Método cuantitativos de análisis gráfico

Transcripción

1 Ejemplos Ejerccos Msceláneas Evaluacón Método cuanttatvos de análss gráfco Método de cuadrados mínmos. Regresón lneal. Funcón χ. Obtencón de los parámetros de un modelo. Correlacón lneal. Incertdumbre de los parámetros de un ajuste. 3. Método de cuadrados mínmos Regresón lneal En el capítulo anteror hemos enfatzado sobre la mportanca de las representacones gráfcas. Asmsmo hemos vsto la utldad de las versones lnealzadas de los gráfcos de pares (X, Y) las dstntas maneras de llevar a cabo la lnealzacón, puesto que nos encontraremos a menudo con tales stuacones en el laboratoro. En este capítulo formalzaremos algunos métodos analítcos para estmar los parámetros de un modelo que se confronta a los datos expermentales. De nuevo, el punto de partda será una representacón gráfca de los datos expermentales, a la que queremos superponer la predccón de un modelo. Por ejemplo, magnemos que deseamos determnar la constante k de un resorte que sgue la le de Hooke: F k x (3.) donde F es la fuerza elástca x la elongacón del resorte. Para determnar k se procede a cargar al resorte con dferentos pesos P medr la elongacón que producen. Es fácl reconocer a estas cargas como el estímulo externo, el cual provoca como respuesta del "sstema resorte" la elongacón observada x. Sn embargo, no es necesaro que en la representacón gráfca de los pares de datos (P, x), la carga P ocupe el lugar de la varable ndependente sobre el eje de las abscsas. Por comoddad en el manejo de los datos, es más adecuado representar P en funcón de x, de la pendente de la recta obtener drectamente la constante k buscada. En el presente caso, como regla cas general, s representamos gráfcamente los datos expermentales, éstos no caerán exactamente sobre una recta, sno que presentarán certa dspersón como se lustra en la Fgura 3.. Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez

2 f(x ) 0 4 6X 8 0 X Fgura 3.. Gráfco de datos asocados a un modelo lneal. La cantdad I - f(x ) representa la desvacón de cada observacón de respecto del valor predcho por el modelo f(x ). Es útl defnr la funcón χ (Ch-cuadrado) como: ( P k x ) χ (3.) que es una medda de la desvacón total de los valores observados P respecto de los predchos por el modelo kx. El mejor valor de k es aquel que mnmza esta desvacón total, o sea, el valor que puesto en (3.) mnmza la funcón Ch-cuadrado. Por lo tanto, el mejor valor de k será el que se obtene de resolver la sguente ecuacón: dχ dk d dk ( P k x ) [( P x ) k ( x ) ] 0, o sea: P x k (.7) x Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez

3 En los programas como Excel, Orgn, etc., este cálculo se realza usando la herramenta regresón lneal o ajuste lneal que se aplca cuando la relacón esperada entre las magntudes meddas es lneal todos los datos tenen la msma ncertdumbre absoluta. El método descrpto aquí se aplca de manera análoga para un modelo lneal que nclua una ordenada al orgen: a x + b (3.3) En este caso la funcón Ch-cuadrado es ( a x ) χ b (3.4) para obtener los parámetros a b se requere mnmzar la funcón repecto de ambos parámetros, es decr: dχ da dχ db Método de cuadrados mínmos ncluendo errores - Regresón no lneal Supongamos que tomamos una sere de medcones de dos magntudes cua relacón deseamos determnar. El resultado de nuestras medcones dará lugar a un conjunto de ternas de la forma (x,, σ ), donde σ es la ncertdumbre asocada a la determnacón de. Aquí suponemos que la ncertdumbre de x es desprecable. Supongamos que el modelo que ajusta los datos vene dado por la funcón f(x;a,b,c,...), donde a, b, c, etc., son los n par parámetros del modelo. Al estmador del valor de dado por el modelo lo desgnamos por (x )f(x ;a,b,c,...). Decmos que (x ) representa la varacón determnsta de con x. En este caso más general defnmos el valor de Ch-cuadrado como: ( - ( x )) χ w ( ( x )) - (3.7) σ donde los valores w son los factores de peso de cada trada de datos (x,, σ ); en este caso w /σ. Defnmos el número de grados de lbertad, v, del modelo como: Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 3

4 v. (3.8) n par (x ) Fgura 3.. Dagrama esquemátco de un ejemplo de modelo no lneal representado por la funcón f(x ). σ representa el error absoluto asocado a cada observacón. x x Introducmos la defncón del error medo: σ (3.9) w w σ En nuestro caso hemos defndo los factores de peso de cada trada de datos como la nversa del cuadrado de la ncerteza σ, aunque a veces es útl emplear otros factores de peso de los datos, como por ejemplo: Tambén defnmos la varanca total como: w, o w, etc. (3.0) S t w ( ) (3.) Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 4

5 S t es una medda de la dspersón de los datos alrededor del valor medo de. Este valor no depende del modelo (funcón f(x)), o sea que S t gnora toda varacón determnsta de con x. Tambén defnmos la varanza del ajuste: S f w - n par v ( - ( x )) χ χ v (3.) La varanza del ajuste, S f, al gual que χ o χ v (Ch-cuadrado por grado de lbertad), mden la dspersón resdual de los datos alrededor del valor determnsta, o sea son meddas de la bondad del ajuste de (x ) a los valores meddo. S el modelo determnsta fuese el adecuado, su valor estaría asocado a las fluctuacones estadístcas de respecto de su valor (x ). A veces es útl defnr el coefcente de regresón: S t St S f R (3.3) S el modelo (x ) es una buena representacón de los datos, es de esperar que tanto S f como χ sean pequeños que S t >> S f, de donde se deduce que R. En caso contraro, tanto S f como χ serán grandes S t S f por lo tanto R 0. Una receta para la determnacón de las ncertdumbres de los parámetros del modelo Al gual que en el caso del modelo lneal dscutdo anterormente, los mejores valores de los parámetros del modelo se obtenen de la mnmzacón de la funcón Chcuadrado: Esto es, χ mn a χ (a*, b*, ). * χ ( a, b, c,...) a a a * 0. (3.4) La determnacón de las ncertdumbres en los parámetros (a*, b*, c*,...) es un procedmento sofstcado sobre el que exsten dversas teorías opnones [,3]. Un método aproxmado para calcular estas ncertdumbres en forma gráfca se ndca en la fgura.5. Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 5

6 c χ mn + χ c mn a * Da Fgura 3.3. Esquema gráfco que lustra un procedmento aproxmado para obtener las ncertdumbres de los parámetros de un modelo no lneal. 3.3 Regresón lneal consderando las ncertdumbres de medcón Un caso especal mportante del esquema estadístco dscutdo precedentemente, es el de la regresón lneal, a que en este caso es posble resolver las expresones generales en forma analítca, lo que faclta su uso programacón en muchas aplcacones práctcas. Igual que antes supondremos que se tenen una sere de medcones de dos magntudes x e cua relacón se supone lneal, es decr: a x + b donde a b son los parámetros del modelo que deseamos determnar evaluar. El resultado de nuestras medcones dará lugar a un conjunto de ternas de la forma (x,, σ ), donde σ es la ncertdumbre asocada a la determnacón de. Tambén aquí suponemos que la ncertdumbre de x es desprecable. Al gual que antes defnmos: w σ. (3.5) Ya vmos que este modo de defnr el peso de los datos puede vararse según sea el caso. En partcular s no se dspone de las ncertdumbres σ I, los w pueden tomarse guales a. Usando las sguentes defncones: Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 6

7 SXn n w x SYn n, w. (3.6) SXY w x, Sum w. (3.7) SX SY < x > X, < > Y Sum Sum SX Var ( x ) - X Sum Sum SX - (SX) sum Var(x) (3.8) usando (-38) es posble demostrar que: sendo sus ncertdumbres: [ SXY Sum SX SY ] a. (3.9) b [ SX SY SX SXY ] < > a < > (3.0) σ ó a b Var(a) Var(b) ( Äa ) ( Äb ) Sum Ä SX Ä w SX Var(a) Sum ( a x b) ( ) Sum Var(x), (3.) respectvamente. De modo análogo se demuestra que el coefcente de correlacón vene dado por: ρ SXY Sum x SX Sum x SY Sum Cov ( x, ) Var( x) Var( ) (3.) Este parámetro da una dea de la bondad del modelo lneal propuesto. S ρ es próxmo a, el modelo es adecuado, mentras que s ρ 0 el modelo lneal no es el modelo adecuado. S ρ 0 esto no sgnfca que no haa una vnculacón o correlacón entre x e, sno que el modelo lneal no es el adecuado. Por ejemplo, s los pares de puntos (x,) tene una relacón tal que caen sobre un círculo, tendríamosρ 0. Desde luego, s los pares (x,) no tenen nnguna correlacón entre ellos, tambén tendríamos que ρ 0. Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 7

8 Las ncertdumbres en los valores de los parámetros a b tambén pueden escrbrse en térmnos de ρ del sguente modo: a Var(a) ( ) Var(b) Var ( a) < x >., ρ (3.3) Las ecuacones (3.3) son de verdadera mportanca cuando se realza un análss profundo de los datos expermentales Aplcacones Consderemos el estudo expermental de un péndulo smple, al que se mde el período T para dstntas longtudes L. Supongamos que cada período T (L ) (al que consderaremos la varable dependente del problema) está determnado con la msma ncertdumbre σ(t ), como se muestra en la Fgura 3.4 a. En caso de lnealzar la representacón medante el cambo de varables (L, T ), la nueva varable dependente T tene ncertdumbre σ(t ) dada por las fórmulas de propagacón: T σ ( T ) σ( T) Tσ( T) T de donde se ve nmedatamente que σ(t ) es funcón de T (ver tambén la Fgura 3.4 b). S procedemos a estmar los pará,etros del ajuste lneal a partr de los datos de la Fgura 3.4 b debemos usar las fórmulas de la Seccón 3.3. Las msmas consderacones son váldas en el caso de transformacones usando la funcón logartmo. Recordamos que, en caso de efectuar una lnealzacón usando escalas logarítmcas, la ncertdumbre propagada de una varable Y es (ver Capítulo ): log( Y) σ( Y) σ [ log( Y) ] σ( Y) Y Y que es una funcón de la varable Y. Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 8

9 .5.0 T (s) (a) L (m) T (s ) 4 0 (b) Fgura 3.4. Al cambar la representacón ha cambos en las ncertdumbres de las varables. a) la ncertdumbre de la varable dependente es unforme. b) el cambo T por T mplca no-unformdad de las ncertdumbres. Este hecho debe consderarse cuando se evalúen los parámetros del ajuste. 3.4 Comentaros fnales L (m) Vale la pena notar que no sempre es sufcente admtr que dos varables sguen una relacón lneal guándonos por lo que muestra un gráfco de los datos en escalas lneales. Menos aun s sólo evaluamos el coefcente de correlacón del ajuste lneal que propondríamos a partr de este gráfco. Un gráfco de Y X. (varables sn correlacón lneal) puede ajustarse por una recta obtenerse a la vez un coefcente de correlacón lneal (nexstente) de, por ejemplo, Un gráfco de datos expermentales de YX con algo de dspersón fortuta de los puntos, podría devenr en un coefcente de, por ejemplo, 0.995, menor que el anteror. Entre los coefcentes ha una dferenca, apenas, del 3 por ml. Pero en un gráfco log-log, la dferenca de pendentes será la que ha entre..0, lo que representa un 0% de dscrepanca entre los exponentes de la varable X. Estos métodos de análss nos enseñan que los efectos de correlacón pueden estar enmascarados por el efecto del rudo de los datos. Muchas veces lo dfícl es establecer s exste Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 9

10 correlacón entre las varables, aun cuando los datos provengan de fuentes lmpas, las que haan producdo datos con relatvamente poca dspersón. Imagnemos un expermento donde se mde la dstanca que recorre un móvl sobre una línea recta mentras una fuerza constante actúa sobre él. Esperamos, por tanto, que el movmento sea unformemente acelerado. Supongamos que el cuerpo parte del reposo, que medmos x(t) que los datos colectados son los de la Fgura 3.5. S los datos expermentales se analzan sobre este gráfco con escalas lneales, el ajuste por un modelo lneal es más que tentador. Hecho ésto, se obtene la ecuacón de la mejor recta un coefcente de correlacón ρ Sn embargo, un modelo basado en las ecuacones de la dnámca dce que x at donde a es la aceleracón. En la Fgura 3.5.b están los logartmos de los msmos datos, de donde se ve claramente la proporconaldad x t que predce el modelo, dfíclmente demostrable a partr del gráfco de la Fgura 3.5.a. 050 (a) x (cm) ρ t (s) (b) log(x) pendente log(t) Representacón de x(t) para un cuerpo que se mueve con movmento unformemente acelerado. (a) o se apreca la curvatura de los datos ben podría suponerse que la correlacón es lneal. El coefcente de correlacón lneal, en efecto, es mu alto. (b) log(x) en funcón de log(t), de donde se ve que la relacón es cuadrátca. Para el análss de errores, ver los comentaros de la Seccón 3.3. Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez 0

11 Bblografía. Data reducton and error analss for the phscal scences, nd ed., P. Bevngton and D. K. Robnson, McGraw Hll, ew York (993).. umercal recpes n Fortran, nd. ed., W.,H. Press, S.A. Teukolsk, W.T. Veetterlng and B.P. Flanner, Cambrdge Unverst Press,.Y. (99). ISB x. 3. Data analss for scentsts and engneers, Stuardt L. Meer, John Wlle & Sons, Inc.,.Y. (975). ISB Estadístca, Spegel Murra, da ed., McGraw Hll, Schaum, Madrd (995). ISB X. 5. Uncertant n the lnear regresson slope, J. Hgbe, Am. J. Phs. 59, 84 (99); Least squares when both varables have uncertantes, J. Orear, Am. J. Phs. 50, 9 (98). 6. Probablt, statstcs and Montecarlo, Revew of Partcle Propertes, Phs. Rev. D 45, III.3, Part II, June (99). 7. Teoría de probabldades aplcacones, H. Cramér, Agular, Madrd (968); Mathematcal method of statstcs, H. Cramér, Prnceton Unv. Press, ew Jerse (958). Físca re-creatva, S. Gl E. Rodríguez