Modelos para más de una variable

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1 1 Modelos para más de una varable Hasta ahora se han vsto dferentes modelos estadístcos para el caso de una sola magntud bológca medda. Pero en los expermentos es frecuente tratar el caso donde hay más de una varable nvolucrada. En este capítulo se tratará el caso de dos varables con los modelos de Regresón y Correlacón estadístca. El caso de más de dos varables excede los límtes del presente trabajo, destnado a los alumnos de las carreras de Farmaca y Boquímca, porque requere del manejo de un nvel matemátco (espacos vectorales n-dmensonales) que estos no poseen. Se comenza en este capítulo con el caso más sencllo de relacón lneal smple entre dos magntudes bológcas cualesquera. Es decr, una relacón del tpo Y = X = f (X). A contnuacón se trata el modelo más general con relacones del tpo Y = a + b X, la ecuacón de una recta o polnomo de prmer grado. Modelo conocdo con el nombre de Análss de Regresón lneal. Se presentan los métodos cortos de cálculo y el planteo de ensayos de hpótess respectvos. A contnuacón de generalza la regresón para el caso de polnomos de más de un grado y se muestran las transformacones de varables, convenentes para lnealzar los cálculos. 1.1 Introduccón Antes de comenzar, es convenente aclarar una confusón frecuente en la bblografía. Hay textos que usan los cálculos de regresón y correlacón para los msmos casos por lo smlares que son. A veces el lector se confunde y pensa que puede emplear ambos modelos en un msmo problema. Esto no es así, hay una dferenca fundamental entre ellos. El Análss de Regresón se usa cuando el nvestgador sabe que exste una relacón entre las varables porque hay una teoría o nvestgacones prevas que la han descuberto. Por ejemplo, la relacón entre espaco y tempo ya se sabe que es la velocdad, o como la relacón entre voltaje e ntensdad de corrente eléctrca. En estos casos, el nvestgador suele estar nteresado en verfcar expermentalmente tal relacón y el objeto de la regresón es encontrar la curva que mejor ajuste a sus datos expermentales. Cuando no conoce la relacón exacta, sno que trata de encontrar una curva de tpo práctca en los llamados modelos empírcos, la dea es tener una manera rápda de relaconar dos magntudes; como por ejemplo, en la ndustra cuando se relacona la velocdad de un motor con el rendmento del generador eléctrco que mueve. Por su parte, el Análss de Correlacón se emplea cuando el nvestgador sospecha que ambas magntudes están relaconadas, pero no tene dea de una ecuacón que las combne. Por ejemplo el caso de peso y talla, donde todo lo que se sospecha es que a mayor talla, mayor peso, pero nade ha descuberto una fórmula que las relacone. Con esto en mente se comenza con:

2 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-1. Análss de regresón La forma más común de concebr las relacones entre pares de magntudes es del tpo causa-efecto. Lo que trata el análss estadístco es establecer la forma y la sgnfcacón de las relacones funconales entre las dos varables. La demostracón de la relacón causa-efecto es tema del procedmento del método centífco, y queda a cargo del nvestgador. Estadístca trata de verfcar la funcón matemátca que permte predecr que valores de una varable Y corresponden a valores dados de una varable X. Se suele escrbr como Y = f (X), donde X es la varable ndependente. Fgura 1.1: Rectas de regresón. (a) Número de anllos de un árbol (b) Ingresos semanales en una Farmaca (mles $) El caso más smple de una recta de regresón es del tpo Y = X donde la recta pasa por el orgen de coordenadas y su nclnacón es de 45º. Este es el caso de la relacón entre el número (Y) de anllos de un árbol y su edad en años (X). Ver caso (a) de la fgura anteror. El caso más general es cuando la recta no pasa por el orgen y su nclnacón es cualquera. La relacón matemátca es del tpo Y = a + b X donde a es el punto por donde la recta corta al eje Y cuando X = 0 y b es la tangente del ángulo de nclnacón. Ver caso (b) de la fgura anteror donde se muestra la relacón de los ngresos de una Farmaca meddos en mles de pesos con el tempo expresado en semanas, con una ecuacón expresada con: Y = + 3 X. Aquí, se supone que se han meddo los ngresos reales en una Farmaca y se encontró la recta que mejor ajusta a esa sere de puntos con el Análss de Regresón. En todo ejemplo real, las observacones no concden exactamente con la recta de regresón debdo a los errores casuales que afectan las medcones. En Bología se suponen causas de tpo genétco y ambentales para explcar la aleatoredad, además de los errores de medcón. Esto sgnfca que para un dado valor de X, el valor de Y que le corresponde no será exactamente: a + b X, sno que esta ecuacón usando el valor de X arroja el valor esperado de Y denomnado Y*. Entonces, para cada valor meddo de X se tendrán dos valores: el valor meddo en el expermento Y y su valor esperado calculado por la recta de regresón Y*. La dferenca entre ambos (Y-Y*) debe ser lo más chca posble, para tener una buena aproxmacón. La dea básca del Análss de Regresón es mnmzar matemátcamente el cuadrado de estas dferencas con el método de los mínmos cuadrados.

3 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar Dseños expermentales Los dseños expermentales en regresón son dos: el Modelo I y el II. Ambos se basan en cuatro hpótess báscas. 1. La varable ndependente se mde sn error. Esto sgnfca que está bajo el control del nvestgador y se consderan fjos a los valores de X que elgó. Por ejemplo, al manpular las doss de un certo medcamento hpo-tensor, se fjan estos valores de X y por lo tanto no se la puede consderar como una varable aleatora. En cambo, el valor de la presón sanguínea del pacente no puede ser fjada por el nvestgador; entonces Y varía en forma lbre. En forma análoga a la vsta en los modelos de Anova, se consdera Modelo I de regresón, al caso donde los valores de X pueden ser manpulados a voluntad. Cuando esto no es así, entonces se tene el Modelo II de regresón donde ambas varables se consderan aleatoras porque no están bajo el control de nvestgador. Por ejemplo, se toma una muestra aleatora de una poblacón y a cada ndvduo selecconado se le mde su presón sanguínea y su nvel hormonal. Ambas varables no quedan bajo el control del nvestgador y deben ser consderadas aleatoras.. El valor esperado de la varable Y* para un dado valor de X, se determna con la relacón: E(Y) = µ y = Y* = α + β X Se usan las letras gregas para descrbr una relacón Paramétrca entre las varables. 3. Para cualquer valor de X, los valores de Y se dstrbuyen ndependente y normalmente. Y* = α + β X + ε Donde ε es un térmno de error con una dstrbucón normal de meda gual a cero y desvío σ. Esto supone que cada valor X tene un gran número de valores posbles de Y a hacer la medcón, con una dstrbucón normal, cuyo eje de smetría es una vertcal (eje z: dentro de un espaco trdmensonal magnaro) que pasa por el punto Y* de la recta de regresón, orentada sobre la línea que une el punto X con él Y* correspondente. Esto para los casos donde hay más de un valor de Y para cada valor de X. 4. Todas las muestras a lo largo de la línea de regresón son homocedástcas. Se supone que todas las dstrbucones normales menconadas en el punto anteror tenen la msma varanza. 1.4 Cálculos báscos en regresón La manera más senclla de lustrar estos cálculos es partendo del concepto básco de la recta de regresón: mnmzar el cuadrado de las dferencas entre el valor meddo Y y el valor correspondente esperado por la recta Y*. El caso más sencllo es cuando hay un solo valor meddo de Y, para cada valor X. En la Fgura 1. sguente se muestra el planteo:

4 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-4 Fgura 1.: Dferencas a mnmzar. Cada punto meddo tene un par de coordenadas (X ; Y) Con la recta se estma el valor Y*. La dferenca entre el valor meddo y el estmado es D = Y Y*. Cuanto mejor sea la estmacón, menor será esta dferenca. El método consste en mnmzar la suma de sus cuadrados: dervando respecto de las dos ncógntas a y b, gualando a cero y despejando. Queda un sstema de dos ecuacones con dos ncógntas, que al resolverlo permten hallar las denomnadas ecuacones paramétrcas de regresón. Para mnmzar se usan las relacones (ver Apéndce 1): D = 0 D = 0 a b Resolvendo estas relacones se obtenen: Y a.n + b = X X Y = a. x + b X Ecuacones normales o paramétrcas de regresón. Ejemplo) Se ha meddo la altura de 15 padres y de sus hjos prmogéntos en metros. Hallar la recta de regresón. Los datos son: X (padres) Y (hjos) X X Y Y 1 1,71 1,75,941,995 3,065 1,67 1,76,7889,939 3, ,6 1,64,644,6568, ,75 1,76 3,065 3,08 3, ,59 1,64,581,6076, ,81 1,77 3,761 3,037 3, ,69 1,7,8561,9068, ,68 1,73,84,9064, ,76 1,75 3,0976 3,08 3, ,7 1,7,9584,9584, ,79 1,81 3,041 3,399 3, ,68 1,69,84,839, ,64 1,66,6896,74, ,68 1,71,84,878, ,58 1,6,4964,5596,644 SUMA 5,37 5,73 4, , ,1783

5 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-5 Reemplazando en las ecuacones paramétrcas resulta 5,73 = a (15) + b (5,37) De donde se calculan a y b. 43,5653 = a (5,37) + b (4,9735) Sn embargo hay una forma más corta. La recta de regresón debe pasar necesaramente por el centro de gravedad de los datos, es decr por el valor medo de X e Y. Esto es, s se dvde la prmer ecuacón por N en ambos membros, queda gual a: (1/N) Y = a + (b/n) X O sea: Y = a + b X O ben: a = Y - b X Se puede calcular los valores medos de la tabla anteror resultando: X = 5,37 / 15 = 1,6913 m Y = 5,73 / 15 = 1,7153 m Reemplazando por los valores hallados se despeja: a = (1,7153 b 1,6913) Reemplazando el valor de a en la segunda ecuacón, queda una sola ecuacón con una ncógnta: 43,565 = (1,7 b. 1,69) 5,37 + b 4,97 = 1,7 (5,37) + b [(4,97) (1,69)(5,37)] Despejando se calcula: b = - 0,7. Con este valor, se puede calcular a, reemplazando en la fórmula de valores medos: Y = a + b X 1,7 = a + (- 0,7) (1,6913) Resultando: a =,9 Y la ecuacón de la recta es: Y =,9 0,7 X S en lugar de calcular la regresón de Y sobre X (X es la varable ndependente), se desea calcular la regresón de X sobre Y, porque Y es la varable ndependente, entonces las ecuacones quedan muy smlares, pero con otras ncógntas: X c.n + d = Y X Y = c. Y + d Y Ecuacones normales para regresón de X sobre Y. Aplcando estas nuevas relacones al ejemplo anteror resulta: 5,37 = c (15) + d (5,73) De donde se calculan c y d. 43,5653 = c (5,73) + d (44,1783)

6 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-6 Para smplfcar se usa: X = c + d Y O ben: c = X - d Y Reemplazando por los valores hallados se despeja: c = (1, 6913 d 1,7153) Reemplazando el valor de a en la segunda ecuacón, queda una sola ecuacón con una ncógnta: 43,5653 = (1,6913 d 1,7153)(5,73) + d 44,1783 0,04815 = d (0,04363) y despejando resulta: d = 1,1 y así se obtene c = - 0, Y la ecuacón de esta otra recta es: X = - 0, + 1,1 Y Como se puede aprecar, la regresón de Y sobre X dfere de la regresón de X sobre Y. Solo cuando la concdenca entre los puntos reales y la recta de regresón sea perfecta, entonces ambas rectas de regresón serán guales. Exsten otras maneras de smplfcar los cálculos, usando un cambo de coordenadas. Esto se hace, colocando el orgen en el centro de gravedad de los datos. Sencllamente, a cada valor de X e Y se le resta su meda respectva. Las ecuacones quedan más cortas. El lector nteresado podrá encontrar estas técncas en la Bblografía específca. 1.5 Cálculos cortos en regresón La manera más rápda de efectuar los cálculos, ncluso los necesaros para los tests de hpótess, se lustra en el ejemplo sguente: Ejemplo) Nelson (1964) mdó la pérdda en peso (en mg) de 9 tandas de ventcnco coleópteros Trbolum, luego de ses días de no ngerr comda a nueve humedades dferentes. Los datos son: Hum. Peso x = y = x y x.y Y* D = D y*= y* X Y X-50,39 Y-6,0 Y-Y* Y*-6,0 0 8,98-50,389, ,04 8, ,04 8,704 0,76 0,07616, , ,14-38,389, ,707 4, ,99 8,0654 0,0746 0,00557, ,1744 9,5 6,67-0,889 0, ,3457 0, ,531 7,134-0,464 0,157 1, , ,08-7,3889 0, , , ,469 6,4155-0,3355 0,1154 0,3935 0, ,9,6111-0,1 6, , ,3191 5,8833 0,0167 0,0008-0, ,0193 6,5 5,83 1,111-0,19 146,679 0, ,38 5,3776 0,454 0,0463-0, , ,5 4,68 5,111-1,34 630,5679 1, ,705 4,6858-0,0058 3,3E-05-1, , , 34,611-1,8 1197,99 3, ,069 4,1801 0,0199 0, ,8408 3, ,7 4,611 -, ,707 5, ,1 3,7544-0,0344 0, ,6786 5,143 Σ 453,5 54, ,389 4, ,8 54, 0 0, ,514 50,3889 6,0 :Medas 6,0 b -0,053 a 8,70407

7 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-7 Paso 1) En las prmeras dos columnas se vuelcan los datos, se suman y se saca el promedo. Paso ) En la tercer y cuarta columna, se colocan los valores de las dos prmeras menos sus respectvos promedos y se determnan: y = f (x) dos varables que pasan por el centro de gravedad de los datos, de acuerdo a la transformacón efectuada: x = X X = X 50,3889 e y = Y - Y = Y 6,0 Paso 3) En la qunta y sexta columnas se calculan los cuadrados de los nuevos valores x e y. Mentras que en la séptma se calcula su producto. Paso 4) Ahora se pueden calcular los coefcentes de la recta de regresón a y b con la ecuacón de la recta de regresón de x sobre y, escrta en el nuevo sstema de coordenadas: xy y = b x = ( ).x Por lo tanto: b = (-441,8) / (8301,389) = - 0,053 x Es decr se calcula la pendente de la recta b como el cocente entre los totales de la qunta y séptma columna. Conocdo este valor, se puede calcular el otro consderando que la recta pasa por el centro de gravedad de los puntos, o sea por sus valores promedo: Y = a + b X O sea: a = Y - b X = 6,0 (-0.053) 50,389 = 8,704 Y = 8,7-0,05 X 1.6 Ensayos de hpótess en regresón La manera de ensayar la hpótess de que la regresón exste es con un Cuadro de Regresón, smlar al vsto en el caso del Anova. Para ello se dvde a la suma de cuadrados que representa la varabldad total en dos térmnos, lo msmo que con los grados de lbertad, y se encuentra un estadígrafo F con dstrbucón de Fsher. Para ello se empeza con: Varacón Total: De una varable cualquera Y, se calcula como la suma de cuadrados de las dferencas entre cada valor meddo y su promedo (es la suma de cuadrados en Y). Esto es: VT = ( Y - Y) S al térmno entre paréntess se le suma y le resta una msma cantdad Y* este no se altera. Realzando el reemplazo y las cuentas, resulta: VT = ( Y - Y) = ( Y - Y * Y *- Y) + = ( Y - Y *) + ( Y * - Y) = VNE + VE Donde VNE es la Varacón No Explcada porque los valores de Y se comportan en forma aleatora o no prevsble. Mentras que el segundo térmno, cada valor de la dferenca tene un patrón

8 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-8 defndo. Y* es la recta de regresón de la cual se conoce su fórmula y los valores de X respectvos son fjados por el nvestgador; además su promedo es una constante. Esto sgnfca que se tene de alguna manera una explcacón y por ello VE es la Varacón Explcada. En resumen, a la varabldad total se la ha descompuesto en dos térmnos, en forma análoga a como se procedó con la suma de cuadrados en Anova. Como el cocente entre la varacón explcada y la total, es el cuadrado del Coefcente de Correlacón muchas veces se confunden ambos temas: Regresón y Correlacón, como s fuese la msma cosa. La únca analogía es que los cálculos para ambos modelos son cas los msmos, como se verá más adelante. Por ahora, se puede contnuar el ejemplo del punto anteror con: Paso 5) En la octava columna se calculan los valores de Y* (estmados a partr de la recta de regresón) esto es: Y* = a + b X Paso 6) En la novena columna se calculan las dferencas D = Y Y* Paso 7) En la décma columna se calculan los cuadrados de estas dferencas y su suma permte obtener la Varacón No Explcada: Y - Y * = 0,61606 VNE = ( ) Paso 8) En la undécma columna se calculan las dferencas y* entre cada valor Y y su promedo. Esto es, a la columna se le resta una constante: 6,0. Paso 9) En la últma columna se elevan al cuadrado los valores anterores y su suma permte obtener la Varacón Explcada: Y * - Y y * = 3,514 = ( ) VE = ( ) Paso 10) Se calculan los grados de lbertad respectvos, sabendo que s hay n medcones, la VT tendrá n térmnos cuadrátcos lbres, a los cuales hay que restar un grado de lbertad por la ecuacón de vínculo entre ellos, dada con el cálculo de su meda. Por lo tanto: υ T = n 1 = 8. Por su parte la Varacón Explcada tendrá un únco grado de lbertad υ E = 1. Entonces, los grados de lbertad de la Varacón No Explcada son: υ NE = n = 7. Paso 11) Se puede armar ahora la Tabla de Regresón, en forma análoga al Cuadro de Anova: TABLA DE REGRESIÓN Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Varacón cuadrados Lbertad Medos F Explcada (debda 3, ,51 a la regresón lneal) 67,*** No Explcada (error) 0, ,088 Total 4,1306 8

9 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-9 El cuadrado medo explcado se debe a la regresón lneal y mde la cantdad de varacón de Y, tenda en cuenta por la varacón de X. S a este valor se lo resta de la varacón total, la varacón resdual o remanente es la no explcada y se la usa como el cuadrado medo error. El valor del estadígrafo F se lo calcula como el cocente entre estos cuadrados medos. En este caso su valor tan grande hace altamente sgnfcatvo el rechazo de la hpótess nula, que suponía que no había regresón. O sea, se tene evdenca centífca valdada por el modelo, de que gran parte de la varanza encontrada puede ser explcada por la regresón de Y sobre X. Se pueden hacer otro ensayo de hpótess acerca del coefcente de regresón : b como se muestra a contnuacón: (H 0 ) β = 0 No hay regresón en la poblacón de donde se tomaron las muestras. (H 1 ) β 0 Hay regresón. El ensayo usa el modelo de Student con t = (b β) / DS b versus t α;ν = t α;n- Donde el error típco de estmacón de b está dado por: DS b = MSerror x = 0, ,39 = 0,00356 Luego t = (- 0,053 0)/0,00356 = -16,35*** (t 0,001 ; 7 = 5,408) Y se rechaza la hpótess nula con valores altamente sgnfcatvos. Tambén se pueden hallar los Límtes de confanza para el coefcente de regresón con: β (b ± t α;ν DS b ) Donde para un 95% de confanza resulta t α;ν = t 0,05, 7 =,356. O sea: β (- 0,053 ± 0,008)! 95% CI ( -0,061 ; -0,045) Se concluye que el valor verdadero del coefcente de regresón β está dentro de dcho ntervalo, por lo tanto es dferente de cero: hay regresón (con un 95% de probabldades a favor). 1.7 Regresón por el orgen: Recta de Calbracón En muchas oportundades, la teoría empleada para la regresón exge que la recta pase a través del orgen de coordenadas. Entonces, ya se tene un punto para el cual no se encontrará varacones en el muestreo. Tal punto debe tratarse en una forma dferente a otro cualquera observado. Un ejemplo de esto es el caso vsto del número de anllos de un árbol y su edad. Otro, más frecuente en Boquímca y Farmaca, es el caso de la Recta de Calbracón de un nstrumento de laboratoro cualquera, como una balanza, un espectrofotómetro, etc. Generalzando, para todo nstrumento que requera hacer el ajuste del cero antes de comenzar a usarlo. En una balanza, esto es la prmer pesada en vacío, cuando se ajusta la escala al cero luego de ser nvelada.

10 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-10 En un espectrofotómetro, es la prmera lectura colocando agua destlada en la cubeta. Para lustrar este caso se presentan los sguentes datos, con dos enuncados dferentes: Ejemplo 1) Para determnar s un espectrofotómetro está calbrado se han meddo 13 valores de referenca o patrones (Y) (solucones calbradas) y los valores observados de transmtanca (X) se muestran en la sguente tabla ver caso práctco en Apéndce : X = 6.06,1 Y = XY XY = ,7 b = = 3,67 X Tenendo en cuenta que la recta pasa por el orgen, la ecuacón de la msma es: Y* = 3,67 X N X Y 1 13,6 5 13, , , , , , , , , , , ,7 55 Total 58,8 199 Para efectuar la valdacón estadístca se usan las relacones sguentes: x =(X - X) = X ( X) / N y = = 6.06,1 - [(58,8) / 13] = 4.55,14 = [(1.99) / 13] = 70.05,08 (Y - Y) = Y ( Y) / N xy = XY - ( X)( Y) / N = ,7 - [(58,8) (1.99) (1/13)] = 17.89,9 Entonces ahora se pueden calcular las varabldades sguentes: VT = (Y - Y) = y = 70.05,08 con 1 grados de lbertad ( xy ) Y * - Y = x VE = ( ) = ( ) 17.89,9 = ,51 con 1 grado de lbertad 4.55,14 = VT VE = 70.05, ,51= 4.354,57 con 11 grados de lbertad VNE = ( Y - Y *) Con estos datos se puede armar la tabla de regresón sguente

11 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-11 Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Varacón cuadrados Lbertad Medos F Explcada (debda , ,51 a la regresón lneal) 165,9*** No Explcada (error) 4.354, ,87 Total 70.05,08 1 Se tene prueba altamente sgnfcatva de que exste la regresón de Y sobre X, aunque se ha tomado la ecuacón general sn tener en cuenta que pasa por el orgen. Cuando se tengan dudas que la recta de regresón pasa por el orgen, o sea a = 0, se puede hacer otra valdacón estadístca con: Ho : a = 0 La recta pasa por el orgen. H1 : a 0 La recta no pasa por el orgen. El valor muestral se calcula consderando que en el centro de gravedad de los datos debe ser: xy y = Y - Y = b x = ( ). (X X) x Y 148,4 = 3,67 ( x 40,68) = 3,67 x - 149,9 Y = - 0,89 + 3,67 x Entonces, con esta recta se tendrá la contrbucón atrbuble a la meda con: La varacón debda a la meda es: (Σ Y) / N = (199) / 13 = 86.33,9 ( xy ) La varacón debda a b es: VE = x = ,5 Entonces la total es 86.33, ,5 = ,4 con 11 grados de lbertad Como la suma de cuadrados debda a la regresón es: (XY ) / X = La regresón adconal debda al ajuste de la meda es: SS m = ( ) = 85 Como tene un grado de lbertad es: MS m = SS m / 1 = 85 entonces, F = MS m / MS error = 85 / 395,87 = 0,15 No sgnfcatvo Se concluye que no hay evdenca que muestre que la recta no pasa por el orgen.

12 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-1 Sn embargo el problema prncpal aquí, no es determnar s hay regresón (porque ya se sabe que así será), esto es no hace falta probar que b 0; sno determnar que el valor encontrado no dfera sgnfcatvamente del factor de dlucón correcto, que es lo que usa el boquímco para sus medcones. Imagnando que el valor esperado del factor de dlucón es β = 3,5: Ho : b = β = 3,5 El sstema está ben calbrado para hacer las medcones. H1 : b β El sstema no está ben calbrado. Se usa el modelo de Student con: t = (b β) / DS b versus t α;ν = t α;n- Donde el error típco de estmacón de b está dado por: DS b = MSerror x = 395, ,14 = 0,95 Luego: t = (3,67 3,5) / 0,95 = 0,58 (no sgnfcatvo) (t 0,95; 11 =,01) Por lo que no se puede rechazar la hpótess nula. No hay prueba estadístca como para creer que el sstema de medcón no está calbrado. Se puede usar otro ejemplo, s se tratase de una balanza, la dea es que cada valor meddo Y, de los patrones utlzados X, sea Y = X. Esto es, una recta que pasa por el orgen a 45º, o ben β = 1. Ejemplo ) En un estudo de Bacterología, se mderon las reversones nducdas a la ndependenca por 10 7 células sobrevventes (Y), por doss (ergs / bacteras) 10-5 (X) de Eschercha col estreptomceno-dependente, sometdas a radacón ultravoleta monocromátca de,967 Å de longtud de onda. (Datos de Zelle, M.R.; Unv. Cornell, del lbro de Steel y Torre). Total X 13,6 13,9 1,1 5,6 6,4 39,8 40,1 43,9 51,9 53, 65, 66,4 67,7 58,8 Y Para smplfcar los cálculos se han tomado los msmos datos del enuncado anteror. Por lo tanto la recta de calbracón está dada por la ecuacón: Y* = 3,67 X Habrá 3,67 retornos nducdos por doss. Entonces la recta de regresón de retornos nducdos Y, por la doss admnstrada X se expresa de la manera anteror. Lo prmero es probar que la recta de regresón exste, esto es probar que b 0 como se hzo en el caso anteror. Luego s llegase a haber dudas respecto a s la recta pasa o no, por el orgen de coordenadas, se puede hacer un test como se vo más arrba. El recurso utlzado aquí es transformar la varable medda para que el resultado se aproxme a una línea recta.

13 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar Más de un valor de Y Muchas veces en la práctca se encuentran casos donde se obtenen más de un valor de Y por cada valor de X controlado por el nvestgador. El ordenamento de los datos se parece mucho al orden en que se presentan las observacones en un análss de varanza de un factor. Para lustrar este punto, se ha desarrollado un ejemplo con tamaños muestrales dferentes que es el caso más completo. Ejemplo 1) Un nvestgador mde los porcentajes p de supervvenca del coleóptero Trbolum castaneum a cuatro densdades de sembra. Los datos de los porcentajes fueron transformados con Y = arc sen p porque cumplen mejor los supuestos de dstrbucón normal y homoscedastcdad. El número de huevos por gramo de arena es la varable X controlada por el nvestgador. La supervvenca se calcula por el número de nsectos que llegan a la edad adulta. Se preparan 4 densdades de sembra dferente y los resultados, transformados se muestran a contnuacón: Densdad de sembra X 5 / g 0 / g 50 / g 100 / g 61,68 68,1 58,69 53,13 58,37 66,7 58,37 49,89 Supervvenca 69,30 63,44 58,37 49,8 Y 61,68 60,84 69,30 Total 30,33 59,1 175,43 15,84 N Medas 64,07 64,80 58,81 50,95 Ref: Ejemplo de Sokal-Rohlf (pág. 480) Se desea saber s exsten dferencas en la supervvenca de los cuatro grupos y además, s se puede establecer una línea de regresón de supervvenca sobre la densdad. Para resolver este caso se procederá en dos etapas. En la prmera se busca medante modelos de ANOVA decdr s hay dferenca entre los grupos de sembra. En la segunda se procede con el análss de regresón. Por regla general, s no hay sgnfcacón en ANOVA es bastante mprobable que exsta una línea de regresón. Etapa 1) ANOVA: Se procede con los pasos habtuales para este modelo: Paso 1) Se calcula la suma total de las observacones T = 907,81 =Y Paso ) Se calcula la suma de los cuadrados de los datos: Tx = ,6547 Paso 3) Se calcula la suma de los totales grupales al cuadrado, dvddos por su tamaño muestral respectvo: Tx = [(30,33) / 5] + [(59,1) / 4] + [(175,43) / 3] + [(15,84) / 3] = ,968 Paso 4) Se calcula el térmno de correccón T / N = ,664

14 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-14 Paso 5) Se calculan las sumas de cuadrados con: SS T = Paso Paso 4 = , ,664 = 56,3883 SS E = Paso 3 Paso 4 = , ,664 = 43,7016 SST = SST SSE = 56, ,7016 = 138,6887 Paso 6) Los grados de lbertad son ν T = N 1 = 14; ν E = a 1 = 3 y ν D = N - a = 11 Paso 7) Se formula la Tabla de ANOVA como sgue: Varacón SS ν MS F Entre grupos 43, ,339 Dentro de grupos 138, , ,** Total 56, Los grupos dferen muy sgnfcatvamente entre sí. Etapa ) Regresón: Ahora se debe comprobar s las dferencas entre los valores de supervvenca pueden ser explcados por una regresón lneal sobre la densdad de sembra. Paso 8) Se calcula la sumatora de los valores de X multplcados por su tamaño muestral con: N X = 5 (5) + 4 (0) + 3 (50) + 3 (100) = 555 Paso 9) Se calcula la sumatora de los valores de X multplcados por su tamaño muestral con: X N = 5 (5) + 4 (0) + 3 (50) + 3 (100) = 39.5 _ Paso 10) Se calcula la sumatora de los productos de X e Y por su respectvo tamaño muestral con: N X Y = X Y = 5 (30,33) + 0 (59,1) + 50 (175,43) (15,84) = ,35 Paso 11) Se calcula el térmno de correccón para X con: ( N X ) TC x = N = (Paso 8) / N = (555) / 15 = Paso 1) Se calcula la suma de cuadrados de x con:

15 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-15 x = X N - TC x = Paso 9 Paso 11 = = Paso 13) Se calcula la sumatora de los productos: x.y = X ( Y) ( NX )( Y ) - N = Paso 10 - Paso 14) Se calcula la suma de los cuadrados explcada con: ( ) SS ex = X Paso 8.Paso 1 N = -.747,6 XY = (Paso 13) / Paso 1 = (-.747,6) / (18.690) = 403,981 Paso 15) Se calcula la suma de cuadrados no explcada: SS no ex. = SS E SS ex. = Paso 5 Paso 14 = 43, ,981 = 19,7735 Paso 16) Se arma la Tabla de Anova completada con el análss de regresón: TABLA DE ANOVA + REGRESION Fuente de Suma de Grados de Cuadrados Varacón cuadrados Lbertad Medos F Entre Grupos** 43, ,339 11,0** Regresón lneal 403, ,981 40,86* Desvíos respecto a la 19,7735 9,8868 < 1(ns) Regresón Dentro grupos (error) 138, ,6079 Total 56, Para comprobar s las desvacones respecto de la regresón lneal son sgnfcatvas se hace el ensayo: F = MS Y;X / MS D < 1 por lo tanto se acepta la Ho, que las desvacones respecto a la regresón lneal son nulas. Esto sgnfca que no hay varacón resdual, o dspersón, alrededor de la línea de regresón. Por lo tanto se acepta a la recta como una buena explcacón. El sguente ensayo es para determnar s exste la regresón lneal, es decr s b dfere sgnfcatvamente de cero. Para eso se hace el ensayo: F = MS b / MS Y;X = (403,981) / (9,8868) = 40,86* >> F 0,95 ; 1 ; = 18,5 Luego se tene evdenca sgnfcatva, como para afrmar que exste una recta de regresón que explca la regresón lneal de la supervvenca, respecto a la densdad de sembra. Resta entonces encontrar dcha recta: Paso 17) Se calcula el coefcente de regresón b con:

16 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-16 ( ) b = X XY = Paso 13 / Paso 1 = (-.747,6 ) / ( ) = - 0,14701 Paso 18) Se calcula la ordenada al orgen a con: a = Y - b X = ( T / N ) - b [ ( N X ) / N ] = (907,81 / 15) ( -0,14701 [ 555 / 15 ] = 65,96 Por lo tanto la recta de regresón se expresa con: Y* = 65,96 0, X Se ha probado que a medda que la densdad de sembra aumenta, la supervvenca dsmnuye. Y que esta relacón se puede expresar con la ecuacón de arrba. 1.9 Curvas de regresón El caso anteror era el más smple, cuando la curva de regresón es una recta. Pero para el caso más general la curva de regresón toma una forma polnomal con: Y* = a + b X + c X + d X La dea es que cualquer curva puede ser aproxmada con un desarrollo en sere polnomal. Ahora se tene un conjunto de potencas crecentes de la varable ndependente X, cada una con un coefcente de regresón dferente: a, b, c, d, etc. Por ejemplo, en el caso de una parábola habrá tres térmnos polnómcos. A medda que se utlcen potencas más altas, el ajuste de la curva de regresón a los datos reales, será cada vez mejor. Sn embargo, con cada potenca añadda se perderá un grado de lbertad y se necestarán más medcones. S n = 5 datos, para el cuadrado medo resdual o error, los grados de lbertad son n- = 3, entonces el polnomo mayor que se podrá usar es el de tercer grado. Por otra parte, es muy raro encontrar polnomos de más de tres grados en las nvestgacones bológcas. Los más comunes son: Y* = a + b X (recta de regresón) Y* = a + b X + c X (parábola de regresón) Y* = a + b X + c X + d X 3 (parábola cúbca de regresón) Los coefcentes de cada una de las tres curvas anterores son dferentes, por lo que deben ser calculados cada vez. Luego de obtenda la recta, se puede aumentar una potenca de X y buscar la parábola de regresón. Pero entonces, hay que recomenzar los cálculos de nuevo y por regla general, los nuevos coefcentes hallados (a, b ) son dferentes de los anterores (a, b). Como estas regresones polnomales son ajustes empírcos, s al comprobar la sgnfcacón esta resulta sgnfcatva, sgnfca que ahora se tene un mejor ajuste que el lneal y convene ntentar la parábola cúbca.

17 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-17 Se recomenza todo de nuevo y los nuevos coefcentes serán dferentes a los anterores con lo que la sgnfcacón deberá ser testeada otra vez. Es claro, que s antes de comenzar se hubese tendo nformacón acerca del tpo de polnomo buscado, se hubera comenzado por allí y no con la recta. Los cálculos y ensayos relaconados con este tema se pueden encontrar en el lbro en Steel y Torre (1960) menconados en la bblografía Problemas propuestos 1) Marcar la respuesta correcta a cada una de las afrmacones sguentes, o completar la frase: 1) Para un msmo problema se puede usar Regresón o Correlacón. V F ) El análss de regresón se usa cuando se conoce la relacón teórca Y = f (X). V F 3) Para el análss de peso y talla se puede usar la regresón. V F 4) El método de los mínmos cuadrados es el usado en regresón. V F 5) Explcar los dseños expermentales posbles en regresón: ) En un Modelo I la varable dependente se mde sn error. V F 7) Explcar las 4 hpótess báscas de estos modelos: ) Todas las muestras a lo largo de la curva de regresón son homocedástcas. V F 9) Las ecuacones paramétrcas de regresón se deducen mnmzando la suma de cuadrados. V F 10) Expresar el par de ecuacones normales de regresón: ) La ecuacón de regresón de Y sobre X, es gual a la de X sobre Y. V F 1) Explcar los pasos báscos para los cálculos cortos de regresón: ) La varacón Total es la suma del cuadrado de las dferencas entre cada Y y su meda. V F 13) La Varacón No Explcada es la suma del cuadrado de las dferencas de Y con X. V F 14) La Varacón explcada es la dferenca de VT VNE. V F 15) El ensayo de hpótess en regresón se hace con una Tabla de ANOVA. V F 16) Para testear s hay regresón se puede usar el Modelo de Student. V F 17) Para testear s la recta pasa por el orgen hay que: ) Una curva de calbracón nstrumental debe pasar por el orgen. V F 19) Es lo msmo que haya uno o más valores de Y por cada X en los cálculos. V F 0) Cuando hay más de un valor de Y prmero se testea que haya regresón. V F 1) Las curvas de regresón se resuelven con la técnca de polnomos ortonormales. V F ) Las transformacones más comunes para regresón son: ) Para las curvas de doss-mortaldad se usa la transformacón probt. V F ) Se desea encontrar la recta de regresón para los sguentes datos, y luego valdar los resultados obtendos tanto para a como para b: X Y

18 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar ) Se desea saber s la balanza nvestgada está calbrada. Los datos recogdos son: X Y 1, 1,9 4,8 10, ) Encontrar la recta de regresón para cuando hay 5 valores de Y por cada X, realzando las valdacones correspondentes: X Y ) Encontrar la recta de regresón para cuando hay 3 valores de Y por cada X, realzando las valdacones correspondentes: X Y ) Para los datos de la tabla sguente decdr s exste una recta de regresón entre las dos varables presentadas. X Y ) Para los datos de la tabla sguente decdr s exste una recta de regresón entre las dos varables presentadas. X Y

19 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-19 Apéndce 1: La dferenca entre un valor meddo (Y ) y su valor estmado (Y *) es D = Y Y * Para mnmzar la suma de los cuadrados de estas dferencas se usan las relacones: D = 0 a Y a + a [ ( )] bx = 0 S la sumatora es convergente, la dervada de la suma es gual a la suma de las dervadas 0 =. [ Y ( a + bx )][ ] = (- ) [ a b. X ] Y = Y a Operando con esta relacón se obtene la prmera ecuacón paramétrca de la recta que es: Y a.n + b = X Para obtener la segunda ecuacón paramétrca de la recta de regresón se usa la relacón: D b = 0 [ Y ( a )] bx b + 0 =.[ Y ( a + bx )][. 0 0 X ] = 0 Análogamente al anteror s la sumatora converge es: = (- ) [ Y.X a.x b. X ] Resolvendo esta relacón se obtene la segunda ecuacón paramétrca: X Y = a. x + b X Para mostrar que es un mínmo, basta dervar una vez más y ver que el resultado sea postvo D a = (-) (- N) = N b. X D b = (-) (- X ) = X (que sempre será un número postvo) Con esto se demuestra que la recta de regresón mnmza la suma de los cuadrados de las dferencas entre cada valor meddo y su correspondente valor estmado con la ecuacón de la recta. Por eso tambén se la llama: recta de mínmos cuadrados.

20 Boestadístca aplcada a Boquímca y Farmaca Azzmont Renzo, JC - arro_pss@cudad.com.ar 1-0 Apéndce : En forma dara el boquímco prepara su espectro para realzar las medcones. Lo prmero es el ajuste de cero. Para esto carga agua destlada en la cubeta del espectro (prevamente nvelado) y el resultado tene que dar una absorbanca nula (o 100% de transmtanca). Ajusta el aparato para tener esos valores, es decr para una concentracón nula (X = 0) debe tener una absorbanca nula (Y = 0). Este es el prmer punto de la recta de calbracón denomnado ajuste de cero. Para sacar el segundo punto usa una sustanca calbrada, control o estándar (que vene provsto con cada kt de medcones). Suponendo que el estándar (de glucosa) tene una concentracón de 0,9 (expresada en las undades habtuales de trabajo), entonces usa el kt para proceder a la medcón y obtene una lgera coloracón de la sustanca fnal que coloca en la cubeta del espectro. Esta coloracón hace que no toda la luz envada atravese la cubeta, sno que un certo porcentaje será absorbdo (o desvado) y mde con el espectro la absorbanca (Y = A) que corresponde a una sustanca que tene una concentracón (X = C) de glucosa. La costumbre es calcular el factor (k) con esos dos valores como s fuera una regla de tres smple: s el pacente tene una absorbanca y entonces tendrá una concentracón x calculada con: x = (C / A) y = k y Lo que se está hacendo en realdad es usar una recta de calbracón: Donde la tangente del ángulo de la recta es la nversa del factor. A cada pacente se le mde la absorbanca y para obtener la concentracón buscada x. Notar que este procedmento daro mplca que solo dos puntos son sufcentes para obtener una recta de calbracón del espectro. Cuando en realdad habría que usar más puntos y con ellos el procedmento de regresón, para obtener una buena recta de calbracón.