CAPÍTULO 4 ANÁLISIS ESTADÍSTICO Y UNIFORMIDAD ALTIMÉTRICA

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1 CAPÍTULO 4 ANÁLISIS ESTADÍSTICO Y UNIFORMIDAD ALTIMÉTRICA. LA DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS La agrupacón tabular de la dstrbucón de frecuencas de una toma o levantamento de las cotas taqumétrcas (absolutas o relatvas) de un terreno cuya nvelacón se pretende consttuye la etapa preva para cualquer otro proceso de análss estadístco a que se hayan de someter unos valores numércos que toma cualquer varable topográfca. De esta forma, se puede fáclmente comprender dónde están los promedos o valores centrales de la dstrbucón antedcha y juzgar las característcas de cualquer nota en relacón con las restantes. Para hacer más comprensble el procedmento, desarrollaremos el ejemplo de la parcela de terreno estudado en el epígrafe del capítulo 6 de este msmo lbro, para cuya nvelacón óptma se tomaron 5 puntos con sus correspondentes cotas taqumétrcas relatvas. Para nterpretar correctamente dcha tabla, deben formularse prevamente las sguentes observacones: a) La columna de las frecuencas smples, encabezada por n, (,,..., 5), recoge la frecuenca absoluta de cada lectura. Normalmente, esa cfra será la undad en la mayoría de los trabajos topográfcos de este tpo, salvo que hallemos varos vértces con la msma cota taqumétrca y los agrupemos, en cuyo caso obtendremos una dstrbucón conjunta de frecuencas. Se tratará cas sempre, pues, de una dstrbucón de frecuencas untaras, y la frecuenca total tomará, en este caso, el valor n 5. b) Las frecuencas ordnaras acumuladas ascendentes las hemos desgnado por la notacón N (,,..., 5) y a cada una de ellas corresponde el número de vértces del terreno de cota taqumétrca gual La frecuenca absoluta de una varable estadístca es el número de veces que aparece en la muestra dcho valor de la varable; la representaremos por n. La frecuenca absoluta, es una medda que está nfluda por el tamaño de la muestra, y al aumentar el tamaño de la muestra aumentará tambén el tamaño de la frecuenca absoluta. Esto hace que no sea una medda útl para poder comparar dstrbucones. Para esto es necesaro ntroducr el concepto de frecuenca relatva, que es justamente el cocente entre la frecuenca absoluta y el tamaño de la muestra. La denotaremos por f.

2 o nferor; así, N 4 4, sgnfca que se han hallado 4 vértces con una cota taqumétrca relatva gual o nferor a m. El complementaro N n - N representa las frecuencas ordnaras acumuladas descendentes. c) Las frecuencas relatvas ordnaras y acumuladas ascendentes y descendentes encabezadas, respectvamente, por las notacones f, F y F venen determnadas por el cocente de dvdr la correspondente frecuenca absoluta o acumulada (ascendente o descendente) por la frecuenca total. La suma de las frecuencas relatvas ordnaras y la últma frecuenca relatva acumulada ascendente han de ser sempre guales a la undad, puesto que representan la probabldad total del espaco muestral. Del msmo modo, la últma frecuenca relatva acumulada descendente debe ser gual a 0. Con ello se puede elaborar la sguente tabla, en que la columna de las cotas taqumétrcas ncales del terreno se ha dspuesto en orden crecente de magntud, tomando como base o cota relatva nferor (00,00 m.) la del vértce 5 a los efectos de la mayor operatvdad que se pretende. Así: VÉRTICES Tabla. Tabla de frecuencas. COTA INICIAL n N N f F F (x ) 5 00,00 4 0,067 0,067 0, ,4 3 0,067 0,34 0, ,45 3 0,067 0,0 0, ,78 4 0,067 0,67 0, , ,067 0,335 0, , ,067 0,40 0,598 0, ,067 0,469 0,53 8 0, 8 7 0,067 0,535 0, , ,067 0,603 0,397 0, ,067 0,669 0,33 3 0,37 4 0,067 0,736 0,64 7 0,48 3 0,067 0,803 0,97 6 0,80 3 0,067 0,869 0,3 0,93 4 0,067 0,935 0,065 0, ,067,000 0,000 TOTAL 5,000 De la tabla anteror se deduce tambén el sguente gráfco, donde se representan smultáneamente los dagramas acumulatvos ascendente y descendente, cuyo punto de nterseccón debe ser teórcamente la medana o segundo cuartl de esta dstrbucón de frecuencas, como se verá más adelante.

3 . CARACTERÍSTICAS DE LA DISTRIBUCIÓN.. Meddas centrales o promedos Comenzaremos, como es habtual en estos casos, por el cálculo de los dferentes promedos o valores de la dstrbucón de la varable topográfca cota taqumétrca. Para ello, y a partr de la tabla ncal, elaboraremos la sguente: VÉRTICES Tabla. Tabla auxlar de cálculo (I). COTA INICIAL (x ) n x n x n n /x log x n log x 5 00,00 00, ,0000 0, , , ,4 00, ,764 0, ,0080, ,45 00, ,05 0,009955, , ,78 00, ,6084 0,00996, , ,87 00, ,7569 0, ,003760, ,98 00, ,9604 0, , , ,03 0, ,0609 0, , , , 0, 0.45,4884 0, , , ,9 0,9 0.59,664 0, , , ,30 0,30 0.6,6900 0, , , ,37 0,37 075,8769 0, , , ,48 0, ,904 0, , , ,80 0, ,400 0,009838, , ,93 0, ,749 0, ,008300, ,30 0, ,900 0, , , TOTAL 5.57, ,930 0, , , Veamos, a contnuacón, los dferentes promedos o valores centrales analzados: * Meda artmétca: a partr de los correspondentes resultados se tene que, tratándose de una dstrbucón de frecuencas untaras: X h x n / n α.57 ' 5 0'48 m. que consttuye la meda artmétca o esperanza matemátca ( cota relatva meda ) de la dstrbucón de frecuencas de la varable topográfca analzada. Por otra parte, y por lo que se refere a la determnacón de otros promedos o meddas centrales de esta dstrbucón de frecuencas,

4 veamos que, a partr de la prmera columna y de la encabezada por N (tabla anteror) se obtenen los sguentes resultados promedos: * Medana: al tratarse de una dstrbucón untara con un número mpar de vértces, se tendrán, realzando las nterpolacones correspondentes para los cuartles, los sguentes valores: Q m. Q m. Q Me 0 m. Q m. Q m. Otros promedos nteresantes para nuestro estudo serían los sguentes: * Meda cuadrátca: 5 C x n / n '93 / 5 * Meda geométrca: 5 π n G n x antlog. n log x / n antlog 30' / 5 0'46 m. * Meda armónca: 5 5 0'50 m. H n / n / x 5 / 0' '45 m. Desde luego, como no podría ser de otra manera desde el punto de vsta teórco, las cuatro medas aquí estudadas quedan ordenadas, con arreglo a su magntud, del modo sguente: armónca < geométrca < artmétca < cuadrátca (H 0'45 m.) < (G 0'46 m.) < ( X 0 48 m.) < (C 0'50 m.).. Meddas de dspersón o concentracón Las meddas de dspersón, tambén llamadas meddas de varabldad, muestran la varabldad de una dstrbucón ndcando, por medo de un número, s las dferentes puntuacones de una varable están muy alejadas de un promedo o no. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la varabldad; por el contraro, cuanto menor sea, más homogénea será

5 a la meda. Así, se sabe s todos los casos son parecdos o ben varían mucho entre ellos. Para calcular la varabldad que una dstrbucón tene respecto de su meda, se calcula la meda de las desvacones de las puntuacones respecto a la meda artmétca. Pero la suma de esas desvacones es sempre cero (por una conocda propedad de la meda artmétca), así que se adoptan dos clases de estrategas para salvar este problema. Una es tomando las desvacones en valor absoluto (obtenéndose la denomnada desvacón meda ) y otra es tomando las desvacones al cuadrado (obtenéndose la varanza y su raíz cuadrada la desvacón típca, desvacón standard o desvacón cuadrátca meda ). Por lo que se refere a la desvacón típca o "standard", como medda de la dspersón absoluta de la dstrbucón por el colectvo analzado de nuestra varable topográfca cota taqumétrca, veamos que su valor vendrá dado por la expresón: σ C X 0' 5 0' 48 0'636 m. y un coefcente de varacón de Pearson (medda de dspersón relatva) de : CV σ / X 0 636/0' %, muy bajo. Otras meddas nteresantes serían: Recorrdo o rango: R m. Recorrdo relatvo: R R / X 30/ Coefcente de apertura: C ap x 5 /x 0 30/ Recorrdo ntercuartílco: Q 3 - Q m. Recorrdo sem-ntercuartílco: (Q 3 - Q ) / (Q 3 + Q ) 0 60 / ( ) 0' %. es decr, que en ambos casos, la medda de dspersón empleada vene a representar aproxmadamente sólo alrededor del 0 5% del correspondente promedo. Desde luego, ello ndcaría que el grado de unformdad y homogenedad de las cotas del terreno en estudo resulta muy elevado. En efecto, los coefcentes de unformdad anterormente defndos, tomarán, en este caso, los sguentes valores:

6 CU CU CU ( CV) 00 ( 0'0063) 99'37% ( '7 CV) 00 ( '7 0'0063) ( 0'80 CV) 00 ( 0'80 0'0063) debendo consderarse tambén que: CU 99'0% 99'50% ( Q / X) 00 ( 00'80 /0'48) 00 99'66%, s ben otra determnacón del msmo coefcente de unformdad altmétrca conducría al valor: CU 00 (- 0'68 CV) 00 ( - 0'68 x 0'0063) 99'57%, cuya pequeña dscrepanca (-0'09%) con el resultado anteror débese al propo ajuste de normaldad, o ben al proceso efectuado de cálculo decmal. Veamos, por últmo, que el "coefcente de unformdad altmétrca medo" de la parcela en estudo, que juzgamos de mejor aplcacón, ofrecerá un valor de: CU 00 ( - 0'9 CV) 00 ( - 0'9 x 0'0063) 99'4%, mentras que tambén: Q 00'80 CU '70% Q 0'40 3 La representacón gráfca de los valores de los dferentes coefcentes de unformdad altmétrca hallados, en defntva, es la sguente: Para poder comparar la unformdad de dstntos terrenos a los efectos de su explanacón, y poder tomar decsones comparatvas o de prorzacón respecto de su ejecucón, cabe responder a la sguente pregunta: cuál de ambos, o de varos de ellos, poseen mayor unformdad taqumétrca y, en su consecuenca, debemos prorzar su explanacón, a salvo de otros condconantes? Para ello compararemos el coefcente de unformdad medo obtendo en el presente problema con el que se deduce del ejemplo extraído de una publcacón del antguo Insttuto Naconal de Colonzacón (INC), que podemos encontrar tanto en el posteror capítulo 6 como en el 8 de nuestro lbro. El Insttuto Naconal de Colonzacón y Desarrollo Rural, fue un organsmo autónomo creado en España en octubre de 939, dependente del Mnstero de Agrcultura. Su creacón estuvo motvada por

7 Calcularemos ahora el coefcente de unformdad medo del ejemplo ctado. En prmer lugar, habrá que establecer las nuevas cotas relatvas de este últmo terreno sobre la base de otorgar al punto de cota taqumétrca nferor (vértce ) el valor m. para homogenezar los datos y los resultados subsguentes. Así: Estacas Tabla 3. Tabla de cotas relatvas. Cotas absolutas del terreno ncal Cotas relatvas del terreno ncal (x ) n (x ) n 3,04 0, ,045 5,0 03, ,68 3 6, 04, ,5 4,80 0,9 0.39,46 5 5,7 03, , ,5 03, ,0 7,9 0,30 0.6, ,6 03, , ,90 05,9.085, ,55 04,94.0,404,6 00, ,000 3,94 0, ,49 3 3,0 0, ,58 4,04 00, , , 08,6.796,3 6 9, 07,5.558, ,80 05,9.064,936 8, 00,6 0.,37 9 4,8 03, ,40 0 4,0 0, ,808,80 0,9 0.39,46 3,63 0,0.04, ,60 06,99.446, ,93 03, ,0 5 3,50 0, ,57 la necesdad de efectuar una reforma tanto socal como económca de la terra, después de la devastacón ocasonada por la guerra cvl (936-39). El objetvo prncpal del msmo era efectuar la necesara transformacón del espaco productvo medante la reorganzacón y reactvacón del sector agrícola y el ncremento de la produccón agropecuara con vstas a los planes autárqucos de la época medante el aumento de terras de labor y la superfce de rego. Posterormente cambó su nombre por el de Insttuto de Reforma y Desarrollo Agraro (IRYDA) al fusonarse con el Servco Naconal de Concentracón Parcelara y Ordenacón Rural. Para cumplr su funcón, el Insttuto Naconal de Colonzacón era poseedor de terras, las cuales eran transferdas en arrendamento u otras formas de tenenca a los colonos, pequeños productores agropecuaros, quenes debían pagar un canon o arrendamento hasta que fnalmente adqurían la propedad. El Insttuto realzó ambcosos proyectos de parcelacón por toda España, construyendo poblados de colonzacón al efecto, algunos de los cuales aún subssten en la actualdad.

8 6 5,70 04, ,78 7 4,66 03, ,303 8,59 00, , ,0 07,49.554, , 03,50 0.7,50 3 3,50 0, ,57 3 5,3 03,5 0.76, ,66 03, , ,8 0, ,840 35, 00,6 0.,37 TOTAL 874, , ,44 Para obtenerlo debemos calcular prmero las medas artmétca y cuadrátca del msmo con el fn de determnar la desvacón típca y el coefcente de varacón de Pearson. A saber: * Meda artmétca: a partr de los correspondentes resultados se tene que, tratándose de una dstrbucón de frecuencas untaras, calcularemos este promedo medante la fórmula: X 35 x n / n α 3.68' '383 m. que consttuye la meda artmétca o esperanza matemátca de la dstrbucón de frecuencas de la varable topográfca denomnada cota taqumétrca. * Meda cuadrátca: 35 C x n /n 374.8'44 / 35 03'4 m. Por lo que se refere ahora a la desvacón típca o "standard", como medda de la dspersón absoluta de la dstrbucón por el colectvo analzado de nuestra varable topográfca cota taqumétrca, veamos que su valor vendrá dado por: σ C X 03'4 03'383 '406 m. y un coefcente de varacón de Pearson (medda de dspersón relatva) de : CV σ / X 406/03' %, muy bajo.

9 Veamos, por últmo, que el "coefcente de unformdad altmétrca medo", propuesto en nuestro trabajo, de la parcela en estudo ofrecerá un valor de: CU 00 ( - 0'9 CV) 00 ( - 0'9 x 0'033) 97'86 %, que resulta algo nferor al del prmer terreno analzado desde el punto de vsta de su unformdad taqumétrca (97 86% < 99 4%), lo que nos permte un análss comparatvo de la dfcultad de explanacón del expresado terreno ex anto, que puede resultar francamente útl para la toma de certo tpo de decsones de gran utldad en este tpo de trabajos topográfcos..3. Otras característcas de la dstrbucón de frecuencas.3.. Asmetría o sesgo Las meddas de asmetría o sesgo son ndcadores que permten establecer el grado de smetría (o asmetría) que presenta la dstrbucón de probabldad de una varable aleatora sn tener que hacer su representacón gráfca. Como eje de smetría consderamos una recta paralela al eje de ordenadas que pasa por la meda artmétca de la dstrbucón. S una dstrbucón es perfectamente smétrca, exste el msmo número de valores a la derecha que a la zquerda de la meda o esperanza matemátca, por tanto, el msmo número de desvacones con sgno postvo que con sgno negatvo. Decmos que hay asmetría postva (o a la derecha) s la "cola" a la derecha de la meda es más larga que la de la zquerda, es decr, s hay valores más separados de la meda a la derecha. Por el contraro, dremos que hay asmetría negatva (o a la zquerda) s la "cola" a la zquerda de la meda es más larga que la de la derecha, es decr, s hay valores más separados de la meda a la zquerda. Se podría pensar que defnr la smetría usando la medana para varables contnuas y usando la meda artmétca para varables dscretas es una eleccón arbtrara. En realdad esto no es así, pues s una varable es contnua, concden ambos crteros de smetría (con respecto a la meda y a la medana). Es más, se tene que meda y medana concden para las dstrbucones contnuas perfectamente smétrcas. Por otro lado, en el caso de varables dscretas, la dstrbucón es smétrca s el lado derecho del dagrama se obtene por magen especular desde la meda. En este caso concde la meda con la medana s el número de

10 observacones es mpar. S la varable es contnua smétrca y unmodal, concden la meda, la medana y la moda. Dentro de los dversos tpos de asmetría posble, vamos a destacar los dos fundamentales: -Asmetría postva: S las frecuencas más altas se encuentran en el lado zquerdo de la meda, mentras que en el derecho hay frecuencas más pequeñas (cola). -Asmetría negatva: Cuando la cola está stuada en el lado zquerdo, al contraro de lo que sucede en el caso anteror. Cuando realzamos un estudo descrptvo es altamente mprobable que la dstrbucón de frecuencas sea totalmente smétrca. En la práctca dremos que la dstrbucón de frecuencas es smétrca s lo es sólo de un modo aproxmado. Por otro lado, aún observando cudadosamente la gráfca de la dstrbucón, podemos no ver claro de qué lado están las frecuencas más altas. Convene defnr, entonces, unos estadístcos que ayuden a nterpretar la asmetría, a los que llamaremos índces de asmetría. A contnuacón, emplearemos en el ejemplo que estamos desarrollando en el presente capítulo algunos de los índces de asmetría o sesgo más usuales, como son el índce basado en los tres cuartles, el momento de tercer orden 3 y la dstanca exstente entre la moda y la meda o la meda y la medana. No se ha poddo calcular el denomnado prmer coefcente de asmetría de Pearson dado que está en funcón de la moda Mo de la dstrbucón, que en este caso no exste, habda cuenta de que todas las varables tenen la msma frecuenca. Por lo que se refere a las restantes característcas de la dstrbucón de la varable topográfca cota taqumétrca, veamos que una de la asmetría o sesgo la consttuye el denomnado "º coefcente de asmetría de Pearson", que vene expresado por: P 3(X Me) 3(0'48 0') 0'34 0, σ 0'636 3 El conocmento de la smetría permte precsar, de alguna manera, la forma de una dstrbucón de frecuencas, pero tal conocmento puede mejorarse notoramente al dsponer de otras característcas de dcha dstrbucón y, de modo general, medante los denomnados momentos de la dstrbucón, que pueden ser con respecto al orgen (de los que son conocdos la meda artmétca y el cuadrado de la meda cuadrátca C ) o ben con respecto a la meda (como la varanza σ ).

11 luego se trata, lógcamente, de una dstrbucón práctcamente smétrca. Tambén podríamos calcular el "coefcente de sesgo cuartílco" o coefcente de asmetría de Yule-Bowley, cuyo valor vene dado por la expresón: Q Q + Q Q Q 3 3 0'40 0' + 00 '80 0'40 00 '80 0'40, que conducen, en todos los casos, a conclusones smlares. Cabe observar, no obstante, una lgera asmetría o sesgo haca la zquerda, puesto que: P <0 y tambén: X 0 48 m.< Me 0 m. Así msmo, a partr de los resultados obtendos, se elaborará la sguente tabla, que deberá reunr un número de decmales sufcente para alcanzar la precsón adecuada: Tabla 4. Tabla auxlar de cálculo (II). TOTAL n (x - 0'48) x (x - 0'48) 3 n (x - - 0'48) 4 n 0'48 n -,48 -,595379, ,48-0,78-0, , ,78-0,698-0, , ,698-0,368-0, , ,368-0,78-0, , ,78-0,68-0, , ,68-0,8-0, , ,8 0,07 0, ,6874E-05 0,07 0,4 0, , ,4 0,5 0, , ,5 0, 0, , , 0,33 0, , ,33 0,65 0, , ,65 0,78 0, , ,78,5,58838,760503, , ,6850 7,0 De los resultados que se deducen de la tabla anteror, se nfere que el momento central (respecto a la meda artmétca) de tercer orden es el sguente:

12 m n 5 3 (x X) n (x 3 n 3 0'48) 0' '0046, por lo que se tendrá un "coefcente drecto de asmetría" o "coefcente de sesgo" de Fsher de: g m 3 /σ 3 0'0046 / 0' '00568, que confrma la exstenca de una dstrbucón consderablemente smétrca (en curvas smétrcas como la normal, se cumple que: g g 0)..3.. Apuntamento o curtoss En teoría de la probabldad y estadístca, la curtoss (o kurtoss ) es una medda de la forma o apuntamento de las dstrbucones. Así, las meddas de curtoss (tambén llamadas de apuntamento o de concentracón central) tratan de estudar la mayor o menor concentracón de frecuencas alrededor de la meda artmétca y en la zona central de la dstrbucón. De este modo, los índces de curtoss mden la mayor o menor concentracón de los datos justamente alrededor de la meda artmétca. Por otra parte, el momento central o respecto a la meda artmétca de 4º orden, será: m n 5 4 (x x) n (x 4 n 4 0'48) 5 4' Con ello, se tendrá un coefcente de curtoss de Fsher de: m 0' '805 < 0, 4 σ 0'636 g 4 0' por lo que la dstrbucón que nos ocupa es PLATICÚRTICA O ACHATADA, como se deduce de su propa confguracón, en que todas las frecuencas n Otras

13 Veamos, así msmo, que la anteror tabla auxlar de cálculo, en su últma columna, nos permtrá la determnacón de otra medda de dspersón absoluta a la que ya nos hemos referdo con anterordad: la desvacón meda respecto a la meda artmétca (que sería mínma con respecto a la medana), a saber: DM 5 x X n.4. Índce de Gn y curva de Lorenz n 7'0 /5 0'468 m. Para la determnacón de dchos ítems, frecuentemente empleados en otro tpo de estudos como los socológcos y/o económcos, y cuya fundamentacón teórca y aplcacón a los problemas altmétrcos ya ha sdo explcada en otro apartado de nuestro lbro, resulta necesara la elaboracón de la sguente tabla de cálculos auxlares: VÉRTICES COTA INICIAL (x ) n Tabla 5. Tabla auxlar de cálculo (III). x n f 00 (%) x n x n 00 p (%) q (%) p -q (%) 5 00,00 00,00 6,667 6,59 6,667 6,59 0, ,4 00,4 6,667 6,69 3,334 3,0 0,4 0 00,45 00,45 6,667 6,6 0,000 9,83 0, ,78 00,78 6,667 6,64 6,667 6,473 0, ,87 00,87 6,667 6,648 33,335 33, 0,4 5 00,98 00,98 6,667 6,656 40,00 39,777 0,5 0,03 0,03 6,667 6,659 46,669 46,436 0,33 8 0, 0, 6,667 6,67 53,336 53,07 0,9 4 0,9 0,9 6,667 6,676 60,00 59,783 0,9 0,30 0,30 6,667 6,677 66,670 66,460 0,0 3 0,37 0,37 6,667 6,68 73,337 73,4 0,96 7 0,48 0,48 6,667 6,689 80,004 79,830 0,74 6 0,80 0,80 6,667 6,70 86,67 86,540 0,3 0,93 0,93 6,667 6,78 93,337 93,58 0,079 0,30 0,30 6,667 6,743 00,000 00,000 0,000 TOTAL 5.57, ,03 797,558,473 Así pues, según la fórmula dada por Puldo, el valor del índce de Gn 4, en este caso, será de: 4 Corrado Gn (3 de mayo de de marzo de 965) fue un estadístco, demógrafo y socólogo talano que desarrolló el coefcente de Gn, una medda de la desgualdad en los ngresos en una socedad. Gn fue tambén un nfluyente teórco fascsta e deólogo que escrbó Las bases centífcas del fascsmo en 97.

14 K- G K- (p q ) p ' '03 0'0035 0'35 % Habda cuenta del bajísmo valor del índce obtendo, podemos afrmar que la dstrbucón de las cotas taqumétrcas del terreno analzado es cas perfecta desde el punto de vsta estadístco. La correspondente curva polgonal de Lorenz 5 apenas se separa de la dagonal o bsectrz del prmer cuadrante en esta ocasón, dado el bajísmo valor del índce de Gn ya obtendo, por lo que obvaremos su representacón gráfca, a efectos práctcos. En cualquer caso, como podrán comprobar nuestros amables lectores, amplamos el concepto acerca de esta mportante curva e índce en otros epígrafes de este msmo lbro cuya consulta encarecemos..5. Índce de Wllamson En nuestro caso, la varable topográfca en estudo es la cota taqumétrca de los puntos del terreno en cuestón. Este índce, que se acostumbra a emplear con certo éxto en trabajos económcos, socológcos y en modelos de desgualdad regonal, vendrá dado por la expresón: W n ( x X) X f, (,,...,5) O sea: W 5 ( x 0'48) 0'48 f 0' '48 0' La curva de Lorenz es una representacón gráfca utlzada frecuentemente para plasmar la dstrbucón relatva de una varable en un domno determnado. El domno consttuye una prmera varable. La varable cuya dstrbucón se estuda puede ser la varable topográfca que nos ocupa. Utlzando como ejemplo estas varables, la curva se trazaría consderando en el eje horzontal el porcentaje acumulado del domno en cuestón y en el eje vertcal el porcentaje acumulado de la otra varable del problema planteado. Es, en defntva, una pollínea o línea quebrada que tende a convertrse en curva cuando el tamaño de la muestra analzada tende a nfnto.

15 como se deduce de los cálculos de la tabla sguente y que, como era de esperar, resulta ser muy bajo, al gual que el índce de Gn anterormente calculado: Tabla 6. Tabla auxlar de cálculo (IV). COTA Vértces INICIAL (x ) n (x -0'48) f (x - 0'48) (x -0'48) f 5 00,00 -,48 0,067, , ,4-0,78 0,067 0, , ,45-0,698 0,067 0, , ,78-0,368 0,067 0,3544 0, ,87-0,78 0,067 0, , ,98-0,68 0,067 0,084 0, ,03-0,8 0,067 0,0394 0, , 0,07 0,067 0, , ,9 0,4 0,067 0,0064 0, ,30 0,5 0,067 0,0304 0, ,37 0, 0,067 0, , ,48 0,33 0,067 0,04 0, ,80 0,65 0,067 0,4504 0, ,93 0,78 0,067 0,654 0, ,30,5 0,067,3704 0, TOTAL 5 0,000 5,664 0, Curva e índce de concentracón de Lorenz.6.. Otras especfcacones acerca de la curva de Lorenz En el ejemplo que desarrollamos se consdera una poblacón de N 5 vértces o estacas y la varable estadístca X {x, n },,, 3..., r, donde x es la cota taqumétrca correspondente a cada uno de los puntos analzados del terreno, sendo que: x < x <... < x r. Llamemos u j N j j r n. Supongamos además x n es decr, la cota taqumétrca total de los puntos del terreno cuya cota es menor o gual que x. Sea N p 00, es decr, el porcentaje de puntos poseedores de la cota total N u (N es la frecuenca absoluta acumulada ascendente, es decr, el número de puntos del terreno comprenddos en la cota total u ); sea u q 00, es decr, el porcentaje de la cota taqumétrca total poseído ur por los N puntos o vértces anterores.

16 Pues ben, la curva de Lorenz es la línea polgonal quebrada que une los puntos (0, 0), (p, q ), (p, q ), (p 3, q 3 ),..., (p r, q r ). En esta ocasón, se tene que r 5. En nuestro caso, la correspondente curva polgonal de Lorenz apenas se separa práctcamente de la dagonal o bsectrz del prmer cuadrante, dado el bajísmo valor del índce de Gn obtendo (G ), como hemos tendo ocasón de comprobar con anterordad. Tambén puede resultar de certo nterés, en nuestro caso, la aplcacón de la funcón del económetra talano Vlfredo Pareto (848-93) a la dstrbucón de las cotas taqumétrcas del terreno en cuestón 6, aunque obvaremos dcha determnacón por razones de smplcdad..6.. Índce de concentracón de Lorenz En el problema que contemplamos, veamos que un valor aproxmado de este índce es el que se obtene medante la aplcacón de la fórmula basada en los porcentajes acumulados, que se emplea comúnmente en los trabajos práctcos. Aquí, la fórmula correspondente, explcada en este msmo lbro, tomará la confguracón smplfcada (con n 5 y q n 00): L 4 4 q 00-4 q 700 El resultado que ofrece la aplcacón de la fórmula anteror es el que queda reflejado en la sguente tabla, tenendo en cuenta, como ya se ha dcho, que resulta necesaro ordenar los valores de la cota taqumétrca del terreno de menor a mayor, para la aplcacón correcta de la fórmula, así: X q 6,59 6,59 6,69 3,0 6,6 9,83 6 Educado como ngenero y matemátco, Pareto se dedcó, en una prmera etapa, a la aplcacón de las matemátcas a la economía. Sucedó a León Walras en la cátedra de economía de la Unversdad de Lausanne, en 89. Utlzando las curvas de ndferenca ntroducdas por Edgeworth, logró establecer las condcones matemátcas para que se produjera el Equlbro General; creó el concepto de "óptmo", llamado luego óptmo paretano, para referrse a una stuacón donde se obtene una máxma utldad dado un conjunto prevo de benes o servcos. Sus trabajos srveron como punto de partda para la llamada Economía del Benestar. Crtcó agudamente al socalsmo.

17 6,64 6,473 6,648 33, 6,656 39,777 6,659 46,436 6,67 53,07 6,676 59,783 6,677 66,460 6,68 73,4 6,689 79,830 6,70 86,540 6,77 93,57 6, TOTAL ,558 A esta dstrbucón de probabldad le corresponde, pues, el índce de Lorenz sguente: 697'558 L % 700 que, como puede comprobarse, resulta ser bastante bajo y aproxmado al índce de Gn anterormente calculado, valendo al respecto las msmas consderacones efectuadas entonces.