INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA

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1 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA LABORATORIO PRACTICA 4: LEYES DE LOS GASES 1. OBJETIVOS ) Comprobacón expermental de las leyes de los gases. En este caso nos vamos a concentrar en el estudo de las Leyes de Boyle y de Gay-Lussac. ) ) Determnacón de la temperatura absoluta. Aplcacón de la regresón lneal (mínmos cuadrados). INTRODUCCIÓN Como han vsto en otros cursos (físca general 1, físca térmca), dado un gas deal contendo en un certo recpente, entonces su volumen V, su temperatura T (en Kelvn), y su presón P, obedecen a la sguente relacón: PV = constante (1) T Además, esas varables están relaconadas entre s por la ecuacón de estado, o ley de gas deal, expresada por: PV = nrt () donde n es el número de moles de gas contendo en el volumen, y R es conocda como la constante unversal de los gases. Dependendo de la undades de la presón y el volumen, R tene los sguentes valores: R = J mol -1 K -1 (3) R = l atm mol -1 K -1 1

2 EJERCICIO: Mostrar que el prmer valor de R puede ser convertdo para dar el segundo valor. La cantdad de gas presente en un recpente es expresada comúnmente en térmnos del número de moles de sustanca. Recordar que un mol de cualquer sustanca es equvalente a 6.0x10 3 moléculas de dcha sustanca (6.0x10 3 es conocdo como el numero de Avogadro, N A ). Entonces, la masa de dcha sustanca estará dada por: m = nm (4) donde M es la masa molar de la sustanca (masa de un mol de sustanca). S asummos que el recpente es hermétco, el número total de moles (y por ende la masa) de la sustanca permanecerá constante. Es de hacer notar que para todos los gases, cuando extrapolamos la curva P-T a presón cero, la temperatura del gas es o C. Esa es la comúnmente llamada temperatura absoluta, cero absoluto, o T o. S mantenemos la temperatura del gas constante, la ecuacón 1 se denomna la Ley de Boyle: PV = constante (5) V 1 P S el volumen del gas es mantendo constante, entonces la ecuacón 1 se denomna en la Ley de Gay-Lussac: P = constante T P T (6) Recordar: 1 atm = 101,35 Kpa=760 torr (1 pascal es la presón resultante de aplcar una fuerza de 1 N en 1 m ).

3 Como nota de nterés general, nuestra atmósfera cerca de la superfce terrestre está compuesta típcamente por los sguentes gases: Tabla 1. Componentes del are (vapor de agua no ncludo) Consttuyente Concentracón (% en volumen) N O Ar CO MATERIALES. -Ley de Boyle: - Jernga graduada - Sensor de presón - Interfase LabPro -Ley de Gay-Lussac: - Jernga graduada - Baño termostatzado - Termómetro - Sensor de presón - Interfase LabPro - Tapa de acrílco - Agua destlada 3

4 4. PROCEDIMIENTO (ver fotos de los equpos más abajo) Ley de Boyle Con la jernga desconectada del sensor llevar el émbolo hasta la marca de 10 ml, luego conectarla. La jernga y el tapón se conectan al sensor de presón por medo de rosca. NO SON DE EMBUTIR!!!!!! Se aconseja que un membro del grupo trabaje con la jernga mentras los otros ngresan los datos. a. Seleccone Colectar para comenzar la adquscón. b. Mueva el pstón hasta la poscón 5 ml, mantenga frme el émbolo hasta que vea que el valor de la presón se ha establzado. c. Seleccone Keep e ngrese el valor 5 y presone Enter. Repta el procedmento anteror para dstntos valores de volumen. (aconsejamos tomar: 5,7.5,10,1.5,15.0,17.5,0ml) Nota:Un error que podemos cometer en esta parte de la práctca es no consderar el pequeño volumen que queda entre el sensor y la punta de la jernga, este volumen es de 0.8ml, así que sí sumáramos este valor a los valores sugerdos podríamos obtener resultados más exactos. Ley de Gay-Lussac Colocar el agua destlada en la cuba térmca, graduar esta a 70ºC, con el termostatzador APAGADO. Con la jernga desconectada del sensor, llevar el volumen a unos 10 ml. Ajustar el émbolo con la peza de plástco con tornllos. Efectuar la conexón del sensor a la jernga hacendo uso de la llave de plástco. Introducr el conjunto en la tapa de acrílco, y luego en el baño de agua. Es mportante que toda la jernga quede completamente sumergda en el agua. a. Seleccone Colectar para comenzar la adquscón. b. Mda con el termómetro la temperatura del baño, seleccone Keep, ngrese el valor obtendo y presone Enter. Encenda el termostatzador, el agua comenzará a calentarse, deje que la temperatura del baño vaya subendo gradualmente. Repta el proceso de adquscón para dstntos valores de temperatura. Para los dos partes de la práctca examne los pares de datos y construya las gráfcas correspondentes. A partr de ellas evalúe qué relacón matemátca utlzaría para ajustar los datos en cada uno de los casos. 4

5 5. ANALISIS Y DISCUSION DE LOS RESULTADOS Verfque qué tpo de proporconaldad exste entre la presón y el volumen en un gas deal. Determne el número de moles y el número de moléculas de are contendas en el recpente usado (con las ncertdumbres correspondentes). Qué tpo de proporconaldad exste entre la presón y la temperatura en un gas deal? Verfque cuáles son los valores de los parámetros de mínmos cuadrados consderando las ncertdumbres de medcón. Se cumplen las leyes de Boyle y Gay Lussac? Determne la temperatura del cero absoluto en grados Celcus. Use la Tabla 1 para determnar la masa de oxgeno contenda en el volumen que utlzó en la comprobacón de la ley de Gay Lussac. IMPORTANTE: Leer y estudar el apéndce A de este repartdo sobre Mínmos cuadrados. Usar "help" en MATLAB para uso de "POLYFIT". Contnuar estudando apéndces repartdo anteror ( Tratamento de Datos). Un materal muy bueno sobre estos tema, que RECOMENDAMOS LEER Y ESTUDIAR, se encuentra en la págna WEB "Físca Recreatva" de las Unversdades Naconal de San Martín y Unversdad de Buenos Ares - Buenos Ares - Argentna: Dcho materal es públco y se puede abrr medante el programa ADOBE-ACROBAT. De los tópcos allí tratados, sugermos leer los tres prmeros, o sea: Introduccón general a la teoría de errores. Análss gráfco. Ajuste de datos - Análss de regresón. Bblografía - Físca. Cap.17 Cutnell Lmusa. Norega Edtores.Prmera edcón Físca re- Creatva, S. Gl y E. Rodríguez. - Pagna WEB: 5

6 LEY DE BOYLE LEY DE GAY-LUSSAC (foto extraída de stuacón smlar a la nuestra). 6

7 Tabla de datos para Ley de Boyle: VOLUMEN (ml) PRESIÓN (KPa) K ( Kpa.ml ) 7

8 Tabla de datos para Ley de Gay-Lussac: TEMPERATURA (ºC) TEMPERATURA (Kelvn) PRESIÓN (KPa) CONSTANTE ( ) 8

9 APÉNDICE A MÉTODO DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS Supongamos que tenemos un modelo de un sstema físco descrto por una y = f x; a, b, c,..., donde a, b, c, etc. son parámetros, y un conjunto de meddas funcón ( ) expermentales del sstema físco ( x, y ). El problema entonces, es determnar los parámetros a, b, c,..., que hagan que la funcón se ajuste lo mejor posble a los datos adqurdos. Tenemos que defnr o convenr qué sgnfca ajustar lo mejor posble. Para ello buscaremos mnmzar la suma de los cuadrados de las dstancas (ver fg.) entre los puntos expermentales y la curva teórca, esto es: ( y f ( x, a, b, c,... )) E = (1) Para mnmzar esta funcón con respecto a los parámetros, buscaremos los valores de los parámetros a mn, b mn, c mn,..., que cumplan: ( y f ( x ; a, b, c,... )) a ( y f ( x ; a, b, c,... )) b = 0 = 0 () y así para los otros parámetros (esta condcón es análoga a la que debe satsfacer una funcón de una varable, f(x), para presentar un extremo en x=x 0 ; la dervada en este punto debe ser nula: f (x 0 )=0 ). Los valores que obtengamos del sstema de ecuacones () serán los valores buscados. Vamos a lustrar ahora lo anteror con un ejemplo, supongamos que modelamos la relacón entre dos magntudes x e y por: y = f ( x; a, b) = ax + b (3) En general no exstrán valores de a y b que logren que la recta por ellos defnda pase por todos los puntos meddos, debdo a los dferentes tpos de errores cometdos al medr. 9

10 El problema es entonces, dado el conjunto de meddas (x,y), con =1,,...,n; evaluar del mejor modo posble los parámetros a y b, de manera de obtener la recta que mejor se aproxme a todos los puntos. Sea entonces una recta de coefcentes a y b como se observa en la fgura. Llamemos y teo a la ordenada del punto de la recta que tene abscsa x y cumple la relacón teórca: y teo = a x + b. La dstanca que hay de este punto al valor meddo, será E = y y teo. Tomaremos entonces como una buena estmacón de la desvacón de las observacones con respecto a esta recta, el valor ( y ( ax )) E + = b (4) donde (4) es un caso partcular de (1). Observe que es funcón solamente de a y b, porque los x e y son conocdos. Los valores de a y b para los cuales esta expresón es mínma son aquellos que cumplen E E = 0 = 0, (5) a b de donde, susttuyendo por (4) y resolvendo estas ecuacones obtenemos: ( n x y x. y ) ( n. x ( x ) ) a (6) mn = 10

11 mn ( x. y x. x y ) ( n. x ( x ) ) b (7) = Se sugere al estudante verfcar estos resultados. Veamos ahora cómo saber en forma cuanttatva s el ajuste por el modelo lneal es bueno. Para ello se defne el coefcente de correlacón: r = cov(x,y) (σ X.σ Y ), (8) donde se cov(x,y) representa la covaranza, defnda por cov(x,y) = (1/n). x y (1/n ) ( x. y ), (9) y σ x y σ y son las desvacones cuadrátcas medas de x e y, respectvamente: x v = ( x x n) /( n 1) σ (y una relacón análoga para σ y y v y ). x Se puede ver que por su defncón 0 r 1, y dentro de este ntervalo podemos dstngur tres casos: r 1 mplca correlacón lneal fuerte (r = -1 mplca una relacón lneal con pendente negatva) r 0 mplca correlacón nula, esto es, que las magntudes x e y no están relaconadas. 0 < r < 1 mplca correlacón estadístca. Las defncones anterores nos permten obtener expresones sencllas para las ncertdumbres de a y b. Usando los resultados anterores se llega fnalmente a: y para b: σ a = a.[(1 r ) 1] 1/ ( n ) (10) σ b = σ a. [( x ) n] 1/. (11) El método de mínmos cuadrados o regresón es tambén aplcable a relacones no lneales pero que pueden ser lnealzadas con una adecuada eleccón de nuevas varables. Verfque que las sguentes relacones se pueden llevar a una forma Determne A y B en funcón de a y b: u = Av + B. a 1. Y = bx log Y = log b + a.log X u = logy; v = log X. ax. Y = be ln Y = ln b + a. X u = lny; v = X. a b + X 1 b X 1. Y a a Y 3. Y = = + u = ; v = X ( ) Nota: generalmente es convenente lnealzar las ecuacones, para usar las relacones anterormente calculadas. 11