SIMULACIÓN DE MODELOS DE CRECIMIENTO MEDIANTE MATLAB

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1 SIMULACIÓN DE MODELOS DE CRECIMIENTO MEDIANTE MATLAB Hugo Alejandro Gullén Trujllo, Alejandro Ruz Sbaja, Dasy Escobar Castllejos, José Alonso Fgueroa Gallegos, Unversdad Autónoma de Chapas; Facultad de Ingenería; Boulevard Belsaro Domínguez Km. 181; Tuxtla Gutérrez, Chapas, 29, Méxco; Tel ; Fax ; 1. INTRODUCCIÓN La bosera está consttuda de sstemas que camban con el paso del tempo. Ambos sstemas: ambental y humano, pueden descrbrse por la orma de sus cambos. El modo por el cual el sstema camba depende de la organzacón del sstema y del tpo de uente de energía que está dsponble. Por ejemplo, algunos ecosstemas aumentan en tamaño y complejdad mentras que otros detenen su crecmento. De gual manera, algunas pequeñas cudades pueden crecer y convertrse en cudades grandes mentras que otras cudades parecen permanecer del msmo tamaño durante décadas (se consdera entonces, que ellas parecen haber alcanzado un estado de establdad). Otras cudades, por su parte, dsmnuyen de tamaño y complejdad, las ndustras cerran, y los habtantes se trasladan a otro lugar. La organzacón de un sstema puede estudarse dseñando un dagrama del sstema o modelo de este (ver gura 1). A través de los tpos de uentes de energía en un dagrama, se puede denr como el sstema crece o dsmnuye. Fgura 1. Equlbro entre las tasas de ncremento (nataldad e nmgracón) y las de decremento (mortaldad y emgracón). 2. MODELOS DE CRECIMIENTO Exsten derentes modelos matemátcos para smular el crecmento poblaconal y/o ambental. Entre ellos los más conocdos en la práctca proesonal son: 1. Modelo de crecmento de Tanque 2. Modelo de crecmento Exponencal 3. Modelo de crecmento Logístco 4. Modelo de crecmento renovable En las ecuacones 1 a 5 se muestran las ecuacones derencales que gobernan el comportamento de estos modelos.

2 Modelo de crecmento del Tanque Modelo de crecmento Exponencal Modelo de crecmento Logístco D DT D DT J k (1) k E k (2) 1 D DT Modelo de crecmento Renovable 3. EL PROGRAMA MATLAB D DT k E k (3) k J k (4) 3 r 4 J (5) 1 k J r Uno de los objetvos planteados para este trabajo es el desarrollo de una herramenta computaconal que permta la smulacón de modelos de crecmento medante un lenguaje de programacón. Para realzar la smulacón se elgó MATLAB dada la necesdad de plantear la solucón medante un sstema que sea nteractvo y que al msmo tempo tenga la capacdad de un lenguaje de programacón para cálculo centíco y técnco en general. MATLAB es el nombre abrevado de MATrx LABoratory. MATLAB es un programa para realzar cálculos numércos con vectores y matrces. Como caso partcular puede tambén trabajar con números escalares -tanto reales como complejos-, con cadenas de caracteres y con otras estructuras de normacón más complejas. Una de las capacdades más atractvas es la de realzar una ampla varedad de grácos en dos y tres dmensones. MATLAB tene tambén un lenguaje de programacón propo. Está dsponble para las plataormas Unx, Wndows y Apple Mac OS X. El lenguaje de programacón de MATLAB es una magníca herramenta de alto nvel para desarrollar aplcacones técncas, ácl de utlzar y que aumenta sgncatvamente la productvdad de los programadores respecto a otros entornos de desarrollo. Por esta razón es un programa muy usado en unversdades y centros de nvestgacón y desarrollo. Dado que los comandos de MATLAB son smlares a la expresón de los pasos de ngenería en matemátcas, escrbr solucones en computadora con MATLAB es mucho más ácl que usar un lenguaje de alto nvel como C o Fortran.

3 4. SIMULACIÓN NUMÉRICA DE LOS MODELOS DE CRECIMIENTO El planteamento de la smulacón numérca de la ecuacón derencal de prmer orden con que se aproxman los modelos de crecmento se basa en la solucón propuesta por Euler. Este método se basa en aproxmar la dervada medante la órmula de derencas ntas adelantada. Al despejar se obtene: t ut u h z t ut k (5) h 2 k 1 k u tk u k, u t ut h t, ut z k 2 h 1 k k k k (6) 2 El método de Euler procede desprecando el térmno de orden de la ecuacón anteror por ser U u que cumplen: desconocdo y generando una secuenca de aproxmacones El método procede en orma recursva, así con U 2 U, h 2 k t k k 1 U k h tk U k (7) t y U u se puede calcular t U 1, con este valor se calcula y así sucesvamente. Cuanto menor es la solucón obtenda es más precsa y los valores están más próxmos a los exactos. Una aproxmacón sucentemente buena se basa en una h 1. La aplcacón del método de Euler para realzar la smulacón numérca del modelo de crecmento del Tanque conduce al sguente algortmo (ver cuadro 1): U k u t k Cuadro 1. Algortmo de cálculo para el modelo de crecmento del Tanque h Datos ncales para el tempo t :, J, k, to, t, dt A partr de esto datos: 1. Calcular d 1 J k 2. Actualzar d dt Actualzar t t dt 1 1 t? 4. Revsar t 5. S la gualdad se cumple nalzar el proceso 6. En caso contraro volver al paso 1 De manera semejante se procede para los algortmos de cálculo de los modelos menconados en la parte ncal de este trabajo. En los cuadros 2, 3 y 4 se muestran estos algortmos.

4 Cuadro 2. Algortmo de cálculo para el modelo de crecmento Exponencal Datos ncales para el tempo t :, E, k, k1, to, t, dt A partr de esto datos: 1. Calcular d 1 k E k1 2. Actualzar d dt Actualzar t t dt 4. Revsar t 1 1 t? 5. S la gualdad se cumple nalzar el proceso 6. En caso contraro volver al paso 1 Cuadro 3. Algortmo de cálculo para el modelo de crecmento Logístco Datos ncales para el tempo t :, E, k1, k4, to, t, dt A partr de esto datos: d 1 k E k4 2. Actualzar d dt 1. Calcular Actualzar t t dt 1 1 t? 4. Revsar t 5. S la gualdad se cumple nalzar el proceso 6. En caso contraro volver al paso 1 5. APLICACIONES Con base en los algortmos presentados en el apartado anteror se escrberon cuatro programas en MATLAB versón 6.5. Los programas se generaron de manera tal que el usuaro ntroduce los datos de entrada drectamente desde la pantalla y al térmno del cálculo se desplega una gráca donde se concentran los resultados del proceso. A contnuacón, en los cuadros 5, 6, 7 y 8, se muestran los programas correspondentes a cada modelo de crecmento. En las guras 2, 3, 4 y 5 aparecen los resultados de la ejecucón de estos programas. Los datos que se usaron para generar la gura 2 son: = 1., J = 4., k =.5, t =

5 ., t = 5 y dt = 1. Para la gráca de la gura 3 se utlzaron: = 1., E = 1., k =.7, k1 =.5, t =., t = 3. y dt = 1. La gráca de la gura 4 se generó con: = 4., E = 1.7, k1 =.4, k4 =.8, t =., t = 6. y dt = 1. En la gráca de la gura 5 se usaron: =.1, J = 45., k =.1, k3 =.8, k4 =.3, t =., t = 6. y dt = 1. Cuadro 4. Algortmo de cálculo para el modelo de crecmento Renovable Datos ncales para el tempo t :, 3 4 o, J, k, k, k, t, t dt A partr de esto datos: 1. Obtener J r J 1 k 2. Calcular d 1 k3 J r k4 3. Actualzar d dt Actualzar t t dt 1 1 t? 5. Revsar t 6. S la gualdad se cumple nalzar el proceso 7. En caso contraro volver al paso 2 Cuadro 5. Programa de cálculo para el modelo de crecmento del Tanque clear clc % Este programa calcula el crecmento de la poblacón % medante el modelo de Tanque % Dr. Alejandro Ruz Sbaja % Dr. Hugo Gullén Trujllo % Facultad de Ingenería % Unversdad Autónoma de Chapas % Juno de 211 prnt('\n \n') prnt('calculo del crecmento de la poblacón \n') prnt('modelo de Tanque \n \n') (1) = nput('ntroduzca el valor ncal de '); t(1) = nput ('ntroduzca el valor ncal del tempo '); k(1) = nput ('ntroduzca el valor de k '); J(1) = nput ('ntroduzca el valor de J '); dt = nput('ntroduzca el valor de dt '); t = nput ('ntroduzca el valor nal del tempo ');

6 or j = 1:(t-1) = j + 1; d() = J(1) - k(1).* (j); () = (j) + d(); t() = t(j) + dt; end plot (t,), ttle ('Modelo de tanque'), xlabel('tempo'), ylabel('depósto') Cuadro 6. Programa de cálculo para el modelo de crecmento Exponencal clear clc % Este programa calcula el crecmento de la poblacón % medante el modelo Exponencal % Dr. Alejandro Ruz Sbaja % Dr. Hugo Gullén Trujllo % Facultad de Ingenería % Unversdad Autónoma de Chapas % Juno de 211 prnt('\n \n') prnt('calculo del crecmento de la poblacón \n') prnt('modelo exponencal \n \n') (1) = nput('ntroduzca el valor ncal de '); t(1) = nput ('ntroduzca el valor ncal del tempo '); k(1) = nput ('ntroduzca el valor de k '); E(1) = nput('ntroduzca el valor de E '); k1(1) = nput('ntroduzca el valor de k1 '); dt = nput('ntroduzca el valor de dt '); t = nput ('ntroduzca el valor nal del tempo '); derenca = k(1).*e(1) - k1(1); or j = 1:(t-1) = j + 1; d() = derenca * (j); () = (j) + d(); t() = t(j) + dt; end plot (t,), ttle ('Modelo exponencal'), xlabel('tempo'), ylabel('depósto')

7 Cuadro 7. Programa de cálculo para el modelo de crecmento Logístco clear clc % Este programa calcula el crecmento de la poblacón % medante el modelo Logístco % Dr. Alejandro Ruz Sbaja % Dr. Hugo Gullén Trujllo % Facultad de Ingenería % Unversdad Autónoma de Chapas % Juno de 211 prnt('\n \n') prnt('calculo del crecmento de la poblacón \n') prnt('modelo logístco \n \n') (1) = nput('ntroduzca el valor ncal de '); t(1) = nput ('ntroduzca el valor ncal del tempo '); k1(1) = nput ('ntroduzca el valor de k1 '); E(1) = nput('ntroduzca el valor de E '); k4(1) = nput('ntroduzca el valor de k4 '); dt = nput('ntroduzca el valor de dt '); t = nput ('ntroduzca el valor nal del tempo '); or j = 1:(t-1) = j + 1; derenca = k1(1).*e(1) - k4(1).*(j); d() = derenca * (j); () = (j) + d(); t() = t(j) + dt; end plot (t,), ttle ('Modelo logístco'), xlabel('tempo'), ylabel('depósto') Cuadro 8. Programa de cálculo para el modelo de crecmento Renovable clear clc % Este programa calcula el crecmento de la poblacón % medante el modelo Renovable % Dr. Alejandro Ruz Sbaja % Dr. Hugo Gullén Trujllo % Facultad de Ingenería % Unversdad Autónoma de Chapas % Juno de 211 prnt('\n \n') prnt('calculo del crecmento de la poblacón \n') prnt('modelo renovable \n \n')

8 (1) = nput('ntroduzca el valor ncal de '); t(1) = nput ('ntroduzca el valor ncal del tempo '); k(1) = nput ('ntroduzca el valor de k '); k3(1) = nput('ntroduzca el valor de k3 '); k4(1) = nput('ntroduzca el valor de k4 '); J(1) = nput('ntroduzca el valor de J '); dt = nput('ntroduzca el valor de dt '); t = nput ('ntroduzca el valor nal del tempo '); or j = 1:(t-1) = j + 1; R(j) = J(1) /(1 + k(1).*(j)); d() = k3(1).*r(j).*(j) - k4(1).*(j); () = (j) + d(); t() = t(j) + dt; end plot (t,), ttle ('Modelo renovable'), xlabel('tempo'), ylabel('depósto') Fgura 2. Smulacón de modelo de crecmento del Tanque

9 Fgura 3. Smulacón de modelo de crecmento Exponencal Fgura 4. Smulacón de modelo de crecmento Logístco

10 Fgura 5. Smulacón de modelo de crecmento Renovable 6. CONCLUSIONES Se ha presentado la smulacón numérca de cuatro modelos de crecmento: de tanque, exponencal, logístco y renovable. La smulacón se realzó medante MATLAB debdo a la sencllez de su manejo y a su gran capacdad tanto para el análss numérco como para representar resultados en grácas de 2 y 3 dmensones. La smulacón numérca de los modelos aquí presentados se ha mostrado apropada y ecente dado que permte consderar el eecto de derentes actores que modcan el crecmento y en consecuenca consderar derentes escenaros para este. Así, estas smulacones srven para hacer proyeccones a medano y largo plazo de poblacón tanto humana, como anmal o vegetal; de desarrollo económco o de cualquer enómeno que releje crecmento. Convene recordar que la práctca de la modelzacón consste en ormular esquemas smples para descrbr realdades complejas, con la esperanza de que estos esquemas smples correspondan a mecansmos o leyes generales que hacen ntelgbles los patrones observados en la naturaleza. Desarrollos uturos de este trabajo pueden r encamnados a utlzar otros modelos con tasas de crecmento no lneales derentes, tambén sería nteresante generalzar el modelo al caso de especes en competenca, por ejemplo presa-depredador, o smplemente competdores por el almento. 7. REFERENCIAS 1. Howard T. Odum (1988), Envronmental Systems and Publc Polcy, Ecologcal Economcs Program. Unversty o Florda, Ganesvlle 32611, USA. 3. Etter, Delores M. (1997), Solucón de problemas de Ingenería con MATLAB, Prentce-Hall, ISBN

11 4. García De Jalón, Javer (24), Aprenda MATLAB 6.5 como s estuvera en prmero, Escuela Técnca de Ingeneros Industrales, Unversdad Poltécnca de Madrd. 5. Neves Hurtado, Antono, Domínguez Sánchez, Federco C. (24), Métodos Numércos Aplcados a la Ingenería, CECSA, ISBN