16/02/2015. Ángel Serrano Sánchez de León

Transcripción

1 Ángel Serrano Sánchez de León

2 Índce Introduccón Varables estadístcas Dstrbucones de frecuencas Introduccón a la representacón gráfca de datos Meddas de tendenca central: meda (artmétca, geométrca, armónca, cuadrátca), medana, moda, cuartles, decles, percentles Meddas de dspersón: Recorrdo (total/ntercuartílco/ semntercuartílco), desvacón meda, desvacón típca, varanza, coefcentes de varacón Momentos. Meddas de asmetría: Sesgo, curtoss Varables estadístcas bdmensonales

3 Meddas de resumen o sumarzacón Dada una varable cuanttatva, las meddas de resumen permten epresar toda la nformacón característca de una muestra de datos con menos esfuerzo. Tpos: Meddas de tendenca central: epresan el valor promedo o central de los datos. Meddas de dspersón: ndcan cómo se reparten los datos respecto del promedo. Meddas de asmetría: ndcan s los datos se reparten de manera smétrca respecto del promedo o están sesgado haca uno de los dos lados. 3 3

4 Meddas de tendenca central Tambén: meddas de centralzacón. Epresan el promedo o valor típco representatvo de un conjunto de datos. Ejemplos: Meda artmétca. Meda geométrca. Meda armónca. Meda cuadrátca. Medana. Moda. Cuartles, decles, percentles. 4 4

5 Meda artmétca Sea una muestra de tamaño donde la varable X toma los valores,,,. Defncón: + + K+ (se lee barra ) (se lee sumatoro desde gual a hasta de sub dvddo todo ello por ) 5 5

6 Meda artmétca Conocda la dstrbucón de frecuencas absolutas n o relatvas f se calcula como: k n k k n f (k valores dferentes de ) Para datos agrupados en ntervalos, cada uno con marca de clase c y frecuenca absoluta n, la meda artmétca es apromadamente: k cn (k marcas de clase c ) 6 6

7 Meda artmétca Ejemplo: los pesos en kg (con precsón de 0.0 kg) de unas barras de acero fabrcadas en una empresa venen agrupados en la sguente tabla: Intervalos a a + c n [7.4, 8.0] [8., 8.80] [8.8, 9.50] [9.5, 0,0] [0., 0.90] kg 7 7

8 Meda artmétca: propedades La suma de las desvacones de un conjunto de datos respecto a su meda es cero. ( ) 0 La suma de los cuadrados de las desvacones de un conjunto de datos respecto a su meda es mínma. ( ) es mínmo La meda artmétca no es robusta, porque es muy sensble a valores etremos o anómalos. Meda artmétca recortada: no se consderan en la meda los valores stuados en un determnado % superor e nferor de la muestra. 8 8

9 Meda artmétca ponderada En una meda artmétca normal todos los valores tenen la msma mportanca. S queremos dar más mportanca a unos valores respecto de otros, se les asgnan unos pesos w, tal que defnmos la meda ponderada como: W k k w S los pesos están normalzados tal que su suma total es, entonces: W (k valores dferentes de ) w k w, k w 9 9

10 Meda geométrca Para datos, la meda geométrca es la raíz -ésma del producto de los datos. G (Se lee raíz enésma del L hasta de equs sub ) productoro desde gual a Para datos agrupados con k valores dferentes de : G nl k nk n k Inconvenentes de la meda geométrca: S algún vale 0, la meda geométrca tambén. S hay valores negatvos, la meda geométrca podría no estar defnda. 0 0

11 Meda armónca Para datos, la nversa de la meda armónca es la meda artmétca de las nversas de. Es decr: A A Para datos agrupados con k valores dferentes de : Poco afectada por valores grandes de, pero mucho por los valores pequeños. Solo válda s todos los valores de son 0. A k A k A n n

12 Meda cuadrátca Se defne como la raíz cuadrada de la meda artmétca de los cuadrados: Q Para datos agrupados con k valores dferentes de : Se aplca con frecuenca en aplcacones físcas. Poco afectada por valores pequeños de. k Q n

13 Relacón entre las medas En general: A G Q La gualdad ocurre s y solo s todos los números,, son déntcos. 3 3

14 Medana Para un conjunto de datos, la medana M e es aquel valor tal que la mtad de los valores son menores que él y la otra mtad son mayores. Dvde la dstrbucón de frecuencas o el hstograma en dos partes guales. Cálculo de la medana para los valores : Se ordenan los valores de menor a mayor. Lˆ, ˆ mín, ˆ má ˆ S es mpar, es el valor central. M e ˆ ( + ) S es par, es la meda artmétca de los dos valores centrales. ˆ ˆ + + M e 4 4

15 Medana Sea el vector: Son 9 elementos (mpar), luego la medana es el elemento que, al ordenar el vector, queda en la poscón (9+)/ 5. En este caso es el valor 5. Sea el vector: Son 0 elementos (par), luego la medana es la meda artmétca de los elementos, al ordenar el vector, stuados en las poscones 0/ 5 y +0/ 6. En este caso: (5 + 6)/

16 Medana para datos agrupados Para una varable dscreta con valores agrupados, de los que se calcula la dstrbucón de frecuencas absolutas acumuladas. S / no concde con nnguna frecuenca absoluta acumulada, la medana sería el prmer valor de con frecuenca absoluta acumulada mayor que / Estos datos agrupados equvalen a los datos desagrupados sguentes:,,,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5 0, / 0 ngún concde con / El prmer que supera a / es 3 Luego M e 6 6

17 Medana para datos agrupados Para una varable dscreta con valores agrupados, donde / concde con la frecuenca absoluta acumulada de algún valor de, entonces la medana es la meda artmétca entre y Estos datos agrupados equvalen a los datos desagrupados sguentes:,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5 0, / 0 La frecuenca acumulada concde con / Luego M e ( + 3 )/ ( + 3)/.5 7 7

18 Medana para datos agrupados Para una varable contnua con valores agrupados en ntervalos, de los que se calcula la dstrbucón de frecuencas absolutas acumuladas. S / no concde con nnguna frecuenca absoluta acumulada, y este valor se encuentra entre las frecuencas - y, correspondentes a los ntervalos (a -, a ) y (a, a + ), entonces la medana se calcula por nterpolacón como: M e a + + n ( a a ) S / concde con la frecuenca absoluta acumulada del ntervalo (a, a + ), entonces la medana es a +, el etremo superor del ntervalo. 8 8

19 Medana para datos agrupados Ejemplo: los pesos en kg (con precsón de 0.0 kg) de unas barras de acero fabrcadas en una empresa venen agrupados en la sguente tabla: Intervalos a a + c n [7.4, 8.0] [8., 8.80] [8.8, 9.50] [9.5, 0,0] [0., 0.90] M e / / 0.5 no concde con nngún Este valor está entre 7 y 6, luego la medana está en el ntervalo [8., 8.80] a 8.05, a / ( ) 8.38 kg 9 9 9

20 Medana Ventajas: Más robusta frente a valores anómalos que la meda artmétca. Utlzando un algortmo nsprado en qucksort se consgue la msma complejdad computaconal que en el cálculo de la meda artmétca (lneal). Desventajas: Precsamente un cambo real en los datos (que no sea anómalo) podría no verse reflejado en la medana, pero sí en la meda. 0 0

21 Moda La moda M o es el valor con la frecuenca máma (el más repetdo). Váldo tanto para varables categórcas y cuanttatvas. Inconvenente: Podría no ser únca (dstrbucón bmodal, trmodal, multmodal, etc.). Podría no estr (no se repte nngún valor), especalmente para varables cuanttatvas (salvo que las agrupemos).

22 Moda: datos dscretos En el caso de una varable que toma valores dscretos, la moda es smplemente el valor con la mayor frecuenca absoluta (la barra más alta del hstograma), es decr, el valor más repetdo. Es el caso de las varables categórcas o las cuanttatvas dscretas. Ejemplo: analzando el seo (H, M) de los clentes de una tenda: H M M M H M H M M H La moda es M (mujer).

23 Moda: datos agrupados En el caso de una varable cuanttatva contnua, debemos prmero agrupar los valores en ntervalos. El ntervalo de fronteras (a j, a j+ ) con la mayor frecuenca absoluta n j se llama ntervalo modal. La frecuenca de dcho ntervalo supera al ntervalo premodal en δ, y supera al ntervalo postmodal en δ. La moda se calcula por nterpolacón como: M o δ a j + j+ δ + δ ( a a ) j 3 3

24 Moda: datos agrupados Ejemplo: los pesos en kg (con precsón de 0.0 kg) de unas barras de acero fabrcadas en una empresa venen agrupados en la sguente tabla: En amarllo marcado el ntervalo modal Intervalos a a + c n [7.4, 8.0] [8., 8.80] [8.8, 9.50] [9.5, 0,0] [0., 0.90] δ 9 7 δ 9 7 a 8.05 a Luego la moda está en el ntervalo [8., 8.80] M o ( ) 8.6 kg 4 4

25 Relacón entre meda, medana y moda Para curvas de frecuencas perfectamente smétrcas, los tres valores concden. Para curvas de frecuencas unmodales poco asmétrcas, se cumple la regla empírca: meda moda 3 (meda medana) 5 5

26 Relacón entre meda, medana y moda En el ejemplo de las barras de acero, hemos obtendo los sguentes resultados: Como la meda es mayor que la medana y la moda, la dstrbucón es asmétrca haca la derecha. Esto quere decr que hay una tendenca a valores mayores que la meda muy dspersos y a valores menores que la meda muy concentrados. 6 6

27 Cuartles, decles, percentles Medana: valor que dvde a la muestra en partes guales (50%-50%). Cuartles: 3 valores que dvden a la muestra en 4 partes guales. Prmer cuartlq /4 : 5%-75%. Segundo cuartlq / : 50%-50% (M e ). Tercer cuartlq 3/4 : 75%-5%. Decles: 9 valores que dvden a la muestra en 0 partes guales: D,, D 9. Percentles: 99 valores que dvden a la muestra en 00 partes guales: P,, P

28 Dagrama de caja y bgotes Representacón gráfca de la poscón de los cuartlesy de la presenca de valores atípcos. Caja (rectángulo) formada por el prmer cuartlq /4 y por el tercer cuartlq 3/4. La medana se ndca con una línea que dvde la caja en dos. ormalmente los bgotes se etenden a ambos lados desde el valor mínmo hasta el mámo. Los valores stuados más allá de la poscón ndcada por el cuartl correspondente más.5 veces el recorrdo ntercuartílco (dferenca entre Q 3/4 y Q /4 ) son marcados como anómalos (crcultos). 8

29 Dagrama de caja y bgotes Q /4.50 Q / M e.950 Q 3/ R I Q 3/4 Q /4.75 Límte teórco bgote nferor -.05 Límte bgote nferor.3 Límte teórco bgote superor Límte bgote superor 6.9 Valor más alto menor que Q 3/4 +.5 * R I R I Valor más bajo mayor que Q /4.5 * R I Anómalo Tercer cuartl Medana Prmer cuartl Anómalo 9 9

30 Meddas de dspersón Las meddas de centraldad reducen la muestra de datos a un solo valor. Las meddas de dspersón ndcan cómo se reparten o dspersan los valores de la muestra respecto de ese valor central. Ejemplos: Recorrdo (o rango) Recorrdo ntercuartílco, semntercuartílco Desvacón meda absoluta Desvacón típca y Varanza 30 30

31 Recorrdo (o rango) Para un conjunto de datos, el recorrdo es: R má( ) mín( ) Varante: para elmnar la nfluenca de valores etremos, se defne el recorrdo ntercuartílco (rango del 50% central de los datos): R I Q 3 Q / 4 / 4 Varante: recorrdo semntercuartílco (mtad del anteror): Q 3 / 4 Q/ 4 R S I 3 3

32 Desvacón absoluta Desvacón absoluta respecto de la meda artmétca: meda artmétca de las dferencas absolutas entre los valores de la varable y la meda artmétca de la muestra. D D k n Desvacón absoluta respecto de la medana: DM e medana ( M ) e 3 3

33 Desvacón típca y Varanza Las meddas de dspersón más mportantes. Varanza: Meda artmétca de las desvacones cuadrátcas respecto de la meda artmétca. s s ( ) s k n s ( ) Desvacón típca: Raíz cuadrada de la varanza. s s ( ) n ( ) s s k 33 33

34 Desvacón típca y Varanza S solo tenemos un dato (), la defncón anteror de desvacón típca da 0, pero no tene sentdo el concepto de dspersón de un solo dato. Como veremos en el tema de Inferenca Estadístca, para estmar la desvacón típca de una poblacón a partr de la desvacón típca de una muestra, es mejor corregr el denomnador (desvacón típca y varanza sn sesgo ): sˆ sˆ ( ) sˆ sˆ ( ) 34 34

35 Desvacón típca y Varanza Relacón entre ambas defncones: sˆ s sˆ s Para valores altos de (>30), ambas defncones concden en la práctca

36 36 Desvacón típca y Varanza Se puede demostrar fáclmente ( ejercco!) que la varanza sesgada es gual a la meda de los cuadrados de menos el cuadrado de la meda de los valores de. s 36

37 Desvacón típca y Varanza Propedades: Ambas son sempre postvas o cero. La desvacón típca tene las msmas undades que los valores de, la varanza tene undades al cuadrado. Usando la desvacón cuadrátca respecto de la meda artmétca como medda de dspersón, ambas dan la desvacón cuadrátca mínma. Afectadas por valores etremos (mejor el recorrdo ntercuartílco). Importanca por su coneón con la dstrbucón normal (gaussana)

38 Varables tpfcadas Dada una varable, que toma valores, con meda y desvacón típca s, podemos realzar un cambo de varables a undades estándar (varables tpfcadas): z s Varable admensonal. De gran mportanca para la dstrbucón normal (gaussana)

39 Relacón entre meddas de dspersón Para datos poco sesgados (bastante smétrcos), se cumplen estas reglas empírcas: Relacón entre la desvacón meda y la desvacón típca: D 4 5 s Relacón entre el recorrdo semntercuartílco y la desvacón típca: R SI 3 s 39 39

40 Coefcentes de varacón La desvacón típca es una medda de dspersón absoluta (tene las msmas undades que los datos orgnales). El coefcente de varacón de Pearson la epresa de manera relatva respecto del valor medo: s s CV (en tanto por uno) 00 CV (en %) Postvo o cero, gual que s. Independente de las undades (comparacón de varables con undades dferentes). Inconvenente: no váldo s el promedo de es prómo a cero

41 Coefcentes de varacón Defncón alternatva basada en la desvacón meda respecto de la meda: D CVM Defncón alternatva basada en la desvacón meda respecto de la medana: DM e CVM M e M e 4 4

42 Meddas de asmetría Dan cuenta de cómo de smétrcos son los datos respecto del valor central. Ejemplos: Asmetría o sesgo. Curtoss. 4 4

43 43 Momento Generalzando la defncón de varanza, se denomna momento de orden rrespecto de la meda: ( ) r ( ) n k r Propedades: ( ) m r ( ) n m r ) ( 0 0 m 0 ) ( m ( ) ˆ s s m 43

44 Coefcentes de asmetría (o sesgo) er y º coefcentes de asmetría de Pearson (admensonales): A P M s o 3( M A e) P s Coefcente de asmetría de Fsher (admensonal): g m s

45 Coefcentes de asmetría (o sesgo) Asmetría haca la derecha (o postva), o cola derecha g > 0 Smétrca g 0 Asmetría haca la zquerda (o negatva), o cola zquerda g <

46 Curtoss Compara la dstrbucón de los valores respecto de la dstrbucón normal (gaussana). Tpos: Leptocúrtca (pcuda): g > 3. Mesocúrtca (como la dstrbucón normal): g 3. Platcúrtca (achatada): g < 3. g m s 4 4 Eceso de curtoss g