. Estadístca descrptva bvarante Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Undad 3. Números índce Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Undad 4. Seres temporales Introduccón teórca Objetvos Enuncados Ayudas Solucones Bblografía

5 Prólogo La estadístca es una cenca con base matemátca referente a la recogda, análss e nterpretacón de datos que busca explcar condcones regulares en fenómenos de tpo aleatoro. Es transversal a una ampla varedad de dscplnas, desde la físca hasta las cencas socales, desde las cencas de la salud hasta el control de caldad, y es usada para la toma de decsones en áreas de negocos e nsttucones gubernamentales. Podemos consderar dos ramas en la Estadístca: a) La estadístca descrptva, que se dedca a los métodos de recogda, descrpcón, vsualzacón y resumen de datos orgnados a partr de los fenómenos en estudo. Los datos pueden ser resumdos numérca o gráfcamente. Ejemplos báscos de parámetros estadístcos son: la meda y la desvacón estándar. Algunos ejemplos gráfcos son: hstograma, prámde poblaconal, clústeres, etc. b) La nferenca estadístca se dedca a la generacón de los modelos, nferencas y predccones asocadas a los fenómenos en cuestón tenendo en cuenta la aleatoredad de las observacones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer nferencas sobre la poblacón de estudo. Estas nferencas pueden tomar la forma de respuestas a preguntas sí/no (prueba de hpótess), estmacones de característcas numércas (estmacón), pronóstcos de futuras observacones, descrpcones de asocacón (correlacón) o modelzacón de relacones entre varables (análss de regresón). Otras técncas de modelzacón ncluyen anova, seres de tempo y mnería de datos. Ambas ramas (descrptva e nferencal) comprenden la estadístca aplcada. Hay tambén una dscplna llamada estadístca matemátca, la cual hace referenca a las bases teórcas de la matera. La palabra «estadístca» tambén se refere al resultado de aplcar un algortmo estadístco a un conjunto de datos, como en estadístcas económcas, estadístcas crmnales, etc. En su orgen, por lo tanto, la estadístca estuvo asocada a datos para ser utlzados por el goberno y cuerpos admnstratvos (a menudo centralzados). La coleccón de datos sobre estados y localdades contnúa amplamente a través de los servcos de estadístca naconales e nternaconales. En partcular, los censos sumnstran nformacón regular sobre la poblacón. Los métodos estadístco matemátcos emergeron desde la teoría de probabldad, que data desde la correspondenca certamente entre Perre de Fermat y Blase Pascal (1654). Chrstan Huygens (1657) da el prmer tratamento centífco que se conoce en la matera. El Ars Conjectand (póstumo, 1713) de Jakob Bernoull y la Doctrna de Posbldades (1718) de Abraham de Movre estudaron la matera

6 como una rama de las matemátcas. En la era moderna, el trabajo de Kolmogorov ha sdo un plar en la formulacón del modelo fundamental de la Teoría de Probabldades, el cual es usado a través de la estadístca. La teoría de errores se puede remontar a la Opera Mscellanea (póstuma, 1722) de Roger Cotes y al trabajo preparado por Thomas Smpson en 1755 (mpreso en 1756) que aplca por prmera vez la teoría de la dscusón de errores de observacón. La rempresón (1757) de esta obra ncluye el axoma de que errores postvos y negatvos son gualmente probables y que hay unos certos límtes asgnables dentro de los cuales se encuentran todos los errores, se descrben errores contnuos y una curva de probabldad. Perre-Smon Laplace (1774) hace el prmer ntento de deducr una regla para la combnacón de observacones desde los prncpos de la teoría de probabldades. Laplace representó la ley de probabldades de errores medante una curva y dedujo una fórmula para la meda de tres observacones. Tambén, en 1871, obtene la fórmula para la ley de facldad del error (térmno ntroducdo por Lagrange, 1744) pero con ecuacones nmanejables. Danel Bernoull (1778) ntroduce el prncpo del máxmo producto de las probabldades de un sstema de errores concurrentes. El método de mínmos cuadrados, el cual fue usado para mnmzar los errores en medcones, fue publcado ndependentemente por Adren-Mare Legendre (1805), Robert Adran (1808) y Carl Fredrch Gauss (1809). Gauss había usado el método en su famosa predccón de la localzacón del planeta enano Ceres en Pruebas adconales fueron escrtas por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Fredrch Bessel (1838), WF Donkn (1844, 1856), John Herschel (1850) y Morgan Crofton (1870). Otros, Col van Ells (1844), Augustus De Morgan (1864), Glasher (1872) y Govann Schaparell (1875). El sglo xx ncluye autores como Laplace, Slvestre Lacrox (1816), Lttrow (1833), Rchard Dedeknd (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Lagre, Ddon y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoran la presentacón de la teoría. Adolphe Quetelet ( ) fue otro mportante fundador de la estadístca y quen ntrodujo la nocón del «hombre promedo» (l homme moyen) como un medo de entender los fenómenos socales complejos como tasas de crmnaldad, tasas de matrmono o tasas de sucdos. Durante el sglo xx, la creacón de nstrumentos necesaros para asuntos de salud públca (epdemología, estadístca, etc.) y propóstos económcos y socales (tasa de desempleo, econometría, etc.) necestó de avances sustancales en las práctcas estadístcas. Hoy el uso de la estadístca se ha extenddo más allá de sus orígenes como un servco al Estado o al goberno. Personas y organzacones usan la estadístca para entender datos y tomar decsones en cencas naturales y socales, medcna, negocos y otras áreas. La estadístca es entendda generalmente no como un subárea de las matemátcas sno como una cenca dferente «alada». Muchas unversdades tenen departamentos académcos de matemátcas y estadístca separadamente. La estadístca se enseña en departamentos tan dversos como pscología, educacón y salud públca.

7 Al aplcar la estadístca a un problema centífco, ndustral o socal se comenza con un proceso o poblacón a ser estudado. Esta puede ser la poblacón de un país, la de grandes crstalzados en una roca o la de benes manufacturados por una fábrca en partcular durante un período dado. Tambén podría ser un proceso observado en varos nstantes y los datos recogdos de esta manera consttuyen una sere de tempo. Por razones práctcas, en lugar de complar datos de una poblacón entera, usualmente se estuda un subconjunto selecconado de la poblacón, llamado muestra. Datos sobre la muestra son recogdos de manera observaconal o expermental. Los datos son entonces analzados estadístcamente lo cual sgue dos propóstos: descrpcón e nferenca. El concepto matemátco fundamental utlzado para entender la aleatoredad es el de probabldad. La estadístca matemátca (tambén llamada teoría estadístca) es la rama de las matemátcas aplcadas que usa la teoría de probabldades y el análss matemátco para examnar las bases teórcas de la estadístca. El uso de cualquer método estadístco es váldo solo cuando el sstema o poblacón bajo consderacón satsface los supuestos matemátcos del método. El mal uso de la estadístca puede producr seros errores en la descrpcón e nterpretacón, afectando las polítcas socales, la práctca médca y la caldad de estructuras tales como puentes y plantas de reaccón nuclear. Incluso cuando la estadístca es correctamente aplcada, los resultados pueden ser dfíclmente nterpretados por un no experto. Por ejemplo, el sgnfcado estadístco de una tendenca en los datos, que mde el grado en que la tendenca puede ser causada por una varacón aleatora en la muestra, puede no estar de acuerdo con el sentdo ntutvo. El conjunto de habldades estadístcas báscas (y el esceptcsmo) que una persona necesta para manejar nformacón en el día a día se refere como cultura estadístca. Este lbro de problemas con ayudas es la prmera parte de un conjunto de dos que comprenderá todas las fases del proceso estadístco. En este volumen se estudan medante problemas los prncpales rasgos de la estadístca descrptva de una varable, de dos varables, los números índces y seres temporales. La novedad que presenta este manual es que todos los ejerccos tenen dos tpos de ayudas que aportan «pstas» de cómo resolver los ejerccos y los problemas. Así pues, el alumno puede consultarlas sempre que no sepa por dónde contnuar mentras está resolvendo un ejercco. De esta manera el estudante evtará la desagradable sensacón que una persona tene cuando abandona la resolucón de un ejercco. Además, tambén se ncluyen las solucones completas de los ejerccos, muchos de ellos comentados con profunddad. Es convenente dejar claras dos cuestones relevantes. La prmera de ellas es que no hay que sacar la falsa dea de entender la estadístca como una mera coleccón de métodos o técncas útles para el tratamento de la nformacón o, ncluso lo que

8 es más, conclur que la estadístca es lo que hacen los estadístcos. Aunque estas dos deas no son desacertadas, tampoco permten tener una vsón completa de lo que es la estadístca. La segunda es que nuestras decsones se basan, cada vez más, en un flujo crecente de nformacón que necestamos sntetzar para evtar aquello de los árboles que mpden ver el bosque. Nuestras decsones son de tpo condconado, ya que las msmas se toman en funcón de algún tpo de nformacón, tanto pasada como presente. Este lbro pretende ser un complemento ddáctco de la teoría básca de estadístca que se puede encontrar en otros numerosos lbros que hoy en día se pueden encontrar en nuestras bblotecas, así como sobre todo el manual Introduccón a la estadístca aplcada a las cencas socales de la Col leccó Sapenta de Publcacons de la uj, que puede consderarse el manual teórco que complementa este lbro. En defntva, nuestra humlde pretensón es que este texto srva de ayuda complementara a todos aquellos estudantes que se enfrentan (muchas veces con poco éxto) a la resolucón de problemas de estadístca descrptva. Los autores

9 Introduccón El presente lbro de problemas se puede consderar como el prmero de los dos complementos del manual Introduccón a la estadístca aplcada a las cencas socales de la Col leccó Sapenta de Publcacons de la Unverstat Jaume I, el cual consta fundamentalmente de contendos teórcos, quedando el apartado de problemas en un segundo plano. Con este nuevo texto, basado cas exclusvamente en problemas resueltos, se completa parte del manual teórco y se faclta al estudante una herramenta excelente para consoldar el aprendzaje de sus contendos. Los problemas cuentan con ayudas, sendo la últma su resolucón completa. Es decr, cada uno de los problemas tene dos tpos de ayudas, que no son más que una breve nformacón que puede facltar al estudante el arduo trabajo de resolver el problema. Las ayudas de tpo 1 son una mera orentacón que tene por objeto manfestar los contendos que se deben consultar para poder resolver el problema. La ayuda de tpo 2 da bastante más nformacón que la prmera. Así, en muchas ayudas de este tpo se muestra parte de la resolucón del ejercco. Fnalmente, en la resolucón del problema se muestra con todo detalle los contendos estadístcos que se utlzan y numerosos comentaros que permten ntur la resolucón del problemas smlares. Además, los problemas están clasfcados por objetvos, ya que de esta manera el estudante sabe en cada momento qué contendos se están trabajando y, por tanto, puede consultar el manual teórco para revsar aquellas cuestones en las que presente dfcultades. Por otra parte, este manual está dvddo en cuatro undades que hacen referenca a la estadítca descrptva unvarante, la estadístca descrptva bvarante, los números índces y, fnalmente, las seres temporales. Cada undad está dvdda en cuatro bloques: en el prmero se proponen los enuncados de los problemas clasfcados por objetvos. La segunda parte proporcona úncamente las ayudas de tpo 1 En el tercer bloque las ayudas son del tpo 2. El hecho de que para un msmo problema no se encuentren los dos tpos de ayudas conjuntamente tene la pretensón de que el estudante realce la consulta detallada de las ayudas, reforzando la dea de pensar antes de consultar. En la últma parte se muestran las resolucones completas de los problemas, las cuales están repletas de comentaros, gráfcos y dagramas que facltan su comprensón.

10 UNIdAd 1 Estadístca descrptva unvarante

11 Introduccón teórca Como elementos ntroductoros de este capítulo, es convenente recordar defncones de elementos mportantes, ya desarrolladas en dferentes materales como los lbros referencados 1, 2 y 3, tales como: Poblacón: Es el conjunto de elementos, ndvduos o los sujetos a estudo y de los que se quere obtener un resultado. Parámetro: Es una medda descrptva de la poblacón total, de todas las observacones. Muestra: Conjunto de elementos que forman parte de la poblacón total a la que representa. Tamaño de la muestra: Es el número de elementos u observacones que forman la muestra. Estadístco: Es una medda descrptva de la muestra y que estma el parámetro de la poblacón. Varables cualtatvas y cuanttatvas Las varables en las que úncamente es posble un recuento del número de elementos de la poblacón o muestra que poseen una de sus modaldades se llaman varables cualtatvas o atrbutos (lbros referencados 4, 8, 14 y 19). Las modaldades de estos tpos de varables n squera admten una gradacón y mucho menos una medda numérca. Son varables como el sexo de una persona, la confesonaldad, etc. Las modaldades que pueden tomar se denomnan categorías. Así, las categorías de la varable sexo son masculno y femenno. El resto de varables en las que, además de admtr el recuento del número de elementos de la poblacón o muestra que poseen una de sus modaldades, tambén es posble asgnarle una medda a la propa modaldad, se denomnan varables cuanttatvas. Son por ejemplo el peso, la altura, el sueldo mensual, el grado de dureza, etc. Estas últmas varables, las cuanttatvas, tambén pueden clasfcarse en dscretas y contnuas. Una varable contnua es aquella que puede tomar cualquer valor dentro de un rango dado. Independentemente de la proxmdad de dos observacones, s el nstrumento de medda es sufcentemente precso, sempre se podrá encontrar una tercera observacón entre las dos prmeras. Una varable dscreta está lmtada para certos valores, generalmente números enteros. Se dferencan de las contnuas en que, dadas dos observacones sufcentemente

12 próxmas, no se puede encontrar nnguna observacón de la varable entre ellas. Son ejemplos el número de hjos de las famlas, el número de vehículos que tenen las empresas, el número de turstas que vstan un país, etc. La varable estadístca se denota con mayúsculas. Asmsmo, cada una de estas varables puede tomar dstntos valores sendo su notacón la sguente: X = (x 1, x 2, x 3,..., x k-2, x k-1, x k ) Tablas de frecuenca Antes de construr las tablas de frecuencas, hay que realzar una sere de defncones: Se llama frecuenca absoluta del valor x al número de veces que aparece repetda la observacón en la recoplacón de datos. Se representa por n. Se llama frecuenca relatva del valor x al cocente entre la frecuenca absoluta de x y el número total de datos n. Se representa por f y, evdentemente, es la proporcón en que se encuentra el valor x dentro del conjunto de datos en tanto por uno; n f =. n Por otra parte, suponendo que se dspondrá de k datos dferentes, se cumple que la suma de todos los n es n ( n + n n = 1 2 k n ), y tambén que la suma de las frecuencas relatvas es gual a la undad ( f f f 1) k = Se llama frecuenca absoluta acumulada del valor x al número de datos de la recoplacón que son menores o guales que x. Se representa por N y su valor se calcula a partr de las frecuencas absolutas; N = n 1 + n n (asumendo que x 1 < x 2 <...< x ). Se llama frecuenca relatva acumulada del valor x al cocente entre la frecuenca absoluta acumulada de x y el número total de datos n. Se representa por F y, evdentemente, es la proporcón en que se encuentran los valores menores o guales a N x dentro del conjunto de datos en tanto por uno; F =. Tambén hay otra manera de calcular F n a partr de las frecuencas relatvas, pues F = f 1 + f f. (asumendo que x 1 < x 2 <...< x ). Las frecuencas acumuladas tambén cumplen dos propedades trvales como consecuenca de sus defncones: suponendo que se dspusera de k datos dferentes, se cumple que N k = n y F = 1. k Es mportante remarcar que para calcular frecuencas acumuladas es necesaro que las varables por estudar sean ordenables, es decr, debe ser posble establecer una relacón de orden entre las varables. En otros casos, no tene nngún sentdo realzar estos cálculos.

13 Estas defncones permten resumr los datos. Sn embargo, la manera más adecuada para sntetzar los datos es medante lo que se denomna tabla de frecuencas. En ella aparecen dstrbudas los datos según las frecuencas. Al msmo tempo refleja todos los conceptos menconados con anterordad. En ocasones el número de datos dferentes que se está estudando es muy numeroso. Entonces, s se decdera construr una tabla como la anteror, la columna relatva a las x sería muy extensa, úncamente hay que pensar en doscentos datos dferentes dentro de una recoplacón de cuatrocentos. La solucón a esta cuestón consste en agrupar los datos en ntervalos o clases, de modo que cada dato pertenezca a uno y solo un ntervalo. En consecuenca, los conceptos relatvos a la frecuenca que hasta ahora se referían a los valores dferentes de los datos, al realzar la agrupacón, deben hacer referenca a los ntervalos. Esta práctca, a pesar de que ayuda a resumr y clarfcar la nformacón, tene en cambo un nconvenente: se perde nformacón sobre la propa dstrbucón de datos. Al agruparlas en los ntervalos los valores reales se «dfumnan». Un ntervalo se suele representar por [L -1, L ) y se defne como el conjunto formado por todos los valores reales que son mayores o guales que L -1 (Extremo nferor) y menores que L (Extremo superor). Se llama marca de clase a la meda artmétca de los dos extremos del ntervalo. Es evdentemente el valor central del ntervalo ya que equdsta de los extremos. Se denota por c. Se calcula c = L + L 1. 2 Se llama ampltud de un ntervalo a la dstanca que hay entre los extremos. Se denota por a y se calcula a = L L -1. Se llama densdad de frecuenca absoluta de un ntervalo al cocente entre la frecuenca absoluta del ntervalo y su ampltud. Se denota por d. Se calcula n d =. a Sn embargo, en la lteratura matemátca es posble encontrar varas reglas para calcular el número adecuado de ntervalos a partr del número de datos, como que no puede superar el 10 % del número total de datos o como el método de la raíz. Según este método el número de clases es gual a la raíz cuadrada del número de datos: Número clases = Se llama recorrdo de un conjunto de datos a la dferenca entre el valor más grande y el más pequeño del conjunto. Se denota por Re.

14 En consecuenca, para averguar la ampltud de la clase calculamos: Ampltud = Conocendo el número de ntervalos y la ampltud se pueden construr fáclmente todos los ntervalos. Al fnalzar la construccón de todos los ntervalos es necesaro comprobar que todos los datos pertenecen a un y solo un ntervalo. S no es así, hay que realzar alguna modfcacón en la ampltud o en el número de ntervalos. Gráfcos estadístcos Los gráfcos tambén son muy útles para descrbr los conjuntos de datos (referencas 15, 20 y 23). De hecho, un gráfco estadístco permte formarse una prmera dea de la dstrbucón de los datos tan solo con una observacón. No obstante, hay que tener cudado pues en algunas ocasones los gráfcos presentan «tendencas» no atrbubles al quehacer matemátco. Dagrama de sectores o dagrama crcular: Es un círculo dvddo en dferentes sectores. El área de cada sector es proporconal a la frecuenca que se quera representar, sea absoluta o relatva. Para calcular el ángulo asocado a cada frecuenca se aplca una smple proporcón: el ángulo asocado a una frecuenca absoluta n n es gual a f 360º ( f = ). Para la frecuenca absoluta acumulada se razona de la msma manera. n Dagrama de barras: Se utlza para representar los datos que no están agrupados. Consste en colocar sobre un eje horzontal los dstntos valores que toma la varable estadístca, y sobre cada uno de ellos levantar un rectángulo de altura gual a la frecuenca (del tpo que se esté representando). Todos los rectángulos deben tener la msma ampltud. Hstogramas: Se utlzan para representar datos agrupados en ntervalos. Consste en colocar sobre un eje horzontal los dferentes ntervalos. Sobre cada uno de ellos se construye un rectángulo de superfce gual a la frecuenca que se esté representando. Así, las alturas de los rectángulos deben ser las densdades de los ntervalos. Hay que notar que en el eje horzontal aparecen reflejadas las marcas de las clase. Polígono de frecuencas: Es menos utlzado que los dagramas de barras y los hstogramas, pero pueden sustturlos. Consste en unr medante líneas polgonales los extremos superores de las barras s se trata de datos sn agrupar, o el punto medo de la base superor de los rectángulos, s se trata de hstogramas. Pctograma: Se suele utlzar para expresar un atrbuto. Se suelen utlzar conos que se dentfcan con la varable (ejemplo una bomblla, s la varable es la energía electrca consumda en un hogar) y su tamaño es proporconal a la frecuenca.

15 Meddas de poscón Son coefcentes que tratan de representar una determnada dstrbucón; pueden ser de dos tpos, centrales y no centrales. Meddas Centrales Meda artmétca Es el valor que habtualmente se toma como representacón de los datos. Es la suma de todos los valores de la varable dvdda entre el número total de elementos. S los datos están agrupados, se toma la marca de la clase como representante del ntervalo y se realzan todos los cálculos como s los valores de la varable fueran las marcas de las clases. S se consdera una varable estadístca X que tene k valores dferentes, que se representan por x y sus frecuencas para n, entonces la meda artmétca se calcula: Meda artmétca: n1x 1 + n2x nk x n k La meda artmétca cumple las sguentes propedades: La suma de las desvacones de los valores de la varable respecto a la meda artmétca es 0. S a todos los valores de la varable se les suma una msma constante, la meda artmétca queda aumentada en dcha constante. S todos los valores de la varable se multplcan por una msma constante la meda artmétca queda multplcada por dcha constante. S una varable Y es transformacón lneal de otra varable X (Y = a X + b; a y b números reales), la meda artmétca de Y sgue la msma transformacón lneal respecto a la meda artmétca de X. Es decr: Y = a X + b. S en un conjunto de valores se pueden obtener 2 o más subconjuntos dsjuntos que suponen una partcón del conjunto total de valores, la meda artmétca del conjunto se relacona con la meda artmétca de cada uno de los X subconjuntos dsjuntos de la sguente forma: N X = (sendo X la n meda de cada subconjunto y N el número de elementos de cada subconjunto).

16 Meda artmétca ponderada A veces, no todos los valores de la varable tenen el msmo peso. Es decr, cada uno de los valores que toma la varable tene asgnado un número que ndca su mportanca, el cual es ndependente de la propa frecuenca absoluta. El cálculo de la meda artmétca ponderada en estas casos sgue la sguente expresón, donde w es el peso asocado a cada valor de la varable x. X w = k =1 k =1 x w n w n Meda geométrca Puede utlzarse para mostrar cambos porcentuales en una sere de números postvos. Por lo tanto, tene una ampla aplcacón en los negocos y en la economía. La meda geométrca proporcona una medda precsa de un cambo porcentual medo en una sere de números. Se representa por G y su cálculo efectuando la notacón habtual sgue la sguente expresón. 1 2 n n n nk G = x1 x2... xk Utlzando la notacón potencal, tambén se puede presentar por: G = 1 n1 n2 nk n ( x1 x2... xk ) Meda harmónca Se representa por H y es la nversa de la meda artmétca de las nversas de los valores de la varable, con expresón: H = n n = n n 1 + n n k x 1 x 2 x x k Se utlza para calcular el valor medo de magntudes expresadas en térmnos relatvos como velocdades, tempos, rendmento, tpo de cambo monetaro, etc. Su prncpal contraredad es que cuando algún valor de la varable es 0 o próxmo a cero no se puede calcular. En muchas ocasones, no es necesaro aplcar la fórmula anteror. Úncamente hay que tener presente el concepto de meda artmétca.

17 Medana La medana es el valor de la varable que dvde las observacones en dos grupos de gual número de elementos, de modo que en el prmer grupo todos los datos sean menores o guales que la medana, y en el otro grupo, todas los datos sean mayores o guales. Por lo tanto, es una cantdad que ndca orden dentro de la ordenacón. Datos no agrupados Al ordenar los datos, la poscón que ocupa la medana se determna dvdendo n el número total de valores entre 2 ( ) o lo que es lo msmo, calculando el 50 % 2 del total de datos (0,5 n). Hay que tener en cuenta, sn embargo, la pardad de n: Cuando haya un número mpar de valores, la medana será justo el valor central. S hay muchos datos el cálculo no es nmedato, hay que construr la tabla de frecuencas y fjarse en la columna de las frecuencas absolutas acumuladas N. La medana será el valor de varable que tenga la frecuenca absoluta acumulada gual a n. Es decr: 2 s N 1 n 2 N Me = x Cuando haya un número par de valores, la medana será la meda artmétca de los dos valores centrales de la varable. Del msmo modo que en el caso anteror, s el conjunto de observacones es numeroso, es necesaro construr n la tabla de frecuencas y fjarse en la columna de las N. S al calcular 2 este resulta ser un valor menor que una frecuenca absoluta acumulada, la medana se calculará de la msma manera que en el caso anteror; es decr, s N 1 n 2 N n Me = x. Sn embargo, s concde con algun N, para 2 obtenerla se realzará el cálculo sguente: Me = x + x +1. Los ejemplos sguentes clarfcan los cálculos. 2 Datos agrupados En dstrbucones agrupadas es necesaro determnar el ntervalo [L-1, L) en el que se encuentra la medana. Este ntervalo se determna sguendo exactamente los msmos procedmentos menconados en el apartado anteror; se realza el msmo que en el caso de datos no agrupados. La dferenca radca en que se obtendrá un ntervalo en lugar de un valor. Una vez se tene el ntervalo [L -1, L ), la medana se calcula: Me = L 1 + n 2 N 1 a donde, n

18 L -1 Límte nferor N -1 Es la frecuenca absoluta acumulada de la clase «anteror» a la clase medana n Es la frecuenca de la clase medana Es la ampltud de la clase medana a Es evdente que lo que se pretende es calcular un representante del ntervalo con el objeto de fjar la medana en un valor. Una posbldad hubera sdo consderar la marca de clase, sn embargo, el crtero usualmente más segudo no es este sno el de la fórmula antes menconada. En esta fórmula en prmer lugar se consdera el supuesto de que los datos están unformemente dstrbudos dentro de cada ntervalo. Tenendo este hecho en cuenta, se puede observar que la fórmula es una relacón de proporconaldad entre las poscones que ocupan los valores de la varable y la ampltud de los ntervalos. Moda Es el valor de la varable que más veces se repte, es decr, el valor que tene mayor frecuenca absoluta. Pueden exstr dstrbucones con más de una moda: bmodales, trmodal, etc. Datos no agrupados En las dstrbucones sn agrupar, la obtencón de la moda es nmedata. Datos agrupados En los supuestos que la dstrbucón venga dada en ntervalos, se pueden producr dos casos: que tengan la msma ampltud, o que esta sea dstnta. En ambos casos el objetvo es encontrar un valor que represente la moda. Intervalos con la msma ampltud Es evdente que una vez determnada la mayor frecuenca a esta no le corresponde un valor sno un ntervalo. Entonces no tendremos un valor modal sno un ntervalo modal. Para calcular el representado del ntervalo que haga el papel de moda hay dstntos crteros. En el texto se recoge el sguente. En prmer lugar se calcula el ntervalo donde se encuentra la moda, es decr, el ntervalo modal [L -1, L ), el cual tene mayor frecuenca absoluta (n ). Posterormente se calcula la moda de la sguente manera: n Mo = L a n 1 + n +1

19 Donde: L -1 : extremo nferor del ntervalo modal a : ampltud del ntervalo n -1, n +1 : frecuencas de los ntervalos anterores y posteror respectvamente del ntervalo modal Del msmo modo que la medana, la fórmula tene el supuesto de que los datos están unformemente repartdas dentro de cada ntervalo. Además, sguendo este crtero se puede observar que la moda estará más cerca de aquel ntervalo adyacente con mayor frecuenca absoluta. Meddas no Centrales Percentles o cuantles Son meddas de localzacón smlares a la medana. Su funcón es nformar del valor de la varable que ocupará la poscón (en tanto por cento) que nos nterese respecto de todo el conjunto de observacones. Podemos decr que los cuantles son unas meddas de poscón que dvden la dstrbucón en un certo número de partes. Las más mportantes son: Cuartles, dvden la dstrbucón en cuatro partes guales (tres dvsones). C1, C2, C3, correspondentes a 25 %, 50 %, 75 %. Por ejemplo, el 1.º cuartl tene un 25 % de los datos menores o guales a él, el segundo cuartl es la medana, etc. Decles, dvden la dstrbucón en 10 partes guales (9 dvsones). D1,..., D9, correspondentes a 10 %,..., 90 %. Percentles, dvden a la dstrbucón en 100 partes (99 dvsones). P1,..., P99, correspondentes a 1 %,..., 99 %. Por ejemplo, el valor correspondente al percentl 65, tene un 65 % de los datos menores o guales a él. Hay un valor en el que concden los cuartles, los decles y percentles. Es la medana, ya que: P 50 = C 2 = D 5. El cálculo de los cuantles sgue el msmo procedmento que el que se ha utlzado en la medana, tanto para los datos agrupados como para los datos sn agrupar. Así, en general se calcula la poscón en que se encuentra el cuantl y después se calcula. Se dstngue entre dstrbucones agrupadas y las que no lo están:

20 Datos no agrupados Prmero se calcula la poscón que ocupa el cuantl que se está estmando. Así, s Q a representa el cuantl que deja por debajo de él un a (%) de los datos: s N 1 a 100 n N Q a = x en el supuesto que a 100 n = N Q = x + x +1 2 Datos agrupados En dstrbucones agrupadas, es necesaro determnar el ntervalo [L-1, L) en el que se encuentra el cuantl. Este ntervalo se determna sguendo exactamente los msmos procedmentos menconados en el apartado anteror; se realza el msmo que en el caso de datos no agrupados. La dferenca radca en que se obtendrá un ntervalo en lugar de un valor. Un vez se tene el ntervalo [L-1, L), el cuantl se calcula: Me = L n a N 1 a donde, n L -1 Límte nferor de la clase medana N -1 Es la frecuenca absoluta acumulada de la clase «anteror» a la clase medana n Es la frecuenca de la clase medana Es la ampltud de la clase medana a Meddas de dspersón Son complementaras de las de poscón, en el sentdo que señalan la dspersón del conjunto de todos los datos de la dstrbucón, respecto de la medda o meddas de localzacón adoptadas. Recorrdo Se defne como la dferenca entre el mayor y menor valor de las varables de una dstrbucón de datos, es decr: Re = max(x ) mn(x ) Recorrdo ntercuartílco Se defne como la dstanca que hay entre el tercer y el prmer cuartl, es decr: Re = C 3 C 1

21 Desvacón meda respecto de la medana Se defne como la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacones de los valores de la varable respecto de la medana. Responde a la sguente expresón: Varanza D Me = k =1 x Me n Se defne como la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones de los valores de la varable respecto de la meda artmétca de la dstrbucón. Responde a la expresón: n s 2 = (x 1 X)2 n 1 + (x 2 X) 2 n (x k X) 2 n k n = k =1 (x X) 2 n n Como se puede observar en la defncón, la varanza es un promedo del cuadrado de los errores que se cometen al consderar la meda artmétca como «el representante» de todos y cada uno de los datos. Por otra parte, una de las prncpales dfcultades que presenta la varanza es la undad, ya que vene dada en undades al cuadrado (h 2, m 2, etc.). La manera de soluconar esta crcunstanca es estmando la raíz cuadrada. Desvacón típca o desvacón estándar Se defne como la raíz cuadrada, con sgno postvo, de la varanza. Responde a la sguente expresón: s = s 2 = k =1 (x X) 2 n n En las defncones anterores se han estado consderando datos no agrupados. S lo fueran, úncamente hay que emplear las marcas de clases como representantes de los ntervalos. Es decr, c = x. Por otra parte, se pueden defnr dos estadístcos de dspersón más, llamados quasvaranca y cuasdesvacón típca como: 2 s n 1 = n n 1 s2 y s n 1 = n n 1 s

22 Estos estadístcos tenen mucho nterés en la Estadístca Inferencal como se verá en capítulos posterores. La varanza cumple las sguentes propedades: La varanza es sempre un valor no negatvo o 0. Úncamente puede ser 0 s todos los datos son guales. En este caso es evdente que X = x para todo los posbles valor del índce. S a todos los valores de la varable se les suma una constante la varanza no se modfca. S todos los valores de la varable se multplcan por una constante la varanza queda multplcada por el cuadrado de dcha constante. S una varable X es transformacón lneal de otra varable X ( X = a X + b; a y b números reales), la varanza de X se obtene a partr de la de X del modo s ' = a s. Las meddas de dspersón absolutas son unos ndcadores que presentan dfcultades a la hora de comparar la representatvdad de las meddas de tendenca central entre dos dstrubucons de datos dferentes. Por ello, a veces se recurre a meddas de dspersón relatvas. El coefcente de varacón de Pearson Es una de las más sgnfcatvas y determna el grado de sgnfcacón de un conjunto de datos relatvo a su meda artmétca. Se defne como el cocente entre la desvacón típca y la meda artmétca de la dstrbucón de datos. s V X = X Meddas de forma Nos dan nformacón de la forma del hstograma, de su smetría y de la menor o menor proxmdad de los valores de la varable respecto de su promedo. Coefcente de asmetría de Fsher Las meddas de asmetría permten determnar, sn que sea necesaro hacer las representacones gráfcas, el grado de smetría que presentan los datos respecto a un valor central de la varable estadístca, normalmente la meda artmétca. Por tanto, esta medda debe reflejar dos aspectos: la dstanca de cada observacón respecto a la meda artmétca (es decr, la dferenca entre cada valor y la meda

23 artmétca: x x) y la frecuenca de cada una de estas dstancas (la que concdrá, evdentemente, con la frecuenca de cada observacón). De esta manera, ntutvamente, s «predomnan» las dstancas negatvas sobre las postvas (por ser más frecuentes o ser dstancas muy grandes), entonces la dstrbucón es asmétrca a zquerdas. S por el contraro, se da la stuacón opuesta entonces la dstrbucón es asmétrca a derechas. Para fnalzar, s las dstancas negatvas y las postvas se «compensan», entonces la dstrbucón es smétrca. Ahora pues, lo que hay que encontrar es el estadístco que determne la asmetría de la dstrbucón de datos. Como la asmetría está drectamente relaconada con las desvacones respecto a la meda artmétca, una prmera aproxmacón puede (x X)n =1 ser la meda de las desvacones, es decr,. Sn embargo, ya es conocdo que esta suma es cero (propedades de la meda n artmétca). Por otra parte, como lo que nos nteresa es conocer el sgno de las desvacones, tampoco podemos emplear el cuadrado de las desvacones. Así pues, parece coherente tomar una potenca de grado tres de las desvacones y calcular la meda. Así, s llamamos k por lo que se cumple: m = k =1 (x X) 3 n, n De esta manera se obtene el coefcente de asmetría de Fsher. g 1 = m s = 3 k =1 k =1 (x X) 3 n n (x X) 2 n n 3

24 Curtoss Para estudar el grado de curtoss de una dstrbucón hay que tomar un modelo teórco como referenca, la representacón gráfca tenga forma de campana smétrca. No es extraño pues, que se tome el modelo normal, ya que, como ya se ha menconado con anterordad, se puede decr que es el modelo campanforme por antonomasa. De esta manera, tomando este modelo como referenca, se dce que una dstrbucón es leptocúrtca s es más apuntada que la dstrbucón normal. S es menos apuntada se le llama platcúrtca. Fnalmente, s tene el msmo apuntamento que una dstrbucón normal se le llama mesocúrtca. Del msmo modo que en el caso del estudo de la asmetría, hay un coefcente que permte clasfcar los datos según la curtoss. En este caso, el coefcente no es tan ntutvo, por lo que úncamente se dará la defncón y su nterpetacón. Como en el caso de la otra medda de forma, este ndcador tampoco tene dmensón. g 2 = k =1 k =1 (x X) 4 n n 3 2 (x X) 2 n n La dea del apuntamento de una dstrbucón de datos sale de la comparacón de la frecuenca de los valores centrales de una dstrbucón con la frecuenca de los valores centrales en un modelo teórco normal que tenga la msma meda y la msma desvacón típca que la dstrbucón que se está estudando. Como en un modelo normal se cumple que Una dstrbucón será: k =1 (x X) 4 n n s 4 = 3, entonces: mesocúrtca (normal) s 2 0 leptocúrtca s 2 0 platcúrtca s 2 0 Por últmo, debemos remarcar que el estudo de la curtoss no mplca necesaramente que las dstrbucones sean smétrcas. Así, por ejemplo, nos podríamos encontrar dstrbucones de observacones que sean leptocúrtcas y, al msmo tempo, asmétrcas postvas.

25 Cajas y bgotes (Box-plot) Un dagrama de cajas y bgote (conocdo tambén como Box and whsker plot en nglés), es una representacón gráfca de los datos que permte determnar con mucha facldad y de una manera vsual la tendenca central, la varabldad, la asmetría y la exstenca de valores anómalos de un conjunto de observacones (outlers). De alguna manera, se puede decr que es uno de los gráfcos que más y mejor resumen los conjuntos de datos. El dagrama de cajas emplea el resumen de los 5 números: la menor observacón, la mayor observacón, el prmer cuartl, la medana y el tercer cuartl. Meddas de concentracón Estudan el grado de concentracón de una magntud, normalmente económca, en determnados ndvduos. En certo modo es un térmno opuesto a la equdad en el reparto. Se denomna concentracón al grado de equdad en el reparto de la suma total de los valores de la varable consderada (renta, salaros, etc.). Las nfntas posbldades que pueden adoptar los valores se encuentran entre los dos extremos: Concentracón máxma, cuando un solo ndvduo percbe el total y los demás nada; en este caso, se está ante un reparto no equtatvo: el que recbe x 1 = el que recbe x 2 =... = el que recbe x k 1 = 0y el que recbe x k = el total Concentracón mínma, cuando el conjunto total de valores de la varable esta repartdo por gual, en este caso se está ante un reparto equtatvo: el que recbe x 1 = el que recbe x 2 =... = el que recbe x k 1 = el que recbe x k Hay dferentes meddas de concentracón, pero en el texto se va a estudar el índce de Gn; por ser un coefcente, será un valor numérco. Para obtenerlo es necesaro realzar un conjunto de cálculos. Se supone que hay una dstrbucón de rentas ( x n ) donde toma los valores de 1 hasta k (por ejemplo, x son los sueldos y n el número de personas que cobran ese sueldo) de la que se formará una tabla con las columnas sguentes: 1) Los productos x n ndcarán la renta total percbda por los n rentstas de renta ndvdual x. 2) Las frecuencas absolutas acumuladas N. 3) Los totales acumulados u que se calculan de la sguente forma:

26 u = x n u = x n + x n u = x n + x n + x n u = x n + x n + x n + x n u = x n + x n + x n + x n +. + x n k k k Por tanto, se puede decr que: j u j = x n para cualquer valor de j desde 1 hasta k. =1 4) La columna total de frecuencas acumuladas relatvas, que se expresa en tanto por cento y que se representa por p, vendrá dado por la sguente notacón: p = N n 5) La columna de renta acumulada relatva, que se expresa en tanto por cento y que se representa por la expresón: u q = u k Por tanto, ya se puede confecconar la tabla: N p = x n x n N n u u q = u k p - q x 1 n 1 x n 1 1 N 1 u 1 p 1 q 1 p - q 1 1 x 2 n 2 x n 2 2 N 2 u 2 p 2 q 2 p - q x k n k x N k nk k u 100 k 100 0

27 Como se puede ver, la últma columna es la dferenca entre las dos penúltmas; esta dferenca sería 0 para la concentracón mínma en la que se cumple p = q para cualquer, por tanto su dferenca sería cero. Analítcamente el índce de Gn: I G = Este índce tendrá los valores: k 1 (p q ) j=1 k 1 p j=1 G = 0 cuando p = q concentracón mínma G = 1 cuando q = 0 concentracón máxma Por otra parte, s se representan gráfcamente los q en el eje vertcal y los p en la horzontal se obtendrá la curva de concentracón o curva de Lorenz. Se puede comprobar que esta curva resultante sempre aparecerá «por debajo» de la dagonal del prmer cuadrante, la cual representa la concentracón mínma. Además, cuando más se aproxme esta curva a la dagonal, menor será la concentracón. A contnuacón, se desarrollará los objetvos y los ejerccos correspondentes a este capítulo. Cabe recordar que el materal desarrollado y el resultado de algunos ejerccos son aplcacones desarrolladas con el software R (referencas bblográfcas 13, 18 y 22).

28 Objetvos Los problemas deben permtr que los alumnos alcanzan los objetvos ddáctcos: 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1c) Saber analzar y realzar tablas de frecuencas de un conjunto de datos. 1d) Conocer las dferencas entre las tablas de datos sn agrupar y las tablas de datos agrupados. 1e) Saber nterpretar y construr los prncpales gráfcos estadístcos. 1f) Conocer los conceptos y saber realzar los cálculos de las meddas de tendenca central y de dspersón. Concretar con la aplcacón del coefcente de varacón de Pearson en aquellas stuacones que lo requeran. 1g) Conocer los prncpales estadístcos que mden la forma de los datos a partr de los gráfcos. 1h) Saber calcular e nterpretar el índce de Gn, así como saber realzar la curva de Lorenz para medr la equdad de un reparto. La tabla sguente nos muestra cómo están dstrbudos los objetvos según los ejerccos: Objetvos 1a 1b 1c 1d 1e 1f 1g 1h Ejercco 1 x x 2 x x x 3 x x x 4 x x x 5 x x x 6 x x x x 7 x x 8 x 9 x x x

29 Enuncados Ejercco 1 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. Clasfca las sguentes varables, justfcando el por qué de la eleccón: a) Color de los coches. b) Marcas de ordenadores. c) Longtud de carreteras en metros. d) Nvel de estudos. e) Número de hjos de una famla. f ) Número de alumnos de estadístca en una carrera. g) Metros de alttud de las montañas. h) Profesones de las personas. ) Sueldo mensual de los trabajadores de las empresas del sector cerámco. Ejercco 2 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1e) Saber nterpretar y construr los prncpales gráfcos estadístcos. Actualmente, se está estudando en las dstntas comundades autónomas el número de hjos por famla para estudar la nataldad. Uno de los trabajadores que está hacendo las encuestas, recoge los datos de su barro donde hay 100 famlas. Ha obtendo los sguentes datos que aparecen en la tabla sguente:

30 a) Construye el gráfco que consderes más adecuado con las frecuencas acumuladas. b) Construye el polígono de frecuencas con las frecuencas acumuladas. Ejercco 3 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1e) Saber nterpretar y construr los prncpales gráfcos estadístcos. Los sueldos, en mles de euros mensuales de 40 empresaros del sector de la construccón del año 2007 son: 3,9 4,7 3,7 5,6 4,3 4,9 5,0 6,1 5,1 4,5 5,3 3,9 4,3 5,0 6,0 4,7 5,1 4,2 4,4 5,8 3,3 4,3 4,1 5,8 4,4 4,8 6,1 4,3 5,3 4,5 4,0 5,4 3,9 4,7 3,3 4,5 4,7 4,2 4,5 4,8 Se quere estudar s realmente son bastante altos y cuál es su dstrbucón. Para consegurlo: a) Representa gráfcamente la nformacón recogda. b) Crea la msma representacón en 4 clases para poder dferencar de forma más clara los tpos de sueldos. Ejercco 4 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1c) Saber analzar y realzar tablas de frecuencas de un conjunto de datos. 1d) Conocer las dferencas entre las tablas de datos sn agrupar y las tablas de datos agrupados. La recoplacón de 20 datos correspondentes al número de llamadas de teléfono regstradas en una empresa durante los días de preparacón de materal para una fera de muestras durante el período de 9 a 12 horas. 15,5, 10, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 7, 10, 10, 12, 11, 11, 12, 15, 12, 15

31 Se quere estudar s realmente hay varacón a lo largo de los días de las llamadas que se recben. Por este motvo se pde confecconar una tabla de frecuencas que recoja esta nformacón. Ejercco 5 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1c) Saber analzar y realzar tablas de frecuencas de un conjunto de datos. 1d) Conocer las dferencas entre las tablas de datos sn agrupar y las tablas de datos agrupados. Una empresa está hacendo el estudo del dnero que se gasta la gente para comprar una segunda casa como complemento de la prmera vvenda. Reducr los datos de los euros y en número de famlas que han comprado este tpo de vvenda. A contnuacón se puede ver los datos: Euros Famlas > Se pde: a) De qué tpo de varable es el objeto de estudo? b) Mostrar en forma de tabla de frecuencas el conjunto de los datos recogdos. c) Qué porcentaje de famlas se gastan más de euros? d) El 65 % de famlas que menos se gasta, qué cantdad de dnero como máxmo desembolsa?

32 Ejercco 6 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1c) Saber analzar y realzar tablas de frecuencas de un conjunto de datos. 1e) Saber nterpretar y construr los prncpales gráfcos estadístcos. 1f) Conocer los conceptos y saber realzar los cálculos de las meddas de tendenca central y de dspersón. Concretar con la aplcacón del coefcente de varacón de Pearson en aquellas stuacones que lo requeran. En el sguente hstograma se representa la dstrbucón del dnero que durante el últmo mes se han gastado los trabajadores de una empresa en detas: a) Determna, sabendo que hay 200 trabajadores. b) La tabla de frecuencas que muestra los datos que tenemos. c) La cantdad meda que se han gastado, la más frecuente y la cantdad que tenían como máxmo, el 50 % de los trabajadores que menos cobraban. d) Calcula e nterpreta el rango de la dstrbucón así como el rango ntercuartílco. e) Calcula el mínmo del 20 % de los empleados con mayor cantdad de detas. Qué porcentaje del total de la empresa corresponde a este grupo? f) El ntervalo centrado en la cantdad meda en que se encuentran el 75 % de los datos. Es, pues, el sueldo medo muy representatvo del conjunto de las detas? g) En el mes sguente, la empresa decdó aumentar las detas de todos los trabajadores un 5 %. Además, les do una prma de 50 euros en concepto de productvdad. Calcula el salaro medo, el salaro más frecuente y el salaro que tenían como máxmo, el 50 % de los trabajadores que menos cobran el mes sguente.

33 h) De las detas de otra empresa, que pertenece al msmo sector, se sabe que la meda artmétca de sus trabajadores es de 120 euros, con una varanza de 2,5 euros. Qué empresa tene una deta meda más representatva? Razona la respuesta. Ejercco 7 1b) Saber clasfcar las varables estadístcas. 1g) Conocer los prncpales estadístcos que mden la forma de los datos a partr de los gráfcos. Se quere lanzar al mercado un nuevo producto cerámco y la empresa que lo crea estuda el tempo de publcdad, en segundos, que otras empresas han utlzado para promoconar un producto smlar. A contnuacón se puede ver para cada empresa la duracón y los anuncos realzados: Empresa 1 Duracón Número de anuncos Empresa 2 Duracón Número de anuncos

34 Empresa 3 Duracón Número de anuncos Empresa 4 Duracón Número de anuncos Para realzar el estudo, calcula: a) La duracón meda de cada empresa. b) Tenen todas las dstrbucones la msma forma? Comenta el resultado.

35 Ejercco 8 1h) Saber calcular e nterpretar el índce de Gn, así como saber realzar la curva de Lorenz para medr la equdad de un reparto. Dos compañías de venta de coches tenen maneras dferentes de pagar a sus trabajadores. La compañía A lo hace medante un sueldo fjo mensual y la compañía B medante un porcentaje sobre las ventas efectuadas. La dstrbucón de los salaros por categorías es la sguente: compaña a compaña B Sueldo (centenares de euro) Número de trabajadores Sueldo (centenares de euro) Número de trabajadores a) Basándose úncamente en las observacones, en qué compañía el sueldo medo fluctúa menos o tene los repartos más equtatvos? Justfca el resultado medante el análss estadístco del reparto. b) En cuál de las dos compañías el sueldo es más homogéneo o concentrado? Se debe obtener el resultado tambén de forma gráfca.

36 Ejercco 9 1a) Conocer los conceptos báscos de las varables estadístcas. 1e) Saber nterpretar y construr los prncpales gráfcos estadístcos. 1f) Conocer los conceptos y saber realzar los cálculos de las meddas de tendenca central y de dspersón. Concretar con la aplcacón del coefcente de varacón de Pearson en aquellas stuacones que lo requeran. La dstrbucón de edades del Censo Electoral de Resdentes a 1 de enero de 1999 para las comundades autónomas de Aragón y Canaras, en tantos por cento, es la sguente: Edades Aragón Canaras ,55 4, ,56 29, ,63 35, ,14 21, ,12 8,48 a) Representa sobre los msmos ejes de coordenadas los datos de la dstrbucón de la edad para las dos comundades autónomas (emplea dstnto trazo o dstntos colores). Qué conclusones obtenes a la vsta del gráfco? b) Calcula la edad meda para las dos comundades. Compáralas. Qué ndcan estos resultados? c) En qué comundad las observacones son más dspersas? d) S los datos de edades fueron: Aragón: 10, 10, 10, 10, 20, 30, 40, 30, 40, 50, 60, 40, 40, 40, 60, 70, 80, 70, 80, 90, 70, 50, 40, 90. Canaras: 20, 30, 40, 40, 140, 50, 40, 30, 40, 30, 50, 60, 40, 30, 30, 40, 30, 40, 30, 40, 30, 50, 60, 70. Obten un gráfco que nos muestre la dspersón de los datos en el msmo gráfco.

37 Ayudas En este apartado se presentarán las ayudas a emplear en caso de ser necesaro a la hora de realzar los ejerccos y problemas. Es convenente no hacer un abuso excesvo de estas ayudas, es decr, antes de emplear la ayuda hay que pensar el problema al menos durante unos mnutos. Después se consultará la ayuda de tpo 1 y se ntentará resolver el ejercco con esta ayuda. S no es posble resolverlo, entonces se consultará la ayuda de tpo 2; y en últmo térmno la solucón. Ayudas Tpo 1 Exercco 1 Lo que se necesta para resolver este ejercco, es prmeramente conocer los tpos de varables que exsten. A contnuacón puedes ver una clasfcacón de los tpo de varables. Las varables cualtatvas son aquellas que no se pueden medr, es decr, aquellas que toman valores a los que no se puede asgnar nngún número. Expresan cualdades o categorías. Además pueden ser: a) Ordnales: se pueden ordenar. b) Nomnales: no hay preferencas entre unas y otras. Las varables cuanttatvas, por el contraro, son medbles, es decr, los valores que se observan pueden expresarse de forma numérca. Estas varables pueden clasfcarse en: a) Dscretas, cuando toman sus valores en un conjunto fnto o numerable. b) Contnuas, cuando pueden tomar cualquer valor en un ntervalo. Exercco 2 Lo que se necesta para resolver este ejercco, es conocer prmeramente los tpos de varables que exsten para elegr la correcta y el tpo de gráfco correspondente. La clasfcacón del tpo de varables, como ya se conoce del ejercco anteror es: Las varables cualtatvas (Ordnales o Nomnales). Las varables cuanttatvas (Dscretas o Contnuas).

38 Según el tpo de varable, el gráfco correspondente será: Para las varables cualtatvas: dagrama de barras o dagrama de sectores. Para las varables cuanttatvas: Dscretas: Dagrama de barras o sectores. Contnuas: Hstograma. Los prmeros pasos serán saber qué tpo de varable es, ya que este elemento afectará a la eleccón tanto del tpo de tabla de frecuencas como la eleccón del tpo de gráfco. Queda claro que es una varable numérca. Por lo tanto, puede ser contnua o dscreta. En este caso, como los datos hacen referenca al número de hjos será cuanttatva dscreta. Con estas nformacones, se puede pasar a resolver el problema. Ejercco 3 Lo que se necesta para resolver este ejercco, de la msma forma que el anteror, es conocer los tpos de varables que exsten para elegr la correcta y el tpo de gráfco correspondente. En este caso, los que aparecen son datos numércos contnuos. Por este motvo, lo que se trabaja es la creacón de representacones gráfcas como son los hstogramas en los dos apartados. Por otra parte, hay que pensar cómo crear las clases para hacer este tpo de problemas y se puede hacer con el conocmento de los sguentes elementos: Se llama marca de clase a la meda artmétca de los dos extremos del ntervalo. Es evdentemente el valor central del ntervalo ya que equdsta de los extremos. Se denota por c. Se calcula c = L + L 1. 2 Se llama ampltud de un ntervalo o recorrdo a la dstanca que hay entre los extremos. Se llama densdad de frecuenca absoluta de un ntervalo al cocente entre la frecuenca absoluta del ntervalo y su ampltud. Método de la raíz: Según este método el número de clases es gual a la raíz cuadrada del número de datos: Número de clases =. El sguente paso es calcular la ampltud de los ntervalos.

39 Por lo que, la ampltud. Con esta nformacón, se puede empezar sn problemas la solucón del problema. Ejercco 4 Hay que recordar, sn embargo, que los dferentes valores que puede tomar la varable estadístca se denotan medante x. En este caso, ordenándolos de menor a mayor, x 1 = 5, x 2 = 6, x 3 = 7, x 4 =10, x 5 =11, x 5 =12, x 6 =15. Se llama frecuenca absoluta del valor x al número de veces que aparece repetda la observacón en la recoplacón de datos. Se representa por n. La frecuenca absoluta del valor x 2 es 2 ( n 2 = 2), pues el dato 6 se repte dos veces en el conjunto de los datos de la muestra. Se llama frecuenca relatva del valor x al cocente entre la frecuenca absoluta de x y el número total de datos n. Se representa por f y, evdentemente, es la proporcón en que se encuentra el valor x dentro del conjunto de datos en tanto n por uno; f =. En el ejemplo f 2 = n 2 n n = 2 = 0,1. Por tanto, el 10 % de los datos son seses. 20 Es mportante remarcar que para calcular frecuencas acumuladas, a las que llamaremos F como frecuenca relatva acumulada y N como frecuenca absoluta acumulada, es necesaro que las varables a estudar sean ordenables, es decr, debe ser posble establecer una relacón de orden entre las varables. Sn embargo, no tene nngún sentdo realzar dchos cálculos. Estas defncones permten resumr los datos. Sn embargo, la manera más adecuada para sntetzar los datos es medante lo que se denomna tabla de frecuencas. En ella aparecen dstrbudas los datos según las frecuencas. Al msmo tempo refleja todos los conceptos menconados con anterordad. Ejercco 5 a) En los ejerccos anterores ya hemos vsto que es necesaro conocer la clasfcacón de las varables. b) La clasfcacón del tpo de varables, como ya se conoce del ejercco anteror es: Las varables cualtatvas (Ordnales o Nomnales). Las varables cuanttatvas (Dscretas o Contnuas).

40 c) Para completar la tabla de frecuencas debemos conocer: Saber crear la tabla de datos contnuos. En este caso, los ntervalos ya los tenemos, solo tenemos que añadr la marca de clase. Completar la tabla con las dversas frecuencas n, f, N y F. Además, hay que conocer los pasos para crear la tabla s no conocemos los ntervalos, pero esto es un problema que no tenemos en este caso. d) Debemos buscar en la tabla el valor en los ntervalos. En este caso, el ntervalo que tene el máxmo en e) Se pde el percentl 65 Los percentles dvden la dstrbucón en 100 partes (99 dvsones). P1,..., P99, correspondentes al 1 %,..., 99 %. En este caso, el valor correspondente al percentl 30, tene un 30 % de los datos superores o guales a él. Ejercco 6 Como prmera ayuda recordar que: Hay que saber el tpo de varable. En este caso es una varable cuanttatva contnua, ya que se muestra un gráfco con formato de hstograma. Además, recuerda que en el eje de las ordenadas, lo que aparece es la frecuenca relatva, n la absoluta n nnguna de las acumuladas. Esta suposcón se basa en que el gráfco no está en todo momento aumentando. El formato de la tabla de frecuencas tendrá la forma: [L -1, L ) n N f F Ejercco 7 a) Por lo que respecta al cálculo de la meda artmétca, hay que tener en cuenta que es una varable contnua y que hay que utlzar la marca de clase en cada caso. b) Respecto a la forma de las dstrbucones, tenemos que trabajar los coefcentes de asmetría y curtoss, además de crear los gráfcos para ver la forma de las dstrbucones. En este caso se puede utlzar el dagrama de barras aplcado a cada empresa para ver la desvacón respecto a la dstrbucón normal.

41 La forma de los gráfcos puede ser respecto a la smetría: Respecto al apuntamento: Ejercco 8 a) Respecto a lo que se nos pregunta en el prmer apartado, debemos calcular el coefcente de varacón de cada una de las compañías y luego realzar la comparacón. b) En el segundo apartado se pregunta el índce de concentracón de Gn. Para calcularlo, se segurá la sguente nformacón: se supone que se tene una dstrbucón de rentas ( x n ) donde toma los valores de 1 hasta k (por ejemplo x son los sueldos y n el número de personas que cobran ese sueldo) de la que se formará una tabla con las columnas sguentes:

42 1) Los productos, x n ndcarán la renta total percbda por los n rentstas de renta ndvdual x. 2) Las frecuencas absolutas acumuladas N. 3) Los totales acumulados u que se calculan de la sguente forma: u = x n u = x n + x n u = x n + x n + x n u = x n + x n + x n + x n u k = x 1 n 1 + x 2 n 2 + x 3 n 3 + x 4 n x k n k Por tanto, se puede decr: j u j = x n para cualquer valor de j desde 1 hasta k. =1 4) La columna total de frecuencas acumuladas relatvas, que se expresa en tanto por cento y que se representa por p, vendrá dada por la sguente notacón: N p = n 5) La columna de renta acumulada relatva, que se expresa en tanto por cento y que se representa por la expresón: u q = u Por lo tanto, se puede hacer la tabla: k x n x n N u p = N n u q = u k p - q x 1 n 1 x n 1 1 N 1 u 1 p 1 q 1 p - q 1 1 x 2 n 2 x n 2 2 N 2 u 2 p 2 q 2 p - q x k n k x N k nk k u 100 k 100 0

43 Ejercco 9 a) Los datos en este caso son muy mportantes, ya que se puede ver que se muestran los datos agrupados pero en dferente ampltud. Por este motvo, se ha de representar la densdad de los datos, no drectamente los datos que se nos presentan. b) Para obtener los datos de la meda artmétca, hay que tener en cuenta el msmo elemento que se ha comentado con anterordad, que son datos agrupados. S la varable está agrupada en ntervalos el concepto no camba. En este caso, se asgnan las frecuencas a las marcas de clase y se procede de la msma manera que en el caso de no agrupados. c) El estudo de la dspersón está relaconada con el cálculo de la desvacón típca en el caso del trabajo de varables por separado, pero en este caso, para compararlas, se utlza el coefcente de varacón de Pearson. d) Una posbldad es obtener el gráfco de cajas y bgotes. Ayudas Tpo 2 En este apartado se presentarán las ayudas para emplear en caso de ser necesaro a la hora de realzar los ejerccos y problemas, y tras consultar la ayuda de tpo 1. Ejercco 1 Aunque se conozca la clasfcacón de las varables, y se tenga sufcente nformacón para clasfcar los dstntos apartados, se pueden añadr ejemplos de cada caso para compararlos con los que se pden: Varables cualtatvas nomnales: el sexo o el color. Varables cualtatvas ordnales: estar ben, regular o enfermo y tambén estar lleno, medo lleno o vacío. Varables cuanttatvas dscretas: número de trabajadores en una empresa o número de edfcos en una calle. Varables cuanttatvas contnuas: la altura de las personas, las calfcacones numércas de un examen o la medda en centímetros de la fabrcacón de tablas.

44 Ejercco 2 Ya conoces qué tpo de gráfcos se debe utlzar en cada caso. Ahora tenes que segur los sguentes pasos para hacer los gráfcos: Crear la tabla de frecuencas correspondente, que en este caso, como es una varable cuanttatva dscreta, no será necesaro crear ntervalos y luego crear los gráfcos correspondentes con sus frecuencas. Prmeramente, crearemos la tabla de frecuencas para poder crear los gráfcos correspondentes: x n N f F ,15 0, ,21 0, ,21 0, ,27 0, ,16 1,00 Total a) Respecto a las representacones gráfcas, ya que se refere a datos dscretos, debemos utlzar un gráfco que puede ser el de sectores o de barras. Se representa en el eje de abscsas las clases, que en este caso es el número de hjos, y en el eje de ordenadas la frecuenca correspondente, que puede ser tanto la absoluta como la relatva (acumulada o no). b) Para construr el polígono de frecuencas con las frecuencas acumuladas se utlzarán tambén los datos de la tabla de frecuencas y podrán ser tanto la N como la F. Ejercco 3 El sguente paso, con los datos agrupados en ntervalos, será crear la tabla de frecuencas agrupada como queda a contnuacón: [L -1, L ) n N f F [3,25 3,75) 3 3 0,075 0,075 [3,75 4,25) ,2 0,275 [4,25 4,75) ,35 0,625 [4,75 5,25) ,15 0,775 [5,25 5,75) ,1 0,875 [5,75 6,25) ,125 1 N = 40

45 En cada apartado debemos: a) Crear un hstograma de forma general. b) Se creará un hstograma con cuatro clases, sn realzar la separacón general de los datos agrupados que, como ya se conoce, es la raíz de los datos. Ejercco 4 El formato de la tabla será: x n N f F Total Y una forma de saber s los datos se mantenen a lo largo del tempo o varían sería el crear un gráfco de barras, por ser una varable numérca dscreta. Ejercco 5 a) La varable de estudo es la cantdad de euros que se gastan las famlas para comprar la segunda vvenda en euros. Esta nformacón nos ayudará en la solucón de los próxmos apartados. b) El formato de la tabla será: Euros Marca Famlas (n ) f N F

46 c) Se puede utlzar la frecuenca relatva acumulada y restar a 1 el valor del F anteror. d) Se pde el percentl 65. En dstrbucones agrupadas es necesaro determnar el ntervalo [L -1, L ) en el que se encuentra el cuantl. Este ntervalo se determna sguendo exactamente los msmos procedmentos menconados en el apartado anteror; se realza el msmo que en el caso de datos no agrupados. La dferenca radca en que se obtendrá un ntervalo en lugar de un valor. Una vez se tene el ntervalo [L -1, L ), el cuartl se calcula: 100 n a N 1 Quantl Cuartl = L 1 + a donde, n L -1 Límte nferor de la clase del percentl N -1 Es la frecuenca absoluta acumulada de la clase «anteror» a la clase del percentl n Es la frecuenca de la clase del percentl Es la ampltud de la clase del percentl a Ejercco 6 Todos los apartados sguentes al de la creacón de la tabla dependen de esta, que ayuda a calcular cada uno de los estadístcos. a) Nos preguntan: la meda, la moda y la medana. b) El rango, como ya debes saber es la dferenca entre máxmo y mínmo valor de la varable, y el rango ntercuartílco es la dferenca entre el cuartl prmero y tercero. c) Nos preguntan el percentl 80, ya que nos habla de los valores más altos y a partr de este, se calcula el porcentaje. d) Se debe aplcar el teorema de Thebyshev a partr de la desvacón típca. e) Aplcacón de las propedades de la meda, la moda y la medana, donde todos los factores que suman, restan, multplcan o dvden a la varable les afectan. En este caso: se multplcaría por 0.05, por el 5 % y se sumaría a los tres estadístcos 50 euros. f) Lo que se pde es comparar la varabldad o la dspersón de dos muestras dferentes. En estos casos, lo más correcto es calcular el coefcente de varacón de Pearson, CV. Por este motvo, es necesaro calcular tanto la meda como la desvacón típca de las varables.

47 Ejercco 7 Para el apartado b), es necesaro conocer la forma de los coefcentes de asmetría y curtoss. De esta manera se obtene el coefcente de asmetría de Fsher. g 1 = m s = 3 k =1 k =1 (x X) 3 n n 3 (x X) 2 n n Hay que notar que como la desvacón típca es postva, el sgno del coefcente de Fsher será el msmo que el de m. Y por lo tanto: Así pues, cuando g 1 < 0, se dce que la dstrbucón presenta asmetría a la zquerda (o negatva) y entonces, de las dos ramas de la curva que separa la ordenada que pasa por la meda artmétca, la de la zquerda es más larga que la de la derecha. Lo opuesto ocurre s g 1 > 0. Del msmo modo que en el caso del estudo de la asmetría, hay un coefcente que permte clasfcar los datos según la curtoss. En este caso, el coefcente no es tan ntutvo, por lo que úncamente se dará la defncón y su nterpretacón. Como en el caso de la otra medda de forma, este ndcador tampoco tene dmensón. g 2 = k =1 k =1 (x X) 4 n n 3 2 (x X) 2 n n La dea del apuntamento de una dstrbucón de datos sale de la comparacón de la frecuenca de los valores centrales de una dstrbucón con la frecuenca de los

48 valores centrales en un modelo teórco normal que tenga la msma meda y la msma desvacón típca que la dstrbucón que se está estudando. = 3, entonces, una ds- Como en un modelo normal se cumple que trbucón será: k =1 (x X) 4 n n s 4 mesocúrtca (normal) s 2 0 leptocúrtca s 2 0 platcúrtca s 2 0 Ejercco 8 Como ayuda fnal, se puede comentar el tpo de gráfco que se ha de presentar. Es la curva de Lorenz. La forma de este gráfco es la sguente: Se deben representar los valores de q frente a los valores de p. La línea central es la línea de equdad de los datos, que nos marcará el nvel de concentracón.

49 Ejercco 9 a) La obtencón de las densdades será el cocente, en cada caso, de la frecuenca absoluta del ntervalo entre su ampltud. b) Un dagrama de cajas y bgote (conocdo tambén como Box and whsker plot en nglés), es una representacón gráfca de los datos que permte determnar con mucha facldad y de una manera vsual la tendenca central, la varabldad, la asmetría y la exstenca de valores anómalos de un conjunto de observacones. De alguna manera, se puede decr que es uno de los gráfcos que más y mejor resumen los conjuntos de datos. El dagrama de cajas emplea el resumen de los 5 números: la menor observacón, la mayor observacón, el prmer cuartl, la medana y el tercer cuartl. Estos 5 números permten construr la versón más smple del Box plot, el cual está formado por: Una caja (box) central que representa las observacones comprenddas entre el prmer y el tercer cuartl. Los dos extremos de la caja son los cuartles, y una línea nteror y vertcal que parte la caja en dos partes, corresponde a la medana. Es obvo, pues, que la caja comprende el 50 % de las observacones. Bgotes (whskers): El gráfco se completa en esta versón del Box plot, con dos líneas a ambos lados de la caja que unen el prmer cuartl con la menor observacón, y el tercer cuartl con la observacón mayor.

50 Solucones Ejercco 1 Clasfca las sguentes varables, justfcando el por qué de la eleccón: a) Color de los coches. b) Marcas de ordenadores. c) Longtud de carreteras en metros. d) Nvel de estudos. e) Número de hjos de una famla. f ) Número de alumnos de estadístca en una carrera. g) Metros de alttud de las montañas. h) Profesones de las personas. ) Sueldo mensual de los trabajadores de las empresas del sector cerámco. Solucón a) Es una varable cualtatva nomnal: color A, color B, color C, etc. b) Es una varable cualtatva nomnal: marca X, marca Y, marca Z, etc. c) Es una varable cuanttatva contnua: 1.93, 1.935, 1.76, 1.67, etc. d) Es una varable cualtatva ordnal: sn estudos, elementales, etc. e) Es una varable cuanttatva dscreta: 0, 1, 2, 3, etc. f) Es una varable cuanttatva dscreta: 0, 1, 12, 3033, 5004, etc. g) Es una varable cuanttatva contnua: 36.1, 36.51, , 36.78, 37.1, 39.12, etc. h) Es una varable cualtatva nomnal: médco, profesor, payaso, etc. ) Es una varable cuanttatva contnua: , , , etc. Ejercco 2 Actualmente, se está estudando en las dstntas comundades autónomas el número de hjos por famla para estudar la nataldad. Uno de los trabajadores que está hacendo las encuestas, recoge los datos de su barro donde hay 100 famlas. Ha obtendo los sguentes datos:

51 a) Construye el gráfco que consderes más adecuado con las frecuencas acumuladas. b) Construye el polígono de frecuencas con las frecuencas acumuladas. Solucón El prmer paso será saber qué tpo de varable es, ya que este elemento afectará a la eleccón tanto del tpo de tabla de frecuencas como del tpo de gráfco. Queda claro que es una varable numérca. Por lo tanto, puede ser contnua o dscreta. En este caso, ya que los datos hacen referenca a número de hjos será cuanttatva dscreta. Con estas nformacones, se puede pasar a resolver el problema. Prmeramente, crearemos la tabla de frecuencas para poder crear los gráfcos correspondentes: x n N f F ,15 0, ,21 0, ,21 0, ,27 0, ,16 1,00 Total a) Respecto a las representacones gráfcas, como se refere a datos dscretos, debemos utlzar un gráfco que puede ser el de sectores o de barras. En nngún caso utlzaremos el hstograma, ya que se usará para los datos contnuos. Se representa en el eje de abscsas las clases que, en este caso, es el número de hjos, y en el eje de ordenadas la frecuenca correspondente, que puede ser tanto la absoluta como la relatva (acumulada o no).

52 El resultado de representar la frecuenca absoluta en un dagrama de barras es el sguente: b) Para construr el polígono de frecuencas con las frecuencas acumuladas, se utlzarán tambén los datos de la tabla de frecuencas y podrán ser tanto la N como la F. Como se puede ver a contnuacón, lo que se utlza como resolucón es la frecuenca absoluta acumulada en el eje de ordenadas. Ejercco 3 Los sueldos, en mles de euros mensuales, de 40 empresaros del sector de la construccón del año 2007 son: 3,9 4,7 3,7 5,6 4,3 4,9 5,0 6,1 5,1 4,5 5,3 3,9 4,3 5,0 6,0 4,7 5,1 4,2 4,4 5,8 3,3 4,3 4,1 5,8 4,4 4,8 6,1 4,3 5,3 4,5 4,0 5,4 3,9 4,7 3,3 4,5 4,7 4,2 4,5 4,8

53 Se quere estudar s realmente son bastante altos y cuál es su dstrbucón. Para consegurlo: a) Representa gráfcamente la nformacón recogda. b) Crea la msma representacón en 4 clases para poder dferencar de forma más clara los tpos de sueldos. Solucón El prmer paso será saber qué tpo de varable es, ya que este elemento afectará a la eleccón tanto del tpo de tabla de frecuencas como del tpo de gráfco. Queda claro que es una varable numérca contnua. El sguente paso es agrupar los datos en ntervalos y crear la tabla de frecuencas agrupada: [L -1, L ) n N f F [3,25 3,75) 3 3 0,075 0,075 [3,75 4,25) ,2 0,275 [4,25 4,75) ,35 0,625 [4,75 5,25) ,15 0,775 [5,25 5,75) ,1 0,875 [5,75 6,25) ,125 1 N = 40 a) Un posble resultado, será el sguente hstograma:

54 b) Como se pdn cuatro clases, el hstograma pasará a ser el sguente: Ejercco 4 La recoplacón de 20 datos correspondentes al número de llamadas de teléfono regstradas en una empresa durante los días de preparacón de materal para una fera de muestras durante el período de 9 a 12 horas. 15,5, 10, 5, 5, 6, 5, 6, 5, 6, 7, 10, 10, 12, 11, 11, 12, 15, 12, 15 Se quere estudar s realmente hay varacón a lo largo de los días de las llamadas que se recben. Por este motvo se pde confecconar una tabla de frecuencas que recoja esta nformacón. Solucón Hay que recordar, sn embargo, que los dferentes valores que puede tomar la varable estadístca se denotan medante x. En este caso, ordenándolos de menor a mayor, x 1 = 5, x 2 = 6, x 3 = 7, x 4 =10, x 5 =11, x 5 =12, x 6 =15.

55 Se llama frecuenca absoluta del valor x al número de veces que aparece repetda la observacón en la recoplacón de datos. Se representa por n. La frecuenca absoluta del valor x 2 es 2 ( n 2 = 2), pues el dato 6 se repte dos veces en el conjunto de los datos de la muestra. Se llama frecuenca relatva del valor x al cocente entre su frecuenca absoluta x y el número total de datos n. Se representa por f y evdentemente, es la proporcón en que se encuentra el valor x dentro del conjunto de datos en tanto n por uno; f =. En el ejemplo f 2 = n 2 n n = 2 = 0,1. Por tanto, el 10 % de los datos son seses. 20 Es mportante remarcar que para calcular frecuencas acumuladas, a las que llamaremos F como frecuenca relatva acumulada y N como frecuenca absoluta acumulada, es necesaro que las varables a estudar sean ordenables, es decr, debe ser posble establecer una relacón de orden entre los valores de las varables. En otros casos, no tene nngún sentdo realzar dchos cálculos. Estas defncones permten resumr los datos. Sn embargo, la manera más adecuada para sntetzar los datos es medante lo que se denomna tabla de frecuencas. En ella aparecen dstrbudas los datos según las frecuencas. Al msmo tempo refleja todos los conceptos menconados con anterordad. Con todos estos datos, el resultado de la tabla será el sguente: x n N f F ,25 0, ,15 0, ,05 0, ,15 0, ,1 0, ,15 0, ,15 1 Total 20 1 S además, representamos la frecuenca absoluta, podemos ver que realmente no aumenta el número de llamadas, se mantene bastante estable.

56 Ejercco 5 Una empresa está hacendo el estudo del dnero que se gasta la gente para comprar una segunda casa como complemento de la prmera vvenda. Se anotan los datos de los euros y el número de famlas que han comprado este tpo de vvenda. A contnuacón se pueden ver los datos: Se pde: Euros Famlas > a) De qué tpo de varable es el objeto de estudo? b) Mostrar en forma de tabla de frecuencas el conjunto de los datos recogdos. c) Qué porcentaje de famlas se gasta más de euros? d) El 65 % de famlas que menos se gasta, qué cantdad de dnero como máxmo desembolsa?

57 Solucón a) La varable de estudo es la cantdad de euros que se gastan las famlas para comprar la segunda vvenda en euros. b) Para completar la tabla de frecuencas debemos conocer: El tpo de varable que se trabaja. En este caso es una varable cuanttatva contnua. Saber crear la tabla de datos contnuos. En este caso, los ntervalos ya los tenemos, solo tenemos que añadr la marca de clase. Completar la tabla con las dversas frecuencas n, f, N y F. La tabla que se nos pde será: Euros Marca Famlas (n ) f N F , , , , , , , , , , , , , , , ,985 > , c) Con la ayuda de la tabla, y con los datos de los ntervalos, podemos ver cuáles son los casos superores a En este caso, por ejemplo, podemos utlzar la frecuenca relatva acumulada: d) Se pde el percentl 65: = , que será un 4.88 %. Los percentles dvden la dstrbucón en 100 partes (99 dvsones). P1,..., P99, correspondentes a 1 %,..., 99 %. En este caso, el valor correspondente al percentl 30 tene un 30 % de los datos nferores o guales a él. En dstrbucones agrupadas es necesaro determnar el ntervalo [L -1, L ) en el que se encuentra el cuantl. Este ntervalo se determna sguendo exactamente los msmos procedmentos menconados en el apartado anteror; se realza el msmo que en el caso de datos no agrupados. La dferenca radca en que se obtendrá un ntervalo en lugar de un valor.

58 Una vez se tene el ntervalo [L -1, L ), el cuantl se calcula: Cuantl donde, L -1 Límte nferor N -1 Es la frecuenca absoluta acumulada de la clase «anteror» a la clase del cuartl n Es la frecuenca de la clase del cuartl Es la ampltud de la clase del cuartl a En este caso, el valor del percentl 65 será de euros. Ejercco 6 En el sguente hstograma se representa la dstrbucón del dnero que durante el últmo mes se han gastado los trabajadores de una empresa en detas: a) Determna, sabendo que hay 200 trabajadores. b) La tabla de frecuencas que muestra los datos que tenemos. c) La cantdad meda que se han gastado, la más frecuente y la cantdad que tenían como máxmo el 50 % de los trabajadores que menos cobraban. d) Calcula e nterpreta el rango de la dstrbucón, así como el rango ntercuartílco. e) Calcula el mínmo del 20 % de los empleados con mayor cantdad de detas. Qué porcentaje del total de la empresa corresponde a este grupo? f) El ntervalo centrado en la cantdad meda en que se encuentra el 75 % de los datos. Es, pues, el sueldo medo muy representatvo del conjunto de las detas?

59 g) En el mes sguente, la empresa decdó aumentar las detas de todos los trabajadores un 5 %. Además, les do una prma de 50 euros en concepto de productvdad. Calcula el salaro medo, el salaro más frecuente y el salaro que tenían como máxmo el 50 % de los trabajadores que menos cobran. h) De las detas de otra empresa, que pertenece al msmo sector, se sabe que la meda artmétca de sus trabajadores es de 120 euros, con una varanza de 2.5 euros. Qué empresa tene una deta meda más representatva? Razona la respuesta. Solucón a) Tabla de frecuencas de datos agrupados a partr de un gráfco: [L -1, L ) n N f F [70-90) ,08 0,08 [90-110) ,06 0,14 [ ) ,04 0,18 [ ) ,07 0,25 [ ) ,10 0,35 [ ) ,12 0,47 [ ) ,16 0,63 [ ) ,17 0,80 [ ) ,20 1 N = b) X = 182 / Mo = 240 / Me = Todos los estadístcos en euros. c) Rango = = 180. Para calcular el rango ntercuartílco, hay que calcular prmero el prmer y tercer cuartl: C3 = 224,11 C1 = 150 R = 74,11 d) El sueldo mínmo es el P 80 = 230. La proporcón = 26,373 %. e) El ntervalo se encuentra aplcando el teorema de Thebyshev: [ , ]; pues la desvacón típca es de euros. f ) X = 241 / Mo = 302 / Me = Todos los estadístcos en euros. g) Hay que calcular el coefcente de varacón de ambas observacones. En la prmera empresa, el coefcente de varacón es: CV = S X = 50,319 2,5 182 = 0,276 y en la segundo caso: CV = 120 = 0,013. Por tanto, la meda artmétca de los sueldos de la segunda empresa es más representatvo que la de la prmera.

60 Ejercco 7 Se quere lanzar al mercado un nuevo producto cerámco y la empresa que lo crea estuda el tempo de publcdad, en segundos, que otras empresas han utlzado para promoconar un producto smlar. A contnuacón se puede ver para cada empresa la duracón y los anuncos realzados: Empresa 1 Duracón Número de anuncos Empresa 2 Duracón Número de anuncos Empresa 3 Duracón Número de anuncos

61 Empresa 4 Duracón Número de anuncos Para realzar el estudo, calcular: a) La duracón meda de cada empresa. b) Tenen todas las dstrbucones la msma forma? Comenta el resultado. Solucón a) La meda artmétca para cada caso será: Empresa 1: segundos. Empresa 2: segundos. Empresa 3: segundos. Empresa 4: segundos. b) Representamos en forma de dagrama de barras o hstograma de barras para ver la forma de la dstrbucón: E mpr es a

62 E mpr e s a Empresa E mpr es a Además, podemos calcular los valores de los coefcentes de asmetría y curtoss en cada caso, para ver claramente que: La empresa 1 es asmétrca a derechas.

63 La empresa 2 es leptocúrtca. La empresa 3 es platcúrtca. La empresa 4 es asmétrca a zquerdas. Asmetría (g1) 0,0506 1,4646 0,0000-0,1231 Curtoss (g2) -0,1875 2,4434-1,2000-2,7111 Ejercco 8 Dos compañías de venta de coches tenen maneras dferentes de pagar a sus trabajadores. La compañía A lo hace medante un sueldo fjo mensual y la compañía B medante un porcentaje sobre las ventas efectuadas. La dstrbucón de los salaros por categorías es la sguente: compaña a compaña B Sueldo (centenares de euro) Número de trabajadores Sueldo (centenares de euro) Número de trabajadores a) Basándose úncamente en las observacones, en qué compañía el sueldo medo fluctúa menos o tene los repartos más equtatvos? Justfca el resultado medante el análss estadístco del reparto. b) En cuál de las dos compañías el sueldo es más homogéneo o concentrado? Se debe obtener el resultado tambén de forma gráfca. Solucón a) El sueldo medo de la compañía A es de 130 y el coefcente de varacón es de El sueldo medo de la compañía B es de 10 y el coefcente de varacón

64 es de Es decr, en la compañía A el sueldo medo es el menos representatvo de los datos. b) Las dos dstrbucones de datos tenen el msmo índce de Gn: Por tanto, en las dos hay gual concentracón. A contnuacón se puede ver la representacón de la curva de Lorenz para los dos casos: Como se puede observar en el gráfco, las dos curvas de Lorenz se cruzan, por lo que, pese a tener dstrbucones dferentes la concentracón es la msma. Ejercco 9 La dstrbucón de edades del Censo Electoral de Resdentes a 1 de enero de 1999 para las comundades autónomas de Aragón y Canaras, en tantos por cento, es la sguente: Edades Aragón Canaras ,55 4, ,56 29, ,63 35, ,14 21, ,12 8,48

65 a) Representa sobre los msmos ejes de coordenadas los datos de la dstrbucón de la edad para las dos comundades autónomas (emplea dstnto trazo o dstntos colores). Qué conclusones obtenes a la vsta del gráfco? b) Calcula la edad meda para las dos comundades. Compáralas. Qué ndcan estos resultados? c) En qué comundad las observacones son más dspersas? d) S los datos de edades fueron: Aragón: 10, 10, 10, 10, 20, 30, 40, 30, 40, 50, 60, 40, 40, 40, 60, 70, 80, 70, 80, 90, 70, 50, 40, 90. Canaras: 20, 30, 40, 40, 140, 50, 40, 30, 40, 30, 50, 60, 40, 30, 30, 40, 30, 40, 30, 40, 30, 50, 60, 70. Obten un gráfco que muestre la dspersón de los datos. Solucón a) Se representan los dos conjuntos de datos tenendo en cuenta que los ntervalos no tenen la msma ampltud y, por tanto, hay que calcular las densdades. Podemos ver la dferenca representándolos, tal y como aparecen los datos y la densdad, que será lo correcto: