TEMA 5. INTERPOLACION

Transcripción

1 TEMA 5.. Introduccón. Nomenclatura. Interpolacón lneal 4. Interpolacón cuadrátca 5. Interpolacón por splnes cúbcos 6. RESUMEN 7. Programacón en Matlab INTERPOLACION

2 . Introduccón En el Tema 4, se ha descrto como poder correlaconar un conjunto de puntos dscretos por medo de la regresón lneal múltple, de orma que se obtenen unos parámetros característcos que los relaconan a todos ellos medante una ecuacón matemátca. Así msmo, estos parámetros pueden utlzarse para calcular el valor de una varable dependente en uncón de las ndependentes en ntervalos nterores de valores en los cuales la regresón ue realzada. No obstante, en muchas ocasones nos encontraremos en el caso de tener una sere de puntos epermentales sn conocer eactamente el tpo de ecuacón o ajuste que represente a este proceso ( quzá tampoco sea el objetvo que se conozca), sn embargo, haa que realzar una estmacón del valor de la varable dependente en uncón de otra, para valores ntermedos a los conocdos, denomnándose nterpolacón. Uno de los prncpales errores que se pueden cometer es ajustar a una ecuacón utlzar esta ecuacón para nterpolar otros puntos. Estos ajustes a líneas de tendenca en ocasones nos proporconaran apromacones adecuadas, pero en otros muchos casos, aun dando una buena estmacón de la uncón en los puntos epermentales usados para su cálculo, proporconaran valores erróneos en otros casos mposbles de acuerdo con el proceso estudado. Este error tene su base en la sencllez del cálculo de los coecentes de regresones (lneales o de ordenes superores) medante el uso de programas amplamente etenddos como son las hojas de calculo, a que se cubre de esta orma un ntervalo de valores demasado amplo, cuando lo que se desea al nterpolar es la relacón con los puntos mas cercanos.

3 . Nomenclatura,,,,,, X Y Valores tabulados de una varable, en orden numérco crecente Valores de las correspondentes ordenadas, tamben tabuladas, a los valores de ctados anterormente Valor de la varable, entre el ntervalo tabulado anteror. Ordenada que se desea nterpolar correspondente al valor de ctado. () Funcón polnómca de orden (cúbca) a las que se ajustan grupos de tres valores de tabulados correlatvos. Cada tres valores tene su correspondente ajuste. (), () A, B, C, D Prmera segunda dervada de las uncones cúbcas anterores Parámetros que se obtenen a partr de los valores tabulados de e para la aplcacón de la nterpolacón por splnes cúbcos.

4 . Interpolacón lneal Esta es la orma más senclla de nterpolacón estente. Usa dos puntos con el n de desarrollar una apromacón lneal de la uncón. Estos dos puntos usados en el proceso serán los más prómos al punto de nterés, debendo ser uno menor otro maor que este. Por tanto, entre cada pareja de valores de (, ) (, ), se calcula la recta estente entre ambos para calcular al valor de dado. S consderamos la ormula de Talor para apromar el valor de uncón alrededor del punto : ' ( ) ( ) '' =. ((IN.) Truncando esta sere por el térmno lneal apromando la uncón utlzando la técnca de ncrementos ntos, encontramos que el valor estmado de la uncón vendrá dado por: ' = ( ) ((IN.)

5 4. Interpolacón cuadrátca En este caso se usaran puntos, ( -, - ), (, ) (, ), para el proceso de nterpolacón en lugar de dos, obtenendo una apromacón a la uncón de maor orden. S consderamos el caso de puntos de gualmente espacados, -, por este orden, la apromacón medante la epansón de seres de Talor vendría dada por: ( ) ( ) ( ) = ( ) ((IN.) La apromacón medante derencas ntas de segundo orden centrada, nos proporcona la sguente epresón para el valor de la uncón en el punto que buscamos: ( )[ ] ( ) [ ] ((IN.4) ( ) = Para el caso de puntos no gualmente espacados, crcunstanca habtual en valores tabulados a medda que va aumentando el orden de magntud, es necesaro aplcar una nterpolacón, basada tamben en ajustes a tros de puntos, pero donde el ajuste se hace a uncones cúbcas, como se presenta en el sguente apartado.

6 5. Interpolacón por splnes cúbcos Las apromacones polnómcas de alto orden, a ntervalos de puntos amplos, no son adecuadas para correlaconar magntudes que presenten cambos bruscos. En este caso, la nterpolacón por splnes cúbcos orece ventajas sgncatvas debdo a que cada segmento (regón entre dos puntos epermentales) se aproma medante una uncón (cúbca) () que pasa por puntos. Así, por ejemplo, en el caso de tener 6 puntos epermentales, utlzaríamos 5 uncones (cúbcas) para apromar la uncón verdadera. Se deben cumplr los sguentes puntos para poder aplcar la técnca de dvsón de uncones:. Evdentemente, la apromacón debe pasar por todos los puntos.. La prmera segunda dervada deben ser contnuas de un segmento a otro. De esta orma se evtan dscontnudades en la curva resultante, a que a cada punto le corresponden dos ecuacones. La uncón sus dervadas para un segmento vendrían dadas por: ( ) = a b c d > '( ) = a b c ( ) = 6a b > lneal cúbca ((IN.5) En la sguente gura se aclara la nomenclatura seguda. A los puntos se van a denomnar con el subíndce a las uncones entre cada dos puntos con el subíndce.

7 - La ecuacón ((IN.5) demuestra que la dervada segunda vara lnealmente con. Puesto que la dervada segunda debe ser contnua ( ) "( ) " ( ) " ( ) ( ) " = ((IN.6) Esta ecuacón puede ser ntegrada dos veces, obtenendo una epresón que nos da el valor de la uncón en el segmento. Esta epresón contendrá dos constantes de ntegracón que pueden ser evaluadas usando la prmera de las condcones: la apromacón debe pasar por los puntos conocdos: ( ) = ( ) = ((IN.7) donde representa el valor real tabulado en el punto. La ecuacón resultante vendría dada por:

8 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 6 " 6 " 6 " 6 " = ((IN.8) Pero en esta epresón los valores de la segunda dervadas sguen sn ser conocdos. Estos valores pueden conocerse hacendo uso de la condcón que dce que la prmera dervada debe ser contnua de un segmento a otro. ( ) ( ) ) '( = = ((IN.9) Por lo que, al ser guales las uncones colndantes en el msmo punto, puede elmnarse el subíndce para resaltar que la dervada es ndependente de que se escoja una uncón u otra. Por tanto, lo msmo ocurrrá con las dervadas segundas. Aplcando esta condcón de contnudad ((IN.9) a la ecuacón 8, reordenando térmnos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 6 6 " " " = = (IN.0) ecuacón que, como úncamente se desconocen las dervadas segundas, puede reagruparse de la orma: ( ) ( ) ( ) D C B A = " " " (IN.)

9 Aplcando esta ecuacón a cada trío de valores, resulta un sstema de ecuacones lneales donde las ncógntas son los valores de las dervadas segundas: = > = > A = (n ) > " ( ) B " ( ) C" ( ) = A " ( ) B " ( ) C " ( ) A ( n ) Bn " ( n ) Cn " ( n ) Dn n " = 4 = D D (IN.) donde todas las constantes A, B, C D son valores conocdos. Fíjese que la ecuacón () no puede aplcarse a los tramos = (necestaríamos un punto anteror al prmero) n en =n (número de puntos a ajustar), por lo que quedan dos dervadas segundas que se pueden elegr. Generalmente se toma como apromacón que la dervada segunda en los etremos ncal nal sean cero, es decr, "( ) = "( n ) = 0 Queda pues un sstema en la orma: B A 0 0 C B A 4 0 A B ( ) ( ) ( ) " " " " ( ) D n n n n 4 D D = D4 (IN.) donde las ncógntas son los valores de las dervadas segundas.

10 Una vez que el sstema esta resuelto obtendremos todos los valores de las dervadas segundas, a se puede utlzar la ecuacón (IN.8) para nterpolar el valor de la uncón en cualquera de los puntos estudados.

11 6. RESUMEN En este tema se revsan las ormas de nterpolacón de datos más comunes, como son la nterpolacón lneal, cuadrátca la que supone splnes cúbcos. Estos métodos serán de mucha utldad en la labor del ngenero al permtr la construccón de nuevos puntos partendo del conocmento de un conjunto dscreto de puntos. En ngenería algunas cencas es recuente dsponer de un certo número de puntos obtendos por muestreo o a partr de un epermento pretender construr una uncón que los ajuste. Otro problema estrechamente lgado con el de la nterpolacón es la apromacón de una uncón complcada por una más smple. S tenemos una uncón cuo cálculo resulta costoso, podemos partr de un certo número de sus valores e nterpolar dchos datos construendo una uncón más smple. En general, por supuesto, no obtendremos los msmos valores evaluando la uncón obtenda que s evaluásemos la uncón orgnal, s ben dependendo de las característcas del problema del método de nterpolacón usado la gananca en ecenca puede compensar el error cometdo.

12 7. Programacón en MATLAB Interpolacón Lneal. uncton =nterplneal(,,) % = INTERPLINEAL(,, ) devuelve la nterpolacon lneal de un valor % de a un velor determnado de enuncon de los valores tabulados e %, ambos vectores de guales dmensones % Prmero, localzar la poscon donde nterpolar =0; valor=0; whle valor ==0 =; valor = () > ; end % Una vez localzada la poscon, se aplca la ormula =(-)(()-(-))/(()-(-))*(-(-)); Interpolacón por splnes cúbcos uncton =nterpsplnes(,,) % = INTERPSPLINES(,, ) devuelve la nterpolacon por splnes cubcos %de un valor de a un valor determnado de enuncon de los valores tabulados e %, ambos vectores de guales dmensones. tene los valores gualment e % Prmero, calcular las dervadas segundas t=sze(); = ma(t); % Armar matrz de coecentes % comenzando por la segunda la, que es la A, B C COEF=zeros(-, -);

13 b=zeros(-,); or =:- A=(()-()); COEF(, -)=A; B=*(()-()); COEF(,)=B; C = ()-(); COEF(,)=C; D=6/(()-())*(()-())6/(()-())*(()-()); b()=d; end % Calculo de B, C D, prmera la COEF(,)=*(()-()); COEF(,)= ()-(); b(,)= 6/(()-())*(()-())6/(()-())*(()-()); % Calculo de la ultma lnea COEF(end,end-)=(-)-(-); COEF(end,end)=*(()-(-)); b(end,)=6/(()-(-))*(()-(-))6/((-)-(-))*((-)-(-)); % Dervadas segundas luego poner la prmera la ultma ceros dersegun = nv(coef)*b; dersegun = [0;dersegun;0]; % Por ultmo, calculo de la nterpolacon % Prmero, localzar la poscon donde nterpolar =0; valor=0; whle valor ==0 =; valor = () > ; end % Una vez localzada la poscon, se aplca la ormula prmer= dersegun(-)/6/(()-(-))*(()-).^; segun = dersegun()/6/(()-(-))*(-(-)).^; tercer= ((-)/(()-(-))-dersegun(-)*(()-(-))/6)*(()-); cuart = (()/(()-(-))-dersegun()*(()-(-))/6)*(- (-)); =prmerseguntercercuart;

14 Asmsmo, MATLAB tene a creado un archvo para realzar la nterpolacón, con la sntas: YI = INTERP(X,Y,XI,'method') donde: YI es el vector que contene los resultados nterpolados, X e Y los vectores sobre los cuales queremos nterpolan, XI el vector que queremos nterpolar method el método de nterpolacón. Los posbles métodos se muestran en la tabla sguente: lnear Interpolacón lneal splne Interpolacón medante splnes