VII. Solución numérica de ecuaciones diferenciales

Transcripción

1 VII. Solucón numérca de ecuacones derencales VII. Antecedentes Sea dv dt una ecuacón derencal de prmer orden : g c m son constantes v es una varable dependente t es una varable ndependente c g v I m Las ecuacones derencales se dvden en: Ecuacones derencales ordnaras EDO s poseen una sola varable ndependente VI Ecuacones derencales parcales EDP s poseen dos o más varables ndependentes. La ecuacón d d m c II dt dt es de segundo orden c son constantes. A estas ecuacones se les conoce como ecuacón de segundo grado; en general a las ecuacones de orden maor a uno se les conoce como ecuacones de orden superor. Las ecuacones de orden superor se pueden reducr a un sstema de ecuacones de prmer orden denendo nuevas varables. S entonces dt Susttuendo III IV en II se tene: d m c t d III dt d d IV o dt d dt c m La solucón matemátca de la EDO se puede obtener multplcando I por dt e ntegrando con lo que se obtene: c dv g dt v dt m c v g v dt m M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos

2 Lnealzacón de EDOs Una EDO lneal es aquella que se ajusta a la orma general: n n an an K a a : n dervada n-ésma de respecto a a Funcones especícas de VII.. Método de Euler La prmera dervada proporcona una estmacón de la pendente en muestra en la gura tal como se Predco calculado Valor Verdadero error tamaño del paso De la gura se observa que φ es la pendente Reescrbendo VII. φ VII. φ 44 es la uncón evaluada en VII. A esta ecuacón se le conoce como Método de Euler o de punto medo de Euler Cauc M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos

3 Ejemplo del Método de Euler Utlzar el método de Euler para ntegrar resolver la ec. Derencal numércamente: d 8.5 d desde a 4 con paso de.5 condcones ncales en. Nota: la solucón eacta es: real Solucón.. Como a se tene el valor de en el punto ncal se calcula el valor de en el prmer punto.5. Usando la ec. de Euler se tene:.5.5 es: por lo que: La solucón real en.5 es real El error verdadero es: E t real. El error verdadero porcentual es: Et.5 ξ t % % 6.%.875 real. Para el sguente punto La solucón real en es real así se contnúa en los puntos necesaros de acuerdo al paso utlzado. Los resultados obtendos son los valores de la curva que resuelve la ecuacón. M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos

4 VII.. Análss de error para el método de Euler local Truncamento propagado Tpos de errores en las EDOS Reo Error de truncamento.- Es causado por las técncas empleadas para apromar. Error de reo.- Es el resultado del número nto de cras sgncatvas que puede manejar un procesador. Error local.- Es el resultado de aplcar el método en cuestón a un solo paso. Error propagado.- Resulta de las apromacones producdas en los pasos prevos. Se puede obtener normacón sobre la magntud propedades del error de truncamento al dervar el método de Euler drectamente de las seres de Talor: VII. : d d S la solucón tene dervadas contnuas entonces se puede representar medante una epansón en seres de Talor respecto a de la orma:! n! n n K Rn VII.4 R es un térmno remanente dendo por: n n ξ n Rn VII.5 n! ξ es cualquer punto entre el ntervalo dendo entre. Una orma alternatva se obtene al susttur la ecuacón VII. en las ecuacones VII.4 VII.5 para obtener n n n K O VII.7! n! M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos 4

5 n O especca el error de truncamento local el cual es proporconal al tamaño del paso elevado a la n-ésma potenca. Al comparar VII. VII.6 se observa que el método de Euler corresponde a la sere de Talor asta e ncluendo el térmno. De la comparacón se observa que ocurre un error de truncamento debdo a que se aproma la solucón verdadera medante un número nto de térmnos de la sere de Talor. Restando VII. de VII.6 se obtene: E t n Et K O VII.7! es el error de truncamento local verdadero. S tende a cero los errores en la ecuacón VII.7 dsmnuen al elevar el orden el resultado se presenta como: Ea! VII.8 o E O a E a es el error de truncamento local apromado. Ejemplo. Usando la ecuacón VII.7 estmar el error del paso ncal del ejemplo anteror. Utlícela tambén para determnar el error debdo a cada uno de los térmnos de orden superor de la sere de Talor. Solucón. Del ejemplo anteror d 8.5 d desde a 4 con paso de.5 condcones ncales en. Para este ejemplo la ecuacón VII.7 se puede escrbr como: Et!! 4! : Tomando el punto ncal se tene 4 M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos 5

6 El error para la prmera dervada es: 4 E t Para la segunda dervada se tene: 4 E t 6 Para la tercera dervada se tene: E.5 4 t El error verdadero se obtene sumando los errores para cada térmno E t Recordando se sabe que el valor verdadero es.875 que la estmacón obtenda con el método de Euler es 5.5 Valor verdadero estmacón\apromacónerror Valor Verdadero VII. Mejoras del Método de Euler Las uentes de error en el método de Euler es el cálculo de la dervada al nco del ntervalo. Para corregr estas decencas se plantean prmero el método de Heun posterormente los métodos de Runge-Kutta. VII.. Método de Heun El método de Heun mejora la estmacón de la pendente de una curva debdo a que consdera la determnacón de dos dervadas para el ntervalo punto ncal nal su promedo. pendente Recuérdese que para el método de Euler la pendente al nco de un ntervalo es: VII. M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos 6

7 7 La ecuacón VII. se puede utlzar para etrapolar lnealmente a de la orma: VII. Para el método de Euler aquí termna el cálculo. Para el método de Heun se calcula medandte la ecuacón VII. lo cual no da la respuesta nal sno una predccón ntermeda. Por esta razón se dstngue por el superíndce a la ecuacón se le conoce como ecuacón predctora. Esta ecuacón mejora la estmacón de que permte el cálculo de una estmacón de la pendente al valor nal del ntervalo. Esto se ace medante la ecuacón VII. VII. Combnando las ecuaones VII. VII. se obtene una pendente promedo para cada ntervalo: Esta pendente se utlza para etrapolar lnealmente a la sguente ecuacón: El método de Heun es un procedmento predctor-corrector: Predctor Corrector De orma gráca: El error apromado esta dado por: %... apro actual apro anteror apro actual a ξ M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos

8 Ejemplo. Utlzar el método de Heun para resolver ntegrar numércamente la ecuacón.8 derencal 4e.5 con paso de. Las condcones ncales son. La solucón verdadera es: La pendente en 4.5 e es: e e e 4 La solucón numérca se obtene al usar el predctor para obtener un estmado de en. 5 Predctor Susttuendo en la ec. verdadera Para mejorar el estmado: 4e.55.8 Se obtene una pendente promedo que es mas cercana al valor verdadero de Este resultado de la pendente promedo puede sustturse en la ecuacón correctora para obtener la predccón de en : Este resultado proporcona un error relatvo porcentual de 8.8% el cual comparado con el método de Euler es más pequeño aun cuando solo se uso un corrector. El valor estmado se puede usar para corregr la predccón de al susttur el nuevo resultado en la ec. Correctora:.8 4e Este valor produce un error relatvo porcentual de.% M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos 8

9 Métodos de Runge Kutta Los métodos de Runge-Kutta RK logran la eacttud del procedmento de las seres de Talor sn requerr el uso de dervadas superores. Esten dversas varantes pero todas tenen la sguente orma: φ VII. φ es conocda como la uncón ncremento la cual puede nterpretarse como una pendente representatva en un ntervalo. Esta uncón se escrbe de orma general como: φ a a L a n n VII.4 las a son constantes las son: p q p q q M p q q L q n n n n n n n Obsérvese que las son las relacones de recurrenca; esto ndca que aparece en la ecuacón para aparece en la ecuacón para etc. Métodos de RK de segundo orden La versón de segundo orden para la ec. VII. es a a VII.5 p q Los valores para a a p q son evaluados al gualar el termno de segundo orden de la ec. VII.5 con la epansón de la sere de Talor. Para desarrollar esto se obtenen tres ecuacones con cuatro constantes desconocdas. Dcas ecuacones son: a a a p a q Debdo a que se tenen cuatro ncógntas tres ecuacones se propone el valor de una de estas ncógntas para determnar las demás. Por ejemplo s se propone un valor para a se obtene: a a M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos 9

10 p q a Debdo a que se puede elegr un número nnto de valores para a esten tambén un número nnto de métodos o ecuacones de RK de do. Orden. Las varantes más comunes son: Método de Heun de un solo corrector Método del Punto Medo Método de Ralston los cuales se descrben a contnuacón Método de Heun de un solo corrector a S se supone que a entonces en la ec. VII.5 dan a p q. Estos parámetros susttudos Obsérvese que es la pendente al nco del ntervalo es la del nal Método de punto medo a S se supone que en la ec. VII.5 dan a entonces a p q. Estos parámetros susttudos M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos

11 Método de Ralston a Ralston Rabnowtz determnaron que al selecconar a se obtene un límte mínmo sobre el error de truncamento para los algortmos de RK de segundo orden. Para esta versón a p q lo cual da: M. C. José Jame Esqueda Elzondo Métodos Numércos