EXPERIMENTOS ANIDADOS O JERARQUICOS NESTED

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1 EXPERIMENTOS ANIDADOS O JERARQUICOS NESTED Exsten ocasones donde los nveles de un factor B son smlares pero no déntcos para dferentes nveles del factor A. Es decr, dferentes nveles del factor A ven nveles del factor B que son smlares para cada nvel del factor A pero por no ser déntcos, se encuentran andados en el nvel al que correspondan para el factor A. Para lustrar lo descrto, suponga que tene una máquna de refrescos compuesta de 3 bombas y cada una de ellas suple a dos dspensadores como muestra la fgura: En la fgura se observa entonces un expermento andado de dos nveles, esto porque los dspensadores componen un nvel del nested que están andados en las bombas (que componen un segundo nvel) y ellas a su vez andadas en la máquna. Allí se observa la teoría descrta ya que las bombas son componentes smlares pero no guales porque cadaa una de ellas tene un funconamento ndependente, y, de la msma manera, los dspensadores son un factor con componentes smlares pero no déntcos; por este motvo s lo que se desea es analzar una respuesta con respecto a los factores bomba y dspensador, se debe hacer entonces un expermento andado o jerárquco.

2 El modelo que descrbe estos expermentos es: Y jk = µ + M + B j( ) + Dk ( j) + ε ( jk ) l Donde: µ = meda _ general M B D ε j( ) k ( j) ( jk ) l = Maquna = Bomba = Dspensador = error : corresponde al suscrto para la máquna que en el ejemplo corresponde a 1, s tuvera mas m aqunas correspondería a 1 a j(): corresponde al suscrto de las bombas que en el ejemplo corresponde a j = 1,, 3 andadas en = 1 máquna. S tuvera más bombas el suscrto sera j = 1 b k(j): corresponde al suscrto de los dspensadores k = 1, andados en las bombas j y las máqunas. S tuvera más dspensadores k = 1 c (jk)l: corresponde al termno del error Para realzar el expermento descrto anterormente como uno tpo factoral, tendrían que cambarse los dspensadores para las bombas cada vez que se haga una corrda, de manera que los dspensadores fueran los msmos dos para las 3 bombas. Esto resulta nútl ya que este tpo de maqunas requeren un arreglo como el que se descrbó anterormente. De esta manera por ser éste un expermento andado, no hay nteraccones presentes entre los factores. Suponendo que adconal a la máquna presentada en la fgura, se tene otra más, la tabla de análss de varanza para las dos maqunas, con 3 bombas cada una y cada bomba con dos dspensadores es:

3 Análss de Varanza para un expermento andado en 3 nveles Fuente de varacón Suma de cuadrados Grados de lbertad A (máqunas) bcn ( y y a-1 B (bombas dentro de A) C (dspensadores dentro de B) Error Total......) cn ( y j y a(b-1) n.....) Medas cuadradas esperadas para A y B fjos y C aleatoro bcn τ σ + nσ c + a 1 σ + nσ c ( y jk. y... ) ab(c-1) σ + nσ c j k l j k l ( y jkl y abc(n-1) jk σ. ) ( y jkl y abcn-1... ) cn + β a( b 1) j( ) Ejemplo Suponga que se está estudando la dureza de la superfce de un materal de acuerdo a 3 máqunas que se encuentran en 3 plantas de produccón dferentes. Estas máqunas son operadas por 3 personas dferentes cada una que se escogeron de manera aleatora. Cada persona que opera la máquna toma 3 meddas para la dureza del materal. Se obtuveron las sguentes respuestas: Máquna 1 Máquna Máquna 3 Personas A contnuacón se presenta el procedmento en Mntab: 1. Se ntroducen los datos como muestra la grafca:

4 . En el menú stat se hace clck sobre la opcón ANOVA y allí se hace clck sobre la opcón Balanced Anova como muestra la fgura: 3. En la pantalla que se desplega se pone en la caslla responses la columna que contene las respuestas, y, en la caslla Model, se pone la columna de máquna y la columna de personas. Nótese que después de la columna de personas se encuentra la columna de

5 máqunas entre paréntess, esto ndca a Mntab que las personas están andadas dentro de las máqunas. 4. Al hacer clck en el botón de graphs se desplega un menú de grafcas, se hace clck sobre la opcón four n one de manera que se muestren las 4 grafcas de los resduales en una. Se da ok a todas las pantallas y se obtenen los resultados. 5. Los resultados se muestran a contnuacón:

6 ANOVA: respuesta versus maquna, personas Factor Type Levels Values maquna fxed 3 1,, 3 personas(maquna) random 3 1,, 3 Analyss of Varance for respuesta Source DF SS MS F P maquna personas(maquna) Error Total S = R-Sq = 80.06% R-Sq(adj) = 71.19% Se observa que no exste dferenca sgnfcatva en el factor máqunas a pesar de que las msmas se encuentran en dferentes plantas, sn embargo, se observa dferenca en las personas ya que su valor p es menor al nvel de sgnfcanca utlzado para la prueba (0.05). Debdo a que hay dferenca entre las personas que operan las maqunas, el nterés mayor es saber en qué máquna están dfrendo estas personas pero el análss hecho con anterordad no permte obtener esta nformacón, ya que el msmo se realzó de manera global. Para obtener un análss por cada máquna se realza entonces un análss para un solo factor aleatoro para cada una de las maqunas. El factor en consderacón para cada análss es las personas con 3 nveles. En la seccón correspondente a un solo factor aleatoro de este materal se muestra el procedmento para la realzacón del msmo en Mntab, de manera que se procede a mostrar aquí los resultados. 1. Análss de un solo factor aleatoro para la máquna 1: One-way ANOVA: respuesta versus personas Source DF SS MS F P personas Error Total S = R-Sq = 59.0% R-Sq(adj) = 45.35% Indvdual 95% CIs For Mean Based on

7 Pooled StDev Level N Mean StDev ( * ) ( * ) ( * ) Análss de un solo factor aleatoro para la máquna : One-way ANOVA: respuesta m versus personas m Source DF SS MS F P personas m Error Total S = 5.80 R-Sq = 76.73% R-Sq(adj) = 68.97% Indvdual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev ( * ) ( * ) ( * ) Pooled StDev = Análss de un solo factor aleatoro para la máquna 3: One-way ANOVA: respuesta m3 versus Personas m3 Source DF SS MS F P Personas m Error Total S = R-Sq = 7.0% R-Sq(adj) = 6.93% Indvdual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev ( * ) ( * ) ( * ) Pooled StDev = 8.544

8 Se observa que al sumar la suma de cuadrados para el factor persona de cada una de las máqunas, se obtene la suma de cuadrados total que se observa en el análss global. Es decr: = Con los análss realzados para un solo factor aleatoro se puede observar que hay dferenca sgnfcatva entre las personas de las máqunas y 3. Sn embargo se podría decr que en la máquna uno tambén puede haber una dferenca entre las personas ya que el valor p no está muy lejano del nvel de sgnfcanca de la prueba (0.05). Expermentos andados cruzados o andados factorales Hay ocasones donde se tenen expermentos en que algunos factores están organzados de manera factoral y otros andados dentro de alguno de estos factores factorales. De manera entonces que en este tpo de expermentos hay nteraccón entre los factores factorales. El modelo para estos expermentos esta descrto por: Y jkl = µ + τ + B + y + + y + j( ) k ( j) τβj τ k ( j) ε ( jk ) l Donde: τ : Es el efecto del factor factoral A β : Es el efecto del factor factoral B j yk ( j) : Es el efecto del factor C andado en B τβ : Es la nteraccón de los factores A y B j τy k ( j) : Es la nteraccón entre el factor A y el factor C andado en B ε ( jk ) l : Es el error expermental

9 Ejemplo Un profesor está estudando la velocdad de ensamble de los alumnos al armar carrtos con unos legos. El dseñó 3 formas de ensamblaje y dos estacones de trabajo. Para la práctca seleccono 4 alumnos de manera aleatora para asgnarlos a la combnacón entre forma de ensamble y estacón de trabajo. Las estacones de trabajo se ubcaron cada una en un salón de clase dferente, de manera que los cuatro alumnos selecconados para cada trabajo son dferentes para cada estacón. Para cada combnacón se realzaron replcas. Debdo a que los alumnos son dferentes para cada estacón de trabajo, estos se van a encontrar andados dentro de las estacones de trabajo, pero como las tres formas de ensamble son las msmas para las dos estacones de trabajo, estos dos factores son factorales y por tanto pueden nteractuar. A contnuacón se presenta la tabla con las velocdades de ensamble para cada tratamento: Estacón de trabajo 1 Estacón de trabajo Alumno Ensamble Ensamble Ensamble Una vez se tenen las respuestas al expermento se procede a realzar el análss medante el programa Mntab: 1. En el menú stat, se hace clck sobre la opcón ANOVA, allí se puede escoger para este caso, la opcón Balanced Anova o General lnear model, cualquera de los dos funcona porque se tene un dseño balanceado. En este caso haga clck sobre la opcón Balanced Anova como muestra la fgura:

10 . En la pantalla que se desplega (mostrada en la fgura) se ntroduce el modelo. En la caslla de response se hace clck a la columna de respuestas, en la caslla de model, se ntroducen las columnas correspondentes al modelo como se muestra en la fgura. Observe que cuando se ntroduce el factor alumno, se pone entre parentecs las estacones de trabajo, esto se hace para darle a entender a Mntab que los alumnos se encuentran andados dentro de las estacones de trabajo. Tambén observe que se ponen nteraccones entre los tpos de ensamble y las estacones de trabajo porque ambas estacones ven todos los tpos de ensamble, gualmente los alumnos de cada estacón ven los msmos tpos de ensamble, de manera que estos nteractúan. Sn embargo no hay nteraccon entre las estacones de trabajo y los alumnos porque los msmos varan para cada estacón de trabajo, es decr, se encuentran andados dentro de las estacones. En la caslla de Random factors se pone el factor alumnos porque el nterés del expermentador es hacer nferenca en una poblacón mayor de los msmos:

11 3. Al hacer clck en el botón de graphs, se obtene una pantalla donde se escoge la opcón de four n one para que el programa muestre las 4 grafcas para los resduales en una msma como muestra la fgura. Una vez escogda la opcón se da ok: 4. Al regresar a la pantalla prncpal, se hace clck sobre el botón de optons con el fn de que el programa desplegue la pantalla mostrada en la fgura. En esta pantalla se de clck sobre la caslla que dce Use the restrcted form of the model para que entonces Mntab entenda que debe hacer el análss consderando el modelo restrngdo. Esto quere decr

12 que los cálculos para la estadístca F se hacen presumendo que los estmados de varanza que sean negatvos son guales a cero. 5. Al dar ok en la pantalla de la fgura anteror, se regresa al menú prncpal donde se da de nuevo ok para obtener los sguentes resultados: ANOVA: Respuesta versus Estacon de trabajo, Tpo de ensamble, Alumno Factor Type Levels Values Estacon de trabajo fxed 1, Alumno(Estacon de trabajo) random 4 1,, 3, 4 Tpo de ensamble fxed 3 1,, 3 Analyss of Varance for Respuesta Source DF SS MS F P Estacon de trabajo Alumno(Estacon de trabajo) Tpo de ensamble Estacon de trabajo*tpo de ensamble Tpo de ensamble*alumno( Estacon de trabajo) Error Total S = R-Sq = 81.31% R-Sq(adj) = 63.40% Varance Error Source component term 1 Estacon de trabajo

13 Alumno(Estacon de trabajo) Tpo de ensamble 5 4 Estacon de trabajo*tpo de ensamble 5 5 Tpo de ensamble*alumno( Estacon de trabajo) 6 Error.333 Expected Mean Square for Each Term (usng Source restrcted model) 1 Estacon de trabajo (6) + 6 () + 4 Q[1] Alumno(Estacon de trabajo) (6) + 6 () 3 Tpo de ensamble (6) + (5) + 16 Q[3] 4 Estacon de trabajo*tpo de ensamble (6) + (5) + 8 Q[4] 5 Tpo de ensamble*alumno( (6) + (5) Estacon de trabajo) 6 Error (6) Se observa entonces que no exste dferenca sgnfcatva en la respuesta cuando se camba la estacón de trabajo, sn embargo, los factores alumnos dentro de las estacones y los tpos de ensamble afectan la respuesta sgnfcatvamente al cambar sus nveles. Una forma de observar cuando dsmnuye el tempo de ensamble, sera con la grafca de los efectos de los factores prncpales. Para obtener esta grafca se hace clck sobre el menú stat, luego en ANOVA y en el menú que se desplega se hace clck sobre Man Effects Plot (grafco de los efectos prncpales) como muestra la fgura: En la pantalla que se deplega, se pone la columna de respuestas en la caslla correspondente a Responses y en la caslla de Factors se ponen los factores del modelo que son de tpo factoral. Una vez se hayan puesto los factores y la respuesta se da clck en ok como muestra la fgura:

14 Al dar ok se obtene la sguente grafca: Man Effects Plot (data means) for Respuesta 8.0 Estacon de trabajo Tpo de ensamble 7.5 Mean of Respuesta Aunque la dferenca entre las estacones de trabajo no es sgnfcatva, se observa que la respuesta puede ser un poco más pequeña al trabajar en la estacón 1. En cuanto a los tpos de ensamble, se observa que entre el tpo de ensamble 1 y 3 la dferenca de tempo no es sgnfcatva, sn embargo, el tpo de ensamble hace que la respuesta aumente consderablemente; de manera que se recomenda entonces utlzar el tpo de ensamble 1 o 3 en la estacón de trabajo 1, aunque s es más económco usar la estacón de trabajo, tambén puede ser usada sn afectar la respuesta. En cuanto a los operadores, se tendría que realzar un análss smlar al mostrado en la seccón de expermentos andados, es decr que se haría un análss consderando las estacones de trabajo por aparte.