ESTADÍSTICA 4º ESO A) INICIACIÓN A LA ESTADÍSTICA 1.- QUÉ ES LA ESTADÍSTICA?

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1 ESTADÍSTICA 4º ESO A) INICIACIÓN A LA ESTADÍSTICA 1.- QUÉ ES LA ESTADÍSTICA? La Estadístca es la rama de las Matemátcas que se ocupa del estudo de una determnada característca en una poblacón, recogendo los datos, organzándolos en tablas, representándolos gráfcamente y analzándolos para sacar conclusones de dcha poblacón. Hoy día la Estadístca ha adqurdo gran mportanca como herramenta para el desarrollo de multtud de dscplnas centífcas; además el alumnado que sga dstntos estudos unverstaros, en un futuro próxmo, va a encontrarse con asgnaturas relaconadas con la Estadístca. Por otra parte, su utlzacón en la vda cotdana se ha popularzado tanto que consttuye un vehículo de comuncacón usual y cas mprescndble. Por ello, se quere presentar al alumnado la Estadístca como un elemento auxlar básco para la nvestgacón expermental de cara a una posble especalzacón unverstara (Económcas, Bología, Socología, Ingenerías, Medcna,...) o profesonal y a la vez aportar las claves necesaras para comprender los elementos esencales de una nvestgacón estadístca, prevenr ante posbles abusos de la estadístca (presentes a veces en los medos de comuncacón) y comprender mejor la naturaleza y el sgnfcado de los dferentes ndcadores socales que ayuden a formar una vsón fundamentada de la panorámca socal en un determnado momento. Con esta matera se aborda el estudo de la Estadístca como saber estratégco, como herramenta procedmental para la nvestgacón centífca y tecnológca, y como campo de conocmento mprescndble para la descrpcón de fenómenos socales y culturales. Puede tomar dstntos aspectos según el tneraro de las Modaldades de Bachllerato a las que se oferta. Por ejemplo en el tneraro de Cencas puede ayudar en I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 1

2 el perfecconamento de métodos de nvestgacón expermental; en Tecnología ndustral, a resolver problemas de control de caldad; en Cencas de la Salud, contrbur al conocmento de nvestgacones médcas y farmacológcas; en Cencas Socales, profundzar en el estudo sobre la poblacón e ndcadores socales. Las técncas estadístcas se aplcan de manera ampla en mercadotecna, contabldad, control de caldad y en otras actvdades; estudos de consumdores; análss de resultados en deportes; admnstradores de nsttucones; en la educacón; organsmos polítcos; médcos; y por otras personas que ntervenen en la toma de decsones. 2.- MÉTODO ESTADÍSTICO El conjunto de los métodos que se utlzan para medr las característcas de la nformacón, para resumr los valores ndvduales, y para analzar los datos a fn de extraerles el máxmo de nformacón, es lo que se llama métodos estadístcos. Los métodos de análss para la nformacón cuanttatva se pueden dvdr en los sguentes ses pasos: 1. Defncón del problema. 2. Recoplacón de la nformacón exstente. 3. Obtencón de nformacón orgnal. 4. Clasfcacón. 5. Presentacón. 6. Análss. Según se haga el estudo sobre todos los elementos de la poblacón o sobre un grupo de ella, vamos a dferencar dos tpos de Estadístca: Estadístca descrptva. Realza el estudo sobre la poblacón completa, observando una característca de la msma y calculando unos parámetros que den nformacón global de toda la poblacón. Estadístca nferencal. Realza el estudo descrptvo sobre un subconjunto de la poblacón llamado muestra y, posterormente, extende los resultados obtendos a toda la poblacón. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 2

3 3.- LENGUAJE ESTADÍSTICO. Conceptos báscos. Es obvo que todo estudo estadístco ha de estar referdo a un conjunto o coleccón de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denomnaremos poblacón o unverso. Las personas o cosas que forman parte de la poblacón se denomnan elementos o ndvduos. En sentdo estadístco un elemento puede ser algo con exstenca real, como un automóvl o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un ntervalo de tempo. Carácter: Es el aspecto, fenómeno, rasgo o cualdad que se va estudar en cada uno de los ndvduos de la poblacón. Así por ejemplo s consderamos como elemento a una persona, podemos dstngur en ella los sguentes caracteres: sexo, edad, nvel de estudos, profesón, peso, altura, color de pelo, etc. Por tanto de cada elemento de la poblacón podremos estudar uno o más aspectos cualdades o caracteres. La poblacón puede ser según su tamaño de dos tpos: Poblacón fnta: cuando el número de elementos que la forman es fnto, por ejemplo el número de alumnos de un centro de enseñanza, o grupo clase. Poblacón nfnta: cuando el número de elementos que la forman es nfnto, o tan grande que pudesen consderarse nfntos. Por ejemplo, s se realzase un estudo sobre los productos que hay en el mercado, hay tantos y de tantas caldades que esta poblacón podría consderarse nfnta. Ahora ben, normalmente en un estudo estadístco, no se puede trabajar con todos los elementos de la poblacón sno que se realza sobre un subconjunto de la msma. Este subconjunto es la muestra. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 3

4 Los caracteres de un elemento pueden ser de muy dversos tpos, por lo que los podemos clasfcar en dos grandes clases: Varables Cualtatvas (o atrbutos): s las dstntas modaldades de los ndvduos no son medbles numércamente, como la profesón de una persona. Varables cuanttatvas: son las que se descrben por medo de números, como por ejemplo el peso, altura, edad, número de suspensos A su vez este tpo de varables se puede dvdr en dos subclases: Cuanttatvas dscretas. Aquellas a las que se les puede asocar un número entero, es decr, aquellas que por su naturaleza no admten un fracconamento de la undad, por ejemplo número de hermanos, págnas de un lbro, etc. Cuanttatvas contnuas: Aquellas que no se pueden expresar medante un número entero, es decr, aquellas que por su naturaleza admten que entre dos valores cualesquera la varable pueda tomar cualquer valor ntermedo, por ejemplo peso, tempo. etc. No obstante en muchos casos el tratamento estadístco hace que a varables dscretas las trabajemos como s fuesen contnuas y vceversa. B) TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS 1.- RECUENTO Y AGRUPAMIENTO DE DATOS Una vez que hemos observado y recogdos los datos, ben a través de encuestas, ben con bases de datos ya almacenados, debemos resumr la nformacón de forma adecuada y útl para su posteror estudo. Atendendo al problema que estemos estudando, realzamos el agrupamento de datos de una forma u otra: - S la varable es cualtatva, observamos y contamos el número de ndvduos de la poblacón que presentan cada una de las dstntas modaldades del carácter. Ejemplo 1: Un estudo hecho en un conjunto de 24 personas con objeto de determnar su grupo sanguíneo ha conducdo a los sguentes resultados: I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 4

5 A, B, A, A, A, AB, O, A, A, A, O, B, O, A, B, O, B, O, A, B, B, A, A, O. Modaldad Recuento Frecuenca (nº de veces que aparece) A 11 B 6 O 6 AB 1 - S la varable es cuanttatva dscreta, observamos y contamos el número de ndvduos de la poblacón que presentan cada uno de los dstntos valores del carácter o varable, s son pocos valores. Ejemplo 2: Las calfcacones obtendas en un ejercco se recogen en el sguente gráfco: Calfcacones del ejercco Frecuencas Calfcacones Calfcacones Recuento Frecuenca I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 5

6 S la varable es cuanttatva contnua sus valores se dstrbuyen en ntervalos de clase. Al agrupar los valores de una varable en ntervalos de clase, se smplfca su descrpcón, pero se perde precsón: cuánto menor sea el número de ntervalos que se consderen, menor será la precsón, y vceversa. Ejemplo 3: S a un grupo de 30 personas le preguntamos el dnero que en ese momento llevan encma (en ), nos encontramos con los sguentes datos: Evdentemente, la varable estadístca tene un recorrdo (dferenca entre el mayor y menor valor) muy grande, 498 euros, por lo que s queremos hacer una tabla con estos datos tendremos que tomar ntervalos. Para decdr la ampltud de los ntervalos, necestaremos decdr cuántos ntervalos queremos. Normalmente se suele trabajar con no más de 10 o 12 ntervalos. Ampltud =498/10 = 49,8, por lo que tomaremos ntervalos de ampltud 50 I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 6

7 Procuraremos que en la decsón de ntervalos los valores observados no concdan con los valores de los extremos del ntervalo y s esto ocurre que no sea en más de un 5% del total de observacones. [ L -1, L ) Recuento Frecuenca [ 0,50) 16 [ 50, 100) 6 [ 100,150) 3 [ 150, 200) 2 [ 200, 250) 1 [ 250, 300) 1 [ 300, 350) 0 [ 350, 400) 0 [ 400, 450) 0 [ 450, 500) 0 [ 500,550) TABLAS ESTADÍSTICAS Una vez realzado el recuento de datos nteresa recoger la nformacón de la muestra resumda en una tabla en la que a cada valor de la varable se le asocan determnados números que representan el número de veces que ha aparecdo, su proporcón con respecto a otros valores de la varable, etc. Estos números se denomnan frecuencas: Así tenemos los sguentes tpos de frecuenca: Frecuenca absoluta: La frecuenca absoluta de una varable estadístca es el número de veces que aparece en la muestra dcho valor de la varable, la representaremos por n Frecuenca relatva: La frecuenca absoluta, es una medda que está nfluda por el tamaño de la muestra, al aumentar el tamaño de la muestra aumentará tambén el tamaño de la frecuenca absoluta. Esto hace que no sea una medda útl para poder I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 7

8 comparar. Para esto es necesaro ntroducr el concepto de frecuenca relatva, que es el cocente entre la frecuenca absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por f n f = N es el tamaño de la muestra. N Porcentaje: La frecuenca relatva es un tanto por uno, sn embargo, hoy día es bastante frecuente hablar sempre en térmnos de tantos por cento o porcentajes, por lo que esta medda resulta de multplcar la frecuenca relatva por 100. La denotaremos por p. p f 100 = Frecuenca Absoluta Acumulada: Para poder calcular este tpo de frecuencas hay que tener en cuenta que la varable estadístca ha de ser cuanttatva. Es el número de veces que ha aparecdo en la muestra un valor menor o gual que el de la varable y lo representaremos por N. N = n k k = 1 Frecuenca Relatva Acumulada: Al gual que en el caso anteror la frecuenca relatva acumulada es la frecuenca absoluta acumulada dvddo por el tamaño de la muestra, y la denotaremos por F F = N N Ejemplo 4: Se le ha preguntado a 50 famlas el número de membros actvos (personas que trabajan); una vez realzado el recuento se ha confecconado la tabla de frecuencas así: Personas Actvas X Número Famlas n /50 32% 16 16/ /50 40% 36 36/ /50 18% 45 45/50 I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/ f p N F

9 4 5 5/50 10% 50 50/50 Total % Ejercco 1.- Realza las tablas de frecuencas de los ejemplos 1, 2 y 3. Ejercco 2.- Las notas obtendas por un curso en un control de Matemátcas han sdo: 2, 3, 4, 3, 5 5, 6, 5, 4, 3 2, 6, 7, 7, 5 8, 8, 9, 3, 4 4, 5, 6, 5, 4 Dstrbúyelas en una tabla de frecuencas. Ejercco 3.- Estudando el número de hjos de 30 famlas elegdas al azar en una cudad se han obtendo los sguentes datos: 1, 2, 3, 5, 6, 0, 7, 8, 4, 1, 3, 4, 5, 2, 6, 5, 2, 3, 4, 6, 2, 3, 4, 6, 4, 3, 6, 6, 3, 3 Dstrbuye los datos en una tabla de frecuencas. Ejercco 4.- Las puntuacones obtendas por 30 personas de un nsttuto en un test de ntelgenca han sdo: 100, 102, 98, 95, 92, 105, 121, 110, 84, 87, 94, 99, 98, 112, 123, 145, 116, 93, 89, 86, 97, 114, 127, 103, 104, 135, 128, 109, 110, 85 Agrupa los datos en ntervalos de clase y construye una tabla completa de frecuencas (con sus respectvas marcas de clase). 3.- TABLAS ESTADÍSTICAS CON LA HOJA DECÁLCULO (Varables dscretas) (Medante GeoGebra) Hemos anotado el número de hermanos y hermanas que tene el alumnado de dos clases de un Colego. Queremos construr la tabla de frecuencas En GeoGebra accedemos a Hoja de cálculo a través del menú dsponble en Vsta. Introducmos los 50 datos anterores. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/2016 9

10 Selecconamos ahora todas las celdas de la hoja y usamos la herramenta para crear una lsta de datos a la que llamaremos hermanos. Debemos tener actva la Vsta Algebraca para que aparezca dcha lsta en ella. en la forma Para obtener los valores de las frecuencas absolutas usamos la barra de entrada Escrbmos el nombre de nuestra lsta Cambamos el nombre de la lsta1 con el botón derecho y usando Renombra. GeoGebra presenta las frecuencas con datos ordenados de la lsta hermanos de menor a mayor, o sea, hay 6 alumnos con 0 hermanos, 16 con uno, etc. Ahora vamos a construr una tabla de frecuencas al estlo clásco pero ayudándonos con GeoGebra. Para ello podemos abrr una Nueva Ventana para tener una nueva Hoja de cálculo o segur trabajando en la ventana actual para tener los datos a la vsta. Haremos esto últmo. A partr de la celda A7 ponemos los datos (número de hermanos) y en la columna de la derecha, a partr de B7, las frecuencas absolutas (número alumnos con ese número de hermanos). En B12 escrbmos ="N = " Suma[B7:B11] para presentar la suma. (Atencón a las comllas y a los espacos. Todo I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

11 lo que va entre comllas es texto, lo demás son fórmulas). Tambén podríamos haber resaltado todos los datos de la columna y usar la herramenta de la Hoja de cálculo. A partr de la columna C7 ponemos las frecuencas relatvas escrbendo =B7 / 50 y arrastrando el botón de control de la celda para rellenar el resto de celdas. Por últmo para tener una columna de porcentajes escrbmos en la celda D7 la sguente expresón = C7 *100 " %" y volvemos a arrastrar su botón de control. Nos debe quedar algo como ésto: 4.- GRÁFICOS ESTADÍSTICOS Una vez recogda la nformacón en tablas, puede ser útl resumr dcha nformacón a través de gráfcos; debemos consegur que con un smple vstazo se nos presente la mayor nformacón posble. Según el carácter que estemos estudando (cualtatvo, cuanttatvo dscreto o cuanttatvo contnuo) utlzaremos dstntos tpos de gráfcos. A) Dagrama de barras o rectángulos. Consste en dos ejes perpendculares y una barra o rectángulo para cada valor de la varable. Normalmente, se suele colocar en el eje horzontal los valores de la varable (aunque tambén se puede hacer en el vertcal). El otro eje se gradúa según los valores de las frecuencas. La representacón gráfca consste en dbujar una barra o un rectángulo para cada uno de los valores de la varable de altura gual a su frecuenca. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

12 El dagrama de barras asocado al ejemplo 1 sería de este tpo: Frecuencas Grupo sanguíneo A B AB O Grupo sanguneo Ejercco 5.- Construye un dagrama de barras para los datos del ejercco 2. Ejercco 6.- Recupera la tabla del ejercco 4 e nserta un dagrama de barras. B) Hstograma de frecuencas. Es un caso partcular del dagrama anteror en el caso de varables contnuas. S los ntervalos son correlatvos, los rectángulos aparecen pegados en la representacón gráfca. En caso de que la ampltud de los ntervalos no se gual para todos, hay que hacer concdr el área del rectángulo con la frecuenca del ntervalo. El hstograma asocado al ejemplo 3 es: Euros Dnero que se lleva encma Intervalos (0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] (300,350] (350,400] (400,450] (450,500] Este gráfco se ha realzado con la hoja de cálculo Excel de Mcrosoft Offce. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

13 Ejercco 7.- Recupera la tabla del ejercco 5 e nserta un hstograma. C) Prámdes de poblacón. Cuando se realzan representacones correspondentes a edades de poblacón, cambamos el eje Y por el eje X para obtener las llamadas prámdes de poblacón, que no son más que 2 hstogramas a zquerda y derecha, para hombres y mujeres. Veamos un ejemplo: D) Polígono de frecuencas. Los polígonos de frecuencas son líneas polgonales que unen los vértces superores de las barras de un dagrama de barras o los puntos medos de las bases superores de los rectángulos de un hstograma, según sea la varable agrupada o no agrupada. El polígono de frecuenca asocado al ejemplo 2 es: Calfcacones del ejercco Frecuencas Calfcacones Un caso partcular de aplcacón de los hstogramas y los polígonos de frecuencas es el clmograma, que representa la marcha anual de las temperaturas y de las lluvas medas, sobre un msmo sstema de coordenadas. Veamos un ejemplo: I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

14 E) Dagrama de sectores. Es un gráfco estadístco formado por un círculo dvddo en sectores crculares cuyas ampltudes son proporconales a las frecuencas de los datos representados. El dagrama de sectores asocado al ejemplo 1 es: Grupos sanguíneos A B AB O F) Pctogramas. Son gráfcos con dbujos alusvos al carácter que se está estudando y cuyo tamaño es proporconal a la frecuenca que representan; dcha frecuenca se suele representar. En el sguente ejemplo hemos representado el número de partdos ganados, perddos o empatados de un equpo: I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

15 G) Cartogramas. Son gráfcos realzados sobre mapas, en los que aparecen ndcados sobre las dstntas zonas cantdades o colores de acuerdo con el carácter que representan. En el sguente cartograma observamos la urbanzacón en el mundo atendendo a la ndustralzacón Ejercco 8.- Los resultados fnales de una evaluacón de matemátcas han sdo: S, S, S. B, I S, I, B, N, N S, S, I, I, I S, S, S, Sb, N N, N, S, I, S S, B, B. a) De qué tpo es esta varable? b) Construye una tabla con las frecuencas absolutas, relatvas y porcentuales. c) Realza un dagrama de barras que descrba la dstrbucón anteror. d) Elabora un dagrama de sectores. e) Elabora un dagrama de sectores que muestre los alumnos que promoconan y los que no. Ejercco 9.- Los sguentes datos corresponden a la superfce, en metros cuadrados, de 26 vvendas elegdas al azar en una localdad: 124, , 67, 78 56, , 59 89, 105 4, 124, , 98 75, 89 35, , , 105, 197, , 67 45, 74 72, 58 9, 50 57, 73, a) Dstrbuye los datos en tres ntervalos que clasfquen las vvendas según su superfce entre 50 m 2 y 90 m 2, entre 90 m 2 y 120 m 2, y entre 120 m 2 y 200 m 2. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

16 b) Elabora una tabla de frecuencas y represéntala medante un hstograma y un dagrama de sectores. Ejercco 10.- El sguente dagrama de sectores muestra la procedenca de la mano de obra en la agrcultura española durante el año Con los datos del dagrama construye una tabla de frecuencas absolutas, relatvas y porcentuales y halla el valor de los ángulos de cada sector crcular. Mano de obra en la agrcultura Mano de española obra no famlar eventual; Mano de obra no famlar fja; Mano de obra famlar; Ejercco 11. Lanza un dado 40 veces y anota los resultados. Después haz un recuento y organza los datos en una hoja de cálculo y construye una tabla de frecuencas en la que aparezcan los valores de la varable, la frecuenca absoluta, la frecuenca relatva y los porcentajes correspondentes. Ejercco 12.- a) Localza en la págna del Insttuto de Estadístca y Cartografía de Andalucía el apartado Padrón Muncpal de Habtantes. Cfras Ofcales de Poblacón Muncpal y en él consulta Últmo año dsponble 2015 b) Abre el apartado 3.1. Poblacón por muncpo de resdenca y sexo. Guarda la tabla (expórtala a Excel o Calc ) de Andalucía; ábrela con la hoja de cálculo y dstrbuye todos los muncpos en ntervalos: (0,2000), (2000,5000), (5000,10000), (10000,20000), (20000, 50000), (50000, ) y en adelante. c) Confeccona un gráfco adecuado. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

17 C) MEDIDAS ESTADÍSTICAS Ante la gran cantdad de datos que se utlzan al realzar un estudo estadístco se hace necesaro resumr toda la nformacón en unos pocos datos. En esta undad estudaremos las meddas estadístcas que nos ayudan a emtr conclusones sobre las poblacones y a hacer comparacones entre ellas. 1.- MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN Son meddas estadístcas que buscan característcas del centro de la dstrbucón: meda, moda y medana. a) Meda: Se defne la meda artmétca de los valores x de una dstrbucón con frecuencas absolutas n como: x = n =1 sendo n la suma de las frecuencas absolutas. x n n Propedades: - Es el centro de gravedad de la dstrbucón, sendo únca en cada dstrbucón. - S aparecen valores extremos y poco sgnfcatvos, la meda puede no ser representatva. - No tene sentdo en el caso de un carácter cualtatvo n en el caso de datos agrupados con algún ntervalo no acotado. - S se suma una constante a todos los valores de una varable, su meda aumenta en dcha constante. - S se multplcan todos los valores de la varable por una constante, la meda queda multplcada por dcha constante. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

18 Ejemplo 1: La sguente tabla muestra las notas en un examen de 25 personas: Nota n Suma Su nota meda es: x = = = 5' Se podría confecconar la tabla así: Nota n x. n Suma S los datos de la varable se agrupan en ntervalos, la meda artmétca es la de las marcas de clase. Ejemplo 2: La sguente tabla muestra la talla en centímetros de 36 personas: Tallas x n x. n [150,170) [170,180) [180,200) Suma x = = 175 cm. 36 I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

19 Ejercco 1.- Se ha preguntado a un grupo de 70 alumnos de un IES sobre el número de zapato que calzan, obtenendo los resultados de la sguente tabla: Nº de calzado Nº de alumnos Cuál es el número medo de calzado? Ejercco 2.- El consumo de carburantes de una flota de camones a lo largo de un día está en la sguente tabla de frecuencas. Cuál es el consumo medo de carburante? Consumo Camones (0,10] 8 (10,20] 12 (20,30] 10 (30,40] 14 (40,50] 21 (50,60] 16 (60,70] 9 b) Moda: En el caso de varables no agrupadas, la moda es el valor de la varable que más se repte, esto es, el de mayor frecuenca absoluta. En el caso de varables agrupadas en ntervalos, s son de gual ampltud buscamos el ntervalo de mayor frecuenca (clase modal) La moda depende de la frecuenca y no de que la varable sea cualtatva o cuanttatva. Así, la moda de la varable cualtatva grupo sanguíneo del ejemplo 1 del tema 2 es el grupo A. Una varable puede tener más de una moda o nnguna. En el ejemplo 1 de la dstrbucón de las notas de 25 personas, las modas son 5 y 6; es bmodal. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

20 Ejercco 3.- Se ha preguntado a un grupo de 70 alumnos de un IES sobre el número de zapato que calzan, obtenendo los resultados de la sguente tabla: Nº de calzado Nº de alumnos Cuál es la moda? Ejercco 4.- El consumo de carburantes de una flota de camones a lo largo de un día está en la sguente tabla de frecuencas. Consumo Camones (0,10] 8 (10,20] 12 (20,30] 10 (30,40] 14 (40,50] 21 (50,60] 16 (60,70] 9 Cuál es el ntervalo modal? Aproxma la moda utlzando la fórmula. c) Medana: En el caso de una varable no agrupada, una vez ordenados los datos, la medana es el valor central s el nº de observacones es mpar y la meda de los valores centrales s es par. En el ejemplo 1 de la dstrbucón de notas de notas, como tenemos 25 elementos, al dvdrlos en dos partes guales nos queda como el valor central la poscón 13; por tanto la medana es M e =5, que es la nota que corresponde a ese lugar. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

21 Ejercco 5.- Se ha preguntado a un grupo de 70 alumnos de un IES sobre el número de zapato que calzan, obtenendo los resultados de la sguente tabla. Cuál es la medana? Nº de calzado Nº de alumnos Ejercco 6.- El consumo de carburantes de una flota de camones a lo largo de un día está en la sguente tabla de frecuencas. Consumo Camones (0,10] 8 (10,20] 12 (20,30] 10 (30,40] 14 (40,50] 21 (50,60] 16 (60,70] 9 Cuál es la clase medana? Aproxma la medana utlzando la fórmula. Interpretacón gráfca de los parámetros de centralzacón. A partr de los datos representados en los gráfcos se pueden calcular algunos parámetros de centralzacón. Por ejemplo, el sguente hstograma muestra las horas de estudo de 30 alumnos. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

22 [0,1) [1,2) [2,3) [3,4) La clase modal es [0,1), puesto que la mayor parte del alumnado estuda menos de 1 hora; la clase medana corresponde a los alumnos que estudan de 1 h a 2 h daras, y la meda artmétca es el promedo de las marcas de clase: 0' ' ' '5 5 x = = 1'67 horas 30 Ejercco 7.- Halla la meda, la moda y la medana de las edades representadas en el dagrama de barras sguente. 10 Frecuencas 5 0 Edades MEDIDAS DE POSICIÓN Son meddas estadístcas que ndcan, una vez ordenados, cuántos elementos quedan a la zquerda o a la derecha de uno dado: centles o percentles, cuartles y decles. a) Centles o percentles. Una vez ordenados los datos, los centles o percentles son los valores que dejan a su zquerda un porcentaje determnado de la poblacón. Se representan por C h o P h, donde h ndca el porcentaje. Por ejemplo, el C 32 deja a su zquerda al 32% de la poblacón. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

23 En el ejemplo 1 sobre las notas de 25 personas, s calculamos el C 45, tendremos que obtener el 45 % de 25 y saber así cuántos elementos hemos de dejar a la zquerda del que buscamos: 45 % de 25 es 11 25; hemos de dejar a la zquerda personas. Notas n N Observando las frecuencas absolutas acumuladas C 45 =5 puesto que las personas que ocupan el lugar 11 y 12 han obtendo un 5. b) Cuartles. Una vez ordenados los datos, son los valores de la varable que dvden a los datos en cuatro grupos guales. En cada uno de ellos hay un 25 % de ndvduos de la poblacón o muestra. Se representan por Q 1, Q 2 y Q 3. Evdentemente se tene: Q = Q C = M e 1 C 25 2 = 50 Q 3 = C75 Vamos a obtener el cuartl nferor del ejemplo1 y el cuartl superor del ejemplo 2. En el ejemplo 1, como hay 25 elementos, obtenemos que Q 1 corresponde al que ocupa el lugar 6 25 (25 % de 25). Según la columna de las frecuencas absolutas acumuladas, Q 1 =4. c) Decles. Una vez ordenados los datos, son los valores de la varable que dvden a los datos en dez grupos guales, de modo que entre dos decles hay un 10% de los ndvduos de la poblacón o muestra. Se representan por D 1, D 2, D 3,, D 10 D 1 =C 10, D 2 =C 20,, D 9 =C 90 Vamos a obtener el decl prmero del ejemplo1 y el decl tercero que concde con el percentl 30 del ejemplo 2. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

24 En el ejemplo 1, como hay 25 elementos, el decl prmero será la meda artmétca entre los elementos que ocupan los lugares 2 y 3 (10 % de 25 es 2 5). Ambos son 3, por tanto D 1 =3. Ejercco 8.- Se ha preguntado a un grupo de 70 alumnos de un IES sobre el número de zapato que calzan, obtenendo los resultados de la sguente tabla: Nº de calzado Nº de alumnos a) Añade la columna de frecuencas absolutas acumuladas y calcula sobre ella el centl 14, el cuartl prmero y el decl cuarto. b) Calcula el centl 14 y el cuartl prmero utlzando la hoja de cálculo y las funcones apropadas. Ejercco 9.- El consumo de carburantes de una flota de camones a lo largo de un día está en la sguente tabla de frecuencas. Consumo Camones (0,10] 8 (10,20] 12 (20,30] 10 (30,40] 14 (40,50] 21 (50,60] 16 (60,70] 9 Añade la columna de frecuencas absolutas acumuladas y calcula sobre ella el centl 45, el cuartl superor y el decl tercero. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

25 3.- MEDIDAS DE DISPERSIÓN Proporconan una dea sobre la separacón de los datos: rango o recorrdo, desvacón meda, varanza, desvacón típca y coefcente de varacón. a) Rango o recorrdo. S la varable es no agrupada, el rango es la dferenca entre los valores mayor y menor de la varable. S es agrupada, el rango es la dferenca entre el extremo superor del últmo ntervalo y el extremo nferor del prmer ntervalo. El rango sólo tene en cuenta los valores extremos, por lo que no nfluyen en él los demás elementos de la dstrbucón. En el ejemplo 1, el rango o recorrdo es: 8 3 = 5 En el ejemplo 2, como es agrupada será: = 50 b) Rango ntercuartílco. El rango ntercuartílco es la dferenca entre el tercer y el prmer cuartl: Q3 Q1. Nos da una franja en la que se encuentra el 50% de la poblacón. En el ejemplo 1, sabemos que Q 1 =4. S calculamos Q 3, como 75 % de 25 es 18 75, según la columna de frecuencas absolutas acumuladas tendremos que Q 3 = 6. Por tanto, el rango ntercuartílco es Q 3 - Q 1 = 6-4 =2. En el ejemplo 2, conocemos Q 3 =180; vamos a calcular Q 1, que estará en el ntervalo [150, 170) puesto que 25 % de 36 es 9, y según la tabla el valor que ocupa el valor 9 se encuentra en dcho ntervalo y aplcando la fórmula nos queda: Q 25 = Luego, Q 3 - Q 1 = = = 170 c) Desvacón meda. Es la meda artmétca de las desvacones de los valores de la varable respecto de la meda de la dstrbucón. Se llama desvacón respecto de la meda al valor absoluto de la dferenca de los valores de la varable y la meda. Desvacones respecto de la meda: x x Por tanto, la desvacón meda DM es la meda artmétca de los valores absolutos de las dferencas entre los dstntos datos y la meda artmétca. DM k x x n = = 1 n I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

26 El cálculo de la desvacón meda se suele hacer medante tablas, con columnas útles para dcho cálculo. Vamos a calcular la del ejemplo 1: x x n Notas n 3 3 7, , , , , ,2 SUMA 25 30,4 30'4 Por tanto: DM = = 1' Para calcular la desvacón meda en varables agrupadas tomamos la marca de clase y realzamos los cálculos de forma análoga. d) Varanza. Es la meda de los cuadrados de las desvacones respecto de la meda. Se representa por S 2 o σ 2. S k 2 = = 1 ( x x) n Propedades: - Tene la desventaja de que las desvacones grandes afectan más al resultado. - Las undades de la varanza no concden con los valores de la muestra, ya que estamos elevando las desvacones al cuadrado. - Sempre es postva, sendo nula cuanto todos los valores concden con la meda. El cálculo de la varanza se suele hacer medante tablas, con columnas útles para dcho cálculo. Vamos a calcular la del ejemplo 1: 2 n 2 ( x x) n Notas n , , , , , ,52 SUMA I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

27 2 52 Luego: S = = 2' Para calcular la varanza en varables agrupadas tomamos la marca de clase y realzamos los cálculos de forma análoga. e) Desvacón típca. Se defne la desvacón típca S como la raíz cuadrada postva de la varanza. Es la undad de dspersón más utlzada, sendo su undad la msma que la de los valores de la muestra En el ejemplo 1: S = 2 '08 = 1' 44. Relacón entre la meda artmétca y la desvacón típca. Las tallas x, e y, de dos grupos de alumnos A y B, venen dadas por las sguentes tablas: GRUPO A GRUPO B La talla meda es la msma en ambos x = y = = 175 cm El grado de dspersón de las tallas de cada grupo respecto de la talla meda vene dado por sus desvacones típcas, que son: S = 5' 48, S = 7' 75 x y Como la meda es la msma, y dado que S < S la dspersón de las tallas de los x y alumnos del grupo B es mayor que la de los del grupo A, tal como se apreca en los correspondentes gráfcos. 4 Grupo A 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, ,75 2,5 2,25 2 1,75 1,5 1,25 1 0,75 0,5 0, I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

28 f) Coefcente de varacón de Pearson. Las dspersones de aquellas dstrbucones que tenen medas artmétcas dferentes o cuyos datos venen dados en undades dferentes se pueden comparar medante el coefcente de varacón, que se defne como S el cocente entre la desvacón típca y la meda. CV =. x Ejemplo 3: Imagna, por ejemplo, que los alumnos de un curso tenen una talla meda x = 175 cm., con una desvacón típca S = 5 cm., y que la nota meda obtenda en x una asgnatura por estos alumnos es y = 5, con una desvacón típca S = 1' 25. Los coefcentes de varacón son: y S x CV ( x) = = = 0'03 x Sy CV ( y) = = 1'25 5 = 0'25 y 25 %. Es decr, el coefcente de varacón de las tallas es del 3 % y el de las notas, del Las tallas están, pues, menos dspersas que las notas. Ejercco 10.- Se ha preguntado a un grupo de 70 alumnos de un IES sobre el número de zapato que calzan, obtenendo los resultados de la sguente tabla: Nº de calzado Nº de alumnos a) Halla el rango o recorrdo, el rango ntercuartílco, la desvacón meda, la varanza, la desvacón típca y el coefcente de varacón. b) Comprueba los resultados utlzando las funcones apropadas de la hoja de cálculo. I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

29 Ejercco 11- El consumo de carburantes de una flota de camones a lo largo de un día está en la sguente tabla de frecuencas. Consumo Camones (0,10] 8 (10,20] 12 (20,30] 10 (30,40] 14 (40,50] 21 (50,60] 16 (60,70] 9 a) Halla el rango o recorrdo, el rango ntercuartílco, la desvacón meda, la varanza, la desvacón típca y el coefcente de varacón. b) Comprueba los resultados utlzando las funcones apropadas de la hoja de cálculo. x = 5'4 ; 3 1 S 1 = 3' ; x = 5' 2 4 ; S 5 2 = 2'. Avergua el gráfco correspondente a cada par ( x, S), explcando el razonamento segudo. Ejercco 12.- Los jóvenes, a los 17 años, tenen un peso medo de 60 8 Kg. y una desvacón de 6 69 Kg. Los nños a los 10 años tenen un peso medo de 30 5 Kg. y una desvacón de 5 37 Kg. Se puede afrmar que el peso es más varable a los 10 años que a los 17? Por qué? I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/

30 Ejercco 13.- La sguente tabla muestra las calfcacones obtendas por Paco y Eva en dez controles de matemátcas: Paco Eva Halla sus medas y desvacones típcas. Quén es más regular? I. E. S. LLANES Estadístca.. Curso 2015/