ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON CONDICIONES INICIALES. Universidad Simón Bolívar

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1 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON CONDICIONES INICIALES Unversdad Smón Bolívar

2 Prelmnares El comportamento de muchos procesos íscos, sobre todo aquellos dependentes del tempo, puede ser descrto utlzando Ecuacones Derencales Ordnaras (EDO). Aunque muchos de ellos pueden ser resueltos analítcamente, una gran parte no puede ser resuelto sno con la aplcacón de métodos numércos. Un ejemplo lo consttue el movmento de un péndulo smple. θ l

3 Prelmnares S se despreca la rccón entre la cuerda la pared así como entre la masa el medo ambente, la ecuacón de movmento se escrbe como: d θ dt g l snθ 3 () S se conocen la poscón la velocdad ncal ( t ) θ ( ) θ θ θ tenemos un problema de valor ncal. t () Para valores de θ pequeño podemos utlzar la apromacón snθ θ (3)

4 Prelmnares 4 quedándonos la ec. de movmento d θ dt g θ l (4) Para valores de θ maores tenemos que emplear un método numérco.

5 Capítulo III 5 Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor. Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales. Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

6 Introduccón 6 Sea la ecuacón derencal 3 d d d F,,,,,..., 3 d d d Esta ecuacón es: n d n d ORDINARIA a que las dervadas que aparecen son dervadas totales (solo este una varable ndependente: ) de ORDEN n (orden de la maor dervada) Una uncón () es solucón de esta EDO s satsace (5). En general, esten nntas solucones a (5). (5)

7 Introduccón 7 Para obtener una solucón únca de (5) es necesaro conocer normacón adconal tal como los valores de la uncón en certos puntos o sus dervadas. S la ecuacón es de orden n, generalmente n condcones son sucentes para determnar la solucón. S todas las condcones son conocdas en un msmo valor de la varable ndependente ( por ejemplo), el problema es denomnado un problema de valor ncal. Cuando mas de un valor de esta nvolucrado, el problema es denomnado un problema de valor en la rontera.

8 Introduccón 8 Una EDO de orden n puede ser escrta como un sstema de n ecuacones de er orden denendo n- nuevas varables. Por ejemplo, consderemos la ecuacón de Bessel d d d d ( p ) con p constante. Denendo zd/d, (6) puede escrbrse como d z d dz ( z p ) d (6) (7)

9 Introduccón Por esta razón, nos lmtaremos al estudo de métodos numércos que permten resolver EDO de er orden. En general, una EDO de prmer orden es, por dencón, de la orma F d,, d d d (, ) La uncón solucón (), en general, no puede ser encontrada analítcamente. En ese caso, ntentamos consegur una solucón numérca encontrando los valores de () en algunos valores especícos de. F 9 (8)

10 Introduccón El ntervalo en el que se desea encontrar la solucón [a,b] es dvddo en n sub-ntervalos o pasos. La solucón numérca es encontrada entonces en n valores de ( ). 3 h ( ) n n ( ) 3 a El tamaño del paso h es dado por b a h n n b n (9)

11 Capítulo III Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales. Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

12 Método de Euler El desarrollo en sere de Talor de la uncón () es dado por h ( ) ( ) ( ) ( ) h h...! Tomando la dencón (8) tendremos h! Retenendo los térmnos de orden ( h) ( ) hf[ ( )] F [, ( )]..., ( h) ( ) hf[ ( )], al escrbrla en térmnos de la dscretzacón h nos lleva a () () ()

13 Método de Euler 3 [ ( )] hf, (3) En general, podemos escrbr hf, [ ( )] (4) Esta relacón se conoce como el método de Euler. Grácamente tenemos h ( )

14 Ejemplo. Método de Euler Con el método de Euler ntegre numércamente la ecuacón d 3 7 d En el ntervalo [,4] con un tamaño de paso h.5 con la condcón ncal ( ) De la ecuacón (4) tenemos [ ( )] hf, La condcón ncal se escrbe como 4 (5) (6) (4)

15 Método de Euler 5 Luego [ ( )] hf, 3 (.5) 7 (.5) 5.5 Reptendo el procedmento tenemos 7 ( ) ( ) ( ) ' (eacta) Error (%),, 8,5 5,5,,5 5,5,5 5,875 3,9 63, 5,875 -,5 5,5 3, 96,5 5,5 -,5 4,5,9 3, 4,5,5 4,75, 5,5 4,75,5 5,875, , 5,875,5 7,5 4, 47 3,5 7,5 -,5 7, 4,79 5 4, 7, -7,5 3,5 3, 33

16 Método de Euler 6 En orma gráca tenemos Método de Euler Eacta 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,,,,, 3, 4, Nótese la derenca entre la solucón real la numérca.

17 Método de Euler 7 La solucón teórca ue hallada con MATLAB utlzando el comando dsolve >> dsolve('d-*^3*^-*7/', '()','') 4*^3 - ^4/ - *^ (7*)/ S utlza el comando prett obtene

18 Método de Euler 8 Para analzar la derenca entre la solucón verdadera la numérca calculemos los térmnos desprecados en el desarrollo en sere (). Para ello, obtengamos las dervadas d 3 7 F(, ) (5) d d F (, ) 6 4 d 3 d F (, ) 4 3 d 4 d F (, ) 4 d F (, )

19 Método de Euler 9 La evaluacón de las dervadas en el prmer punto ( ) el calculo del térmno correspondente en la sere de Talor arroja F (,) h E [ ] F, ( ). 5! 8 F (,) 4 F (,) E E 3 h F 3! 48 [,] (4) h F 4! 384 [,] ( ) Luego, estos térmnos tenen un valor dado por E t E E E (7)

20 Método de Euler La derenca entre la solucón numérca 7 (.5) 5.5 la solucón eacta ( ) 4 evaluada en.5 (.5) es justamente (7) (.5) E t

21 Método de Euler Este error se denomna error de truncamento global corresponde a los térmnos desprecados del desarrollo en sere de Talor al construr el método de Euler. Este error se escrbe como 3 h h E ( ), t F F! 3! [ ], ( ) [ ] ( n... O h ), su orden de magntud en el lmte h-> es el error de truncamento local h [ ( )] ( E ) t, F, O h!

22 Método de Euler En consecuenca s se desea reducr este error, una alternatva es la reduccón del tamaño del paso. Ejemplo. Para el msmo problema anteror, estme la nueva solucón numérca con un tamaño de paso h.5. 8, 7, Método de Euler (h.5) Eacta (h.5)} 6, 5, 4, 3,,,,,,, 3, 4,

23 Método de Euler 3 Reduccones del paso conducrán a una reduccón en el error global. Sn embargo, la técnca es poco ecente (requere muchos pasos para obtener una buena apromacón de la solucón). La tabla sguente presenta el comportamento del error total para valores N Error_Local (ah) Error Global Total Error Relatvo Global Total (%) Obsérvese la dsmnucón proporconal a h (h(ba)/n) del error Local a h del error global respectvamente.

24 Método de Euler 4 Es posble probar que el error global del método de Euler es, en general, proporconal a h, por lo que es denomnado un método de er orden (Carnahan et al., dsponble en m ocna) Para nes práctcos esten numerosos algortmos desarrollados para mplementar métodos numércos. En general cualquer lbro de análss numérco contene los métodos de uso estándar. En partcular, recordamos que el teto de Burden & Fares de Análss Numérco contene una buena cantdad de ellos.

25 Método de Euler 5

26 Método de Heun 6 % Programa Euler % Para apromar la solucón del problema de valor ncal % % ' (t,), a < t < b, (a) ala % % en (N) números unormemente espacados en el ntervalo [a,b] % % Entrada: etremos a,b, entero N; condcón ncal ala, uncón (t,) % Salda: apromacón w a en los (N) valores de t % SALIDA(t,w) dsp([t w]) % Paso Para,,...,N haga pasos 3,4 or :N % Paso 3 Haga wwh(t,w); w w h*(t,w); % calcule w t a *h; % calcule t dsp([t w]) end % ENTRADA % Funcón (t,) nlne('-*t^3*t^-*t7/','t',''); a; b4; N8; ala; % Paso Toma h(b-a)/n h(b-a)/n; % ta; ta; % wala; wala;

27 Método de Heun 7 Una mejora al método de Euler la consttue el método de Heun. La pendente al nco del ntervalo [, ] en el método de Euler vene dada por ( ) F, para calcular la apromacón a al nal del ntervalo como ( ) hf, En el método de Heun, esta apromacón no es la respuesta nal sno una prmera predccón dada por ( ) hf, (8)

28 Método de Heun 8 La ecuacón (8) es denomnada ecuacón predctora permte calcular la dervada al nal del ntervalo ( ) F, Luego, ambas pendentes se utlzan para calcular la pendente promedo del ntervalo ( ) (, F, ) F Para calcular el valor de al nal del ntervalo como (ecuacón correctora) ( ) (, F, ) F h (9)

29 En orma resumda tenemos: ( ) hf, Método de Heun Predctor 9 (8) ( ) (, F, ) F h Corrector (9) Nótese que el corrector es una relacón de recurrenca. Esto quere decr que puede terarse sobre ella msma susttuendo las derentes apromacones a para anar la solucón.

30 Método de Heun 3 Ejemplo. Con el método de Heun ntegre la EDO d d 4e. 8 en el ntervalo [,4] con un tamaño de paso h. La condcón ncal es en,. La aplcacón del método de Heun lleva a: Pendente Orgen Predctor Pendente Fn Nueva Pendente Corrector Y eacta Error (%)

31 Método de Heun 3 Comparacón Métodos de Euler Heun 9 8 Solucón analítca (.8.5 ).5 e e e (Heun) (Euler) Y eacta

32 Métodos de Talor de Orden Superor S se desea ncrementar la precsón en la estmacón de la solucón, una alternatva es la utlzacón de un maor número de térmnos en la apromacón de la sere de Talor. En general, un método de Talor de orden p vene dado por p j j h j! ( j ) El método de Euler es, en consecuenca, un método de Talor de orden. Sn embargo, la evaluacón de las dervadas en () es un proceso tedoso, por lo que el procedmento se utlza poco en la práctca. 3 ()

33 Capítulo III 33 Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor. Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales. Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

34 Métodos de Runge-Kutta 34 Los métodos de Runge-Kutta logran la eacttud de los métodos de Talor sn necestar del cálculo de dervadas de orden superor. Su base es la ecuacón ( φ,, h)h () en donde la uncón ncremento, φ, es una pendente representatva en el ntervalo. En orma general, la uncón ncremento se escrbe como φ a a... a n n donde las a son constantes las son ()

35 Métodos de Runge-Kutta 35 F(, ) F( ph, qh ) (3a) (3b) 3 F( ph, qh qh) (3c). n F( pn h, qn,h qn,h... qn,nh) (3d) donde las p las q j son constantes. Nótese que las son relacones de recurrenca, lo cual hace a los métodos de Runge-Kutta mu ecentes computaconalmente.

36 Método de Runge-Kutta de orden 36 El método de Euler consttue el método de Runge- Kutta de orden (Ec. 3a). El método de RK de do orden vene dado por () ( φ,, h)h con quedando a φ a ( a a )h F(, ) F( ph, qh) (4) (5)

37 Método de Runge-Kutta de orden Los valores de p las q se obtenen de gualar la ecuacón () con la epansón de Talor hasta el térmno de orden, como se muestra a contnuacón. La sere de Talor en do orden para se escrbe como h h F(, ) F (!! donde la dervada debe calcularse según F F d F (, ) d Susttuendo (7) en (6) tenemos, ) 37 (6) (7)

38 38 Método de Runge-Kutta de orden Por otra parte, utlzando las dencones de los j, la ecuacón (5) se puede escrbr como d d F F h hf ), ( (8) (9) Epandendo en sere de Talor hasta el er orden a ( )h a a ( ) [ ]h h q p h F a F a ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( h O F h q F p h F h q p h F

39 39 Método de Runge-Kutta de orden Sustuendo en (9) llegamos a (3) Reagrupando, h F h q F p h F a F a ), ( ), ( ( ) F h q a F p h a h F a a ), ( Comparando (3) con (8), ), ( ), ( F F h F h hf (8) a a p a q a Obtenemos las ecuacones, (3)

40 Método de Runge-Kutta de orden Las ecuacones (3) consttuen un sstema con nntas solucones: dada una constante cualquera, las otras tres pueden ser obtendas. Por ejemplo, s se especca el valor de a, las otras constantes son: a a p q a a En consecuenca, esten un número nnto de métodos de RK de do orden según se elja el valor de a. En partcular, s escogemos a tenemos a p q 4 (3)

41 Método de Runge-Kutta de orden 4 Obtenendo con ( a a )h h F(, F( h, h) ) sendo las pendentes al nco al nal del ntervalo respectvamente. Este método corresponde entonces al método de Heun sn teracones.

42 Método de Runge-Kutta de orden 4 Otra versón de este método se obtene al tomar En ese caso tenemos a a p q con F(, ) F( h, h para llegar a h (33) el cual es conocdo como el método del punto medo. )

43 Método de Runge-Kutta de orden 4 43 La versón mas popular de los métodos de RK es el de orden 4. La versón clásca del msmo corresponde a la apromacón ( 3 4 )h 6 con F(, ) F( h, F( h, h 3 h 4 F( h, 3h) ) ) (34) (35a) (35b) (35c) (35d)

44 Método de Runge-Kutta de orden 4 44 Ejemplo: Integre, utlzando un método de RK de orden 4 la EDO d d para en [,], tamaño de paso h. con la condcón ncal ().5. Utlzando la versón clásca del método de RK de orden 4 tenemos que: ( 3 )h 6 4

45 Método de Runge-Kutta de orden 4 45 donde las constantes son dadas por: F(, ) F h, 3 F( h, h) F h, Para calcular el valor, que corresponde a h. tendremos, calculando los j de manera sucesva ( h 4 ( 3h F(, ) F(,.5).5.5 F( h, h) F(.,.5 F(.,.65) ) (.5 )(..) ) )

46 Método de Runge-Kutta de orden F( h, h) F(.,.5 F(.,.664) F( h, F(.,.838) 3 h) F(.838.,.5. Luego, el valor, vene dado por ( ) 3 4 h 6 ( ) (.64) (.654).798.).) ( ). 89

47 Método de Runge-Kutta de orden 4 47 Una vez calculado, pasamos a calcular F(, ) F(.,.89) F( h, h) F(..,.89 F(.3,.79) F( h, h) F(..,.89 F(.3,.79) F( h, F(.4,.5) 3 h) F(.., (.789)(..).55 (.979) (.937) ).).) ( ).. 37

48 Método de Runge-Kutta de orden 4 48 Luego, se contnúan calculando los valores en los otros puntos del domno en el que se desea obtener la solucón numérca. La tabla sguente presenta los resultados obtendos. X _eacta (X) 3 4 (X()),,5,5,5,64,654,79,89,,89,89,789,98,93,56,4,4,4,4,54,69,8,9,649 3,6,649,649,89,388,398,488,7 4,8,7,7,487,566,574,64,64 5,,64,64,64,695,7,74 3,8 6, 3,8 3,8,74,764,766,773 3,73 7,4 3,73 3,73,77,76,758,74 4,83 8,6 4,83 4,83,73,666,66,575 4,85 9,8 4,85 4,85,575,463,45,35 5,35, 5,35 5,35

49 Método de Runge-Kutta de orden 4 49 El error cometdo en cada paso se presenta en la tabla sguente X _eacta (X) Error,,5,5,,,89986,89933,53,4,4877,476,4 3,6,648946,6489,86 4,8,795,77,69 5,,64859,6487,364 6, 3, ,79894,474 7,4 3,734 3,7334,599 8,6 4, ,83495,743 9,8 4, ,85857,96, 5,3547 5,35363,89

50 Método de Runge-Kutta-Fehlberg 5,,5 KKF hma.5 RK4 h.5 RK4 h.,,5, 3 4

51 Capítulo III 5 Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor. Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales. Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

52 Métodos Multpasos Los métodos multpasos utlzan la normacón a generada en los pasos a eectuados (j<) para el cálculo de la apromacón de la solucón (j). Estos métodos pueden ser eplíctos s utlzan solo la normacón a generada (j<) o mplíctos s utlzan, de alguna manera, la normacón a generar en el punto en el que se desea calcular la apromacón (j). Para dervar los métodos multpasos, nótese que, el método de Euler genera la apromacón de la solucón de la ecuacón d (, ) ( ) ( ), d

53 Métodos Multpasos ntegrando sucesvamente d d d La ntegracón sólo nclue el últmo valor a calculado. S deseamos aprovechar otros valores e ncrementar la precsón es ntutvo escrbr,

54 d S se aproma la uncón por una uncón que pase por los puntos a calculados tendremos ψ ( )d Métodos Multpasos Los canddatos naturales son entonces los conocdos polnomos nterpolantes. En el caso que nos ocupa, utlzaremos la órmula de las derencas regresvas de Newton o órmula haca atrás de Newton-Gregor. ψ ( )

55 Métodos Multpasos Del capítulo I tenemos que la órmula de las derencas regresvas de Newton es dada por: P n n ( ) ( ) ( ) donde s s s ( )! p p n p n n p n p n p ( s )...( s ) n p ( p ), n n n n sh

56 Métodos Multpasos En el caso del método eplícto de Adam-Bashorth de m pasos escrbmos P m ( )d donde P m- () pasa por los puntos (, ), ( -, - ),..., ( -m, -m ). ψ ( ) Etrapolado

57 Métodos Multpasos Entonces, utlzando la órmula de las derencas regresvas de Newton podemos escrbr ( ) ( )d s m, Ahora ben, en, s en, s ( n sh). Luego ( ) ( ) hds s m, Calculemos los prmeros valores de s

58 Métodos Multpasos Tendremos s s s... s ( )! ( ) ( ) s s s! ( ) s s ( ) ( s ) s( s ) s! s 3 ( ) ( s )( s ) s( s )( s ) 3 s 3! 6

59 Métodos Multpasos Las ntegrales ahora se calculan áclmente. Por ejemplo, ds ds s sds ds s 5 3! ) ( 3 s s ds s s ds s ) )( ( 3 ds s s s ds s

60 Métodos Multpasos ( ) ( ) ( ) ( ) hds s hds s,, Luego, ( ) ( ) ( ) ( )... 3,, 3 3 hds s hds s ( ) ( ) ( ) ( )..., 8 3, 5,, 3 h Esta epresón es la base de los métodos eplíctos de Adams-Bashorth. ( ) ( ) hds s m, puede epresarse como

61 Métodos Multpasos El método eplícto de Adams-Bashorth de dos pasos es dado por h, ( ) ( ), que se reduce a ( ) h[ (, ) ( )] h,,, reagrupando [ 3 (, ) ( )] h,

62 Métodos Multpasos El método eplícto Adams-Bashorth de tres pasos es dado por ( ) ( ) ( ) h, 5,, que se reduce a ( ) ( ) ( ) [ ],,, h h ( ) ( ) [ ],, 5 h ( ) ( ) ( ) [ ],,, h h ( ) ( ) ( ) ( ) [ ],,,, 5 h

63 Reagrupando obtenemos h Métodos Multpasos [ 3 (, ) 6 (, ) 5 ( )], De gual manera se obtene el método eplícto de Adams-Bashorth de cuatro pasos h 4 [ 55 (, ) 59 (, ) 37 (, ) 9 ( )] 3, 3

64 Métodos Multpasos En el caso del método mplícto de Adam-Moulton de m pasos escrbmos P m ( )d donde ahora P m- () pasa por los puntos (, ), (, ),..., ( -m, -m ). Luego, podemos escrbr m s ( ) ( )d, Ahora ben, en, s en, s- ( n sh). Luego

65 Métodos Multpasos ( ) ( ) hds s m, Cada ntegral se evalúa según ds ds s s sds ds s 3! ) ( 3 s s ds s s ds s 4 3! ) )( ( 3 ds s s s ds s

66 Métodos Multpasos ( ) ( ) ( ) ( ) hds s hds s,, Para obtener ( ) ( ) ( ) ( )... 3,, 3 3 hds s hds s ( ) ( ) ( ) ( )..., 4,,, 3 h Esta epresón es la base de los métodos mplíctos de Adams-Moulton.

67 Métodos Multpasos El método mplícto de Adams-Moulton de dos pasos es dado por que se reduce a ( ) ( ) ( ),,, h ( ) ( ) ( ) [ ] h h,,, ( ) ( ) [ ] h,, ( ) ( ) ( ) [ ] h h,,, ( ) ( ) ( ) ( ) [ ],,,, h

68 Reagrupando obtenemos Métodos Multpasos h 5, 8,, que corresponde al método mplícto de Adams- Moulton de dos pasos. [ ( ) ( ) ( )] Smlarmente, los métodos de Adams-Moulton de tres cuatro pasos venen dados respectvamente por h 4 [ 9 (, ) 9 (, ) 5 (, ) ( )], h 7 [ ] 9 3

69 Métodos Multpasos Nótese que en las epresones de los métodos de Adams-Moulton aparece, el valor buscado, en ambos lados. Luego, dependendo de la epresón unconal de (,), en consecuenca, de la posbldad de despejar construr una epresón para los métodos eplíctos podrán ser utlzados.

70 Métodos Multpasos Ejemplo. Integre la EDO d d utlzando los métodos de Adams-Bashorth de cuatro pasos el de Adams-Moulton de tres pasos, para en [,], tamaño de paso h. con la condcón ncal ().5 El método de Adams-Bashorth de cuatro pasos es h 55, 59, 37, 9 4 [ ( ) ( ) ( ) ( )] 3, 3 que se reduce al susttur (,)

71 h 4 Métodos Multpasos [ 55( ) 59( ) 37( ) 9( ) ] 3 3 Para calcular, >3 necestamos las apromacones en,, 3. Una opcón es obtenerlas a partr de la utlzacón de un método de Runge-Kutta de alto orden (ver ejemplo anteror) en ese caso, tenemos pudendo emplearse para calcular las apromacones a la solucón para >3. En el caso del método mplícto tendremos que h 4 [ 9 (, ) 9 (, ) 5 (, ) ( )],

72 Métodos Multpasos que se epresa como Despejando obtenemos Smlarmente al caso anteror, podemos utlzar los valores arrojados por el método de RK4 para, para obtener la apromacón buscada. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] h ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] h h

73 Provenen de RK4 Métodos Multpasos Solucón eacta Notese que el error del método mplícto es menor que el del método eplícto, lo cual ocurre en general.

74 Capítulo III 74 Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor. Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

75 Cuando se plantea un sstema de EDO Sstemas de Ecuacones 75 d d d d. (,,..., ), n (,,..., ), dn ( ) n,,,..., n d con sus respectvas condcones ncales n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n

76 Sstemas de Ecuacones Las solucones se obtenen procedendo como en los casos de EDO ndvduales, pero de manera acoplada. Ejemplo. Resuelva el sguente sstema de EDO d d d d ( ) 4 ( ) 6 con el método de Euler, con tamaño de paso h.5. El método de Euler se escrbe como j, j, [ ( ), ( ) ( )] h,...,, n 76

77 Sstemas de Ecuacones Aplcado, para calcular el prmer paso, a la era EDO tenemos [. ],, h 5, [.5( 4) ] 3, 4.5 Ahora, se aplca a la da ecuacón 77 [ 4.. ],, h, 3, [.( 4).3( 6) ] 6. 9, De manera smlar [.5 ] 3.5.5( 3) [ ]. 5,, h, [..3 ] ( ).3 ( 6.9 ) [ ] 7. 75,, h4,,

78 Sstemas de Ecuacones 78 Luego, al conclur tenemos 4, 6,,5 3, 6,9,5 7,75 3,5,6875 8,4455 4,6565 9,9488 Este procedmento puede amplarse para métodos mas precsos tales como los de Runge-Kutta. Para ello, consderemos el RK4 clásco dado por ( 3 )h 6 4 (34)

79 Sstemas de Ecuacones 79 donde las constantes están dadas por (, ) ( h, h) 3 ( h, h) h, ) 4 ( 3h (35a) (35b) (35c) (35d) que se utlza para resolver el problema de valor ncal d (, ) a b ( a) d Para aplcar este método a sstemas de EDO denmos (64)

80 Sstemas de Ecuacones 8 los N puntos de red donde calcularemos la solucón por h con b a h N el sst. de ec. ( sus cond. ncales) dado por d d d d d d m (,,..., ) m, n (,,..., ), n (,,..., ), m ( ) ( ) ( ) ( ) m ( ) ( ) m

81 Sstemas de Ecuacones 8 Como en el ejemplo anteror la epresón j es el valor apromado de la solucón j en el punto. Luego, las constantes,j se calculan, para cada j, de acuerdo a (,,,,,...,,, j j m Luego, se calculan todos los,j utlzando, j j ( h,,,h,,,h,..., m,, El proceso se repte para 3,j 4,j según mh ) j,..., ( h,,,h,,,h,..., m,, 3, j j mh, ( h,, 3,h,, 3,h,...,, 3, 4, j j m mh m ) ) )

82 Sstemas de Ecuacones 8 Entonces, hacemos avanzar la solucón utlzando ( j, j,, j, j 3, j 4, j )h j,..., m 6 Ejemplo. Resuelva el sguente sstema de EDO d. 5 ( ) d 4 d 4. 3 ( ) 6. d con el método de RK4 clásco, con tamaño de paso h.5. En el prmer ntervalo tenemos,, ) (,4,6).5 4 ( ) ( ).3( 6). 8, (,,, (,,,,) (,4,6) 4. 4

83 Sstemas de Ecuacones 83 Una vez calculadas todas las,j, procedemos con las,j, ( h,,,h,,, h) ( ).5,6 (.8) (.5,4.5) (.5,3.5,6.45).5*3.5,,, (.5,3.5,6.45) 4.*3.5.3*6.45

84 Sstemas de Ecuacones 84 Luego, se obtenen todas las 3,j, ( h,,,h,,,h,..., m,, m ) ( h,,,h,,,h) (.5,4 (.75).5,6 (.75).5) (.5,3.565,6.4875).5* , j j h 3, 3, 3, 3, 3, é (.5,3.565,6.4875) 4.* *

85 Sstemas de Ecuacones 85 Fnalmente se calculan las 4,j, 4, j j ( h,, 3,h,, 3,h,..., m, 3, mh) ( h, h, h) 4, 4, 4, 4,, 3,, (.5,4.785*.5,6.755*.5) (.5,3.9375, ) 3,.5* , (.5,3.9375, ) 4, 4.* *

86 Sstemas de Ecuacones 86 Luego, se avanzan las solucones al punto ( j, j,, j, j 3, j 4, j )h 6,,,,,,, , ( ),, 3, 4, (-. ( -.75) ( -.783) (-.5547)) 6 h ( ),, 3, (.8 (.75) (.75) (.638) ) 4, h.5.5

87 Sstemas de Ecuacones 87 Se contnúan calculando los valores de hasta cubrr el domno. La tabla presenta los resultados obtendos hasta (/)h (/)h (/)h (/)h (/)h (/)h h 3 3 h 3h 3*h 3h

88 Sstemas de Ecuacones 88 Ejemplo : Suponga que el péndulo descrto en la ntroduccón mde pes de largo que g-3.7 pes/s. Con h.s, compare el ángulo obtendo en el caso de los dos sguentes problemas de valor ncal cuando t, s: d θ dt d θ dt g L senθ g θ L,, θ θ π 6 ( ) ; θ ( ) ; π 6 ( ) ; θ ( ) ;

89 Sstemas de Ecuacones 89 Resolvamos la prmera EDO. Para ello hagamos d θ dt w Luego, la EDO d θ dt g L senθ, θ π 6 ( ) ; θ ( ) ; se reduce al sstema de ecuacones derencales de er orden d θ w dt dw g senθ dt L

90 Sstemas de Ecuacones 9 Luego, utlzando la notacón θ ω tenemos d dt d dt g L sen ( ) con las condcones ncales π ( ) ; ( ) ; 6

91 Sstemas de Ecuacones 9 Este sstema puede ser resuelto utlzando el método de Runge-Kutta de cuarto orden. El sguente archvo muestra un programa en MATLAB % Ejemplo de solucón de una ecuacón derencal ordnara de orden clear all h.; % s t_; t_; Theta_p/6; Utheta_; _Theta_; _Utheta_; nlne('','t','',''); nlne('(-3.7/)*sn()','t','',''); n(t_-t_)/h; tt_; _; _; dsp(' t Theta Utheta') or :n (t,,); (t,,); (th/,*h/,*h/); (th/,*h/,*h/); 3(th/,*h/,*h/); 3(th/,*h/,*h/); 4(th,3*h,3*h); 4(th,3*h,3*h); (**34)*h/6; (**34)*h/6; tth; dsp([t,*8/p,]) end

92 Sstemas de Ecuacones 9 Los resultados, consderando el otro caso (gθ/l) se presentan a contnuacón g sn(theta)/l g (Theta)/L Errores (%) t No Lneal Utheta Lneal Utheta Theta Utheta

93 Capítulo III 93 Pendulo Smple Lneal No Lneal 4 3 No Lneal Lneal Ángulo (Grados) t (seg)

94 Capítulo III 94 Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor. Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

95 Métodos Predctor-Corrector No sempre es posble aplcar métodos mplíctos, debdo a la mposbldad de despejar. Por ejemplo en los casos en que la varable dependente es argumento de una uncón (sn(), ep(), etc), en general, no es posble despejar. Por ello, los métodos eplíctos se combnan con métodos mplíctos para generar lo que se denomnan métodos de tpo predctor-corrector. La utlzacón en general es como sgue: () Utlzar un método de Runge-Kutta de orden 4 para generar los prmeros valores de la apromacón,, 3

96 Métodos Predctor-Corrector () Utlzar como predctor el método de Adams- Bashorth para generar la prmera apromacón al prómo valor de. Por ejemplo, s el método utlzado es el de cuatro pasos tendremos () h [ ( ) ( ) ( ) ( )] , 3 59, 37, 9, 4 (3) Anar, usando como corrector el método de Adams-Moulton de tres pasos h 4 [ ( ) ( ) ( ) ( )] () 9, 9, 5, () ,

97 (4) Utlzar como predctor el método de Adams- Bashorth para generar la prmera apromacón al prómo valor de h 4 Métodos Predctor-Corrector [ 55 (, ) 59 (, ) 37 (, ) 9 ( )] () 3, 3 (5) Anar, usando como corrector el método de Adams-Moulton de tres pasos h 4 (6) Contnuar realzando los pasos (4) (5) hasta cubrr el ntervalo requerdo [ ( ) ( ) ( ) ( )] () 9, 9, 5, (),

98 Métodos Predctor-Corrector () Los valores obtendos de pueden ser consderados la apromacón buscada o pueden anarse teratvamente para dar una apromacón mas precsa utlzando h ( ) 9, 9, 5, 4 [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ), No obstante, este procedmento converge a la apromacón dada por el método mplícto no necesaramente a la solucón de la EDO.

99 Métodos Predctor-Corrector Ejemplo: escrba un programa que ntegre la EDO d d utlzando el método predctor-corrector de Adams para en [,], tamaño de paso h. con la condcón ncal ().5. Un programa en Matlab es presentado en las lámnas sguentes.

100 % Método Predctor-Corrector de Adams % Para apromar el problema de valor ncal % % ' (t,) a < t < b % % en N números gualmente espacados en el ntervalo [a,b] Métodos Predctor-Corrector clear all close all N ; % Número de dvsones a; % Etremo zquerdo del ntervalo b; % Etremo derecho del ntervalo _.5; % valor ncal uncón nlne('-t^','t',''); % uncón (t,) h(b-a)/n; % Paso t()a; w()_;

101 Métodos Predctor-Corrector prnt(' t wp w\n') prnt('%6. %.8\n', t(),w()) % Apromacón de la solucón en los prmeros 3 puntos % utlzando un método de Runge-Kutta de orden 4 or :3 (t(),w()); (t()h/,w()*h/); 3(t()h/,w()*h/); 4(t()h,w()3*h); w()w()(**34)*h/6; t()t()h; prnt('%6. %.8\n', t(),w()) end

102 % Inco del método predctor-corrector de Adams de cuarto orden Métodos Predctor-Corrector or 4:N % calculo del predctor wp w() h*(55*(t(),w())-59*(t(-),w(-))37*(t(-),w(- ))-9*(t(-3),w(-3)))/4; % cálculo del corrector w()w()h*(9*(t()h,wp)9*(t(),w())-5*(t(-),w(- ))(t(-),w(-)))/4; t()t()h; prnt('%6. %.8 %.8\n', t(),wp,w()) end plot(t,w,'o-') grd on

103 Métodos Predctor-Corrector t wp w Runge-Kutta 4 to orden Predctor Corrector

104 Capítulo III 4 Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor. Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales. Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

105 Aplcacones con MATLAB 5 MATLAB posee varas rutnas nternas para hallar la solucón de ecuacones derencales ordnaras. Las mas comunes son ode3 ode45 que utlzan métodos de Runge-Kutta-Fehlberg. La aplcacón es como sgue. Para resolver d ( t, ) dt dena la uncón (t,) utlzando el comando nlne nlne('*ep(-((t-).^)/(*.75^))-.6*','t',''); d dt.6 e ( t) (.75) [ ]

106 Aplcacones con MATLAB 6 MATLAB posee varas rutnas nternas para hallar la solucón de ecuacones derencales ordnaras. Las mas comunes son ode3 ode45 que utlzan métodos de Runge-Kutta-Fehlberg (paso adaptatvo). La aplcacón es como sgue. Para resolver d ( t, ) dt dena la uncón (t,) utlzando el comando nlne. Por ejemplo s la EDO a resolver es: e ( t) (.75) d ( ) dt.6 [ ] t.5 [,4]

107 Aplcacones con MATLAB 7 Eprese la uncón en térmnos de t d dt e ( t) (.75) dena (t,) así [ ].6 nlne('*ep(-((t-).^)/(*.75^))-.6*','t',''); colocando sempre en prmer lugar la varable ndependente

108 Aplcacones con MATLAB 8 MATLAB requere que se dena un vector (tnt en este ejemplo) en el cual se dene el domno de cálculo (t a 4 en este ejemplo), una varable escalar con el valor ncal de (.5 en nuestro ejemplo). Así tendremos que nuestro programa luce como nlne('*ep(-((t-).^)/(*.75^))-.6*','t',''); tnt [,4];.5; [t, ] ode3(,tnt,); prnt(' t \n') or :length(t) prnt('%6.3 %.8\n', t(),()) end plot(t,,'o')

109 Aplcacones con MATLAB 9 La solucón numérca está guardada en los vectores t, t t

110 Aplcacones con MATLAB En MATLAB. Los sstemas de EDO se resuelven escrbendo el sstema en un archvo.m como sgue (con nuestro ejemplo): d d d d uncton d sstema(t,) % Funcón que almacena cada ecuacón del sstema de ecuacones % derencales a ser resuelto 4 ( ) 4 ( ) 6 d zeros(,); % a column vector d() -.5*(); d() 4 -.*() -.3*();

111 Aplcacones con MATLAB Luego, el sstema se resuelve utlzando: [t,y] ode45('sstema',[ ],[4 6]); >> [t Y] ans

112 Capítulo III Ecuacones derencales ordnaras con condcones ncales Introduccón Métodos de Talor. Métodos de Runge-Kutta Métodos multpaso Sstemas de ecuacones derencales Métodos predctor corrector Aplcacones con MATLAB Reerencas

113 Reerencas. Análss Numérco, Burden R., Fares J. D., 6 ta Edcón, Internatonal Thomson Edtores, 998. Métodos Numércos para Ingeneros, Chapra S., Canale R., 4 ta Edcón, McGrawHll, 3 3. Análss Numérco con Aplcacones, Gerald C., Wheatle P.,6 ta Edcón, Pearson Educacón, Introductor Numercal Methods Incorporatng MATLAB, Hahn J., Bradle Unverst, 5. Appled Numercal Methods, Carnahan B., Luther H. A., Wles J. O., John Wle and Sons, Inc, 969

114 4 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON CONDICIONES INICIALES Unversdad Smón Bolívar