CAPITULO 4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

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1 CAPITULO 4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL La estadístca descrptva en su uncón básca de reducr datos, propone una sere de ndcadores que permten tener una percepcón rápda de lo que ocurre en un enómeno. La prmera gama de ndcadores corresponde a las Meddas de Tendenca Central. Exsten varos procedmentos para expresar matemátcamente las meddas de tendenca central, de los cuales, los más conocdos son: la meda artmétca, la moda y la medana. 60

2 CAPITULO 4: MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Meddas de tendenca central: Son ndcadores estadístcos que muestran haca que valor (o valores) se agrupan los datos. Esta prmera parte la dedcaremos a analzar tres meddas de tendenca central: La meda artmétca La moda La medana En el suplemento de este captulo ncluremos otras meddas de tendenca central. 4.1 LA MEDIA ARITMÉTICA Equvale al cálculo del promedo smple de un conjunto de datos. Para derencar datos muestrales de datos poblaconales, la meda artmétca se representa con un símbolo para cada uno de ellos: s trabajamos con la poblacón, este ndcador será µ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será. Meda artmétca (µ o ): Es el valor resultante que se obtene al dvdr la sumatora de un conjunto de datos sobre el número total de datos. Solo es aplcable para el tratamento de datos cuanttatvos. Hay que entender que exsten dos ormas dstntas de trabajar con los datos tanto poblaconales como muestrales: sn agruparlos o agrupándolos en tablas de recuencas. Esta aprecacón nos sugere dos ormas de representar la meda artmétca Meda artmétca para datos no agrupados Podemos derencar la órmula del promedo smple para datos poblacones y muestrales: µ N = = 1 N Poblacón n = = 1 n Muestra 61

3 Observe que la varacón de ambas órmulas radca en el tamaño de los datos (N dentca el tamaño de la poblacón, mentras que n el de la muestra) Ejemplo: la meda artmétca para datos no agrupados El proesor de la matera de estadístca desea conocer el promedo de las notas nales de los 10 alumnos de la clase. Las notas de los alumnos son: 3,2 3,1 2,4 4,0 3,5 3,0 3,5 3,8 4,2 4,0 Cuál es el promedo de notas de los alumnos de la clase? SOLUCIÓN Aplcando la órmula para datos no agrupados tenemos: µ = 3,2 + 3,1 + 2,4 + 4,0 + 3,5 + 3,0 + 3,5 + 3,8+,4,2 + 4,0 10 µ = 3,47 = 34,7 10 Cabe anotar que en el ejemplo estamos hablando de una poblacón correspondente a todos los alumnos de la clase (10 alumnos en total). El promedo de las notas es de 3,47. Modquemos la prmera nota por 0,0 y calculemos nuevamente la meda artmétca. µ = 0,0 + 3,1 + 2,4 + 4,0 + 3,5 + 3,0 + 3,5 + 3,8+,4,2 + 4,0 10 µ = 3,15 = 31,5 10 En este caso la meda pasa de 3,47 a 3,15. Esta varacón notora se debó a que la meda artmétca es sensble a los valores extremos cuando tratamos con pocos datos. El 0,0 es una nota atípca comparada con las demás, que están ubcadas entre 3,0 y 4, Meda artmétca para datos agrupados En el captulo 2 explcábamos dos tpos de tablas de recuencas (A y B). Cuando los datos se agrupan en tablas tpo A, la meda artmétca es gual a la dvsón de la sumatora del producto de las clases por la recuenca sobre el número de datos. µ Nc = = 1 N Nc = = 1 n 62

4 La sumatora parte desde el prmer ntervalo de clase ( = 1) hasta el últmo (Nc), sendo la clase del ntervalo. Cuando los datos se agrupan en tablas de recuencas tpo B, el cálculo de la meda varía un poco, ya que exste una pérdda de normacón en el momento en que se trabaja con ntervalos de recuenca y no con los datos drectamente (los datos se agrupan por ntervalo, desconocendo el valor exacto de cada uno de ellos). µ Nc = = 1 Mc N Nc = = 1 Mc n Poblacón Muestra Las marcas de clases (Mc) cumple la uncón de representar los ntervalos de clase Ejemplo: meda artmétca para datos agrupados en tablas tpo A La sguente tabla de recuenca muestra el número de preguntas de 81 encuestados sobre un Test que consta de solo ses preguntas. SOLUCIÓN Preguntas Buenas Personas

5 PASO 1: Realzar la sumatora del producto resultante de las clases por su recuenca absoluta. Para eectos del cálculo de la meda, deberíamos sumar 15 veces el valor 1, 13 veces el valor 2, 8 veces el valor 3, hasta llegar a la últma clase: Nc = 1 = 1x15 + 2x13 + 3x8 + 4x19 + 5x21 + 6x5 = 276 PASO 2: Dvdr la sumatora sobre el número total de datos. = Nc = 1 n = = 3,41 En promedo los encuestados contestaron aproxmadamente 3 (el valor exacto es 3,41) preguntas buenas Ejemplo: meda artmétca para datos agrupados en tablas tpo B Calcular la meda para los datos dstrbudos en la sguente tabla de recuenca: SOLUCIÓN N Lm Ls Mc 1 40,0 48,1 3 44,1 2 48,1 56,1 8 52,1 3 56,1 64, ,1 4 64,1 72, ,1 5 72,1 80, ,1 6 80,1 88, ,1 7 88,1 96, ,1 8 96,1 104, ,1 Las marcas de clase representan a los ntervalos de clase, por ejemplo, suponemos que la marca de clase para el prmer ntervalo (44,1) se repte 3 veces, al desconocer los 3 valores exactos que están dentro de dcho ntervalo. PASO 1: Realzar la sumatora del producto resultante entre las marcas de clase por su recuenca absoluta. 64

6 Nc Mc = 44,1x3 + 52,1x8 + 60,1x ,1x ,1x ,1x ,1x14 100,1x1 = 1 + Nc = 1 Mc = 7890,6 PASO 2: Dvdr la sumatora sobre el número total de datos. = Nc = 1 Mc n = 7890,6 108 = 73, Ejemplo: comparatva entre el cálculo de la meda artmétca para datos no agrupados y datos agrupados en tablas tpo B Calcular la meda artmétca a los sguentes datos sn agrupar y agrupándolos en una tabla de recuenca tpo B (suponga que los datos son poblaconales): SOLUCIÓN 47,8 23,1 12,4 35,4 44,0 26,2 18,6 11,0 32,0 12,4 49,4 41,4 18,6 21,0 26,3 11,1 21,4 30,6 12,8 43,1 18,1 38,1 16,8 12,4 33,6 40,9 15,2 33,2 48,2 37,0 Calculemos la meda para los datos sn agrupar: µ = 47,8 + 23,1 + 12,4 + 35,4 + 44,0 + 26, ,0 30 µ = 27,74 = 832,1 30 Luego construyamos la tabla tpo B y calculemos su meda artmétca con el n de comparar ambos resultados: 65

7 N Lm Ls Mc 1 11,00 17, , ,41 23, , ,81 30, , ,21 36, , ,61 43, , ,01 49, ,21 Total 30 PASO 1: Realzar la sumatora del producto resultante entre las marcas de clase por su recuenca absoluta. Nc = 1 Mc = 14,21x8 + 20,61x6 + 27,01x2 + 33,41x5 + 39,81x4 + 46,21x5 = 848,70 PASO 2: Dvdr la sumatora sobre el número total de datos. = Nc = 1 Mc n = 848,70 30 = 28,29 Podemos ver claramente una derenca entre ambas medas: 27,74 para los datos no agrupados y 28,29 para los datos agrupados. Esta derenca radca que en la tabla tpo B exste una perdda de normacón, al agrupar los datos en los ntervalos de clase. El valor de la meda exacta es el calculado para los datos no agrupados, pero dada la proxmdad de la meda para los datos agrupados, se tomar esta últma como certa Cálculo de la meda artmétca en Excel Excel presenta la uncón PROMEDIO para el cálculo de la meda artmétca: PROMEDIO: Permte calcular la meda artmétca (o promedo smple) de un conjunto de datos. Formato: PROMEDIO(número1;número2; ) Categoría: Estadístcas 66

8 En una hoja nueva, cope los sguentes datos a partr de la celda B2: Ubquémonos en la celda B9 y actvemos la venta de uncones, selecconando la uncón PROMEDIO: En la prmera caslla (número 1), selecconamos el conjunto de datos: 67

9 Pulsemos en el botón Aceptar para mostrar el resultado en la celda B9. =PROMEDIO(B2:D7) El procedmento varía cuando tenemos tablas de recuenca. Cope la sguente tabla en una hoja nueva a partr de la celda B2: 68

10 Recordemos que el prmer paso es calcular la sumatora del producto entre clase y recuenca, empleando la sguente uncón: SUMAPRODUCTO: Calcula la suma de los productos entre datos. Formato: SUMAPRODUCTO(matrz1;matrz2;matrz3; ) Categoría: Matemátcas y trgonométrcas Actvemos esta uncón desde la celda B11, consderando al campo matrz 1 como las clases y matrz 2 como las recuencas. Al pulsar en Aceptar, tendremos el valor de la sumatora. =SUMAPRODUCTO(B3:B8;C3:C8) 69

11 Necestamos ahora dvdr el resultado de la sumatora sobre los 116 datos ncludos en el ejercco. Modquemos la órmula actual y agreguemos: Donde C9 es la celda que muestra el total de los datos. El resultado nal es 3, Ventajas Es la medda de tendenca central más usada. El promedo es estable en el muestreo. Es sensble a cualquer cambo en los datos (puede ser usado como un detector de varacones en los datos). Se emplea a menudo en cálculos estadístcos posterores. Presenta rgor matemátco. En la gráca de recuenca representa el centro de gravedad Desventajas Es sensble a los valores extremos. No es recomendable emplearla en dstrbucones muy asmétrcas. S se emplean varables dscretas o cuas-cualtatvas, la meda artmétca puede no pertenecer al conjunto de valores de la varable. 70

12 4.2 LA MEDIANA Medana (Me): Valor que dvde una sere de datos en dos partes guales. La cantdad de datos que queda por debajo y por arrba de la medana son guales. La dencón de geométrca se reere al punto que dvde en dos partes a un segmento. Por ejemplo, la medana del segmento AB es el punto C. A C B Exsten entonces dos segmentos guales: AC = CB Ejemplo: medana para datos no agrupados (cantdad de datos mpar) Encontrar la medana para los sguentes datos: SOLUCIÓN PASO 1: Ordenar los datos PASO 2: Localzar el valor que dvde en dos parte guales el número de datos La medana es 3, dejando 5 datos a cada lado. Me = 3 71

13 4.2.2 Ejemplo: medana para datos no agrupados (cantdad de datos par) Modquemos el ejemplo anteror, elmnando el últmo dato. Encontrar la medana: SOLUCIÓN PASO 1: Ordenar los datos PASO 2: Localzar el valor que dvde en dos parte guales el número de datos El punto medo se encuentra entre dos valores: 2 y 3, por tanto, el valor de la medana será 2,5. Me = 2, Ejemplo: medana para datos agrupados en tablas tpo A Calcular la medana a partr de la sguente tabla de recuenca: SOLUCIÓN N Clase F h H ,4% 10,4% ,6% 25,0% ,8% 45,8% ,1% 72,9% ,8% 93,8% ,2% 97,9% ,1% 100,0% Total ,0% PASO 1: Localzar entre que clases se encuentra la medana. Observe que la medana se encuentra entre las clases 3 y 4, donde podremos encontrar una recuenca relatva acumulada del 50%. 72

14 N Clase F h H ,4% 10,4% ,6% 25,0% ,8% 45,8% ,1% 72,9% ,8% 93,8% Entre 47 las clases 4,2% 3 y 497,9% se encuentra 48 el 2,1% punto que 100,0% Total 48 dvde en dos 100,0% partes guales la cantdad de datos. PASO 2: Interpolar los datos para encontrar la medana. En el paso anteror habíamos dcho que el punto que dvde el 2 parte guales se encuentra entre 30 y 40. Clase H 40 72,9% 30 45,8% Derenca 10 27,1% La derenca entre las recuencas relatvas nos ndca que exste entre las clases 27,1% de los datos. Para llegar al 50% de los datos, debemos ncrementar en 4,2% datos partendo desde la clase ,0% = 45,8% + 4,2% Con una regla de tres senclla hallaremos el ncremento en undades dada en la clase para ese 4,2% ,1% Incremento 4,2% Incremento = 4,2% x10 27,1% = 1,55 Para llegar al 50% de los datos, a la clase 30 debemos ncrementarle 1,55. Me = 31, Ejemplo: medana para datos agrupados en tablas tpo B 73

15 Determnar la medana de la sguente tabla de recuenca: N Lm Ls F h H Mc 1 21,20 29, ,50% 12,50% 25, ,21 37, ,00% 17,50% 33, ,21 45, ,00% 42,50% 41, ,21 53, ,50% 60,00% 49, ,21 61, ,00% 90,00% 57, ,21 69, ,50% 97,50% 65, ,21 77, ,50% 100,00% 73,21 Total ,00% SOLUCIÓN PASO 1: Localzar entre que ntervalos de clase se encuentra la medana. Podemos observar que el punto que dvde el 50% de los datos esta entre el ntervalo de clase 3 y 5, para ser más precso, entre los valores 45,21 y 53,21 (hasta 45,21 hay agrupados el 42,50% de los datos, y hasta 53,21 se resume el 60,00% de los datos). N Lm Ls F h H Mc 1 21,20 29, ,50% 12,50% 25, ,21 37, ,00% 17,50% 33, ,21 45, ,00% 42,50% 41, ,21 53, ,50% 60,00% 49, ,21 61, ,00% 90,00% 57, ,21 69, ,50% 97,50% 65,21 En el ntervalo 4 se 7 69,21 77, ,50% 100,00% 73,21 encuentra el punto que Total dvde 40 en dos partes 100,00% guales el total de los datos. PASO 2: Interpolar los datos para encontrar la medana. En resumen tenemos que: Límte H Superor 53,21 (Ls 4 ) 60,00% (H 4 ) 45,21 (Ls 3 ) 42,50% (H 3 ) Derenca 8, % Entre los dos límtes superores abarcan un total de 17,50% de los datos. Se debe aumentar en 7,50% los datos desde límte superor del tercer ntervalo de clase. 74

16 8,00 17,50% Incremento 7,50% Incremento = 7,50% x8,00 17,50% = 3,43 Para llegar al 50% de los datos, 45,21 se aumenta en 3,43 undades. Me = 45,21+ 3,43 Me = 48, La órmula para calcular la medana De este últmo ejemplo podemos determnar la órmula para calcular la medana. Observe que la medana parte del límte superor del ntervalo de clase anteror, la cual smbolzaremos por Ls -1, sendo gual a 4 (cuarto ntervalo de clase). A este valor se le suma el ncremento para llegar al 50% de los datos: Me = Ls 1 + Incremento El ncremento resulta de multplcar el ncremento para llevar la recuenca al 50% (50% - H -1 ) por el ancho de la clase (A) sobre la derenca porcentual entre los límtes superores (H H -1 ): Me = Ls 1 (50% H + A. ( H H Smplcando aún más la órmula, recordemos que H H -1 es lo msmo la recuenca relatva del ntervalo de clase (h ). Me = Ls 1 (50% H + A. h Para expresar la órmula en recuencas absolutas tenemos que: Me = Ls 1 n ( F + A Ubcando la medana en el gráco de ojva ) 1 ) ) ) 75

17 En un gráco de ojva, la medana corresponde a la proyeccón del punto en eje horzontal que equvale al 50% de los datos. En la el gráco de ojva del ejemplo 3.6.1, la medana estaría ubcada en el sexto ntervalo, entre 350 y 400: H 100.0% Dvsón de la cantdad de datos en dos partes guales 75.0% 50.0% 25.0% Ls Medana Calculo de la medana en Excel Excel posee la uncón MEDIANA para el cálculo de la medana en datos no agrupados. MEDIANA: Calcula la medana para una sere de datos. Formato: MEDIANA(número1;número2; ) Categoría: Estadístcas Cope los datos dados en el ejemplo a partr de la celda B2: Actve la uncón MEDIANA desde la celda B4 y en el campo número1 seleccones los datos del ejercco. 76

18 La medana en este caso es 3: =MEDIANA(B2:L2) Ventajas Es estable a los valores extremos. Es recomendable para dstrbucones muy asmétrcas Desventajas No presenta todo el rgor matemátco. Se emplea solo en varables cuanttatvas. 77

19 4.3 LA MODA Moda (Mo): ndca el valor que más se repte, o la clase que posee mayor recuenca. En el caso de que dos valores presenten la msma recuenca, decmos que exste un conjunto de datos bmodal. Para más de dos modas hablaremos de un conjunto de datos multmodal Ejemplo: moda para datos no agrupados Los sguentes datos provenen del resultado de entrevstar a 30 personas sobre la marca de gaseosa que más consume a la semana: SOLUCIÓN Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 2 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 1 Marca 3 Marca 1 Marca 2 Marca 3 Marca 1 Marca 3 Marca 3 Marca 2 Marca 3 PASO 1: Determnar las recuencas de cada valor de la varable. La marca 1 se repte 15 veces La marca 2 se repte 6 veces La marca 3 se repte 9 veces PASO 2: la moda representa el valor que más se repte. En este caso es la marca 1. Mo = Marca Ejemplo: moda para datos agrupados Calcular la moda a partr de la sguente tabla de recuenca: N Lm Ls Mc 1 [ 4 6 ) [ 6 8 ) [ 8 10 ) [ ) [ ] 5 13 Total 20 78

20 SOLUCIÓN Las marcas de clase que más recuencas tenen son 11 y 13, por tanto decmos que es un caso donde aparecen dos modas (bmodal). Mo 1 = 11 Mo 2 = Calculo de la moda medante órmula Algunos autores suelen aplcar una órmula para determnar la moda para tablas de recuenca. Mo = L S 1 + A. ( 1 1 ) + ( 1 ) Donde L S-1 equvale al límte superor del ntervalo anteror donde se encuentra la moda Calculo de la medana en Excel Con la uncón MODA que provee Excel, podremos calcular el valor que posee mayor recuenca en datos no agrupados. MODA: Determna el valor que más se repte en un conjunto de datos. Formato: MODA(número1;número2; ) Categoría: Estadístcas Calcule la moda a partr de los sguentes datos copados en una hoja nueva de Excel: 79

21 Actve la uncón MODA en la celda B9 y en el campo número1 seleccones los datos del ejercco. La moda del ejercco es 2. 80

22 =MODA(B2:F7) Esta órmula solo muestra una moda, correspondente a la de menor valor. En el caso de que no exsta la moda aparecen los símbolos #N/A Ventajas Es estable a los valores extremos. Es recomendable para el tratamento de varables cualtatvas Desventajas Pueda que no se presente. Puede exstr más de una moda. En dstrbucones muy asmétrcas suele ser un dato muy poco representatvo. Carece de rgor matemátco. 81

23 4.4 EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular la meda, medana y moda para los sguentes datos: Determnar la meda, medana y moda a la sguente tabla de recuenca: N Lm Ls 1 100,0 150, ,1 200, ,1 250, ,1 300, ,1 350, ,1 400, ,1 450, ,1 500,0 7 Total Para que un producto sea aceptado por su clente prncpal, debe cumplr con certas especcacones de caldad. Una de ellas, radca en que el promedo de longtud de los 20 prmeros productos este entre 20,0 y 20,9 centímetros. S las meddas son: 22,3 20,4 19,8 19,9 20,1 20,8 21,6 19,8 20,5 23,4 19,6 21,5 18,5 18,7 20,9 21,1 20,1 21,5 22,3 17,9 Cumple en el proveedor con las especcacones del clente? Calcular la meda, medana y moda para los sguentes datos (agrúpelos en una tabla de recuenca): 22,1 44,4 32,1 56,0 29,4 37,7 32,3 29,0 30,5 45,3 20,7 15,6 41,1 41,2 39,5 20,8 34,1 31,8 21,9 47,0 25, Calcular la meda, medana y moda de la tabla de recuenca dada en el ejercco

24 4.4.6 Calcule y ubque la meda, medana y moda en el sguente gráco de ojva: OJIVA F ,0 30,0 35,0 40,0 45,0 50,0 55,0 Límte Superor Calcule la meda, medana y moda a partr del sguente hstograma: HISTOGRAMA ,0 55,1 65,1 75,1 85,1 95,1 105,1 Marcas de Clase 83

25 4.5 CASO: POBLACIÓN Y MUESTRA Los ngresos en dólares de 30 hombres elegdos al azar (entre un total de 1000) se muestran a contnuacón: 45,16 79,85 76,91 88,91 62,59 88,61 68,89 54,33 16,60 19,92 19,48 6,37 58,42 56,70 37,25 83,61 22,07 65,73 99,49 34,20 41,50 92,22 53,20 62,59 58,00 77,41 47,10 42,16 91,46 45,40 a. Calcule la meda artmétca para todos los datos sn agruparlos. b. Calcule la meda artmétca empleando la tabla de recuencas. c. Cuál cree usted son las razones de las derencas entre ambas medas? d. Explque medante este ejemplo, la derenca entre meda, medana y moda? e. Qué representa para usted la moda y medana (en termno de pesos)?. Se puede consdera que la poblacón de 1000 personas tendrán la msma meda que la muestra de 30 personas? 84

26 4.6 CUESTIONARIO DE REPASO Para las preguntas 1 a 4: Se muestran los hstogramas como resultado de medcones realzadas a 10 cudades de un país. El prmer hstograma muestra las poblacones de las cudades (undades dadas en mllones), ndcando que solo una cudad alcanza los de habtantes. El hstograma sguente muestra el porcentaje de analabetsmo de las cudades objeto del estudo. POBLACIÓN 4 No. de Cudades ,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 Poblacón (mllones) ANALFABETISMO 5 No. de Cudades ,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 % Analabetsmo 1. El total de cudades consderadas en el estudo es de: a. 3 b. 5 c. 10 d Que sgncado tene la moda para el estudo del analabetsmo a. Cuatro de las cudades no presentan analabetsmo b. La mayoría de las cudades no presentan analabetsmo c. Ses cudades presentan problemas de analabetsmo d. Nnguna de las anterores 85

27 3. El porcentaje promedo de analabetsmo que arroja el estudo es de: a. 0,4% b. 1,0% c. 1,4% d. 2,0% 4. El estudo arrojado al número de habtante por cudad ndca que: a. El promedo de habtantes por cudad es de 0,5 mllones. b. El promedo de habtantes por cudad es de 1,0 mllón. c. El promedo de habtantes por cudad es de 1,45 mllones. d. El promedo de habtantes por cudad es de 2,0 mllones. 86