AJUSTE DE LA CURVA DE PROBABILIDAD DEL ESCURRIMIENTO MEDIO HIPERANUAL ANUAL SEGÚN LA TEORÍA S B JOHNSON.

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1 AJUSTE DE LA CURVA DE PROBABILIDAD DEL ESCURRIMIENTO MEDIO HIPERANUAL ANUAL SEGÚN LA TEORÍA S B JOHNSON. Revsta Voluntad Hdráulca No. 57, 98. Págnas RESUMEN Se nforma sobre el desarrollo del método de dstrbucón de las probabldades del escurrmento medo hperanual, según la teoría S B Johnson. Se presenta un ejemplo de cálculo con los datos del río San Dego, Pnar del Río. Introduccón Las observacones hdrométrcas que comenzaron aproxmadamente hace dos décadas, han facltado la recoplacón de datos hdrológcos necesaros en la argumentacón de esquemas y proyectos hdroeconómcos. Hasta la etapa actual, la dstrbucón de las probabldades del escurrmento medo hperanual (5, 50, 75, 95%, etc.), se ha calculado determnando un coefcente de varacón de una forma ndrecta y asumendo una asmetría gual a dos veces este coefcente. Exsten varos métodos estadístcos aplcables en Hdrología para el ajuste de curvas de probabldades a los puntos observados (momentos, máxma verosmltud, cuantles). El objetvo de este trabajo es dar a conocer la dstrbucón S B Johnson, para determnar el escurrmento de dstntas probabldades, que como se verá más adelante permte unajuste más exacto cuando se tenen seres cortas de observacones. De manera que, s se utlza en forma óptma el cálculo electrónco, éste es uno de los mejores métodos para determnar el escurrmento medo hperanual, para dstntas probabldades, cuando exsten seres regstradas. Desarrollo del método La transformacón Johnson presenta, en su forma general, el tpo sguente: > 0, - <γ< () η = γ + + (x; ε, λ) () λ> 0, - <ε< ; (3) sendo, x- varable aleatora para la cual selecconamos la dstrbucón Johnson; una funcón cualquera; γ,, ε, λ parámetros de dstrbucón; η varable normalzada según la ley de dstrbucón normal con los parámetros (0,). Johnson propuso tres tpos de funcones o famlas: I.- (x; ε, λ) = ln((x ε)/λ), x ε; (4) II.- (x; ε, λ) = ln (x ε/λ + ε x), ε x < ε + λ; (5)

2 III.- 3 (x; ε, λ) = Arcsen (x ε/λ), - < x < (6) Las densdades de dstrbucón correspondentes tenen el tpo: I.- f ( x) = exp + ln ( x ε) * λ π( x ε) (7) II.- x f( x) λ exp ln ε = λ+ π ( x ε)( λ+ ε x) λ+ ε x (8) x ε x ε III.- f3( x) = exp λ+ ln + + π ( x ε) + λ λ λ donde, (9) f ( ) dstrbucón S L Johnson; f3 ( ) de dstrbucón; f ( ) x - dstrbucón log-normal con tres parámetros, tambén llamados, famla de de dstrbucón. 3 x - famla de dstrbucón S B Johnson con cuatro parámetros x - famla de dstrbucón S U Johnson, tambén con cuatro parámetros De las fórmulas presentadas se desprende que las dstrbucones S L, S B, S U se aplcan, respectvamente, para varables aleatoras lmtadas por un extremo (I tpo), por arrba y por abajo (II tpo), y fnalmente, por varables no lmtadas (III tpo). Desde el punto de vsta de los procesos hdrológcos, la que más nteresa es la dstrbucón S B Johnson, lmtada por ambos extremos (II), ya que la msma cubre la mayor parte de los ríos. La densdad de la dstrbucón S B puede escrbrse de la forma sguente: b a x a f ( x) = exp ln m ( x a)( b x) b x π (0) donde, b = λ + ε; a = ε límtes superor e nferor de la varable aleatora x; m =, o sea, γ = () C v

3 m - esperanza matemátca. = desvacón típca Cv - coefcente de varacón. S tomamos una magntud dscreta como sería el escurrmento anual, la ecuacón: (donde x x a = ln () b x Q = - coefcentes modulares de los gastos ( Q ) anuales observados, Q o gasto medo anual de la sere) tendrá una dstrbucón normal; ndudablemente, la ecuacón: Q o - ( ) ln x a m η = (3) será tambén normal con los parámetros (0,). La ventaja de la dstrbucón S B Johnson estrba en que la msma descrbe muy ben el proceso de varabldad del escurrmento anual, aún mucho mejor que las dstrbucones Pearson, y que, además, resulta muy adaptable a los modelos hdrológcos. Utlzando la evaluacón de los parámetros y la tabla de valores de la funcón ntegral de dstrbucón normalzada, puede obtenerse la dstrbucón empírca, o curva de probabldades, y comparar los resultados con los datos observados. Al determnar los cuatro parámetros de dstrbucón (a, b, m, ) tenemos el cuadro sguente: a) Los valores extremos a y b son conocdos b) Conocemos solamente un valor extremo ( a ó b) c) No contamos con nnguno de los dos valores. Consderemos que para el escurrmento son conocdos los dos valores extremos y analcemos los métodos de evaluacón de los dos parámetros restantes. La evaluacón de la esperanza matemátca m y la desvacón típca de la sucesón normal, pueden determnarse con ayuda del método de los momentos que, como sabemos, para se obtenen los msmos resultados de la máxma verosmltud:

4 m = n = x a ln b x n (4) = n = x a ln m b x n (5) La determnacón de los parámetros a y b se realza combnando los datos de cada una de las cuencas fluvales y aceptando los pares de valores en los que el crtero χ sea mínmo. El límte nferor a, varía desde un valor mínmo observado hasta cero, y el límte superor b, desde el valor máxmo observado en adelante. Esta comprobacón estadístca de los límtes extremos de la dstrbucón S B Johnson solamente es posble conocerla con la utlzacón de la computacón electrónca. CONCLUSIONES. Consderemos conocdos a y b para la cuenca del río San Dego (Pnar del Río), con una sere de regstros hdrométrcos de 8 años, y determnemos la curva de dstrbucón de probabldades aplcando el método S B Johnson. a = 0.4; b=.0 En la Tabla puede verse la secuenca de los cálculos. En las columnas -4 se ordenan los datos y se determnan los coefcentes modulares x. Segudamente, calculamos los valores de la columna (5), utlzando la ecuacón (), que en este caso partcular toma la forma: x 0.4 = ln.0 x La esperanza matemátca: m 8 = = = n

5 Tabla. CÁLCULO DE LA CURVA DE PROBABILIDAD POR EL MÉODO S B JOHNSON No. Año Q (m 3 /s) x =Q /Q o (x - a) (b -x ) (x - a)/(b - x ) =ln(x -a)/(b-x ) ( - m ) ( - m ) x decrec p%=( - (n+0.3)/n+0.4)* a=0.4; b= Coefcente de vara C v=г /Q o Cv= Σ= Q o=.93 a= 0.4 b= m г = Posterormente calculamos la columna (6), y ordenamos x en orden decrecente. La columna (8) es la probabldad de no sobrepaso: p % n = 00 N (6) n- número de orden; N- número de años observados Segudamente determnamos la desvacón típca: 8 ( m ) = = =.46 n 7 = Tenendo en cuenta que.88 x 0.44 podemos colocar un rango de valores x p en la columna () de la Tabla, desde.9 hasta 0.5 aproxmadamente. Después de calcular las columnas () y (3), hallamos los valores de η en la columna (4).

6 Tabla Construccón de la curva x p y=(x - a)/(b-x ) =lny η=( - m )/г η=ф(q) p % =00 - η*00 p % x p a= 0.4 m Cv= 0.50 b= г =.46 Para conocer el gasto de una probabldad, se determna el valor de x p por el gráfco y se aplca la ecuacón x p *Q o Fnalmente, con los datos de cada η buscamos las probabldades de no sobrepaso η = φ( q), en el Anexo II, págna 84 del trabajo (), convrténdolas en probabldades de sobrepaso según: p% = 00 η00 (7) Con los datos de p % y xp dbujamos la dstrbucón de las probabldades que, como observamos, se ajusta muy ben a los valores del escurrmento regstrado (Fgura )...9 Fgura. Coefcentes modulares de los gastos (x p ) P r o b a b l d a d e s (%)

7 BIBLIOGRAFÍA Alexeev, G. A. (970): Objektvnemetodyvrravnvana y normalzazykorrelazonnxsvaze. Hdrometeozdat, Lenngrad, 359 p. Hahn, G. J. y Shapro, S. S. (967): Statstcal models n Engneerng, New York, 94 p. Svandze, G. G. (977): Matematcheskemodelrovanegudrologucheskuzradov. Hdrometeorzdat, Lenngrad. ANEXO II.- Valores normales de las funcones de dstrbucones ntegrales normalzadas u u p = e du φ( u) π =, o sea, la probabldad de no sobrepaso p = φ( u) de los cuantlesu normalzados. u ,0 0,0035 0, , , , ,0004 0,0006 0,000 0, ,9 0,009 0,008 0,008 0,007 0,006 0,006 0,005 0,004 0,004 0,004 -,8 0,006 0,005 0,004 0,004 0,003 0,00 0,00 0,000 0,000 0,000 -,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,003 0,003 0,0030 0,009 0,008 0,007 0,006 -,6 0,0047 0,0046 0,0044 0, ,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 -,5 0,006 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,005 0,0050 0,0049 0,0048 -,4 0,008 0,0080 0;0078 0,0076 0,0073 0,007 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064 -,3 0,007 0,004 0,00 0,0099 0,0096 0,0094 0,009 0,0089 0,0087 0,0084 -, 0,039 0,036 0,03 0,08 0,05 0,0 0,09 0,06 0,03 0,00 -, 0,079 0,074 0,070 0,066 0,06 0,058 0,054 0,050 0,046 0,04 -,0 0,08 0,0 0,07 0,0 0,007 0,00 0,097 0,09 0,088 0,084 -,9 0,087 0,08 0,075 0,068 0,06 0,056 0,050 0,044 0,039 0,03 -,8 0,0359 0,035 0,0344 0,0336 0,039 0,03 0,034 0,0307 0,030 0,094 -,7 0,0446 0,0436 0,047 0,047 0,0409 0,040 0,039 0,0384 0,0375 0,0367 -,6 0,0548 0,0537 0,056 0,056 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455 -,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,068 0,0606 0,0594 0,058 0,057 0,0559 -,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,07 0,0707 0,0694 0,068

8 -,3 0,0968 0,095 0,0934 0,098 0,090 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,083 -, 0,5 0,3 0, 0,093 0,075 0,056 0,038 0,00 0,003 0,0985 -, 0,357 0,335 0,34 0,9 0,7 0,5 0,30 0,0 0,90 0,70 -,0 0,587 0,56 0,539 0,55 0,49 0,469 0,446 0,43 0,40 0,379-0,9 0,84 0,84 0,788 0,76 0,736 0,7 0,685 0,660 0,635 0,6-0,8 0,9 0,090 0,06 0,033 0,005 0,977 0,949 0,9 0,894 0,867-0,7 0,40 0,389 0,358 0,37 0,97 0,65 0,36 0,06 0,77 0,48-0,6 0,743 0,709 0,676 0,643 0,6 0,578 0,546 0,54 0,483 0,45-0,5 0,3085 0,3050 0,305 0,98 0,946 0,9 0,877 0,843 0,80 0,776-0,4 0,3443 0,3409 0,337 0,3336 0,3300 0,364 0,38 0,39 0,356 0,3-0,3 0,38 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,363 0,3594 0,3557 0,350 0,3483-0, 0,407 0,468 0,49 0,4090 0,405 0,403 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859-0, 0,460 0,456 0,45 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,435 0,486 0,446-0,0 0,5000 0,4960 0,490 0,4880 0,4840 0,480 0,476 0,47 0,468 0,454 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,50 0,560 0,599 0,539 0,579 0,539 0,5359 0, 0,5398 0,5438 0,5478 0,557 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,574 0,5753 0, 0,5793 0,583 0,587 0,590 0,5948 0,5987 0,606 0,6064 0,603 0,64 0,3 0,679 0,67 0,655 0,693 0,633 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,657 0,4 0,6557 0,659 0,668 0,6664 0,6700 0,6736 0,677 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,695 0,6950 0,6985 0,709 0,7054 0,7088 0,73 0,757 0,790 0,74 0,6 0,757 0,79 0,734 0,7357 0,7389 0,74 0,7454 0,7486 0,757 0,7549 0,7 0,7580 0,76 0,764 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,783 0,785 0,8 0,788 0,790 0,7939 0,7967 0,7995 0,803 0,805 0,8078 0,806 0,833 0,9 0,859 0,886 0,8 0,838 0,864 0,889 0,835 0,8340 0,8365 0,8389,0 0,843 0,8438 0,846 0,8485 0,8508 0,853 0,8554 0,857 0,8599 0,86, 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,879 0,8749 0,870 0,8790 0,880 0,8830, 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,895 0,8944 0,896 0,8980 0,8997 0,905,3 0,903 0,9049 0,9066 0,908 0,9099 0,95 0,93 0,947 0,96 0,97,4 0,99 0,907 0,9 0,936 0,95 0,985 0,979 0,993 0,9306 0,939,5 0,933 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 0,9394 0,9406 0,948 0,949 0,944,6 0,945 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,955 0,955 0,9535 0,9545

9 ,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9583 0,959 0,9599 0,9608 0,966 0,965 0,9633,8 0,964 0,9649 0,9656 0,9664 0,967 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706,9 0,973 0,979 0,975 0,973 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,976 0,9767,0 0,97 0,978 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,98 0,986, 0,98 0,986 0,9830 0,9834 0,9838 0,984 0,9846 0,9850 0,9854 0,9858, 0,986 0,9864 0,9868 0,987 0,9875 0,9878 0,988 0,9884 0,9887 0,9890,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,990 0,9904 0,9906 0,9909 0,99 0,993 0,996,4 0,998 0,990 0,99 0,994 0,997 0,999 0,993 0,993 0,9934 0,9936,5 0,9938 0,9940 0,994 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9950 0,995 0,995,6 0,9953 0,9954 0,9956 0,9958 0,9959 0,9960 0,996 0,996 0,9963 0,9964,7,0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,997 0,997 0,9973 0,9974,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9976 0,997 0,9978 0,9979 0,9980 0,9980 0,9980,9 0,998 0,998 0,998 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9986 0,9986 0,9986 3,0 0, , ,9993 0,9995 0, , , , , ,99995