ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Transcripción

1 Bachllerato ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Introduccón La estadístca es una rama de las matemátcas que trata de la recogda, ordenacón, análss y presentacón adecuada de datos recogdos sobre certa poblacón (no necesaramente humana) con el fn de extraer conclusones a partr de ellos. Así por ejemplo, podría nteresarnos hacer un estudo sobre la estatura de los alumnos del nsttuto; sobre el peso de los recén nacdos en España; sobre las marcas de leche más venddas; sobre los estudos que pensan abordar en el futuro los estudantes de bachllerato; sobre la produccón de maíz en los dferentes países europeos; etc. La estadístca trata de obtener resultados globales, busca las característcas generales de un colectvo y prescnde de las partculares de cada ndvduo. La estadístca se dvde tradconalmente en dos ramas: Estadístca descrptva o deductva de descrbr y analzar algunas característcas de los elementos de un grupo dado con el fn de descrbr dcho grupo, sn extraer conclusones para un grupo mayor. No hace uso del cálculo de probabldades. Estadístca nferencal o nductva: Trabaja con muestras y medante sus técncas se obtenen conclusones y/o prevsones para toda la poblacón a partr de los resultados de la muestra. Es decr se nferen característcas de toda la poblacón a partr de los resultados obtendos en sólo una parte de ella. Se utlzan resultados obtendos medante estadístca descrptva y se hace uso del cálculo de probabldades. Es la rama más nteresante y tene nfndad de aplcacones, aunque se debe proceder con mucha cautela, y aspectos tales como el tamaño y la forma de eleccón de la muestra son fundamentales para la fabldad de las conclusones que se obtengan. Supongamos que queremos estudar la talla de los alumnos de 1º de bachllerato de nuestro centro. En tal caso, medríamos a todos los alumnos de dcho nvel y, con los datos Págna 1 A. G. Onandía

2 obtendos, elaboraríamos gráfcos y tablas y hallaríamos parámetros que descrbesen y resumesen la nformacón obtenda. Esto es estadístca descrptva. Imagnemos ahora que deseásemos estudar la talla de todos los españoles de 16 años. Podríamos medrlos a todos, pero esto sería muy costoso y nos llevaría mucho tempo. Lo que se hace es escoger a una parte (muestra) de, por ejemplo, ndvduos, medrlos a todos, analzar los datos obtendos (medante estadístca descrptva) y a partr de aquí obtener conclusones para el total. Esto es estadístca nferencal. Es un proceso delcado, pénsese por ejemplo cómo se debe elegr a los ndvduos. Deberían representar lo más felmente posble al conjunto total. La composcón de la muestra debe estar en proporcón con la composcón del total de la poblacón. Tendríamos en cuenta el sexo, lugar de resdenca (poblacón urbana y rural, poblacón de las dstntas comundades autónomas, etc.). Y, por qué 1.000?, por qué no 2.000? ó 750?. (Algunas de estas cuestones se tratan en 2º de bachllerato) Como cualquer dscplna, la estadístca tene una termnología que debemos conocer, en este caso vene heredada de sus orígenes, que fueron trabajos de tpo demográfco (tablas de mortaldad y censos): Poblacón (o unverso): es el conjunto de todos los elementos cuyo conocmento nos nteresa, es decr, el conjunto de personas, anmales u objetos que se desea estudar. Muestra: es un subconjunto, extraído de la poblacón, cuyo estudo srve para deducr las característcas de toda la poblacón. La convenenca o necesdad de trabajar con muestras se lustra en el ejemplo de un párrafo anteror. Otros supuestos en los que esto es así son por ejemplo: estudo sobre la duracón de las bombllas de certa marca, estudo sobre los efectos de un nuevo medcamento para una determnada enfermedad, estudo sobre la nversón en ropa nteror de los habtantes de los dstntos países europeos, etc. (pénsese en cada caso por qué es convenente elegr muestras). Indvduo: Es cada uno de los elementos de una poblacón o de una muestra. Tamaño: Es el número de ndvduos que componen una poblacón o muestra. Se denota con N. Caracteres: son las propedades, cualdades o característcas de los ndvduos que se desea estudar.( talla, peso, color de ojos, estado cvl, número de hjos, etc). Los caracteres estadístcos se clasfcan en: Págna 2

3 Bachllerato Cuanttatvos :Se denomnan varables estadístcas (v.e) son los que toman valores numércos (presón sanguínea, peso, número de hjos, etc.).medbles y/o contables. Cualtatvos: se denomnan atrbutos, son los que no toman valores numércos (estado cvl, profesón, color de ojos, etc.) A su vez las varables estadístcas pueden ser: Dscretas: las que toman valores puntuales, concretos (número de hjos, número de empleados de una fábrca, etc.) Contnuas: las que, al menos teórcamente, pueden tomar cualquer valor dentro de certos ntervalos (temperatura, talla, longtud de tornllos, etc.) Por otra parte los caracteres cualtatvos se dvden en: Ordnales: s sus posbles valores admten un orden mplícto (opnón que merece un futbolsta: pésmo, malo, regular, bueno, excelente) Nomnales: s no admten nngún orden (carreras unverstaras elegdas por los estudantes). En general, se llaman modaldades de un caracter a cada una de sus dferentes opcones. Así son modaldades del atrbuto profesón: economsta, chapsta, pscólogo, panadero, etc. Es decr: Dscreta Cuanttatvo = Varable Estadístca Contínua Carácter Ordnal Cualtatvo= Atrbuto Nomnal NOTA: En matemátcas y en general en otras muchas dscplnas se usa el símbolo (letra grega sgma mayúscula) para desgnar de forma abrevada una suma. Así, por ejemplo: x x x x x k k 1 k 1 4 x k se lee sumatoro de desde =1 hasta 8 se lee sumatoro de x sub k desde k=1 hasta 4 n 1 x x x x x... x n n Págna 3 n3 A. G. Onandía

4 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL Como ya se ha dcho, trata de descrbr y analzar algunas característcas de los elementos de un grupo dado con el fn de descrbr dcho grupo. Se elaboran tablas y se representan gráfcos que permten smplfcar en gran medda la complejdad de los datos. Se calculan parámetros que resumen la nformacón obtenda. Ilustraremos los dstntos conceptos con un ejemplo (de aquí en adelante Ejemplo A): El número de suspensos de cada uno de los alumnos de bachllerato en la prmera evaluacón fue: La lsta de los valores así dspuestos no permte observar lo que ocurre con la varable cuanttatva dscreta X= nº de suspensos de los alumnos de Bachllerato en la prmera evaluacón tabla: S hacemos un recuento y los ordenamos de menor a mayor obtenemos la sguente x f El tamaño de la poblacón es 92. Se denota por N= x son los dstntos valores que toma la varable X. En nuestro caso x 1 =0, x 2 =1, x 3 =2, etc. Se llama frecuenca absoluta del valor x al número de veces que se repte dcho valor en las N observacones. Se representa por f. Evdentemente las sumas de todas las f tene que ser N. f f f... f f N n n 1 Así por ejemplo f 5 será las veces que aparece x 5 en el total de las N observacones. En nuestro caso se dan 7 casos con 5 suspensos. Págna 4

5 Bachllerato Se llama frecuenca absoluta acumulada del valor x a la suma de las frecuencas absolutas de todos los valores menores o guales que x. Se representa por F Es decr F =f 1+f f o lo que lo msmo F f. k1 k La últma frecuenca absoluta acumulada concde con el tamaño: Fn N La frecuenca absoluta no es sufcente para reflejar la ntensdad con que se repte un valor. Por ejemplo, decr que un valor se repte 3 de cada 100 veces no es lo msmo que decr que se repte 3 de cada veces. Por esto para determnar s un valor es muy frecuente o no, es mejor utlzar la frecuenca relatva. Se llama frecuenca relatva de un valor x y la representamos por h, al cocente de la frecuenca absoluta de x y el número total de observacones. Es decr f h =. N Obvamente la suma de todas las h es 1. n 1 h 1 Se llama frecuenca relatva acumulada del valor x y la representamos por H, al cocente entre la frecuenca absoluta acumulada de x y el total de datos que ntervenen (N). Es decr F H =. N La últma frecuenca relatva acumulada vale 1. Las frecuencas relatvas y relatvas acumuladas se pueden expresar en forma de fraccón, en forma decmal y en %.. (para expresarla en forma de porcentaje se hace h 100). Con todo lo anteror la tabla quedaría así: x f F h H ,196 0, ,163 0, ,163 0, ,130 0, ,152 0, ,076 0, ,076 0, ,043 1, ,000 Págna 5 A. G. Onandía

6 Aún cuando las tablas estadístcas contenen toda la nformacón, es convenente expresarla medante un gráfco con el fn de hacerla más clara: Dagramas de barras: Se representan en el eje de abscsas los valores de la varable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencas absolutas o relatvas, según proceda. A contnuacón, por los puntos marcados en el eje de abscsas se levantan trazos gruesos (o barras fnas), de longtud gual a la frecuenca correspondente. Polígono de frecuencas: Los polígonos de frecuenca se forman unendo los extremos de las barras medante una línea quebrada. Sguendo con nuestro ejemplo tendríamos: Dagrama de barras y polígono de frecuencas absolutas. Dagrama de barras y polígono de frecuencas absolutas acumuladas. 25% 100% 20% 80% 15% 60% 10% 40% 5% 20% 0% % Dagrama de barras y polígono de frecuencas relatvas (formato de %). Dagrama de barras y polígono de frecuencas relatvas acumuladas (en formato de %). Se observa que los gráfcos de las frecuencas absolutas y absolutas acumuladas son déntcos respectvamente a los de frecuencas relatvas y relatvas acumuladas (salvo por la escala vertcal). Por tanto bastará con representar dos de los cuatro gráfcos. En nuestro Ejemplo A tratamos con una varable estadístca dscreta que toma pocos valores (de 0 a 9 suspensos). Sn embargo la stuacón no es sempre tan smple. Imagnemos que deseamos estudar el peso de los alumnos del centro. Los pesamos a todos y obtenemos con toda segurdad varas decenas de valores dstntos para la varable peso. S en estas condcones reptéramos el proceso segudo en el Ejemplo A deberíamos manejar una tabla con varas decenas de flas, lo cual es muy engorroso. Págna 6

7 Bachllerato Es fácl pensar en stuacones aún peores con tablas de mles de flas. Es por esto, que cuando se trata con varables contnuas (o dscretas con gran número de valores dstntos) es muy útl agrupar los datos en ntervalos y determnar el número de ndvduos pertenecentes a cada ntervalo. Ilustraremos esta stuacón con otro ejemplo (de aquí en adelante Ejemplo B): Se ha hecho un estudo sobre el retraso (en mnutos) de 120 trenes de certa línea de largo recorrdo obtenéndose los sguentes resultados Aparecen todos los valores entre 0 y 34 salvo el 30. En una tabla normal (como la del Ejemplo A) esto daría lugar a 34 flas. En lugar de eso agrupamos los datos en ntervalos de tal forma que la tabla quedaría así: I.C. c f F h H [0,5) 2, ,150 0,150 [5,10) 7, ,217 0,367 [10,15) 12, ,250 0,617 [15,20) 17, ,200 0,817 [20,25) 22, ,083 0,900 [25,30) 27, ,067 0,967 [30,35) 32, ,033 1, ,000 Los ntervalos en los que se agrupan los valores de la varable recben el nombre de Intervalos de clase, los puntos medos de dchos ntervalos (los c ) se denomnan Marcas de clase; el sgnfcado y nombre de f, F, h y H no varían. En general, cuando se trata de una varable estadístca es contnua, la nformacón obtenda no se puede valorar, de hecho, en un punto o en un nstante dado, sno que ha de ser valorada en un ntervalo de espaco o de tempo. Págna 7 A. G. Onandía

8 En este caso es útl agrupar los datos en ntervalos y determnar el número de ndvduos pertenecentes a cada ntervalo. Procederemos así: 1. Ordenamos los datos de menor a mayor. 2. Dvdmos el recorrdo (dferenca entre el valor mayor y menor de la varable) en una sere de ntervalos, generalmente de la msma ampltud, aunque no sempre es posble. Se consgue con esto una clasfcacón de los datos; por eso se denomnan ntervalos de clase. El punto medo de cada ntervalo se denomna marca de clase y se denota por c. Los ntervalos son cerrados por la zquerda y abertos por la derecha. No se deben de ser menos de 6 y sobrepasar los 15 ntervalos. Y una aproxmacón será Número dent ervalos número dedatos 3. Recuento. Se cuenta el número de valores de la varable comprenddos en cada ntervalo, logrando así las frecuencas absolutas. 4. Creamos la tabla sguente: Intervalos Marcas de de clase clase c Ampltudes f F h H [L 0, L 1 ) c 1 a 1 f 1 F 1 h 1 H 1 [L 1, L 2 ) c 2 a 2 f 2 F 2 h 2 H [L k-1, L k ) c k a k f k F k =N h k H k =1 Total N 1 S tenemos un número muy grande de datos para varables dscretas, se pueden agrupar como las varables contnuas, trabajando luego con ella como s lo fuese. Hstogramas y polígonos de frecuencas:a la hora de representar gráfcamente la nformacón que proporcona una tabla de datos agrupados en ntervalos recurrremos a los hstogramas y a los polígonos de frecuencas. En un hstograma se utlzan rectángulos de tal forma que las bases sean las ampltudes de los ntervalos de clase y las alturas las frecuencas de cada ntervalo. (Más tarde veremos que en realdad lo que debe ocurrr es que las áreas de los rectángulos sean guales o proporconales a las frecuencas). Págna 8

9 Bachllerato Así, por ejemplo el hstograma y el polígono de frecuencas absolutas correspondente al Ejemplo 2 sería: El hstograma y el polígono de frecuencas absolutas acumuladas quedaría así: IMPORTANTE: Obsérvese que el polígono de frecuencas absolutas (o relatvas) se obtene unendo los puntos correspondentes a las marcas de clase, mentras que el polígono de frecuencas absolutas acumuladas (o relatvas acumuladas) se obtene unendo el extremo nferor zquerdo con el extremo superor derecho del rectángulo que se añade con respecto al anteror. Págna 9 A. G. Onandía

10 Un caso partcular de tablas de datos agrupados en ntervalos se presenta cuando dchos ntervalos no son todos de la msma longtud. Consderemos el sguente ejemplo: Al preguntar a un grupo de personas cuánto tempo dedcaron a ver la televsón durante un fn de semana se obtuveron los sguentes resultados: c a f F h H [0; 0,5) 0,25 0, ,152 0,152 [0,5; 1,5) ,212 0,364 [1,5; 2;5) ,273 0,636 [2,5; 4) 3,25 1, ,242 0,879 [4,8) ,121 1, ,000 Hemos nsertado una nueva columna (a ) que contene la ampltud de cada ntervalo. S construmos el hstograma de (por ejemplo) frecuencas absolutas resulta: ,5 1,5 2,5 4 8 Uno de los objetvos de un gráfco estadístco (quzá el fundamental) es proporconar una vsón clara y fel de la stuacón representada. S alguen, desconocendo los datos, vese el gráfco anteror sacaría conclusones erróneas. Por ejemplo s se fjase en la prmera y en la últma columna pensaría que hay muchas más personas en el ntervalo [4,8) que en el ntervalo [0; 0,5); O que hay más personas en [4,8) que en [1,5; 2,5), etc Ya se ha comentado que en un hstograma las áreas (no las alturas) de los rectángulos deben ser guales o proporconales a las frecuencas. Cuando los ntervalos son todos de la msma longtud no se da este problema pero en nuestro caso debemos hacer algunos cambos: Págna 10

11 Bachllerato f Se construyen las frecuencas medas que son las a que nos darán las alturas de los rectángulos de tal manera que, ahora sí, las áreas de los rectángulos son guales a sus frecuencas. Y se tendría : f c a f /a Altura [0; 0,5) 0,25 0, [0,5; 1,5) [1,5; 2;5) [2,5; 4) 3,25 1, ,7 [4,8) El hstograma correcto sería: 0,5 1,5 2,5 4 8 El proceso sería análogo en el caso de frecuencas absolutas acumuladas, frecuencas relatvas y relatvas acumuladas. Págna 11 A. G. Onandía

12 Para termnar este apartado menconaremos que, además de los vstos, exsten otros muchos tpos de gráfcos estadístcos. Algunos de los más comunes son: Dagrama de sectores (ndcado para caracteres cualtatvos): Pctograma (gráfco con dbujos alusvos): Prámdes de poblacón: Cartogramas (gráfcos sobre mapas donde se pnta cada zona de un color o con un rayado para ndcar densdades demográfcas, renta per cápta, etc.): Págna 12

13 Bachllerato PARÁMETROS ESTADÍSTICOS Aunque la observacón vsual de cualquer representacón gráfca de una dstrbucón de frecuencas proporcona una prmera aproxmacón al análss de los datos, se hace necesaro estudar procedmentos numércos para obtener, a partr de los datos de la dstrbucón, unos valores que permtan obtener una nformacón cuanttatva. La dea de resumr en unos pocos datos la nformacón del comportamento global del fenómeno estudado, se realza calculando algunos parámetros. Estos se clasfcan en (solamente se nombran los que vamos a estudar): Meddas de centralzacón (o de poscón): Son las que se stúan haca el centro o una parte cualquera prevamente determnada de la dstrbucón. A su vez se clasfcan en: Meddas de poscón centrales: meda artmétca, moda y medana Meddas de poscón no centrales: cuartles, quntles, decles y percentles Meddas de dspersón: Son las que mden el grado de dspersón (y de alejamento del centro) de los elementos de la dstrbucón: recorrdo, recorrdo ntercuartílco, desvacón meda absoluta, desvacón típca, varanza. Meddas de centralzacón Meda artmétca Se llama meda artmétca de una varable estadístca X a la suma de todos los valores de dcha varable dvddo por el número total de valores. La meda artmétca de X se representa por x. S X es una varable estadístca que toma los valores x 1, x 2, x 3,..., x n con frecuencas absolutas f 1, f 2, f 3,..., f n, respectvamente, la fórmula para obtener la meda artmétca es: n x f n x 1 x h N 1 Págna 13 A. G. Onandía

14 S la varable X es contnua, o aun sendo dscreta, y por tratarse de muchos datos se encuentran agrupados en clases, se toman como valores x 1, x 2, x 3,..., x n las marcas de clase. A la vsta de la fórmula de x, añadremos a nuestras tablas una nueva columna: x f La meda artmétca es el parámetro de centralzacón más usado. Convene tener en cuenta las sguentes cuestones: 1) Tene en cuenta todos los datos de la dstrbucón. Aunque no tene por qué concdr con alguno. Esto tene el nconvenente, de que s la dstrbucón presenta valores extremos, excepconalmente raros y poco sgnfcatvos, éstos producen una dstorsón sobre el valor de la meda, alterando el sgnfcado matemátco de ésta. 2) Puede expresarse en las msmas undades que la varable estudada. Lo cuál es muy sgnfcatvo. 3) Es el centro de gravedad de la dstrbucón y por tanto es únca para cada dstrbucón. S recordamos el hstograma de frecuencas absolutas (tambén servrían las relatvas, aunque no las acumuladas): S el hstograma fuese un sóldo (por ejemplo una plancha de madera) la meda artmétca sería el lugar en el que la plancha de madera apoyada sobre él permanecería en equlbro. Este no en un método de cálculo de la meda, pero puede servr para hacernos una dea de su valor o para descubrr errores gruesos La suma de las desvacones de los valores de la varable respecto a la meda es cero Es una consecuenca nmedata de la defncón: x x f 0" x x f x f xf x f x f Nx xn 0 4) No sempre se puede realzar el cálculo de la meda: - S los datos de la dstrbucón no son cuanttatvos sno cualtatvos. Solo tene sentdo para datos cuanttatvos. - S los datos están agrupados en clases, estando alguna de ellas aberta. Por ejemplo, en una encuesta sobre lectores de la prensa dara, se obtuvo la sguente dstrbucón: Págna 14

15 Bachllerato Grupos de edad Núm. de personas Menores de 18 años 264 Entre 18 y 40 años 1376 Entre 40 y 60 años 825 Mayores de 60 años 341 En estos casos en los que no es posble calcular la meda, se utlzan otros parámetros, como la moda y la medana. 5) S se suma una constante a todos los valores x, la meda aumenta en la msma constante. 6) S se multplcan todos los valores x por un msmo número, la meda resulta tambén multplcada por ese número Moda Se llama moda de una varable estadístca al valor con mayor frecuenca absoluta. Se denota por Mo. La moda no tene por que ser únca, puede haber varos valores de la varable con la mayor frecuenca. En este caso se llamarán dstrbucones unmodales, bmodales, trmodales,... dependendo de que tengan una, dos, tres, modas. El cálculo de la moda resulta sencllo en el caso de una varable estadístca dscreta. Con datos no agrupados, sólo se necesta observar las frecuencas absolutas en la tabla estadístca, y ver a que valor corresponde la mayor frecuenca. S la varable estadístca es contnua, o dscreta con datos agrupados en ntervalos, es fácl encontrar el ntervalo o clase en el que se encuentra la moda; dcho ntervalo se denomna clase modal. Una vez determnada la clase modal para calcular la moda se aplca las fórmula sguente: donde: 1 Mo L a (f f 1 ) (f f 1 ) f f L es el límte nferor de la clase modal a es la longtud de la clase modal f ; f ; f 1 1 son las frecuencas de la clase modal y de las clases anteror y posteror, respectvamente. Págna 15 A. G. Onandía

16 Esta fórmula se obtene del cálculo de la moda medante el método gráfco. Para ello se representa el hstograma de frecuencas absolutas. Segudamente se unen los extremos de la clase modal con los contguos como en el dagrama adjunto. La moda vene dada por la abscsa del punto de corte. Hay que recordar que s los ntervalos en los que está dvdda la varable no son todos de la msma longtud debe tenerse especal cudado a la hora de realzar los hstogramas. Observacones: 1) Puede ocurrr que exstan dstrbucones que no tengan moda; esto ocurre cuando las frecuencas de todos los datos son guales. 2) La moda es menos representatva que otros parámetros, pero en ocasones es más útl, por ejemplo cuando se trata de datos cualtatvos. 3) En la moda no ntervenen todos los datos de la dstrbucón. 4) Aún sendo un parámetro de centralzacón, es frecuente encontrar la moda próxma a los extremos de la dstrbucón. Medana Es el valor de la varable estadístca, tal que el número de observacones menores que él es gual al número de observacones mayores que él. Es decr, está stuada de modo que antes que ella está el 50% de la poblacón y, detrás, el otro 50%. Se denota por M o Me. En el caso de una varable estadístca dscreta, s se consdera la sere íntegra de los datos ordenados de menor a mayor, ponendo.tantas copas de cada dato como ndca su frecuenca, la medana es el valor de la varable que está en la poscón central en esa ordenacón. S tenemos un número mpar de datos, el cálculo de la medana es sencllo: será el valor que ocupe el lugar central. Por ejemplo la medana de la sere 3,4,5,5,6,7,8 es 5. Págna 16

17 Bachllerato S el número de datos es par, se toma como medana la meda artmétca de los dos valores que ocupan los lugares centrales. Por ejemplo la medana de 3,4,5,5,6,7,8,9 es 5,5. En la práctca, para el cálculo de la medana, tenemos que tener en cuenta las frecuencas absolutas acumuladas, pues F nos da los lugares que ocupan el valor x en la dstrbucón. S queremos calcular la medana nos tendremos que fjar en la columna de las F, y buscar el valor de la varable estadístca que tenga asocada una frecuenca acumulada que supere, exactamente, el 50% (es decr N ) 2 Ejemplo: La sguente tabla se corresponde con el número de caramelos que comen en un sábado un grupo de 20 nños: Número de caramelos Nños Como tenemos un número par de datos (20) la medana será la meda artmétca de los que ocupen los dos lugares centrales (lugares10 y 11). S nos fjamos en la columna F el lugar 10 lo ocupa x 2 =5 y el lugar 11 x 3 =7, por lo tanto la medana será la meda de 5 y 7, es decr, 6. Esto quere decr que hay un 50% de los 20 nños que comen menos de 6 caramelos y otro 50% que comen más de 6. x f F En el caso de una varable estadístca contnua, o una dscreta agrupada en ntervalos, hablaremos del ntervalo o clase medana (clase donde se alcanza la mtad de los datos). donde: Para calcular el valor concreto de la medana aplcaremos la fórmula: N F Me L 2 a f 1 L es el límte nferor de la clase medana a es la longtud de la clase modal N número total de datos F 1frecuenca absoluta acumulada de la clase anteror a la clase medana f frecuenca absoluta de la clase medana Al gual que ocurría con la moda, esta fórmula se obtene del cálculo gráfco de la medana. Págna 17 A. G. Onandía

18 El cálculo gráfco de la medana se realza consderando el polígono de frecuencas absolutas acumuladas, y sobre él se representa una recta paralela al eje de abscsas que pase por N 2, para posterormente calcular la abscsa correspondente al punto de corte de las dos curvas, que nos da el valor de la medana. Observacones: 1) No nfluyen en ella los valores extremos de la dstrbucón. Solamente los datos centrales y sus frecuencas. Por lo tanto es especalmente útl cuando tengamos una dstrbucón con algunos valores extremos excesvamente exagerados. 2) Depende del orden y número de los datos, pero no de su valor. 3) Geométrcamente, y para dstrbucones que se puedan representar medante un hstograma de frecuencas absolutas (o relatvas), la medana es el valor de la varable, tal que la vertcal levantada sobre el msmo dvde al hstograma en dos partes de gual área. Cuartles, quntles, decles y percentles Los cuartles, quntles, decles y percentles son parámetros que se corresponden al msmo tpo de problema que la medana; por esto se les ncluye dentro de los parámetros centrales, aunque como veremos no se stúan en el centro de la sere estadístca. S la medana es el valor de la varable estadístca que dvde en dos partes guales el número de observacones, análogamente: Los cuartles son los tres valores que dvden la sere estadístca en cuatro partes guales. (dchas partes comprenden cada una el 25% de los datos). A estos valores se les denomna Q l (prmer cuartl), Q 2 (segundo cuartl) y Q 3 (tercer cuartl). El cálculo es semejante al de la medana. Así: j N F 1 Q 4 j L a con j 1,2,3 f Págna 18

19 Bachllerato Los quntles son los cuatro valores que dvden la sere estadístca en cnco partes guales, y sguen, lógcamente, la expresón: j N F 1 K 5 j L a con j 1,2,3,4 f Los decles son los nueve valores que dvden el número de datos en dez partes guales (cada una comprenderá el 10% de los datos). Su expresón será: j N F 1 D 10 j L a con j 1,2,...,9 f Los percentles son los 99 valores que dvden la dstrbucón en 100 partes guales. Se calculan medante la fórmula: j N F 1 P 100 j L a con j 1,2,...,99 f Hay que tener en cuenta que exste una relacón entre estos parámetros de poscón, en ocasones los valores concden. Así, por ejemplo: Q 2 =Me, K 1 =D 2, P 75 =Q 3, etc. Para realzar el cálculo gráfcamente de los cuartles (ídem. para los demás) se trabaja gual que para la medana. Se representa el polígono de frecuencas absolutas acumuladas, después se traza una recta paralela al eje de abscsas pasando por el punto de frecuenca acumulada que corresponda al cuartl que estamos calculando y el valor buscado es la abscsa del punto de nterseccón de la recta y la polgonal. Relacón entre meda, moda y medana S una dstrbucón fuese completamente smétrca los valores de la meda, moda y medana concdrían. Para las dstrbucones unmodales que no son demasado asmétrcas hay una relacón aproxmada entre estos tres parámetros x Mo 3 (x Me) Gracas a esta relacón se puede obtener, con un certo error, alguno de estos parámetros en funcón de los otros (sempre que se den las condcones nombradas) Asmsmo, para dstrbucones unmodales lo más frecuente es que la medana esté comprendda entre la moda y la meda M 0 M e x Págna 19 A. G. Onandía

20 Para termnar este apartado vamos a calcular los parámetros descrtos para nuestros ejemplos Ejemplo A: El número de suspensos de cada uno de los alumnos de bachllerato en la prmera evaluacón fue: x f F h H x f ,196 0, ,163 0, ,163 0, ,130 0, ,152 0, ,076 0, ,076 0, ,043 1, , Meda: x 242 2, Moda: El valor con mayor frecuenca absoluta es 0. Mo=0 Medana Cuartles Hay 92 valores (par), luego la medana será la meda artmétca de los dos valores centrales (lugares 46 y 47). S se observa la columna N, se comprueba que ambos lugares están ocupados por x =2. Por lo tanto Me=2 Hay 92 valores. S queremos dvdrlos en 4 grupos, cada grupo tendrá exactamente, 23 valores. Por lo tanto, Q 1 será la meda artmétca de los valores que ocupan los lugares 23 y 24. Estos valores son 1 en ambos casos. Luego Q 1 =1 Q 3 será la meda de los valores que ocupan los lugares 69( ) y 70. Estos valores son 4 en ambos casos. Así pues Q 3 =4 Págna 20

21 Bachllerato Ejemplo B: Se ha hecho un estudo sobre el retraso (en mnutos) de 120 trenes de certa línea de largo recorrdo obtenéndose los sguentes resultados c = x f F h H x f [0,5) 2, ,150 0, [5,10) 7, ,217 0, [10,15) 12, ,250 0, [15,20) 17, ,200 0, [20,25) 22, ,083 0, [25,30) 27, ,067 0, [30,35) 32, ,033 1, , Meda: x , Moda: El ntervalo con mayor frecuenca absoluta (ntervalo modal) es [10,15) f f 1 Mo L a (f f 1 ) (f f 1 ) (30 26) (30 24) Medana Hay 120 valores, luego hay que buscar en la columna de las frecuencas absolutas acumuladas que ntervalo contene al valor stuado en el lugar 60. Dcho ntervalo es otra vez [10,15). Entonces N F f 30 Me L a ,67 Págna 21 A. G. Onandía

22 Cuartles Hay 120 valores. S queremos dvdrlos en 4 grupos, cada grupo tendrá exactamente, 30 valores. Por lo tanto, para Q 1 debemos buscar el ntervalo que contene al valor stuado en el lugar 30 -resulta ser [5,10) y para Q3 el ntervalo que contene el valor stuado en el lugar 90, que es [15,20). Por lo tanto: N F f 26 Q L a 5 5 7,31 2 e N F f 30 Q M L a ,67 3 N F 1 Q L a ,33 f 24 Los quntles, decles y percentles se calcularían de la msma manera. Págna 22

23 Bachllerato Meddas de dspersón Puede ocurrr que varas dstrbucones tengan los msmos parámetros de centralzacón, pero que sean de aspecto muy dferente. Así por ejemplo: (A) (B) (C) La moda, medana y meda de las tres dstrbucones anterores es 9, y sn embargo dchas dstrbucones son muy dferentes. Convene entonces buscar otras meddas que nos permtan obtener nformacón sobre la forma de la dstrbucón o sobre lo separados que están los datos respecto a las meddas de centralzacón. Estas son las meddas (o parámetros) de dspersón, que completan nuestro análss numérco de una dstrbucón estadístca. Dan una dea del alejamento de los datos respecto a las meddas de centralzacón. Recorrdo Se llama recorrdo (o rango, o ampltud) a la dferenca entre el mayor y el menor valor de la varable. Cuando los datos estén agrupados en ntervalos se tomará como recorrdo la dferenca entre la mayor y la menor marca de clase. Aunque el recorrdo es fácl de calcular y sus undades son las msmas que las de la varable, posee varos nconvenentes: 1) No utlza todas las observacones (sólo dos de ellas); 2) Se puede ver muy afectada por alguna observacón extrema; Págna 23 A. G. Onandía

24 Recorrdo ntercuartílco Recbe este nombre la dferenca entre el tercer y el prmer cuartl (Q 3 -Q 1 ). Es nteresante por que nos da la ampltud de la banda en la que se encuentra el 50% central de la poblacón, desprecando los valores extremos. De forma smlar se podrían defnr recorrdos nterdecílcos, nterquntílcos,... Veremos a contnuacón meddas de dspersón mejores que las anterores. Estas se determnan en funcón de la dstanca entre las observacones y algún estadístco de tendenca central; en nuestro caso, la meda. Una prmera dea bastante natural sería calcular la dferenca entre cada valor de la varable y la meda de la dstrbucón y a contnuacón hallar la meda artmétca de estas cantdades. Tendríamos entonces la meda de las dferencas respecto de la meda, es decr: (x x) f N Pero ya vmos que (x x) f 0 A poco que se pense esto es lógco, recuérdese que la meda artmétca es el centro de gravedad de la dstrbucón. Se puede comprobar con las tres dstrbucones del prncpo de esta seccón. Para soluconar este problema se puede recurrr a varos procedmentos: Desvacón meda Se llama desvacón meda ( o tambén desvacón meda absoluta) a la meda artmétca de los valores absolutos de las desvacones de todos los valores respecto de la meda. Se denota por DM. Entonces: DM x x f N Este parámetro tene un dfícl tratamento algebraco (por el valor absoluto) y en el desarrollo superor de la estadístca no se utlza. Págna 24

25 Bachllerato S en lugar de recurrr al valor absoluto, se recurre a los cuadrados de las desvacones tenemos lo sguente: Varanza Se llama varanza de una varable estadístca a la meda artmétca de los cuadrados de las desvacones respecto de la meda. Se denota por 2 o s 2. Su expresón es: s (x x) f x f x N N La varanza no tene la msma magntud que las observacones (ej. s las observacones se mden en metros, la varanza lo hace en metros 2 ). S queremos que la medda de dspersón sea de la msma dmensonaldad que las observacones bastará con tomar su raíz cuadrada. Desvacón Típca Se llama desvacón típca de una varable estadístca a la raíz cuadrada postva de la varanza. Se representa por s o. x f s s x N Convene tener en cuenta las sguentes observacones: 1) Tanto la varanza como la desvacón típca dependen de todos los valores de la dstrbucón, en funcón de que dependen de la meda. 2) En los casos en los que no era posble calcular la meda tampoco, se podrá obtener n la varanza n la desvacón típca. 3) La desvacón típca está expresada en las msmas undades que los datos (la varanza está expresada en undades cuadradas). 4) Bajo buenas condcones (gran cantdad de datos en dstrbucones unmodales, smétrcas o lgeramente asmétrcas), se llega a verfcar que: Págna 25 A. G. Onandía

26 a) En (x, x ) se hallan aproxmadamente el 68% de los datos. b) En (x 2, x 2 ) se hallan aproxmadamente el 95% de los datos. c) En (x 3, x 3 ) se hallan aproxmadamente el 99% de los datos. A la hora de calcular los parámetros de dspersón añadremos a nuestras tablas dos nuevas columnas: 2 x f para calcular la varanza y la desvacón típca y x x f para la desvacón meda. x f F x f x x x f 2 f..... Totales Comparacón de dstrbucones Tpfcacón Se conoce con este nombre al proceso de restar la meda y dvdr por su desvacón típca a una varable X. De este modo se obtene una nueva varable Z X x s Esta nueva varable Z, que llamamos varable tpfcada, tene meda 0 y desvacón típca 1. S la varable X toma los valores x1, x2,..., x n se llaman puntuacones típcas a los valores que se obtenen para Z: x 1 x 2 1, x x n 2,..., x z z z x n s s s Z carece de undades y permte hacer comparables dos meddas que en un prncpo no lo son, por aludr a conceptos dferentes. Así por ejemplo nos podemos preguntar s un elefante es más grueso que una hormga determnada, cada uno en relacón a su poblacón. Tambén es aplcable al caso en que se queran comparar ndvduos semejantes de poblacones dferentes. Págna 26

27 Bachllerato Por ejemplo s deseamos comparar el nvel académco de dos estudantes de dferentes Unversdades para la concesón de una beca de estudos, en prncpo sería njusto concederla drectamente al que posea una nota meda más elevada, ya que la dfcultad para consegur una buena calfcacón puede ser mucho mayor en un centro que en el otro, lo que lmta las posbldades de uno de los estudante y favorece al otro. En este caso, lo más correcto es comparar las calfcacones de ambos estudantes, pero tpfcadas cada una de ellas por las medas y desvacones típcas respectvas de las notas de los alumnos de cada Unversdad. Ejemplo: Un profesor ha realzado dos exámenes a un grupo de alumnos obtenendo que la meda y la desvacón típca son para el prmer examen 6 y 1,5 respectvamente y para el segundo examen 4 y 0,5 respectvamente. Un alumno obtuvo un 7 en el prmer examen y un 5 en el segundo. Cuál de las dos notas tene más mérto? La dfcultad de esta cuestón radca en que estamos comparando 2 poblacones con dstnta meda y dstnta desvacón típca. Para solventar este problema tpfcamos las notas: En el prmer examen: z ,67 1,5 En el segundo examen: z ,5 Estos resultados ndcan que la nota del alumno en el prmer examen se halla 0,67 desvacones sobre la meda mentras que la nota del segundo examen se halla 2 desvacones sobre la meda. Por lo tanto la nota del segundo examen es más mertora que la del segundo. Hemos vsto que las meddas de centralzacón y dspersón nos dan nformacón sobre una muestra. Nos podemos preguntar s tene sentdo usar estas magntudes para comparar dos poblacones. Qué ocurre s, por ejemplo, comparamos la altura de un grupo de personas con su peso? Tanto la meda como la desvacón típca se expresan en las msmas undades que la varable. Por ejemplo, en la varable altura podemos usar como undad de longtud el metro y en la varable peso, el klogramo. Comparar una desvacón (con respecto a la meda) medda en metros con otra en klogramos no tene nngún sentdo. El problema no se resuelve tenendo las msmas undades para ambas poblacones. Por ejemplo, se nos puede ocurrr pesar a las hormgas con las msmas undades que a los elefantes (ambos en klogramos). Es evdente que la dspersón de la varable peso de las hormgas será Págna 27 A. G. Onandía

28 práctcamente nula, mentras que la de la varable peso de los elefantes será de varos centos de klos. Pero, dado que la dferenca entre las medas es enorme, de esto no se deduce que la dspersón del peso de las hormgas sea menor que la dspersón del peso de los elefantes. Para solventar estos problemas se recurre al llamado Coefcente de varacón (de Pearson) El coefcente de varacón elmna la dmensonaldad de las varables y tene en cuenta la proporcón exstente entre medas y desvacón típca. Se defne del sguente modo: CV s x Se deben tener en cuenta las sguentes consderacones: 1) Sólo se debe calcular para varables que no tengan medas próxmas a 0. 2) El coefcente de varacón no tene undades. Se suele expresar en %. 3) El coefcente de varacón srve para comparar las dspersones de dos conjuntos de valores, mentras que s deseamos comparar a dos ndvduosde cada uno de esos conjuntos, es necesaro usar los valores tpfcados. x1 Ejemplo: Los pesos de los toros de lda de una ganadería se dstrbuyen con una meda 510 Kg y una desvacón típca s 1 exposcón canna se dstrbuyen con una meda x 2 s2 10 Kg. 25Kg. mentras que los pesos de los perros de una 19 Kg y una desvacón típca La desvacón típca de los pesos de la manada de toros bravos es superor que la de los perros ( s 1 s 2 ). Sn embargo, esos 25 Kg son poca cosa para el enorme peso de los toros (es decr, los toros de esa manada son muy parecdos en peso), mentras que 10 Kg en relacón con el peso de un perro es mucho (magnamos que en la exposcón canna habrá perros muy dspares: canches, "salchchas", dogos, mastnes,...). Calculamos los coefcentes de varacón: CV ,049 4,9% CV2 0,526 52, 6% Con este parámetro se ve claramente que el peso de los perros de la exposcón canna es mucho más dsperso que el de los toros de la manada. Págna 28

29 Bachllerato Para termnar este apartado vamos a completar el estudo de nuestros ejemplos A y B Ejemplo A:El número de suspensos de cada uno de los alumnos de bachllerato en la prmera evaluacón fue: x f F h H x f x 2 f x - x f ,196 0, , ,163 0, , ,163 0, , ,130 0, , ,152 0, , ,076 0, , ,076 0, , ,043 1, , , ,52 Meda: x 242 2,63 92 Moda: El valor con mayor frecuenca absoluta es 0. Mo=0 Medana Cuartles Hay 92 valores (par), luego la medana será la meda artmétca de los dos valores centrales (lugares 46 y 47). S se observa la columna N, se comprueba que ambos lugares están ocupados por x =2. Por lo tanto Me=2 Hay 92 valores. S queremos dvdrlos en 4 grupos, cada grupo tendrá exactamente, 23 valores. Por lo tanto, Q 1 será la meda artmétca de los valores que ocupan los lugares 23 y 24. Estos valores son 1 en ambos casos. Luego Q 1 =1 Q 3 será la meda de los valores que ocupan los lugares 69( ) y 70. Estos valores son 4 en ambos casos. Así pues Q 3 =4 Recorrdo Recorrdo ntercuartílco Q3 Q Desvacón meda x x f 162,52 DM 1, 77 N 92 Varanza 2 x 2 f s x (2,63) 2 4,28 N 92 Desvacón típca 2 s s 4,28 2,07 Coefcente de varacón s 2,07 CV 0,79 x 2,63 Págna 29 A. G. Onandía

30 Ejemplo B: Se ha hecho un estudo sobre el retraso (en mnutos) de 120 trenes de certa línea de largo recorrdo obtenéndose los sguentes resultados c =x f F h H x f x 2 f x - x f [0,5) 2, ,150 0, ,50 196,50 [5,10) 7, ,217 0, ,50 153,83 [10,15) 12, ,250 0, ,50 27,50 [15,20) 17, ,200 0, ,00 98,00 [20,25) 22, ,083 0, ,50 90,83 [25,30) 27, ,067 0, ,00 112,67 [30,35) 32, ,033 1, ,00 76, , ,00 755,67 Meda: x , Moda: El ntervalo con mayor frecuenca absoluta (ntervalo modal) es [10,15) f f 1 Mo L a (f f 1 ) (f f 1 ) (30 26) (30 24) Medana Hay 120 valores, luego hay que buscar en la columna de las frecuencas absolutas acumuladas que ntervalo contene al valor stuado en el lugar 60. Dcho ntervalo es otra vez [10,15). Entonces N F f 30 Me L a ,67 Págna 30

31 Bachllerato Cuartles Hay 120 valores. S queremos dvdrlos en 4 grupos, cada grupo tendrá exactamente, 30 valores. Por lo tanto, para Q 1 debemos buscar el ntervalo que contene al valor stuado en el lugar 30 -resulta ser [5,10) y para Q 3 el ntervalo que contene el valor stuado en el lugar 90, que es [15,20). Por lo tanto: N F f 26 Q L a 5 5 7,31 2 e N F f 30 Q M L a ,67 3 N F 1 Q L a ,33 f 24 Los quntles, decles y percentles se calcularían de la msma manera. Recorrdo 32, 5 2,5 30 Recorrdo ntercuartílco Q3 Q1 18,33 7, 31 11, 02 Desvacón meda x x f 755,67 DM 6,30 N 120 Varanza 2 x 2 f s x (13, 42) 2 61,16 N 120 Desvacón típca 2 s s 61,16 7,82 Coefcente de varacón s 7,82 CV 0,58 x 13,42 Págna 31 A. G. Onandía

32 Ejemplo C: Una empresa debe de cubrr certo número de puestos de trabajo de dos tpos, A y B. Se somete a los asprantes a dos pruebas, ambas puntuables de 0 a 50, dseñadas para valorar sus apttudes en uno y otro tpo de trabajo. En la prueba A, la meda de las calfcacones ha sdo xa 28 y la desvacón típca sa 3,4. En la B han sdo respectvamente, xb 24 y sb 2,1 qué tpo de puesto asgnarías a un estudante que hubese obtendo 33 puntos en la prueba A y 28 en la B?. Solucón: En ambos casos se halla por encma de la meda. Su puntuacón es más alta en la prueba A (33 frente a 28), así como su desvacón respecto de las medas (+5 frente a +4). No obstante, valorar gual los puntos obtendos en ambas pruebas puede ser un error de aprecacón. Las desvacones típcas ndcan que los resultados de la prueba B se hallan más agrupados que los de la A. En estas condcones +4 puntos sobre la meda en la prueba B puede ndcar mayor apttud para el trabajo B, frente lo que ndcan +5 puntos sobre la meda en la prueba para el trabajo A. Para salr de dudas calculamos las puntuacones típcas del asprante en ambas pruebas: z A z B ,476 3, ,905 2,1 Esto sgnfca que su calfcacón en la prueba A se halla 1,476 desvacones sobre la meda y, en la B, 1,905 desvacones sobre la meda. Por tanto, está más cualfcado para ocupar un puesto de trabajo de tpo B que un puesto de tpo A. Págna 32