Tratamiento de datos experimentales. Teoría de errores

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1 Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores. Apéndce II Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores (Fuente: Práctcas de Laboratoro: Físca, Hernández et al., 005) El objetvo de la expermentacón en cualquer rama de la Cenca es el estudo cuanttatvo de determnadas propedades de la naturaleza. Este estudo se lleva a cabo mdendo la magntud físca que caracterza las propedades que nteresan al expermentador, y tratando posterormente los datos obtendos. En cenca e ngenería, el concepto de error tene un sgnfcado dferente del uso habtual de este térmno. Coloqualmente, es usual el empleo del térmno error como análogo o equvalente a "equvocacón" o "fallo". En cenca el error está asocado al concepto de ncertdumbre nevtable en la determnacón del resultado de una medcón, ya que el propo hecho de la medcón va acompañado de la accón e nteraccón de numerosos factores nfluyentes en el resultado de la msma. Más precsamente, lo que procuramos en toda medcón es conocer las cotas (o límtes probablístcos) de estas ncertdumbres. Es decr, buscamos x x, x + x donde, con certa probabldad, establecer un ntervalo [ ] podamos decr que se encuentra el mejor valor de la magntud x. Este mejor valor x es el más representatvo de nuestra medcón y al semancho x lo denomnamos la ncertdumbre de la medcón. Consecuentemente, el resultado de una medda sólo tene sentdo s, además del número obtendo y su undad correspondente, va acompañado de otro número, denomnado error, que dé cuenta de la ncertdumbre asocada a ella. Las defncones de magntud, medda y undades están íntmamente relaconadas entre sí: Magntud: Propedad físca que puede ser medda o nferda a partr de otras meddas (como tempo, longtud, velocdad, presón, etc.). Medr: Comparacón de una cantdad de certa magntud con otra cantdad fja de la msma, denomnada undad. Por supuesto, lo deal es consegur hacer el error lo más pequeño posble, pero éste sempre exstrá. Para poder obtener conclusones váldas a partr de las meddas, el error debe aparecer sempre claramente ndcado y debe ser manejado adecuadamente. 1. Conceptos de exacttud, precsón y sensbldad Cada vez que se lleva a cabo un expermento o se mde una cantdad con el nstrumento adecuado, surgen dos cuestones: Cómo de 103

2 Práctcas de Óptca Fsológca y Pscofísca de la Vsón fable es el resultado? Cómo de cerca está del valor real, cualquera que sea éste? La respuesta a estas cuestones nos lleva a los conceptos de precsón, sensbldad y exacttud, que han sdo defndos de dferente forma por dstntos autores, lo que orgna que actualmente exsta certa dscrepanca en su nterpretacón. Nosotros procuraremos dar las defncones más aceptadas. Para ello debemos dstngur s se ha realzado una sola medda o varas meddas de la magntud. En el caso de una sola medda la sensbldad está asocada al error absoluto de dcha medda y la precsón al error relatvo, conceptos que trataremos más adelante. En el caso de dsponer de más de una medda (stuacón recomendable sempre) ntroducmos estos tres conceptos de la sguente forma: La cuestón sobre la fabldad del resultado está relaconada con la precsón o reproducbldad del expermento. El concepto de precsón hace referenca a la concordanca entre una medda y otras de la msma magntud, realzadas en condcones sensblemente guales. Por tanto un dspostvo será más precso cuanto menor sea la dferenca entre dstntas meddas de una msma magntud en condcones déntcas. La cuestón sobre la cercanía del resultado al valor real está relaconada con la exacttud o proxmdad al valor verdadero (s fuese conocdo). Se defne exacttud como el grado de concordanca entre el valor verdadero y el expermental. Por tanto un aparato será tanto más exacto cuanto más próxmos sean los resultados de las meddas al valor "verdadero" de la magntud. Otro concepto necesaro para caracterzar a los aparatos de meddas es el de sensbldad. La sensbldad de un aparato está relaconada con el valor mínmo de la magntud que es capaz de medr. Normalmente se suele admtr que la sensbldad de un aparato vene ndcada por el valor de la dvsón más pequeña de la escala de medda.. Clasfcacón de errores Las palabras precsón y exacttud tenen sgnfcados completamente dstntos en la teoría de errores, mentras que se usan de manera ndstnta en el lenguaje cotdano. La dstncón se apreca claramente s atendemos a los posbles tpos o fuentes de errores. Éstos se clasfcan en dos grandes grupos: errores sstemátcos y errores accdentales. a) Errores sstemátcos. Son errores que tenen lugar sempre en el msmo sentdo y que se repten constantemente en el transcurso de un expermento. Pueden ser causados por errores de calbracón (o errores de cero) de los aparatos de medda, condcones expermentales no apropadas (presón, temperatura, etc.) que afectan a los nstrumentos de medda, tendencas erróneas en el observador, técncas de medda nadecuadas, uso de fórmulas o modelos aproxmados, etc. Un mnucoso análss del nstrumento y del procedmento de medda permte elmnar en lo posble la presenca de estos errores. Por lo tanto, los errores sstemátcos 104

3 Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores. afectan a la exacttud de la medda, es decr, a la proxmdad al valor verdadero, ya que hacen que todos los resultados sean erróneos en el msmo sentdo (demasado altos o demasado bajos). b) Errores accdentales o aleatoros. Son debdos a dversas causas dfícles o mposbles de controlar y alteran las meddas realzadas en dferente cuantía y sentdo cada vez. Pueden ser causados por fluctuacones en las condcones ambentales durante el expermento, errores de aprecacón debdos a las lmtacones de nuestros sentdos, errores de precsón mpuestos por la sensbldad del aparato de medda, etc. Todo esto da lugar a que la repetcón reterada de la medcón realzada por un msmo observador no sempre lleve al msmo resultado. El error debdo a la superposcón de todos estos efectos sólo puede ser detectado s el nstrumento de medda es sufcentemente sensble. Su valor no puede ser estmado a partr de una medda aslada, sendo necesara la realzacón de una sere de meddas que permta, medante un tratamento estadístco de los datos, determnar una cota máxma de error. Los errores accdentales afectan a la precsón o reproducbldad de un expermento. Por ejemplo, la obtencón de varas meddas de la msma magntud, dferentes entre sí, nos permtrán determnar el valor de dcha magntud de forma menos precsa que s los valores obtendos hubesen sdo más parecdos entre sí. Ambos tpos de errores pueden darse smultáneamente y/o de forma ndependente, de forma que se pueden tener resultados precsos aunque poco exactos, etc., dependendo de los tpos de errores mplcados. 3. Error absoluto. Error relatvo Dado que, como hemos vsto, no es posble conocer el valor exacto de nnguna magntud, en toda medda resulta necesaro dar alguna ndcacón del error cometdo que dé cuenta de cuánto puede alejarse el resultado obtendo del valor exacto. Por lo tanto, en cualquer medda se debe ndcar el error que puede haberse cometdo. El error puede expresarse de dos formas dferentes que no deben ser confunddas: Error absoluto: Es el valor absoluto de la dferenca entre el valor obtendo expermentalmente y el verdadero valor de ésta. En prncpo, como el valor exacto no suele ser conocdo, no se podría conocer el error absoluto. Ahora ben, la teoría de errores nos permte al menos estmar, como veremos posterormente, la ncertdumbre asocada a la medda de una magntud dada, que va a ser lo que consderaremos como error absoluto. El error absoluto tene las msmas dmensones físcas y, por tanto, las msmas undades, que la medda a la que acompaña, y se suele representar como x, de forma que el resultado de la medda x de una magntud X debe expresarse como X = x ± x con sus undades correspondentes (por ejemplo, 1,6 ± 0,4 cm). Error relatvo: Es el cocente entre el error absoluto y el verdadero valor de la msma y, en consecuenca, no tene dmensones. Aunque tampoco 105

4 Práctcas de Óptca Fsológca y Pscofísca de la Vsón es conocdo, una estmacón del msmo vene dada por: ε r = x / x (en tantos por uno, donde x es el resultado de la medda). Suele darse en tantos por cento ( ε r 100). (En el ejemplo anteror, el error relatvo sería del 3,%). En general, una medda con un error relatvo de más del 10 % es más ben pobre, mentras que s el error es del 1 % o menor, la medda puede consderarse buena, aunque este crtero camba según el campo de aplcacón. Como hemos dcho, los errores absoluto y relatvo nos hablan de la sensbldad y precsón respectvamente, cuando tenemos una sola medda. Los sguentes ejemplos nos aclaran estos conceptos: Ejemplo: Supongamos que dsponemos de una sola medda de la edad de dos personas: un nño de meses y un hombre de 48 años. La sensbldad de cada una de estas meddas concdría con el error absoluto de ambas: 1 mes y un año respectvamente. Sn embargo la precsón sería en el prmer caso, 1/1 (8,33%) y en el segundo 1/48 (,08%). En este ejemplo la segunda medda es aproxmadamente 4 veces más precsa. 4. Presentacón de resultados. Conveno en el redondeo. El valor expermental de una magntud A debe expresarse con un número de cfras que vene determnado por el valor del error absoluto, ya que sería absurdo presentar una medda hasta la dezmlésma cuando el error estuvese en las décmas. Ese número de cfras es lo que se llama número de cfras sgnfcatvas. El número de cfras sgnfcatvas es el número de cfras que hay desde la prmera cfra dstnta de 0 empezando por la zquerda hasta la prmera cfra que venga afectada por el error absoluto, cuando éste es conocdo. Un resultado no estará correctamente expresado s no se aplcan adecuadamente las técncas de redondeo. Partendo de la magntud y de su error absoluto con todas sus cfras, el procedmento de redondeo se resume en los sguentes pasos: 1) Se examnan las dos prmeras cfras sgnfcatvas del error absoluto (esto es, descontando los ceros a la derecha e zquerda del número). S estas dos cfras forman un número menor o gual a 5, se conservan ambas 1. S es mayor, se conserva una sola cfra. En ambos casos, la últma cfra conservada se redondea aumentándola en 1 undad s la sguente cfra (la prmera cfra descartada) es mayor que 5. ) A contnuacón, se expresa la magntud de forma que su últma cfra sea del msmo orden que la del error, descartando las demás y redondeándola de la msma forma que el error absoluto, o sea, aumentándola en 1 undad s la sguente cfra (la prmera descartada) es mayor o gual que 5, y no alterándola s es menor que 5. 1 En el caso de que, por ejemplo, sea 0,5, sólo se conservarán las dos s la sguente cfra es menor que 5. S no, pasaría a ser 0,6, que se redondea a 0,3. 106

5 Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores. Una vez redondeados los resultados, se presenta el resultado fnal de la sguente manera: A = (valor de A ± error absoluto de A) Undades En ocasones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden suprmr, ya que están ndcando cuál es el orden de magntud correcto o smplemente que la cfra ndcada es efectvamente 0 y no cualquer otra (por ejemplo, escrbr (±0,4) cm es ncorrecto, ya que lo correcto sería (,0±0,4) cm, puesto que ese 0 decmal, en el valor de la magntud, es una cfra sgnfcatva). Para números muy grandes o muy pequeños convene usar la notacón centífca, esto es, en potencas de 10, respetando el número sgnfcatvo de cfras, expresando el valor y su error relatvo con la msma potenca de 10. Por ejemplo, ó 1, Cuando los cálculos se realzan medante calculadora u ordenador, convene conservar sempre todas las cfras que éstos permtan, procedéndose al redondeo SÓLO en el resultado fnal, NUNCA redondeando resultados ntermedos. S en la fórmula o ley que permte el cálculo de una magntud aparece alguna constante matemátca o físca (como π, g, c, N A, etc.), convene consderar, en el momento de operar, el máxmo número sgnfcatvo de cfras (por ejemplo las 8 cfras sgnfcatvas que suelen aparecer en las calculadoras centífcas), de forma que el error consderado sea desprecable frente a los de las magntudes que ntervenen en la fórmula. 5. Tpos de meddas Las meddas que se realzan en un laboratoro pueden ser de dos tpos: Meddas drectas: El valor de la magntud que se quere conocer se mde drectamente con el nstrumento de medda (esto es, medante la comparacón con un patrón adecuado o la utlzacón de un aparato calbrado). Ejemplos de meddas drectas son: la medda de una longtud con un calbre, el tempo con un cronómetro, el voltaje con un voltímetro, etc. Meddas ndrectas: El valor de la magntud deseada se obtene como resultado del cálculo realzado a partr de otras magntudes relaconadas con la magntud a determnar y de certas constantes. Por ejemplo, la determnacón (medda ndrecta) del volumen V de un clndro a partr de la medda (drecta) de su dámetro D y de su altura h aplcando la D expresón V h = π. 107

6 Práctcas de Óptca Fsológca y Pscofísca de la Vsón 6. Determnacón de errores. En todo lo que sgue se va a suponer que se han dentfcado todas las fuentes de error sstemátco y que éstos han sdo reducdos a un nvel desprecable, de forma que las úncas fuentes de error que quedan son las accdentales. La estmacón de los errores en las meddas es dferente s se trata de meddas drectas o de meddas ndrectas Cálculo de errores en meddas drectas Cas todas las meddas drectas mplcan la lectura de un valor de una escala o en una pantalla dgtal. Se pueden dstngur dos casos dependendo de cómo sean los errores accdentales frente a la precsón del aparato, esto es, dependendo de s al medr varas veces la msma magntud con el aparato se obtene exactamente el msmo resultado o no: a) Cuando los errores accdentales son pequeños frente a la precsón del aparato (al medr varas veces el resultado es sempre el msmo o muy parecdo) En este caso, los errores accdentales son desprecables frente a la precsón del aparato. El margen de error es el que ndque el fabrcante en el manual de nstruccones. En nuestro caso, para las práctcas que se van a llevar a cabo en el laboratoro, resulta razonable aplcar el crtero sguente para el límte de error (error absoluto) en susttucón de las especfcacones del fabrcante: S la medda se ha hecho con un aparato analógco, es decr, basado en una escala graduada, se toma como error absoluto la menor undad que pueda medr el aparato (dstanca entre dos dvsones). En cuanto al valor de la magntud medda, éste vendría dado por el de la marca que está más cercana a la poscón de la aguja. S la medda se ha hecho con un aparato dgtal, tomaremos como error absoluto una undad del últmo dígto de la lectura del aparato (salvo ndcacón del fabrcante). Por ejemplo, s un voltímetro dgtal da un valor de 9,7 mv, el error absoluto es ±0,1 mv. b) Cuando los errores accdentales son superores a la precsón del aparato (los resultados de la medda no son sempre los msmos) El error del nstrumento es desprecable frente a los errores accdentales y debe hacerse un tratamento estadístco de los resultados. Por ello en este caso resulta necesaro realzar varas meddas. El número de meddas que debemos realzar vendrá determnado por la dspersón de los valores ndvduales obtendos en cada medcón, según el sguente procedmento: - Realzaremos sempre tres meddas de la magntud, asgnándoles como valor del error absoluto la sensbldad del aparato de medda. - Se halla la dspersón total de las msmas, D, es decr la dferenca entre los valores extremos de las meddas; s la dspersón no 108

7 Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores. supera el valor de la sensbldad del aparato, S, tomaremos como "valor verdadero" de la magntud el valor medo o meda de las meddas, n x x = 1 (1) n y le asgnaremos el valor de la sensbldad como error absoluto. - En el caso de que D sea mayor que S deberemos calcular el tanto por certo de la dspersón T respecto al valor medo de las meddas: D T % = 100 () x dependendo del valor de dcho tanto por cento, tendremos sufcente con estas tres meddas ncales o, por el contraro, deberemos realzar un mayor número de las msmas, según el sguente crtero: T % Bastan las 3 meddas ncales realzadas % < T 8% Total de meddas necesaras: 6 8% < T 15% Total de meddas necesaras: 15 15% < T Total de meddas mínmo necesaras: 50 Tras haber realzado las meddas necesaras, se tomará como valor de la magntud el valor medo de las msmas x y se le asgnará un valor del error absoluto según el número de meddas: - S el número de meddas necesaro es 3, se tomará como valor del error absoluto la sensbldad del aparato S, es decr x=s - S dcho número es 6, se tomará como error absoluto el máxmo entre la sensbldad del aparato y la cuarta parte de la dspersón de las meddas: D6 x = máx, S (3) 4 - En el caso de que hayan sdo necesaras más de 6 meddas, el error absoluto se obtene a partr del error cuadrátco medo (tambén denomnado desvacón típca σ n 1 o desvacón estándar ) del conjunto de las N meddas, es decr: n ( x x) 1 x = σ n 1 = (4) n 1 - S se han realzado más de 50 meddas, se construye el hstograma representatvo de las msmas, tomando en abscsas, a ntervalos regulares, los valores de las meddas realzadas y representando cada una por un punto sobre la abscsa correspondente. En este caso debemos segur realzando meddas, hasta que la dstrbucón resultante tenga forma de dstrbucón gaussana o normal. Sobre esta dstrbucón se obtene como estmacón del valor verdadero En las calculadoras suele haber un botón σ n 1 que calcula la desvacón estándar. 109

8 Práctcas de Óptca Fsológca y Pscofísca de la Vsón de la magntud al valor medo de la msma y como medda del error el error cuadrátco medo o desvacón estándar. Se puede demostrar medante razonamentos estadístcos, en los que no vamos a entrar, que s todas las fuentes de error son pequeñas y aleatoras y se realzase un número grande de meddas, sería de esperar que el 68,3 % de los resultados cayese dentro de x ± σ n 1, esto es, la probabldad de que nuestro resultado esté entre x σ n 1 y x + σ n 1 es del 68,3 %. Esto es lo que se conoce como el límte de confanza del 68,3 %. S en su lugar se escoge x ± σ n 1, estaríamos usando un límte de confanza del 95,4 %, y s es x ± 3σ n 1, sería del 99,7 %. 6.. Cálculo de errores en meddas ndrectas Dado que la medda ndrecta de una magntud provene del cálculo a partr de otras magntudes meddas a su vez drecta o ndrectamente, medante la aplcacón de leyes físcas o fórmulas matemátcas en general, es mportante saber cómo se propagan los errores desde las drectas a las ndrectas. De ello se encarga la teoría de propagacón de errores que presentaremos a contnuacón, fundamentada en el cálculo dferencal. En algunas ocasones, una magntud es medda ndrectamente a partr de otra únca magntud (funcón de una sola varable, f(x)), pero, en general, es medda a partr de varas magntudes (funcón de varas varables, f(x,y, ), cada una de las cuales tene su propo margen de error ( x, y, ). Por otro lado, en unos casos los errores de las magntudes que ntervenen son ndependentes (no están relaconados entre sí) y son totalmente aleatoros, aunque en otros puede no estar tan clara la ndependenca de los errores n su aleatoredad. Habrá que tener en cuenta todos estos factores a la hora de propagar los errores. Supongamos que la magntud que se quere determnar ndrectamente A sea resultado de la aplcacón de una fórmula A = f(x, y, ) en la que aparecen varas magntudes x, y, que han sdo meddas con errores absolutos x, y, El valor expermental de A será el que resulte de evaluar esa funcón para los valores expermentales de las demás magntudes x, y,. Se puede demostrar que una estmacón del error absoluto de A vene dada por: f f = x + y +... x y A (5) f f donde,,... son las dervadas parcales de f respecto de x, y, etc., x y estando evaluadas todas las dervadas parcales en los valores expermentales de x, y, etc. Esta es la fórmula general de la propagacón de errores en fórmulas matemátcas que usaremos en las práctcas de laboratoro. Partcularmente nteresante es lo que ocurre cuando, por ejemplo, A es suma o resta de dos o más varables A = x + y +... En este caso el 110

9 Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores. error de A se obtene como suma de los errores ndvduales de cada una de las varables de que depende A = x + y +... sn más que aplcar la ecuacón 5. En otro caso partcular, en un producto, se obtene que el error relatvo es la suma de los errores relatvos de cada uno de los factores. 7. Construccón de gráfcas A la hora de realzar representacones gráfcas se deben respetar las sguentes normas: a) El eje de abscsas y el eje de ordenadas Un conveno ben establecdo para todas las práctcas es representar en el eje de abscsas (horzontal) la varable ndependente (aquella que elge el expermentador en cada medda), y en el eje de ordenadas (vertcal) la varable dependente (aquella cuyo valor se determna); brevemente. Lo que hacemos es tratar de representar efecto (en el eje vertcal) frente a causa (en el eje horzontal). b) El papel Los papeles más utlzados en las gráfcas de Físca son el lneal (normalmente graduado en mlímetros y por eso comúnmente llamado papel mlmetrado), y el logarítmco, que puede ser semlogarítmco (de rayado logarítmco en un solo eje y lneal en el otro) y logarítmco sobre ambos ejes. c) Identfcacón de cada eje Los ejes deben rotularse sempre con el nombre y símbolo de la magntud representada junto a las undades en que se expresa. Tambén debe ndcarse, en su caso, la potenca de 10 correspondente, por la que va multplcada la undad. De este modo, las dvsones en un eje pueden enumerarse 1,, 3,... en lugar de , 0.000, ,... ó de 0,001, 0,00, 0,003,... etc., s en el eje se ndca 10 4 ó 10-3, respectvamente. En los ejes se marcarán los valores de las varables representadas, a ntervalos regulares, de acuerdo con la escala escogda. d) Escalas La seleccón de la escala utlzada en cada eje debe hacerse de modo que: Los puntos expermentales no queden todos juntos, debendo cubrr toda la zona del papel. La escala debe ser senclla. Lo más sencllo es representar por un mlímetro una potenca de 10 de la undad; la sguente smplcdad es aquella en que un mlímetro (ó un centímetro) representa ó 5 undades. El orgen de la representacón no tene por qué ser el punto (0, 0). Salvo en casos especales la escala y el orgen se tomarán de manera que la curva a representar quede centrada en el papel y ocupe la mayor parte de éste. Cada punto se representa por un punto (.), un astersco (*), u otro símbolo parecdo. S exsten varas curvas en la msma gráfca con dferentes sgnfcados, los puntos de cada una se representan con dstntos símbolos y/o en dstntos colores. 111

10 Práctcas de Óptca Fsológca y Pscofísca de la Vsón e) Representacón gráfca del error de las meddas S se representan los errores se deben reflejar como una cruz o un rectángulo, centrados en el punto y de dmensones horzontales y vertcales el doble del valor del error absoluto de las coordenadas horzontales y vertcales del punto en cuestón. f) Ajuste de líneas a los puntos representados En el caso de que realce un ajuste por mínmos cuadrados de sus datos deberá pntar la línea (o curva) obtenda con ese método sobre la gráfca. La línea (o curva) ha de ser una línea fna y contnua, nunca quebrada, que debería pasar por todos los rectángulos de error, y que en muchos casos no pasa por los puntos expermentales (ncluso puede que no pase por nnguno). S al hacer esta operacón alguno de los rectángulos de error queda excesvamente alejado de la forma contnúa de la gráfca, puede que se trate de un error, y que sea convenente repetr la medda correspondente a dcho punto. 8. Análss de regresón lneal. Método de los mínmos cuadrados. Es frecuente en muchos expermentos y en muchas ramas de la cenca encontrar relacones lneales entre dos varables. El objeto de un análss de regresón es nvestgar la relacón estadístca que exste entre una varable dependente (y) y una varables ndependente (x). Para poder realzar esta nvestgacón, se debe postular una relacón funconal entre las varables. Debdo a su smplcdad analítca, la forma funconal que más se utlza en la práctca es la relacón lneal. Cuando solo exste una varable ndependente, esto se reduce a la ecuacón de una recta: y = ax + b (10) donde a es la pendente de la recta y b es la ordenada en el orgen. Por ejemplo la relacón entre el espaco recorrdo (por un cuerpo en movmento rectlíneo con velocdad constante) y el tempo es una relacón lneal: e = e 0 + vt donde la pendente de la recta es la velocdad del cuerpo v y donde la ordenada en el orgen es el espaco ncal e 0. En otros casos en las que las relacones no son aparentemente lneales éstas se pueden reformular (modfcando las varables que se escogen como ndependente y dependente de forma adecuada) hasta consegur que la relacón sea lneal. Es el caso, por ejemplo, del movmento unforme acelerado donde la relacón entre la velocdad del móvl y el tempo es 1 una relacón cuadrátca: v = gt + v 0. S como varable ndependente tomáramos el tempo al cuadrado t entonces la relacón entre la velocdad del móvl y el tempo al cuadrado es una relacón lneal: con la pendente de la recta dada por y sendo la velocdad ncal v0 la ordenada en el orgen de la recta, tal y como se representa en el sguente esquema que resume la dentfcacón de cada uno de los térmnos. 11

11 Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores. Relacón lneal entre las varables v y t 1 v = g t + v 0 y = a x + b Imagnemos que sospechamos que la relacón entre dos varables (x e y meddas expermentalmente en el laboratoro) es una relacón lneal y que además queremos hallar cuanttatvamente dcha relacón. Para cercorarnos de dcha relacón lneal podríamos prevamente representar en una gráfca la nube de puntos expermentales y ver s realmente están stuados sobre una recta. Cuál sería la recta que mejor ajusta dchos puntos expermentales? Para buscar la mejor recta (tambén llamada recta de regresón lneal) que ajuste nuestros datos tenemos que encontrar los valores de a (pendente) y b (ordenada en el orgen). Nuestro problema consste en obtener estmacones de estos coefcentes a partr de los valores de las varables x e y. En el análss de regresón lneal, estas estmacones se obtenen por medo del método de mínmos cuadrados. Intentemos aplcar de forma matemátca las deas expuestas en el párrafo anteror: el método llamado de mínmos cuadrados. Esta técnca trata de buscar la recta que mejor ajuste a una nube de puntos, mponendo la condcón de que la suma de los cuadrados de las dstancas entre los valores de la varable dependente y de los correspondentes a los predchos por la ecuacón lneal sea mínma: d = [ y ( ] ax + b) (11) Para que sea un mínmo debe ocurrr que: d / a = 0 ; d / b = 0. Se deja para el esforzado alumno la demostracón de las sguentes expresones para el valor de la pendente (a) y de la ordenada en el orgen (b) de dcha recta: n n n n n n x y x y y a x a = ; b = (1) n n n n x x 1 1 sendo n el número de meddas, a la pendente de la recta a determnar y b su ordenada en el orgen. Los errores correspondentes al cálculo del error de la pendente y de la ordenada en el orgen son, respectvamente: a = n ( y ax b) 1 ( n ) n ( x x) ; b = n ( y ax b) 1 n( n ) (13) 1 El método descrto en los párrafos anterores parte de la dea de optmzar el ajuste respecto de la varable dependente. Así, obtenemos lo que se llama la recta de regresón de y sobre x. S hcéramos lo propo 113

12 Práctcas de Óptca Fsológca y Pscofísca de la Vsón con la varable ndependente, obtendríamos otra recta de regresón (de x sobre y) con otra pendente dstnta. A partr de estas pendentes podemos determnar el grado de dependenca lneal que exste entre ambas varables. Esto es lo que se llama correlacón lneal entre las varables x e y. El parámetro que da cuenta de esta correlacón, es el llamado coefcente de correlacón lneal r. Éste se calcula obtenendo la meda geométrca de las pendentes de las dos rectas de regresón antes descrtas. La expresón matemátca útl para este parámetro es: n n n n x y x y = r = (14) n n n n n x x n y y = El coefcente de correlacón lneal, puede demostrarse que es un número comprenddo entre -1 y +1. Cuanto más cerca esté r de la undad, nterpretaremos que más fuertemente lneal es la correlacón entre las varables. Por ello es mportante calcular, prevamente al ajuste de mínmos cuadrados, el valor del coefcente de correlacón y comprobar que su módulo es cercano a la undad, y de esta manera asegurar que la curva que mejor se ajusta a la nube de puntos es una recta. Para valores de r nferores a 0,85, debe buscarse otro tpo de dependenca funconal entre las varables. S el coefcente de correlacón lneal es mayor o gual que 0,9 y menor que 1, sempre se debe expresar con todas sus cfras hasta la prmera que no sea 9, redondeándola en su caso (por ejemplo, s resulta ser 0, , habría que expresarlo como 0,9997). Por debajo de 0,9, se puede expresar con cfras sgnfcatvas. Para realzar los cálculos correspondentes al ajuste por mínmos cuadrados, es convenente utlzar calculadoras centífcas donde aparezcan estos parámetros de forma explícta o ben utlzar programas de ordenador que los calculan de forma rápda y senclla. 9. Sugerencas para la realzacón de guones. Pretendemos proporconar aquí unas líneas generales para elaborar los guones que deben entregarse posterormente a la realzacón de las práctcas, sn que coarte la lbertad ndvdual, pero sí establecendo unas drectrces comunes. Podemos destacar tres grandes bloques en la realzacón de los guones: a) Objetvos y Fundamentos Teórcos: Debe quedar muy claro cuáles son los objetvos de la práctca. Tambén deben nclurse unos fundamentos teórcos mínmos necesaros que nos permtan entender qué se hace y cómo se hace (No tene sentdo copar los guones; el alumno debe entender y explcarlo con sus propas palabras). b) Realzacón de la Práctca: Comenzaremos hacendo una exposcón de las meddas expermentales realzadas, justfcando cuántas hemos tomado, el error asocado a ellas, etc., y por qué. Es deseable el uso de tablas sencllas y claras. 114

13 Tratamento de datos expermentales. Teoría de errores. La práctca debe entregarse perfectamente presentada y con todos los cálculos, ncludos los de errores, especfcados. S hay que presentar alguna gráfca hágalo sguendo las recomendacones para construrlas (apartado 9 de este cuaderno). En el caso de que sea necesaro realzar un ajuste por mínmos cuadrados ncluya los datos proporconados por el programa que realza los cálculos y saque las conclusones oportunas. A contnuacón procederemos al tratamento de dchas meddas y a la obtencón de los resultados, tenendo en cuenta para ello el cálculo de errores en meddas drectas e ndrectas. Ha de prmar en todo momento el sentdo común y la lógca, y no la consecucón exclusva de un excelente resultado. No olvde que todos los resultados tanto fnales como ntermedos poseen undades y tenen errores asocados. Fnalmente el resultado fnal debe comentarse (comparacón con el valor verdadero s se conoce-, causas de error, posbles mejoras de la práctcas, etc.) con el espírtu crítco que debe poseer cualquer estudante de una carrera de cencas. c) Cuestones: Con ellas se busca la amplacón de conocmentos teórcos, así como las posbles mejoras que pueda sugerr el alumno tras la realzacón de la práctca. 10. Undades báscas, múltplos y submúltplos decmales (A) Undades báscas en físca Magntud Nombre Símbolo Magntud Nombre Símbolo Longtud metro m Temperatura termodnámca Masa klogramo kg Cantdad de sustanca kelvn Tempo segundo s Intensdad lumnosa candela cd Intensdad de corrente eléctrca ampere A mol K mol (B) Undades dervadas sn dmensón. Magntud Nombre Símbolo Expresón en undades SI báscas Ángulo plano Radán rad m 1 m -1 = 1 Ángulo sóldo* Estereorradán sr m m - = 1 (C) Múltplos y submúltplos decmales Factor Prefjo Símbolo Factor Prefjo Símbolo 10 1 tera T 10-1 dec d 10 9 gga G 10 - cent c 10 6 mega M 10-3 ml m 10 3 klo k 10-6 mcro µ 10 hecto h 10-9 nano n 10 1 deca da 10-1 pco p 115

14 Práctcas de Óptca Fsológca y Pscofísca de la Vsón (D) Algunos datos fotométrcos relevantes Escenas naturales (Mddleton,195) Lumnanca (cd/m ) Celo despejado al amanecer 10 4 Celo despejado, 30mn después de atardecer Celo nuboso al amanecer 10 3 Celo nocturno, con luna llena Celo grs al amanecer 10 Celo nocturno, despejado sn Celo nuboso al atardecer 10 Celo despejado, 15mn después de atardecer 1 luna llena Celo nocturno, nuboso sn luna llena Lumnanca (cd/m ) Umbrales relevantes en vsón (Hood and Fnkelsten, 1986) Nvel de lumnanca (log cd/m ) Nvel de lumnanca (log trolands) Umbral absoluto Nvel escotópco Umbral para conos -3 - Nvel mesópco Saturacón en bastones.6 Nvel fotópco Umbral dañno Conversón de cd/m a foot-lamberts : cd/m * trolands fotópcos : cd/m * p * (rado de la pupla en mm) fotones absorbdos por receptor por segundo: cd/m * 10 * p * (rado de la pupla en mm) Nt : cd/m * 1 = 1 cd/m Stlb : cd/m * 10-4 = 1 cd/cm Apostlb : cd/m * 3,14 Lambert : cd/m * 3,14 x 10-4 Mlllambert : cd/m * 0,