CAPÍTULO III. METODOLOGÍA 1. sismos pasados, por lo que este se calculara evaluando primero la tasa de actividad sísmica

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1 CAPÍTULO III. METODOLOGÍA 1 III.1 Evaluacón del pelgro sísmco La determnacón drecta del pelgro sísmco rara vez se puede hacer debdo a la falta de nformacón en cuanto a las aceleracones que se han producdo en un msmo sto en ssmos pasados, por lo que este se calculara evaluando prmero la tasa de actvdad sísmca en las fuentes generadoras de temblores y después se ntegraran los efectos que producen los ssmos que se generan en la totaldad de las fuentes. III.1.1 Ssmcdad de las fuentes La Repúblca Mexcana está dvdda en 476 fuentes generadoras de ssmos a una tasa constante. La actvdad de cada una de estas fuentes está especfcada en térmnos de la tasa de excedenca de magntudes λ(m). La funcón anteror es una versón modfcada de la relacón de Gutenberg y Rchter, por lo que la ssmcdad queda descrta de la sguente manera: e b M b M u M 0 b M0 b Mu e e (3.1) e M 0 : Mínma Magntud Relevante 1 Basado en R8 31

2 λ0, b, M u : Parámetros que defnen la tasa de excedenca de cada una de las fuentes sísmcas, estmados por procedmentos estadístcos bayesanos. La formula (3.1) se utlza para la mayor parte de las fuentes sísmcas, sn embargo se ha observado que la dstrbucón de magntudes de los grandes temblores de subduccón (M>7) se aparta de la relacón de Gutenberg y Rchter, dando orgen al llamado temblor característco, por lo que para grandes temblores la ssmcdad queda defnda de la sguente manera: M EM M 7 1, s M>7 (3.) M λ(7), EM, σ M : Parámetros que se deben de obtener estadístcamente para la zona mexcana de subduccón. Ф: Funcón de dstrbucón ormal Estándar. III.1. Atenuacón de las ondas sísmcas Ya que se ha calculado la tasa de actvdad de cada una de las fuentes sísmcas, es necesaro evaluar los efectos que, en térmnos de ntensdad, produce cada una de ellas en un sto de nterés. Para lograr lo anteror, es necesaro tener conocmento de la ntensdad que se presentaría en el sto en cuestón, s en la -ésma fuente ocurrera un temblor. A las 3

3 expresones que relaconan magntud, poscón relatva fuente-sto e ntensdad se les conocen como leyes de atenuacón. Se pueden utlzar cuatro leyes de atenuacón dferentes dependendo de las trayectoras que recorren las ondas en su camno de la fuente al sto, las cuales se descrben a contnuacón: 1. Temblores costeros Se utlz para la aceleracón máxma del terreno provocada por temblores generados en la costa sur del pacífco, la ley de atenuacón de Ordaz.. Temblores de profunddad ntermeda Aquí se emplea el modelo de atenuacón descrto por Rosenblueth que trata de un modelo teórco fuente-trayecto con parámetros ajustados para reproducr los pocos regstros de aceleracón dsponbles para este tpo de ssmo. 3. Temblores superfcales Para modelar la atenuacón de estos temblores se utlzan leyes de atenuacón construdas con datos regstrados en Calforna. 33

4 4. Temblores costeros afectando la zona frme del Valle de Méxco o exste propamente terreno frme en el D.F. por lo que se modela la atenuacón de las ondas de una manera específc para ello se utlzan las leyes de atenuacón de Reyes. III.1.3 Efectos de la geología local El efecto del tpo de suelo sobre la ampltud y la naturaleza de las ondas sísmcas es de suma mportanca para la estmacón del pelgro sísmco, ya que se estma el movmento a partr de funcones de transferenca promedo obtendas de movmentos sísmcos regstrados en roc suelos frmes y suelos blandos. La funcón de transferenca de roca a suelo frme está dada por: FT T 1 35T T T 1 5T (3.3) Y para suelos blandos por: FT T 1 35T T T 1 5T (3.4) En las expresones anterores (3.3, 3.4) T es el perodo de la funcón de transferenc FT. 34

5 III.1.4 Cálculo del pelgro sísmco Una vez que ya se ha calculado todo lo descrto anterormente, se procederá a realzar el cálculo del pelgro sísmco, consderando la suma de los efectos de la totaldad de las fuentes sísmcas y la dstanca entre cada fuente y el sto. El pelgro sísmco v(sa), expresado en térmnos de las tasas de excedenca de ntensdades (Sa), se calcula de la sguente manera: v( Sa) M u 1 M 0 d M dm Pr SA Sa M, R dm (3.5) Donde la sumatora abarca la totaldad de las fuentes sísmcas y Pr(SA>Sa M, R ) es la probabldad de que la ntensdad exceda un certo valor, dadas la magntud del ssmo (M) y la dstanca entre la -ésma fuente y el sto (R ). S suponemos que la ntensdad tene una dstrbucón Lognormal y dadas la magntud y la dstanc se tene que: E ln Sa M, R ln Sa Pr( SA sa M, R ) (3.6) ln Sa Ф: Funcón de dstrbucón ormal Estándar 35

6 E lnsa M, R atenuacón correspondente) : Valor medo del logartmo de la ntensdad (dado por la ley de σ lnsa : Desvacón estándar III. Vulnerabldad Estructural La vulnerabldad de una estructura se defne como la relacón que exste entre el movmento sísmco y el nvel de daño. El parámetro que se utlza para calcular el nvel de daño es la dstorsón máxma de entrepso. A contnuacón se descrbe la forma en que se relacona la ntensdad sísmca con el daño en la estructura antes de la aplcacón de deducble, límte de prmer resgo y reaseguro. III..1 Daño esperado dada la dstorsón máxma de entrepso La dstorsón máxma de entrepso se estma de la sguente manera: 3/ Sa T (3.7) 4 h 36

7 β 1 : Factor de amplfcacón que estma el desplazamento lateral máxmo en la altura máxma de la estructura consderando un comportamento mecánco de tpo elástco-lneal a partr del desplazamento espectral. β : Factor de amplfcacón que estma la deformacón máxma de entrepso a partr de la dstorsón global de la estructura. β 3 : Factor que permte calcular los desplazamentos laterales máxmos en estructuras con comportamento nelástco, a partr de los desplazamentos laterales máxmos elástcos. β 4 : Factor que permte calcular el cocente entre la relacón de la dstorsón máxma de entrepso y la global en una estructura con comportamento elástco-lneal, y entre la relacón de la dstorsón máxma de entrepso y la global de una estructura con comportamento nelástco. η: Factor que permte estmar el perodo fundamental de una estructura a partr del número de nveles. : úmero de psos de la edfcacón. Sa(T): Aceleracón espectral que depende del pelgro sísmco del sto y del perodo fundamental de vbracón y del amortguamento de la estructura. h: Altura de entrepso en la edfcacón que depende del tpo de sstema estructural, de la ubcacón geográfca del nmueble y de la fecha de construccón. 37

8 El valor esperado del daño en una estructura dada la dstorsón máxma de entrepso se calcula de la sguente manera: E (3.8) (3.9),ρ: Parámetros de vulnerabldad estructural que dependen del sstema estructural y de la fecha de construccón. III.. Densdad de probabldad del daño La densdad de probabldades del daño en la estructura se supone es de tpo Beta y se calcula medante la sguente fórmula: a b ab a 1 b 1 1 (3.10) P 38

9 Donde a y b, son parámetros que se pueden calcular a partr de la meda y del coefcente de varacón del daño, C(β). E C C 1 E a (3.11) E 1 b a E (3.1) C (3.13) E E β σ β C γ β γ β : Valor esperado de la pérdda : Varanza de la pérdda : Coefcente de varacón de la pérdda Exste poca nformacón para determnar el coefcente de varacón de la pérdda. Sn embargo, sabemos, que cuando el valor esperado de la pérdda es nulo la dspersón 39

10 tambén lo es y que para valores ntermedos, es dfícl precsar, cuánto vale la varanza de la pérdda. Se han realzado ejerccos de smulacón suponendo estructuras smples con propedades aleatoras, para poder fjar varacones de la varanza con la sguente formula funconal: r 1 1 s Q E E 1 (3.14) V max Q (3.15) r1 s D D0 r 1 s r (3.16) D 0 V max : Varanza máxma D 0 : vel de daño para el que ocurre la varanza máxma r: Tomado gual a 3 40

11 III.3 Evaluacón de pérddas por ssmo para fnes de seguro En este apartado, se descrben los procedmentos para evaluar pérddas, especalmente en los aspectos propos de la operacón del seguro de terremoto. III.3.1 Efecto de coaseguro, deducble y límte en una edfcacón Después de haber calculado la pérdda brut nos nteresa calcular la pérdda neta β, la cual resulta de aplcar coaseguro (C), deducble (D) y límte de prmer resgo (L). 0 D L - D s D s D L s L En la anteror, no se ncluye explíctamente el efecto de coaseguro, ya que es una constante proporconal que afecta a la pérdda después de aplcar el deducble. Ahor se procede a calcular E(β γ), σ (β γ) y la dstrbucón de probabldad de β γ. Para esto, a la pérdda bruta (β), se le asgna una dstrbucón Beta con parámetros a y b, cuyas relacones con los momentos estadístcos de β ya se han establecdo. E(β γ) y σ (β γ) se calculan ntegrando la ecuacón anteror con respecto a la densdad de probabldades. La dstrbucón de probabldad de β γ queda de la sguente manera: 41

12 Pr( B 0) Ba D, b Pr( B ) Ba( D, b) Pr( B L D) 1 Ba( L, b) En donde Ba(x,b) es la funcón Beta acumulada. El valor esperado y la varanza de la pérdda neta se calculan de la sguente forma: T1 T T3 E (3.17) T a Ba( L, a 1, b) Ba( D, a 1, ) (3.18) a b 1 b T D( Ba( L, b) Ba( D, )) (3.19) b T ( L D)(1 Ba( L, )) (3.0) 3 b Adconalmente, calculamos el segundo momento: 4

13 E( ) u1 u u3 u4 (3.1) a( a 1) u1 ( Ba( L, a, b) Ba( D, a, b)) (3.) ( a b)( a b 1) Da u ( Ba( L, a 1, b) Ba( D, a 1, b)) (3.3) a b u3 D ( Ba( L, b) Ba( D, b)) (3.4) u4 ( L D) (1 Ba( L, b)) (3.5) Para fnalmente obtener: E( ) E ( ) (3.6) III.3. Pérdda Máxma Probable para una edfcacón La pérdda máxma probable (PML) se defne como un estmador del tamaño de las pérddas máxmas que sería razonable esperar en una edfcacón sometda a un proceso estaconaro de ocurrencas sísmcas. Para calcular el PML de una ubcacón, se procede de la sguente manera: 43

14 1. Determnar las tasas de excedenca de las pérddas netas.. Selecconar la probabldad anual de excedenca que sería gual a la probabldad de quebra y adoptar como PML el valor de pérdda asocado a esa probabldad anual de excedenca. Las tasas de excedenca de las pérddas netas se calculan por medo de la sguente fórmula: dv( a) Pr( B a) da (3.7) da 0 a: Intensdad sísmca relevante v(a): Tasa de excedenca de la ntensdad. La formula (3.7) se utlza cuando se trata de una edfcacón ndvdual, sn embargo, tratándose de una cartera complet se procede de la sguente manera para calcular el PML: 1. Elegr el perodo de retorno de los ssmos potencalmente asocados con el PML.. Determnar, para cada fuente sísmc la magntud del ssmo que tene ese perodo de retorno. 44

15 3. Determnar, para cada nmueble de la carter la ntensdad sísmca que se presentaría s, en la fuente correspondente, que se localza a certa dstanca del nmueble hubese ocurrdo el ssmo con la magntud establecda anterormente. 4. A partr de la coleccón de ntensdades en cada nmueble, se calcula la dstrbucón de probabldad de la pérdda de la cartera completa. 5. Se determna el PML para la fuente, como la pérdda que se excedía con probabldad 10%. 6. De entre los PML calculados para cada fuente, se elge el mayor. III.3.3 Cálculo de la Prma Pura de Resgo La pérdda anual, tambén conocda como prma técnca o prma pura de resgo, se defne como la esperanza de la pérdda que se tendría en un año cualquer suponendo lo sguente: 1. El proceso de ocurrenca de ssmos es estaconaro.. A las estructuras dañadas se les resttuye su resstenca nmedatamente después de un ssmo. La Prma Pura de Resgo se calcula de la sguente manera: dv a β AE = E β a da (3.8) 0 da Basado en R9 45

16 a: Intensdad sísmca relevante. v(a): Tasa de excedenca de esta ntensdad. E β a : Valor esperado de la pérdda neta que se tendría que s se presentara en el sto donde se localza la estructura de nterés, un ssmo con ntensdad a. La funcón v(a) mde el pelgro sísmco e índce la frecuenca con que se exceden ntensdades sísmcas de valor dado en un sto de nterés. En este modelo, la pérdda que ocurre al presentarse un ssmo con ntensdad conocda es una varable aleator cuyo valor no puede antcparse, y sobre la cual sólo puede fjarse una dstrbucón de probabldad. Puesto que la prma pura de resgo es la pérdda esperada anual, la prma de resgo de una cartera es la suma de las prmas puras de las edfcacones que la conforman. 46