UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL - FACULTAD REGIONAL ROSARIO Departamento de Ingeniería Química. Cátedra: Integración IV

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1 UNIVERSIDAD TECNOOGICA NACIONA - ACUTAD REGIONA ROSARIO Departamento de Ingenería Químca Cátedra: Integracón IV Tema: Smulacón de Evaporadores lash Alumnos: Damán Match, Marcos Boss y Juan M. Pgnan Profesores: Dr. Ncolás Scenna, Dr. Alejandro Santa Cruz y Dra. Sona Benz Año de cursado: 999 Problema : Dagramar un algortmo para el cálculo de la presón de burbuja de una mezcla de composcón y temperatura dadas. Respuesta: V y HV z H Vapor íqudo x H Trabajado algebracamente el sstema de ecuacones para un flash sotérmco se llega a la sguente ecuacón: ( K )z 0 θ( K ) + donde K es la constante de equlbro para cada componente, z la composcón de la almentacón y θ (fraccón vaporzada) como la relacón del caudal de vapor producdo al caudal de almentacón. S se aplca la defncón de presón de burbuja y se analza la ecuacón anteror, vemos que dada la temperatura, encontrar la presón a la cual aparece la prmera burbuja de vapor, equvale conceptualmente a encontrar P que cumpla con: lm θ 0 ( K θ ( K ) z 0 ) + Resolvendo el límte se tene z z K 0, de donde debe satsfacerse: z K

2 Hpótess: a composcón de la mezcla de almentacón es conocda. a temperatura del equpo es conocda y constante. a composcón de la mezcla líquda x z. Algortmo:. Estmar P ncal (P 0 ) y composcón del vapor ncal (y 0 ). 2. Calcular K K (T, P, x, y ). 3. Calcular y K x. 4. Comparar los valores obtendos de y en el paso 3 con los del paso. S no satsface el crtero de toleranca (es decr s la dferenca entre las normas de los vectores de composcón consecutvos es mayor que el error especfcado), volver al paso 2 proponendo el msmo conjunto y recentemente calculado (susttucón drecta) o ben utlzar métodos de aceleracón de convergenca (Wegsten). S satsface el error contnuar con el paso Evaluar z. S no satsface el error especfcado, volver al paso 2 proponendo un nuevo. K valor de P (Newton-Raphson, Muller). S satsface el crtero de toleranca contnuar con el paso Mostrar el valor de P hallado. 7. Parar. Para mezclas deales se anula el lazo de composcones ya que K (P, T). Problema 2: Dagramar un algortmo para el cálculo de la presón de rocío de una mezcla de composcón y temperatura dadas. Respuesta: Idem al anteror pero ahora se debe encontrar la P (fjada la temperatura) a la cual aparece la prmera gota de condensado. a condcón debe cumplrse cuando la fraccón líquda tende a cero (o ben la fraccón vaporzada tende a uno), es decr: lm θ ( K θ ( K ) z 0 ) + Resolvendo el límte, y operando algebracamente, se obtene la sguente expresón: z K Hpótess: a composcón de la mezcla de almentacón es conocda. a temperatura del equpo es conocda y constante. a composcón de la mezcla vapor y z. 2

3 Algortmo:. Estmar P ncal (P 0 ) y composcón del líqudo ncal (x 0 ). 2. Calcular K K (T, P, x, y ). 3. Calcular x z /K. 4. Comparar los valores obtendos de x en el paso 3 con los del paso. S no satsface el crtero de toleranca, volver al paso 2 proponendo el msmo conjunto x recentemente calculado (susttucón drecta) o ben utlzar métodos de aceleracón de convergenca (Wegsten). S satsface el error contnuar con el paso z Evaluar K. S no satsface el error especfcado, volver al paso 2 proponendo un nuevo. valor de P (Newton-Raphson, Muller). S satsface el crtero de toleranca contnuar con el paso Mostrar el valor de P hallado. 7. Parar. Para mezclas deales se anula el lazo de composcones ya que K (P, T). Problema 3: Conocda la mezcla de composcón x y las condcones de presón y temperatura, dagramar un algortmo para establecer la fase de dcha mezcla. Hpótess: lash sotérmco. a almentacón entra a las msmas condcones de P y T que hay en el equpo flash. a composcón de la almentacón z. K K (P, T, x, y ). Algortmo:. Ingresar los valores de P, T y x. 2. Ingresar un valor ncal del vector y y de θ. 3. Calcular K K (P, T, x, y ). 4. Calcular y K x. 5. Verfcar s los valores obtendos para y en el paso 4 satsfacen el error, es decr, s y + - y 0. De lo contraro, proponer por medo de algún método numérco (Susttucón Drecta, Wegsten), un nuevo valor para el vector y, retornando al paso 3. ( K ) x 6. Evaluar 0. S la msma no cumple con el error especfcado, proponer un θ ( K ) + nuevo valor para θ (Susttucón Drecta, Newton-Raphson) y volver al paso 6. Caso contraro, contnuar con el paso Comparar el valor de θ: - S θ 0, la mezcla se encuentra en fase líquda. - S θ, la mezcla se encuentra en fase gaseosa. - S 0 < θ <, la fase es una mezcla líqudo-vapor. 8. Mostrar el valor de θ e ndcar la fase en la que se encuentra la mezcla. 9. Parar. 3

4 Problema 4: Suponer que se desea confecconar un módulo que represente un nodo sumador. Esto es ngresan n correntes y sale una sola con las propedades correspondentes a la suma de las msmas. Confecconar un dagrama de flujo para un programa computaconal del módulo de referenca. Hpótess: Constante de equlbro: K K (P, T). Entalpía molar: H H (P, T, composcón). Dsponbldad de subrutnas para el cálculo de propedades fscoqímcas y métodos de teracón. Caída de presón a través del equpo ( P): conocda y constante. No hay reaccones químcas. Se adopta a la presón de salda (PS), constante e gual a la menor de las dferencas PE j - P o se puede especfcar. E j n j HE j PE j S z HS PS Con,2,..., j,2,..., N componentes correntes Sendo: E j los caudales, n j la composcón, HE j la entalpía y PE j la presón de las correntes de entrada; S el caudal, z la composcón, HS la entalpía y PS la presón (dato o supuesto) de la corrente de salda. Balance de matera global: N j N E j S 0 () Balance por componentes: ( E n ) S z 0 (2) j N j j Balance de energía: ( E HE ) S HS 0 (3) j j j Balance de presones PE j + P PS 0 (4) Donde PE j es la menor de todas las presones de las correntes de entrada y P es negatvo. Por medo de la Ec. () se puede calcular S, luego por la Ec. (2) z, por la Ec. (3) HS y con la Ec. (4) PS. Conocdo S, z, HS, PS y suponendo flash adabátco (Q 0), se calcula T y θ (fraccón vaporzada). V y HV S z HS Vapor íqudo x H Donde: - V, y y HV son el caudal, la composcón y la entalpía de la fase vapor respectvamente. -, x y H son el caudal, la composcón y la entalpía de la fase gaseosa. 4

5 Balance de matera global: S V 0 (5) Balance por componentes: S z V y x 0 (6) Balance de energía: S HS V HV H 0 (7) V Defnendo a la fraccón vaporzada como la relacón θ y recordando que y K x y que S y x 0, se puede llegar a las sguentes ecuacones: x z θ ( K ) + (8) y z K θ ( K ) + (9) z ( K ) 0 θ ( K ) + (0) HV H θ ( θ ) 0 () HS HS Esquemátcamente los pasos a segur en este caso son los sguentes:. Estmar los valores ncales de x e y. 2. Estmar un valor ncal de la temperatura (T) y de la fraccón vaporzada (θ). 3. Calcular el valor de las funcones de dscrepanca con respecto al error permtdo para las Ecs. (0) y (). S se satsface el crtero de error r al paso 7. De lo contraro, segur con el paso Generar la matrz Jacobana evaluando las dervadas parcales de ambas funcones respecto de ambas varables (matrz 2 x 2). 5. Calcular, resolvendo el sstema correspondente, los ncrementos para la temperatura y la fraccón vaporzada, a los efectos de obtener los nuevos valores para ambas varables de teracón. 6. Calcular el nuevo valor de las varables ndependentes (T y θ), y retornar al paso Calcular, a partr de T y θ, el valor de las composcones x e y, utlzando las Ecs. (8) y (9). 8. Comparar los valores obtendos para x e y con los utlzados (supuestos) en la teracón anteror. S concden contnuar con el paso 9. De lo contraro, volver a. Usar los valores recentemente calculados de x e y para la nueva teracón (Susttucón Drecta) o ben utlzar métodos acelerados (Wegsten). 9. Según el valor de θ ndcar que fase se halla presente (θ 0 fase líquda, θ fase vapor, 0 < θ < fase líquda-vapor). 0. Con el valor de θ, x e y, obtener los caudales de vapor (V) y líqudo (). Esta estratega de resolucón puede ser modfcada. En lugar de utlzarse un solo nvel de teracón para resolver las Ecs. (0) y (), pueden emplearse dos nveles andados de teracón: uno para la temperatura y otro para la fraccón vaporzada. Tambén se pueden agregar condcones de detencón por s el método supera un determnado número de teracones, mostrando un cartel que aconseje tomar mejores valores de ncalzacón. 5

6 Problema 5: Cómo plantearía un módulo de evaporacón flash adabátco en el cual exste la posbldad de reaccones químcas en la fase líquda? Qué datos adconales necesta? Cómo se modfca el balance de matera y energía? Puede utlzarse la msma estratega ndcada para el caso en que no exste reaccones químcas? Hpótess: a almentacón está compuesta por 4 componentes: A, B, C, D. En la fase líquda se presenta la sguente reaccón químca no reversble: A + B C + D; cuya velocdad de reaccón queda expresada por: r k x A x B ρ. Reaccón exotérmca. Reactor sotérmco. Volumen líqudo en el flash: conocdo y constante. V y HV z H Vapor íqudo sendo A, B, C, D x H Balance de matera: Balance por componentes: Balance de energía: V + z V y + x + (ξ) r Vol H V HV + H r Vol Hr + Q Sendo: -, y V las correntes de almentacón, de salda líquda y de salda vapor, respectvamente. - z, x e y la composcón de las correntes, y V, respectvamente. - H, H y HV la entalpía de las correntes, y V, respectvamente. - r k x A x B ρ, donde k es la contante cnétca y ρ la densdad de la mezcla líquda en el nteror del equpo. - ξ para los componentes A, B y ξ - para C, D. - Vol: es el volumen líqudo retendo en el evaporador flash. - Hr: es el calor de reaccón. - Q: es el calor lberado por las paredes del evaporador flash. Trabajando el balance por componentes y con ayuda de las relacones: - y K x (K (T, P, x, y ): constante de equlbro líqudo-vapor), - θ /V (fraccón vaporzada), - τ Vol/ (tempo de resdenca), se pueden obtener las expresones de x e y : z x V y + ( ξ ) r Vol + z ( θ ) x + θk x + ( ξ ) rτ 6

7 x { θ K ) + + ( ξ ) rτ } z x ( z zk e y θ ( K ) + + ( ξ ) rτ θ ( K ) + + ( ξ ) rτ () { } { } Recordando que y - x 0: z ( K ) { θ ( K ) + + ( ξ ) rτ } 0 (2) Estratega para resolver el algortmo:. Ingresar los valores de T, P, k, ρ y τ. 2. Proponer un valor de ncalzacón para θ, x e y. 3. Calcular K y r. 4. Evaluar la Ec. (2). S el valor de la funcón de dscrepanca no satsface el error permtdo contnuar con el paso 5. De lo contraro, r al paso Por medo de algún método teratvo (Newton-Raphson, Susttucón Drecta), proponer un nuevo valor para θ y volver al paso Calcular a partr de θ y K el valor de las composcones x e y utlzando las Ecs. (). 7. Comparar los valores de x e y con los utlzados en la teracón anteror. S concden, dentro de un determnado error, segur con el paso 8. Caso contraro, proponer los nuevos valores para x e y para la nueva teracón (Susttucón Drecta, Wegsten) y retornar al paso Con los valores de θ, x e y calcular los valores de los caudales, V y el calor Q. 9. Parar. Notar que el algortmo se puede generalzar proponendo una reaccón genérca como la que se muestra en el Capítulo XV del lbro Modelado, Smulacón y Optmzacón de Procesos Químcos. Problema 6: Obtener una ecuacón smlar a la utlzada para resolver el flash en funcón θ, pero utlzando la defncón ψ /, en lugar de θ. a- Puede obtenerse a partr de esta ecuacón las expresones para el cálculo de la temperatura de burbuja y de rocío? Qué debe cambarse sobre el razonamento basado en θ? b- Puede obtenerse a partr de la expresón hallada f(ψ) la ya obtenda f(θ)? Cómo debe procederse? c- Resuelva algunos de los problemas anterores utlzando f(ψ) en lugar de f(θ). Respuesta: Balance de matera por componentes: z V y + x Además: ψ / ψ V ψ V V ( - ψ) y K x Reemplazando en el balance por componente se obtene: z ( - ψ)k x + ψ x z x [ψ( K ) + K ]; 7

8 despejando x : y por medo de y K x x y /K : x y z ψ ( K ) + K z K ψ ( K ) + K uego, utlzando la sguente ecuacón, que debe cumplrse necesaramente por defncón, ya que ambos térmnos deben sumar la undad, y x 0. Reemplazando en esta últma ecuacón las dos anterores se obtene: z ( K ψ ( K ) ) + K 0 A partr de esta ecuacón tambén se pueden hallar las expresones para el cálculo de la temperatura de burbuja y rocío, nvrtendo el valor al que tende el límte entre ambas. as msmas son las sguente: Temperatura de Burbuja z ( K ) lm 0 ( ) ψ ψ K + K Temperatura de Rocío z ( K ) lm 0 0 ( ) ψ ψ K + K debe cumplrse que z ( K ) 0 z ( K ) debe cumplrse que 0 K A partr de la expresón f(ψ) se puede regresar a la ecuacón f(θ) de la sguente manera: z ( K ) ψ ( K ) + K z ( K ) ( θ )( K ) + K z ( K ) 0 θ ( K ) + Cualquera de los problemas anterores en donde se utlza la expresón f(θ) se puede resolver de gual forma reemplazando dcha expresón por la de f(ψ). Problema 7: Suponer que el equpo funcona a temperatura muy alta y pese a la aslacón, las pérddas de calor por conveccón, radacón y conduccón son muy mportantes. Suponer además que puede aproxmarse la cantdad de energía dspada según la sguente expresón: Q p U(T T a ), donde Q p es el calor dspado, T la temperatura del flash y T a la del ambente. U es el coefcente global de transferenca de calor, que se supone constante y dato. Implementar el algortmo para el flash sotérmco y adabátco, tenendo en cuenta este nuevo factor. A- lash sotérmco: Balance de matera global: V + 8

9 Balance de matera por componentes: z V y + x Balance de energía: H V HV + H + Q p + Q Sendo: -, y V las correntes de almentacón, de salda líquda y de salda vapor, correspondentemente. - z, x e y las composcones de las correntes, y V, respectvamente. - H, H y HV las entalpías de las correntes, y V, respectvamente. -, 2,..., componentes. - Q p el calor dspado por pérddas. - Q el calor necesaro entregar o qutar. Hpótess: Se supone que la temperatura (T) y la presón (P) del equpo, el coefcente global de transferenca de calor (U) y la temperatura ambente (T a ) son datos y constantes; y que K K (T, P, x, y ). Algortmo de resolucón propuesto:. Ingresar los valores de T, P, U y T a. 2. Adoptar valores ncales para θ, x e y. 3. Calcular K K (T, P, x, y ). 4. Resolver z ( K ) 0 θ ( K ) + por algún procedmento teratvo (por ejemplo: Newton- Raphson). 5. z Con el valor de θ, recalcular los valores de x e y por medo de las ecuacones: x θ ( K ) + z K e y. S estos valores concden con los utlzados en la teracón anteror (dentro θ ( K ) + de un error preestablecdo) para calcular K, contnuar con el paso 6. De lo contraro, proponer un nuevo vector de valores x e y (por ejemplo: Susttucón Drecta, Wegsten) y retornar al paso Calcular a través del balance de energía (Q H - V HV - H - Q p ), el valor de Q. 7. Calcular los caudales y V ( θ y V). 8. Parar. Nota: las ecuacones utlzadas en los pasos 4, 5 y 7, ya fueron deducdas en problemas anterores. B- lash adabátco: Para mplementar el algortmo de un flash adabátco, prmero se debe modfcar el balance de energía y luego trabajarlo algebracamente para explctarlo en funcón de las varables. Balance de energía: H V HV + H + Q p Dvdendo ambos membros por H: V HV H + H H Q p + H HV θ H + ( θ ) H H + Q p H HV H Q p θ ( θ ) 0 H H H Recordar que θ V/. El hecho de dvdr todos los térmnos por H es para trabajar con las dos ecuacones, f(θ), dentro de un orden relatvo de magntudes smlares, lo cual elmna problemas numércos y errores de redondeo durante el proceso de teracón. 9

10 Hpótess: Se adoptan las msmas hpótess que para el caso sotérmco, a dferenca de que ahora la temperatura (T) del flash no se conoce y se debe calcular. Algortmo propuesto:. Ingresar los valores de P, U y T a. 2. Adoptar valores ncales para θ, T, x e y. 3. Calcular K K (T, P, x, y ). z ( K ) HV H Q p 4. Resolver las ecuacones 0 y θ ( θ ) 0. S θ ( K ) + H H H satsfacen la condcón de error contnuar con el paso 6. Caso contraro, segur con el Medante algún método teratvo smultáneo (por ejemplo: Newton Raphson) obtener los nuevos valores de θ y T para la próxma teracón y retornar al paso 3. z z K 6. Evaluar ecuacones: x e y. Comparar los valores obtendos θ ( K ) + θ ( K ) + con los de la teracón anteror. S los msmos concden dentro del error especfcado pasar al punto 7. De otra manera, calcular los nuevos valores de x e y (por ejemplo: Susttucón Drecta, Wegsten) y volver al paso Calcular los caudales y V por medo de las ecuacones θ y V. 8. Parar. Problema 8: Suponer que la mezcla de la mezcla de almentacón al flash tene componentes con una gran dferenca de volatldad relatva. Cómo puede aprovechar este dato para la ncalzacón en el caso de un flash sotérmco? Puede ser útl tambén en el caso del flash adabátco? Respuesta: Suponer una mezcla de almentacón a un equpo flash conformada por cnco componentes (A, B, C, D y E), donde las volatldades relatvas de A y B son consderablemente mayores que la de los componntes restantes. Por lo tanto se puede suponer como prmera aproxmacón un punto de corte, donde la totaldad de los componentes A y B salen por la corrente vapor, mentras que C, D y E, por la corrente líquda. Como además se conoce la corrente de almentacón () y su correspondente composcón (z, con A, B, C, D y E), un buen valor ncal para la fraccón vaporzada (θ) podría ser: θ V z A + zb ( z A + z B ) z A + z B a suposcón anteror tambén se puede utlzar para estmar un valor ncal para el vector de composcones x (de la corrente líquda) e y ( de la corrente vapor), en el caso de que la mezcla no se trate como deal. Esta ncalzacón es útl tanto para un flash sotérmco como para un flash adabátco, ya que en ambos casos se tera en la varable θ. Problema 9: Qué sucede cuando se plantea el cálculo de la temperatura de rocío y de burbuja en una mezcla líquda de tres componentes A, B y C, de composcones x A, x B y x C, respectvamente y a la presón P? Tambén 0

11 se conoce que en la fase líquda se desarrolla, a esas condcones, la sguente reaccón químca: A + B C; con constante de equlbro Ke, funcón de la temperatura y presón del sstema, cuya expresón es un dato. Son váldas las ecuacones desarrolladas en clase? De no ser váldas, cómo debe precederse para el cálculo? Hpótess: lash sotérmco. Mezcla de tres componentes: A, B y C, de composcones x A, x B y x C. Constante de equlbro líqudo-vapor: K K (T, P, x, y ); con A, B y C. Presón (P): conocda y constante. Reaccón químca en la fase líquda: A + B C. Constante de equlbro: Ke Ke(T, P), cuya expresón es un dato. Densdad del líqudo constante. V y z Vapor íqudo con A, B, C x Balance global de matera: V + () Balance por componentes: z V y + x (2) Constante de equlbro: [ C] [ A][ B] Ke x C ξ (3) x AxB Donde [ ] smbolzan concentracones molares y ξ el factor de conversón de undades correspondente. Trabajando algebracamente las Ecs. () y (2), y empleando las expresones: θ V/ (fraccón vaporzada) e y K x, se pueden obtener las expresones para la temperatura de burbuja (cuando θ tende a cero) y de rocío (cuando θ tende a uno). - Temperatura de burbuja: (z K ) (4) - Temperatura de rocío: (z /K ) (5) as Ecs. (3), (4) y (5) se pueden re-escrbr o expresar de la forma: Kex A x B - x C ξ 0 (6) (x K ) (en el punto de burbuja z x ) (7) (y /K ) (en el punto de rocío z y ) (8)

12 Procedmento de cálculo para determnar la temperatura de burbuja:. Ingresar los valores de, P y x ( con A, B, C). 2. Estmar e ngresar un valor para T y el vector y. 3. Calcular K K (T, P, x, y ). 4. Calcular Ke Ke(T, P). 5. Evaluar las Ecs. (6) y (7). S los cálculos satsfacen el crtero de error especfcado, contnuar con el paso 6. De lo contraro, proponer por medo de métodos numércos teratvos (Wegsten, por ejemplo) un nuevo valor para T y el vector de composcones y, retornando al paso Mostrar los valores obtendos de T e y. 7. Parar. Para calcular la temperatura de rocío se puede utlzar el msmo procedmento de cálculo que para la temperatura de burbuja salvo que, en el paso 5 se debe evaluar la Ec. (8) en lugar de la Ec. (7). 2