H 0 : La distribución poblacional es uniforme H 1 : La distribución poblacional no es uniforme

Transcripción

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2 Una hpótess estadístca es una afrmacón con respecto a una característca que se desconoce de una poblacón de nterés. En la seccón anteror tratamos los casos dscretos, es decr, en forma exclusva el valor de algún parámetro. Ahora examnaremos las pruebas de hpótess estadístcas en las que la característca que se desconoce es alguna propedad de la forma funconal de la dstrbucón que se está muestreando. Dscutremos las pruebas de ndependenca entre dos varables aleatoras en las cuales la evdenca muestral se obtene medante la clasfcacón de una varable aleatora en un certo número de categorías. Este tpo de pruebas recbe normalmente el nombre de bondad de ajuste debdo a que ésta compara los resultados de una muestra aleatora con aquellos que se espera observar s la hpótess nula es correcta. La comparacón se hace medante la clasfcacón de los datos que se observan en certo número de categorías y entonces compara las frecuencas observadas con las esperadas para cada categoría. La hpótess nula será rechazada s exste una dferenca sufcente entre las frecuencas observadas y las esperadas. (error tpo I α)

3 En casos como este, la hpótess alternatva es compuesta y, en muchas ocasones, no se encuentra dentfcada de manera explcta. Y La funcón de potenca es muy dfícl de obtener de forma analítca. Entonces, una prueba de bondad de ajuste no debe usarse por s msma para aceptar la afrmacón de la hpótess nula. La decsón va en el sentdo de no rechazar la hpótess nula más que aceptarla, s la dferenca que exste entre las frecuencas observadas y esperadas es en certa forma relatvamente pequeña Defncón Una prueba de bondad de ajuste se emplea para decdr cuando un conjunto de datos se apega a una dstrbucón dada. Es conocda tambén dentro de las pruebas no paramétrcas, es decr la bondad de ajuste y pruebas de ndependenca.

4 Las decsones en los negocos requeren que se pruebe alguna hpótess sobre la dstrbucón poblaconal desconocda. Por ejemplo, se puede plantear la hpótess que la dstrbucón poblaconal es unforme y que todos los valores posbles tenen la msma probabldad de ocurrr las hpótess que se probarán son: H 0 : La dstrbucón poblaconal es unforme H 1 : La dstrbucón poblaconal no es unforme La prueba de bondad de ajuste se utlza para determnar s la dstrbucón de los valores en la poblacón se ajusta a alguna forma en partcular, la cual fue planteada como hpótess nula (en este caso una dstrbucón unforme.) De la msma manera que en todas las pruebas estadístcas de esta naturaleza, los datos muestrales se toman de la poblacón y consttuyen la base de las conclusones. S exste una dferenca consderable entre lo que se observa en la muestra y lo que se esperaría observar s la hpótess nula fuera correcta, es menos probable que la hpótess nula sea verdadera, por lo que la hpótess nula debe rechazarse. Cuando las observacones obtendas en la muestra dferen mucho del patrón que esperamos que ocurra s la dstrbucón planteada como hpótess sí se presenta, entonces no nos queda otra alternatva que rechazar.

5 Dstrbucón ch-cuadrado (χ ) Para contrastar la hpótess relatva a una dstrbucón poblaconal, debemos analzar la dferenca entre las expectatvas con base en la dstrbucón planteada como hpótess y los datos reales que aparecen en la muestra. La prueba ch-cuadrado de bondad de ajuste hace esto. Determna s las observacones muestrales se ajustan a las espectatvas. La prueba toma la sguente forma: k 1 O E E Donde O =es la frecuenca de los eventos observados en los datos muestrales E =es la frecuenca de los eventos esperados s la hpótess nula es correcta. k= es el numero de categorías o clases. La prueba posee gl=k-m-1 grados de lbertad, donde m es el numero de parámetros a estmar. El numerador de la formula lo que mde es la dferenca entre las frecuencas de los eventos observados y las frecuencas de los eventos esperados al cuadrado. Cuando estás dferencas son grandes, hacendo que χ se ncremente, debería rechazarse la hpótess nula.

6 Funcones χ

7 Ejemplo 1 Solucón El drector de mercadeo de una tenda departamental, tene la responsabldad de controlar el nvel de exstencas para cuatro tpo de botes venddos. En el pasado ha ordenado nuevos botes bajo la premsa de que los cuatro tpos son gualmente demandados. Sn embargo, recentemente las exstencas se han vuelto más dfícles de controlar y consdera que debería probar su hpótess respecto de una demanda unforme. Ensayo de hpótess H o ; La demanda es unforme para los cuatro tpos de bote H 1 ; ; La demanda no es unforme para los cuatro tpos de bote Suponendo unformdad en la demanda, la hpótess nula presume que de una muestra aleatora de botes, los usuaros de fn de semana comprarían un numero gual de cada tpo. Para probar está hpótess el drector seleccona una muestra de n= 48 botes venddos durante los últmos meses. S la demanda es unforme, puede esperar que 48/4= 1 botes de cada tpo se vendan. La tabla muestra esta expectatva junto con el número de cada tpo que en realdad se vendó. Tpo de bote Ventas observadas Ventas esperadas

8 Cálculo Se nota que Σ(0 ) = Σ(E ). El drector debe determnar ahora s los números venddos realmente en cada una de las categorías k = 4 está lo sufcentemente cerca de lo que se esperaría s la demanda fuese unforme. La fórmula para χ da 1 1 O E E ( 1) ( ) (0) El valor 1.17 lo vamos a comparar con un valor crítco de χ tomado de la tabla correspondente. Debdo a que no hay parámetros que tengan que estmarse, m = 0 y hay gl=k-m-1=4-0-1=3 grados de lbertad. S se deseara probar al nvel del 5% se tendría que buscar en la tabla 0.05,3

9 Regla de decsón: No rechazar s χ < Rechazar s χ > Conclusón y justfcacón Debdo a que 1.17 < 7.815, la hpótess nula de que la demanda es unforme no se rechaza. Las dferencas entre lo que se observó en realdad, 0, y lo que el drector esperaba observar s la demanda fuera la msma para los cuatro tpos de botes, E, no son lo sufcentemente grandes como para refutar la hpótess nula. Las dferencas no son sgnfcatvas y pueden atrburse smplemente a un error de muestreo. H o H 1 χ

10 Prueba de ajuste a un patrón específco En el ejemplo de los botes, supusmos que la demanda de los cuatro tpos de botes era la msma. Los valores para las frecuencas esperadas eran por ello las msmas. Sn embargo, surgen muchos casos en los cuales las frecuencas se prueban contra un patrón determnado, en el cual las frecuencas esperadas no son todas guales. En su lugar deben determnarse así: Frecuencas esperadas E = n p donde n es el tamaño de la muestra p es la probabldad de cada categoría como se especfcó en la hpótess nula. Ejemplo Certo banco en Nueva York, trata de segur una polítca de extender un 60% de sus crédtos a empresas comercales, un 10% a personas naturales y un 30% a prestataros extranjeros. Para determnar s la polítca se estaba sguendo, el vcepresdente de mercadeo, seleccona aleatoramente 85 crédtos que se aprobaron recentemente. Encuentra que 6 de tales crédtos se otorgaron a negocos, 10 a personas naturales, y 13 a prestataros extranjeros. Al nvel del 10%, Parece que el patrón de cartera deseado se preserva? Pruebe la hpótess de que H 1 Se mantuvo el patrón deseado: 60%, 10% y 30% H A : No se mantuvo el patrón deseado.

11 Ensayo de hpótess H o ; Se mantuvo el patrón deseado: 60%, 10% y 30% H 1 ; No se mantuvo el patrón deseado: 60%, 10% y 30% S la hpótess nula es correcta, el vcepresdente esperaría que el 60% de los 85 crédtos de la muestra sean crédtos comercales. De manera que para la prmera categoría: Además, esperaría que E 1 = np 1 = (85) (0.60) = 51 crédtos comercales. E = np = (85) (0.10) = 8.5 crédtos a personas físcas. y E 3 = np 3 = (85) (0.30) = 5.5 crédtos a clentes extranjeros. Los datos se resumen en la sguente tabla. Tpo de crédto Frecuencas observadas Frecuencas esperadas comercal 6 51 personal extranjero

12 Cálculo El valor de χ se obtene O E E Nuevamente, no se estmaron parámetros, por lo que m = 0. Con α al 10% y k = 3 dado que hay 3 categorías de crédto (comercales, prvados y extranjeros), exsten gl = K-m-l=3-0-l= grados de lbertad. El vcepresdente encuentra en la tabla que el valor crítco de χ 0.10, =

13 Regla de decsón: No rechazar H 0 s χ < Rechazar H 0 s χ > Conclusón y justfcacón Las dferencas entre lo que vcepresdente observó y lo que esperaba observar s el patrón de crédto deseado se alcanzaba era demasado grande como para ocurrr por smple azar. Exste sólo un 10% de probabldad de que una muestra de 85 crédtos selecconados aleatoramente puderan producr las frecuencas observadas aquí demostradas, s el patrón deseado en la cartera de crédto del banco se estuvera mantenendo. H o H 1 χ

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