1. Concepto y origen de la estadística Conceptos básicos Tablas estadísticas: recuento Representación de graficas...

Transcripción

1 TEMA. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.. Concepto y orgen de la estadístca..... Conceptos báscos..... Tablas estadístcas: recuento..... Representacón de grafcas Varables cualtatvas Varables cuanttatvas dscretas Varables cuanttatvas contnuas Parámetros estadístcos Parámetros de centralzacón Parámetros de poscón Parámetros de dspersón Coefcentes de forma. Medda de asmetría y curtoss... 8

2 . Concepto y orgen de la estadístca. La estadístca es la parte de las matemátcas que se ocupa de los procedmentos que permten el tratamento sstemátco de dversos tpos de datos con el fn de darles una nterpretacón a partr de la cual tomar una decsón. En sus orígenes hstórcos, la Estadístca estuvo lgada a cuestones de Estado (censos, recuentos, etc.) y de ahí su nombre. Hoy en día la estadístca es una de las ramas matemátcas más usadas en todo tpo de cencas (medcna, economía, bología, etc.). La estadístca ha llegado a los medos de comuncacón, donde se nos presentan numerosos estudos estadístcos relatvos a dversos temas, polítcos, audencas, deportvos En todo el tema trabajaremos con las sguentes tres estadístcas, que como veremos usan los tres tpos de varables estadístcas: Ejemplo. Varable cuanttatva dscreta: la sguente lsta representa el número de mensajes recbdos en los teléfonos móvles de personas en un día:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. Ejemplo. Varable cualtatva contnua: Pesos de asstentes a una reunón: 7, 6, 88, 9, 65,77, 8, 6, 8, 7, 75, 7, 78, 88, 6, 69, 86, 77, 9. Ejemplo. Varable cualtatva: colores de los coches del claustro de profesores ( profesores): rojo, rojo, blanco, negro, azul, grs, grs, negro, verde, amarllo, blanco, rojo, grs, amarllo, azul, azul, verde, amarllo, blanco, grs.. Conceptos báscos. Para entender mejor los conceptos báscos que aparecen en cualquer estudo estadístco pongamos un ejemplo, el estudo de la altura meda en España: Poblacón: es el conjunto formado por todos los elementos que exsten para el estudo de un determnado fenómeno y a los cuales nos refermos en el estudo. En nuestro ejemplo es la poblacón de España Indvduo u objeto estadístco: es cada uno de los elementos de la poblacón. Cada uno de los españoles

3 Muestra: es el subconjunto de ndvduos que tomamos de la poblacón para realzar el estudo. Como elegr esta muestra será un tema de estudo más adelante. Puede ocurrr (en poblacones pequeñas generalmente) que la muestra concda con la poblacón. En nuestro ejemplo es el conjunto de españoles a los cuales medmos para hacer el estudo. Tamaño de la muestra: es el número de ndvduos que forman la muestra elegda. Se denota generalmente como. Varable estadístca: cada una de las cualdades o propedades referdas a la poblacón y que son objeto de estudo. En nuestro ejemplo será la altura. Las varables estadístcas pueden ser de dos tpos: o Varables cualtatvas o atrbutos: no se pueden medr numércamente (por ejemplo: naconaldad, color de la pel, sexo). o Varables cuanttatvas: tenen valor numérco (edad, preco de un producto, ngresos anuales). Por su parte, las varables cuanttatvas se pueden clasfcar en dscretas y contnuas: Dscretas: sólo pueden tomar un número fnto y tratable de valores numércos (por ejemplo: número de hjos de una famla, número de habtacones en la casa) Contnuas: pueden tomar cualquer valor real dentro de un ntervalo. (por ejemplo, la velocdad de un vehículo, altura de una persona). Tablas estadístcas: recuento. Como vemos en los tres ejemplos del tema los datos tal como están presentados no nos dan gran nformacón, es por esto que la forma usual y útl de presentar los datos es en forma de tabla estadístca, una vez realzado el recuento. El recuento en Estadístca se realza de la forma sguente:. En una columna (fla) se ponen los dstntos valores que toma la varable, x (agrupados en ntervalos s son contnuos).. En la sguente columna (fla) se pone la frecuenca absoluta, f, de cada valor de la varable: número de veces que aparece dcho valor.

4 . Generalmente se añaden otros parámetros estadístcos en las sucesvas columnas (flas) como la frecuenca relatva, frecuencas acumuladas y tanto por cen. La frecuenca relatva (h ): es el cocente entre la frecuenca absoluta y el número total de elementos de la encuesta,. Se puede entender como el tanto por uno Tanto por cen (p ): como su nombre ndca nos ndca el porcentaje relatvo a de la característca respecto del total: La frecuenca absoluta acumulada (F ): es la suma de todas las frecuencas absolutas hasta la -esma (ncluda), es decr La frecuenca relatva acumulada (H ): es la suma de todas las frecuencas relatvas hasta la -esma (ncluda), es decr El porcentaje acumulado (P ): es la suma de todos los porcentajes hasta el -esmo (ncludo), es decr Para calcular las frecuencas acumuladas utlzar la relacón entre dos frecuencas acumuladas sucesvas: F + =F +f +, H + =H +h +, P + =P +p + Veamos en los ejemplos anterores como quedaría la tabla de frecuencas:

5 Ejemplo. Varable cuanttatva dscreta: la sguente lsta representa el número de mensajes recbdos en los teléfonos móvles de personas en un día:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,. x =nºsms f h p F H P 5,5,5% 5,5,5%, % 7,5,5% 7,5.5%,85 85% 6,5 5% % Total % Ejemplo. Varable cualtatva: colores de los coches del claustro de profesores ( profesores): rojo, rojo, blanco, negro, azul, grs, grs, negro, verde, amarllo, blanco, rojo, grs, amarllo, azul, azul, verde, amarllo, blanco, grs. En las varables cualtatvas no tene sentdo hablar de las frecuencas acumuladas, ya que las característcas no son números y por tanto no se pueden ordenar x =color f h p Rojo,5 5% Blanco,5 5% egro, % Grs, % Verde, % Amarllo,5 5% Azul,5 5% Total %

6 Ejemplo. Varable cualtatva contnua: Pesos de asstentes a una reunón: 7, 6, 88, 9, 65,77, 8, 6, 8, 7, 75, 7, 78, 88, 6, 69, 86, 77, 9, 8. Hemos dejado esta para el fnal, pues hay que elaborar los ntervalos. Para hacerlos debemos conocer el rango, que es la dferenca máxma entre dos valores, y el número de ntervalos en los que deseamos clasfcar la varable. Rango=R=x max -x mn =9-6=. Y vamos a agruparlos en ntervalos. S queremos hacerlo exacto el numero rango de cada ntervalos será /=7,75, aunque es más lógco amplar el rango con el fn de que este número sea exacto. En nuestro caso amplaremos el rango a, con lo que cada ntervalo tendrá un recorrdo de /=8. Al amplar dcho rango en tendremos que comenzar undad antes o acabar después. Hagamos lo segundo (puede hacerse una u otra ndstntamente) Intervalo I Marca de clase (x ) f h p F H P [6,68) 6, %, % [68,76) 7 5,5 5% 9,5 5% [76,8) 8 5,5 5%,7 7% [8,9] 88 6, % % Total % Las marcas de clase son los puntos medos de los ntervalos. ota: las ampltudes de las clases no tenen por qué ser guales, esto lo tendremos muy en cuenta cuando representamos la gráfca del hstograma.. Representacón de grafcas... Varables cualtatvas Las representacones de las varables cualtatvas son: Dagrama de barras Dagrama de sectores Pctogramas Cartogramas (varables relatvas a zonas) Prámdes de poblacón (estudo de edad de una poblacón)

7 Dagrama de barras: consste en dbujar un rectángulo por cada una de las modaldades de la varable, de forma que las bases sean todas guales y apoyadas en el eje OX, donde se ndcan los valores de la varable y la altura de cada rectángulo (barra) es proporconal a la frecuenca (relatva, absoluta o porcentaje es la msma proporcón). color coche,5,5,5,5 Rojo Blanco egro Grs Verde Amarllo Azul Dagrama de sectores: Consste en dvdr un crculo en sectoress crculares, con ángulo proporconal a la frecuenca (α =h 6º). color coche 5% 5% 5% 5% % % %

8 Pctograma: consste en realzar dbujos alusvos a la dstrbucón que se desea presentar. Son gráfcos poco precsos pero fácles de nterpretar a smple vsta. color coche 6 Rojo Blanco egro Grs Verde Amarllo Azul Cartogramas: consste en representar en un mapa cualquer tpo de datos relaconados con un área geográfca. Ejemplo: Prámdes de poblacón: se utlzan para estudar conjuntamente el carácter cuanttatvo edad y el cualtatvo sexo. Según la forma de la prámde se puede deducr s se trata de una poblacón joven, madura o veja. Veamos dos ejemplos

9 .. Varables cuanttatvas dscretas Los gráfcos más utlzados para representar dstrbucones de varable cuanttatvas dscretas son: Dagrama de barras o columnas Dagrama de frecuenca o polígono de frecuenca Dagrama de barras: se representan por barras o columnas ndependentes y de gual anchura stuadas encma del eje de la varable. La altura de las barras (o longtud de las columnas) es proporconal a la frecuenca. Veamos en nuestro ejemplo nº SMS nº SMS A veces los datos presentados son las frecuencas acumuladas nº SMS 6 nº SMS ota: En muchas ocasones se superponen dos dagramas de barras con el fn de comparar dos varables cuanttatvas dscretas. Veamos el sguente ejemplo: ABADOO DE IÑOS

10 Dagrama de frecuenca o polígono de frecuenca: Se forman unendo los extremos de las barras o columnas medante una línea quebrada. Son muy utlzados en las frecuencas acumuladas en el estudo de determnados fenómenos: º SMS.. Varables cuanttatvas contnuas. Los gráfcos más utlzados para representar dstrbucones de varable cuanttatvas contnua son: Hstograma Dagrama de frecuenca o polígono de frecuenca Hstograma: son análogos a los dagrama de barras pero se utlzan para representar varables contnuas. La dferenca es que en los hstogramas las bases de los rectángulos son los dstntos ntervalos. La altura de los rectángulo son proporconales a las frecuencas sempre y cuando sean ntervalos de msma ampltud, en caso contraro las alturas serán tales que las áreas de los rectángulos sean proporconales a las frecuencas. Peso frecuenca rango de peso

11 Polígono de frecuenca: gual que en las varables cuanttatvas dscretas Peso Rango de peso 5. Parámetros estadístcos. 5.. Parámetros de centralzacón. Estos parámetros nos ndcan en torno a que puntos se encuentran los valores de la varable cuanttatva en estudo. Es la forma de representar un conjunto de datos medante un solo valor, tratando de resumr o sntetzar la dstrbucón de frecuencas. Los parámetros más mportantes son: Meda (artmétca y geométrca) Moda Medana. Meda: es el valor medo ponderado de la sere de datos. Se pueden calcular dversos tpos de meda, sendo las más utlzadas: Meda artmétca: se calcula multplcando cada valor por el número de veces que se repte. La suma de todos estos productos se dvde por el total de datos de la muestra. La meda artmétca es el parámetro de centralzacón más mportante y más usada. La meda artmétca de un conjunto de datos x se representa por. Su cálculo se realza de la sguente forma: a) Datos sn frecuenca: x = x + x x b) S tenemos datos dstntos con sus frecuencas (tabla de frecuencas): = = x x = x f + x f x f = = x f

12 c) Con datos ponderados: es cuando queremos dar más peso a algunos datos que otro. S llamamos l al peso en tanto por cen la meda ponderada es: x = x l x l + x l x l = = Ejemplo: nota meda ponderada de exámenes, el prmero pondera % el segundo % y el tercero % x exámenes. x + x + x =, sendo x, x, x las notas de los tres Veamos la meda en los dos ejemplos cuanttatvos que desarrollamos en el tema: Ejemplo : x = = x f = =.6 sms Ejemplo : en las varables contnuas se suele aproxmar utlzando las marcas de clase en vez de los verdaderos valores, a fn de smplfcar los cálculos. x = = x f = = 77. g Para el cálculo de la meda muchas veces se realza una tabla con las sguentes tres columnas: los valores x, las frecuencas absolutas f, el producto x f. En las celdas nferores se hace la suma de todos los productos x f, sendo la meda por tanto esta suma entre : x =nºsms f x f x =peso f x f Total x = =.6 x = = 77.

13 Meda geométrca: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetdo. Se multplcan todo estos resultados y al producto fnal se le calcula la raíz "" (sendo "" el total de datos de la muestra). x g =... = f f f f ( x ) = x x x La meda geométrca se suele utlzar en seres de datos como tpos de nterés anuales, nflacón, etc., donde el valor de cada año tene un efecto multplcatvo sobre el de los años anterores. En todo caso, la meda artmétca es la medda de poscón central más utlzada. Las medas (tanto en el caso de la meda artmétca como geométrca) presenta el problema de que su valor se puede ver muy nfludo por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la sere. Estos valores anómalos podrían condconar en gran medda el valor de la meda, perdendo ésta representatvdad. Moda (M ): es el valor que más se repte en la muestra. Calculo en las varables cuanttatvas dscretas (tambén cualtatvas): para calcularlo basta con buscar el valor de la varable que presenta más frecuenca. Puede ocurrr que la moda no sea únca, es decr, la dstrbucón tenga,, modas, recbendo el nombre de bmodales, trmodales, etc. En nuestro ejemplo la moda es sms, pues es el de mayor frecuenca absoluta (7) Calculo en la varable contnua: se puede hacer de forma aproxmada con las marcas de clase, aunque s se quere ser más precso se puede obtener medante la expresón: M = L f M M + M M M M ( f f ) + ( f f ) c f + sendo: L el límte nferor de la clase modal c la ampltud del ntervalo modal f M, f M, sguente. f M + las frecuencas absolutas de la clase modal, la anteror y la Este valor M es la nterseccón de las rectas que unen los extremos de la clase modal con los extremos más próxmos de las clases anteror y sguente:

14 M En nuestro ejemplo, el valor aproxmado de la moda es el ntervalo [8,9], pues es el que tene mayor frecuenca absoluta (6). S queremos calcular M de forma exacta usemos la formula (L =8, e=8, f =6, f - =5, f + =) M =85,.. Medana (M e ): ordenados los elementos en orden crecente es el que ocupa la poscón ntermeda, sendo el 5% de los datos menores o guales que M e y el restante 5% mayores o guales que M e. Calculo para varable cuanttatva dscreta: es el prmer valor que supera el 5% en porcentaje acumulado (o / en frecuenca absoluta acumulada). Puede ocurrr cuando es par que un dato tenga frecuenca acumulada de 5%, en este caso la medana se consdera la meda entre el dato con dcha frecuenca acumulada y el sguente dato. En nuestro ejemplo la medana es mensajes. Calculo para varable cuanttatva contnua: de forma aproxmada se hace gual que para la varable dscreta usándolas marcas de clase. S se quere ser más exacto se debe buscar el valor de la recta frecuenca acumulada que valga /. La formula es la sguente: M sendo: F f Me e = L + Me L el límte nferor de la clase medana c la ampltud del ntervalo medana f Me c la frecuenca absolutas de la clase modal. el número total de datos. F Me la frecuenca absoluta acumulad hasta llegar a la medana sn nclurla.

15 La formula se puede obtener gráfcamente por semejanza de trángulos ABC y APQ: F Me C / Q F Me- A P B En nuestro ejemplo, la medana aproxmada es M e =8, y s la calculamos de forma 9 exacta: M e = = Parámetros de poscón Srven para determnar en qué poscón de la dstrbucón se encuentra un ndvduo, supuestos ordenados de forma crecente. Los parámetros de poscón más mportantes son: Cuartles. Percentles.. Cuartles: son valores (Q, Q, Q ) que dstrbuyen la sere de datos, ordenada de forma crecente o decrecente, en cuatro tramos guales, en los que cada uno de ellos concentra el 5% de los resultados. Q (el prmer valor que supere su frecuenca acumulada el 5%). En varable contnua: Q = L F f Q + Q c Q (el prmer valor que supere su frecuenca acumulada el 75%). En varable contnua: Q FQ = L + f M e L L + Q c ota: Q =M e. Percentles: son 99 valores que dstrbuyen la sere de datos, ordenada de forma crecente o decrecente, en cen tramos guales, en los que cada uno de ellos concentra el % de los resultados. Se representan por P,P,,P 99 sendo el valor de la varable que prmero supere el porcentaje acumulado el %, %...,99%.

16 5.. Parámetros de dspersón. Estuda la dstrbucón de los valores de la sere, analzando s estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos dspersos. Exsten dversas meddas de dspersón, entre las más utlzadas podemos destacar las sguentes: Rango o recorrdo Desvacón meda Varanza Desvacón típca Coefcente de varacón.. Rango o recorrdo: mde la ampltud de los valores de la muestra y se calcula por dferenca entre el valor más elevado y el más bajo. Se representa por R R=x mx -x mn En nuestros ejemplos: ejemplo R=-=, ejemplo R=9-6=. Desvacón meda: es la meda de los valores absolutos de las desvacones de los datos o marcas de clase respecto la meda artmétca. Se representa por DM DM = x x = = x x f En nuestros ejemplos: Ejemplo : DM = = Ejemplo : DM = = 5, 8. Varanza: es la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones de todos los datos o marcas de clase respecto a la meda. Se representa por σ o Var(x): σ ( x x) f x f = Var( x) = x = = ( x x) = = ( x ) ( x) = ( ) La varanza no tene las msmas undades que x (s x es metros σ será metros cuadrados). Es por eso que se utlza más la desvacón típca.

17 En nuestros ejemplos: Ejemplo : σ =, 79 Ejemplo : σ = 78, 56 Para calcularla se suele añadr la columna x f a la derecha de la varable y de sus frecuencas absolutas. La suma de esta columna nos permte calcular dvdendo entre el valor de ( x ). Veamos con el ejemplo de los mensajes y de los pesos: x =nºsms f x f x =peso f x f Total.768 x = σ ( ) Ejemplo :.5 = =.5.6 =. 79 x = 78 σ ( ) Ejemplo : 68. = = = Desvacón típca: es la raíz cuadrada de la varanza. Tene msmas dmensones que la varable estadístca en estudo. Se denota por σ σ = Var ( x) = σ Ejemplo : σ =.79 =. 89 Ejemplo : σ = = En la medda en que los parámetros de dspersón tomen valores más o menos grandes esto nos ndcara el grado de dspersón o alejamento de los datos respecto de la meda. En el caso trval que todos los datos centrados en un msmo valor todos estos parámetros valdrían cero. Para dstrbucones normales (que veremos más adelante) se cumple:

18 El 68,7% datos en el ntervalo [ x -σ, x +σ] El 95,5% datos en el ntervalo [ x -σ, x +σ] El 99,7% datos en el ntervalo [ x -σ, x +σ] 5. Coefcente de varacón: las meddas de dspersón estudadas hasta ahora se expresan en la msma medda que la varable estadístca, desgnando meddas de dspersón absolutas respecto de la meda. Esto presenta los sguentes problemas: o podemos comparar dstrbucones de dstnta naturaleza (peso y altura) o ncluso de la msma naturaleza expresadas en dstntas undades. o es relatva al valor de la meda: la varacón de respecto de. es mucho más sgnfcatva que la de los msmos respecto a... Estos problemas se resuelven con el coefcente de varacón, que es el cocente entre la desvacón típca y la meda, sendo por tanto admensonal. CV σ σ = o en tanto por cen CV (%) = % x x Cuanto más se aproxme el CV a cero más representatva será la meda en la dstrbucón. En nuestros ejemplos:.89 Ejemplo : CV = = Ejemplo : CV = = Coefcentes de forma. Medda de asmetría y curtoss El concepto de asmetría se refere a s la curva que forman los valores de la sere presenta la msma forma a zquerda y derecha de un valor central (meda artmétca)

19 Para medr el nvel de asmetría se utlza el llamado Coefcente de Asmetría de Fsher, que vene defndo: g ( x x) = σ = = ( x x) f σ Los resultados pueden ser los sguentes: g = (dstrbucón smétrca; exste la msma concentracón de valores a la derecha y a la zquerda de la meda) g > (dstrbucón asmétrca postva; exste mayor concentracón de valores a la derecha de la meda que a su zquerda) g < (dstrbucón asmétrca negatva; exste mayor concentracón de valores a la zquerda de la meda que a su derecha) El Coefcente de Curtoss analza el grado de concentracón que presentan los valores alrededor de la zona central de la dstrbucón. Se defnen tpos de dstrbucones según su grado de curtoss: Dstrbucón mesocúrtca: presenta un grado de concentracón medo alrededor de los valores centrales de la varable (el msmo que presenta una dstrbucón normal). Dstrbucón leptocúrtca: presenta un elevado grado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. Dstrbucón platcúrtca: presenta un reducdo grado de concentracón alrededor de los valores centrales de la varable. El Coefcente de Curtoss vene defndo por la sguente fórmula: ( x x) f ( x x) = g = = σ σ

20 Los resultados pueden ser los sguentes: g = (dstrbucón mesocúrtca). g > (dstrbucón leptocúrtca). g < (dstrbucón platcúrtca). Las meddas de asmetría, sobre todo el coefcente de asmetría de Fsher, junto con las meddas de apuntamento o curtoss se utlzan para contrastar s se puede aceptar que una dstrbucón estadístca sgue la dstrbucón normal. Esto es necesaro para realzar numerosos contrastes estadístcos en la teoría de nferenca estadístca.

21 Ejerccos fnales Ejercco. Completar los datos que faltan en la sguente tabla estadístca. Calcular todos los parámetros estadístcos explcados en el tema e nterpretar la dstrbucón estadístca. x f = h F H f x,8 6 8 f x Ejercco. Las puntuacones obtendas por una clase en un examen de estadístca quedan reflejadas en el sguente hstograma de frecuencas absolutas. Calcular la meda, la moda, la varanza y el coefcente de varacón. Interpretarr con los datos la dstrbucón [,) [,) [,6) [6,8) [8,]

22 Ejercco. Las notas de dso grupos de alumnos en la segunda evaluacón de matemátcas se recogen en la sguente tabla: Grupo A Grupo B Contestar razonadamente las sguentes preguntas: a) Cuál de los dos grupos obtuvo mejores resultados? b) Cuál es el grupo más homogéneo? Ejercco : La sguente grafca representa la frecuenca acumulada de horas de estudo en una clase de alumnos. a) Construr la tabla de frecuencas absolutas y relatvas b) Calcular los Cuartles y P 9 y P 6 c) Calcular los coefcentes de forma e nterpretarlos Horas estudo Ejercco 5. Calcular los coefcentes de forma de los ejemplos y y explcar los resultados comparándolos con sus grafcas (dagrama de barras e hstograma respectvamente).