Raices de Funciones : Solución de ecuaciones no lineales. Jorge Eduardo Ortiz Triviño

Transcripción

1 Races de Funcones : Solucón de ecuacones no lneales Jorge Eduardo Ortz Trvño jeortzt@unal.edu.co

2 y Motvacón La ormula cuadrátca: b b 4ac a Se usa para resolver: a b c 8 Se dene a la raíz de una uncón como el valor de que hace () =

3 Métodos antguos para determnar raíces. Gracar la uncón y determnar donde cruza el eje de las método poco precso. Ensayo y error. Se escoge un valor de y se evalúa s () = Inecente Se necestan estrategas sstemátcas para moverse haca la raíz verdadera

4 Raíces de ecuacones en el área de ngenería Ecuacón desarrollada a partr de la segunda Ley de Newton para calcular la velocdad de caída de un paracadsta v gm c Se quere determnar el coecente de arrastre para un paracadsta de masa dada, para alcanzar una velocdad prescrta en un perodo de tempo dado En este caso c es mplícta, no hay orma de reordenar la ecuacón para despejar c Es necesaro aplcar un método numérco para determnar la raíz e c / m t gm c t v c/ m c e

5 Antecedentes matemátcos necesaros Ecuacones algebracas: una uncón y = () es algebraca s puede epresase como, n y n n n y y donde es un polnomo de orden -ésmo en Los polnomos son un caso smple de ecuacones algebracas n n a a a a n Ecuacones trascendentales: es una que no es algebraca Incluye uncones trgonométrcas, eponencales, logarítmcas, etc.. e sen3.5

6 Antecedentes matemátcos necesaros Las raíces de las ecuacones pueden ser reales o complejas. Por lo tanto, los métodos numércos para determnar raíces, caen en dos áreas:. Determnacón de raíces reales de ecuacones algebracas y trascendentales: determnan el valor de una raíz smple de acuerdo a un conocmento prevo de su poscón apromada. Determnacón de todas las raíces reales y complejas de un polnomo

7 Métodos para el cálculo de raíces. Métodos que usan ntervalos: estos empezan con suposcones que encerran a la raíz y reducen sstemátcamente el ancho del ntervalo (e.g., bseccón y alsa poscón). Métodos abertos: son más ecentes computaconalmente que los métodos que usan ntervalos, pero no aseguran convergenca (e.g., teracón de punto jo, Newton-Raphson, secante)

8 Métodos de ntervalos Estos métodos aprovechan el hecho de que una uncón camba de sgno en la vecndad de una raíz Los métodos de ntervalos necestan dos valores ncales, que deben encerrar a la raíz Emplean derentes estrategas para reducr sstemátcamente el tamaño del ntervalo y así converger a la respuesta correcta

9 Métodos de ntervalos S la uncón en los etremos del ntervalo ( u ) y ( l ) tenen sgnos opuestos este un número mpar de raíces S tenen el msmo sgno no hay raíces o hay un número par de raíces Pero esto no se cumple en el caso de uncones tangencales o dscontnuas

10 Método de Bseccón S () es real y contnua en el ntervalo de l a u y, ( l ) y ( u ) tenen sgnos opuestos, ( l ) * ( u ) <, entonces hay al menos una raíz entre l y u Procedmento:. Se dvde el ntervalo en el punto medo en dos subntevalos de gual tamaño. La poscón de la raíz se determna stuándola en el punto medo del subntervalo dentro del cual ocurre el cambo de sgno El proceso se repte hasta obtener una mejor apromacón

11 Método de Bseccón ()

12 Método de Bseccón Consste en consderar un ntervalo (, s ) en el que se garantce que la uncón tene raíz.

13 Método de Bseccón () ( ) s ( s )

14 Método de Bseccón Consste en consderar un ntervalo (, s ) en el que se garantce que la uncón tene raíz. El segmento se bsecta, tomando el punto de bseccón r como apromacón de la raíz buscada.

15 Método de Bseccón () ( ) ( r ) r s ( s )

16 Método de Bseccón Consste en consderar un ntervalo (, s ) en el que se garantce que la uncón tene raíz. El segmento se bsecta, tomando el punto de bseccón r como apromacón de la raíz buscada. Se dentca luego en cuál de los dos ntervalos está la raíz.

17 Método de Bseccón () ( ) r ( r ) r s ( s )

18 Método de Bseccón Consste en consderar un ntervalo (, s ) en el que se garantce que la uncón tene raíz. El segmento se bsecta, tomando el punto de bseccón r como apromacón de la raíz buscada. Se dentca luego en cuál de los dos ntervalos está la raíz. El proceso se repte n veces, hasta que el punto de bseccón r concde práctcamente con el valor eacto de la raíz.

19 Método de Bseccón () ( ) ( r ) r s ( s )

20 Método de Bseccón El cálculo termna cuando el error relatvo apromado, a, es menor que un valor prejado, s a k r k r k r % En el método de bseccón la raíz verdadera se halla en algún lugar dentro del ntervalo de ( l a u )/ = /. Por lo tanto, la raíz debe stuarse dentro ± / de la estmacón Debdo a que / = rk r k-, a proporcona un lmte superor eacto sobre el error real La ecuacón de error relatvo apromado se puede reordenar permtendo calcular el error estmado en la prmera teracón a u u l l %

21 Método de Bseccón Con este método se puede determnar el número de teracones requerdas para obtener un error estmado dado Error ncal E a u l Error ra teracón E a Formula general que relacona el error con el número de teracones, n Tenendo un error deseado, E a,d E n a n log n log E a, d log Ea, d

22 Método de la alsa poscón: regula-als Los métodos numércos son mejores a medda que usan más normacón Este método además del ntervalo que encerra la raíz, utlza los valores de la uncón en los etremos del ntervalo, ponendo más énass en el etremo cuyo valor unconal está más cercano a cero Lo que hace es unr con una línea recta ( l ) y ( u ), la nterseccón de esta línea con el eje de las representa una mejor estmacón de la raíz

23 Método de la alsa poscón : regula-als El hecho de susttur la uncón por una línea recta da una poscón alsa de la raíz Usando trángulos semejantes la nterseccón de la línea recta con el eje se estma como, ( u ) r l u u l u r u l r u l u.3.. r l u ( l )

24 Método de la alsa poscón : regula-als Procedmento. Se calcula r. Se evalúa ( r ) 3. Se actualza l o u según el sgno de ( r ) Desventaja del método: Dependendo de la uncón puede converger lentamente Ejemplo, () =, l =, u = Ejercco : Obtener la raíz ()= 3 + +, con el método de la alsa poscón No es posble hacer generalzacones con los métodos de obtencón de raíces

25 Métodos abertos Este tpo de métodos para la obtencón de raíces se basan en ormulas que requeren úncamente un sólo valor de nco,, o que empecen de un par de puntos, pero que no necesaramente encerran a la raíz Algunas veces se alejan de la raíz verdadera a medda que aumenta el número de teracones Pero cuando convergen lo hacen mucho más rápdo que los métodos de ntervalos

26 Método teracón smple de punto jo Los métodos abertos emplean una órmula que predce la raíz Tal órmula puede ser desarrollada para una smple teracón de punto jo (o tambén llamada teracón de un punto o susttucón sucesva) al rearreglar la ecuacón () = de tal modo que quede del lado zquerdo de la ecuacón, = g() Esta transormacón se puede llevar a cabo medante operacones algebracas o smplemente agregando a cada lado de la ecuacón orgnal La utldad de esta ecuacón es que proporcona una órmula para predecr un nuevo valor de en uncón del valor anteror de

27 Método teracón smple de punto jo Dado un valor de nco,, se obtene una nueva apromacón con, g El error estmado de esta ecuacón se puede calcular como, a %

28 Método de punto jo arreglando para que quede lado zquerdo g 3 reordenando El nuevo valor calculado g 5 Ejemplo para la ecuacón posbldades de =g() 3 ( ) sus raíces son: y sen sen el error apromado despejando el do térmno a despejando del er térmno Factorzando y despejándola Sumando a cada lado. %

29 se evalúa g() en dando como resultado ; g Cuando =, g Cuando, g().. Valor ncal: ª teracón: ª teracón: 3ª teracón: -ésma teracón: +-ésma teracón: 3 g g g g g 3 una segunda evaluacón g() en, g( )= Este proceso se repte y se obtene este equema teratvo S la sucesón ( ),( ), ( ), tende a, el proceso converge a, se contnuará hasta que ( ) <e, donde e es un valor pequeño o una cercanía de con, se toma como raíz a. En caso que el proceso dverge se tendrá que usar otra g().

30 () Método teracón smple de punto jo Ejemplo: () = e - () = ep(-)- Error Apro.(%) Error verdadero (%) Obsérvese que el error relatvo porcentual verdadero en cada teracón del ejemplo es cas proporconal (por un actor entre.5 y.6) al error de la teracón anteror. Esta propedad, conocda como convergenca lneal, es característca de la teracón de punto jo

31 Método teracón smple de punto jo Convergenca Teorema de punto jo: la teracón de punto jo converge s, en la regón de nterés Demostracón La ecuacón teratva, Suponendo que la ecuacón verdadera es Restando estas dos ecuacones g g r g r r r g' g () El teorema de la dervada del valor medo establece que s una uncón g() y su dervada son contnuas sobre un ntervalo a b, entonces este al menos un valor de = dentro del ntervalo donde g b ga g' b a S se hace a = y b = r, se puede llegar a, g r g Susttuyendo en () r g' S el error verdadero para la teracón es Entonces se puede escrbr r r g' t, r, ' t g t, S S g' g' el error dsmnuye el error crece

32 Método de Newton-Raphson Es de los métodos más utlzados para localzar raíces S el valor ncal de la raíz es, entonces se puede etender una tangente de la uncón desde el punto [, ( )] ( ) El punto donde ésta tangente cruza el eje representa una apromacón mejorada de la raíz r

33 Método de Newton-Raphson Se aproma la uncón con una sere de Taylor truncada en el térmno de segundo orden ' ' El desarrollo del método con base en la sere de Taylor proporcona un conocmento teórco relaconado con la velocdad de convergenca epresado como: E + = O(E ) r ( )

34 () Método de Newton-Raphson Ejemplo: () = e -.8 () = ep(-)- Error Apro.(%) Error verdadero (%) Obsérvese que el error relatvo porcentual verdadero en cada teracón dsmnuye mucho más rápdo que con el método de teracón de punto jo. De esta orma el error debe ser cas proporconal al cuadrado del error anteror.

35 Método de Newton-Raphson.9.8 Desventajas: Cuando se encuentran pendentes cercanas a cero el método de Newton-Raphson se aleja de la raíz verdadera S encuentra pendente =, hay dvsón por cero,.e., la solucón se dspara horzontalmente y jamás toca el eje Regla para convergenca '' para

36 Método de Newton-Raphson Dervacón y análss del error del método de Newton-Raphson La epansón en sere de Taylor se puede representar como: '' ' Donde se encuentra en alguna parte dentro del ntervalo [ + ; ] Al utlzar todos los térmnos de la sere de Taylor para obtener el resultado eacto, + = r Susttuyendo este valor, junto con ( r ) = ' Restando la epresón truncada de la sere de Taylor de esta epresón, da ''!! r r ' ''! r r

37 Método de Newton-Raphson Notando que el error es Et, r La epresón queda, '' ' Et, Et,! S se supone que hay convergenca, entonces y se deberían apromar a la raíz r y la ecuacón anteror se puede reordenar para obtener E t, ''! ' E t, Convergenca cuadrátca

38 Método de la secante Se usa cuando algunas uncones cuyas dervadas pueden ser dícles de evaluar. En estos casos la dervada se puede apromar medante una derenca nta regresva: ( ) ( ) () X + -el método requere de puntos ncales de La sguente apromacón está dada por: 3 por: ( ) ( ) ( ) Susttuyendo en la ec de NR tenemos una ecuacón teratva: ( )( ) g( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Hasta que g( )= + o una vez que + - <ε o ( + ) <ε

39 calcular la raíz de ()=e - - Ejemplo con valores ncales de - = y =. ª teracón: - = ( - )=. =. ( )= ( ).67 ε t =8.% (.63) ª teracón: = ( )=-.63 =.67 ( )= (.67) ε t =.58%.67 (.78) 3ª teracón: =.67 ( )=-.78 = ( )=.58.58( ) ε t =.48%.78 (.58)