ANEXO C: Estimación del Orden de Error de Colocación TH en una Dimensión

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1 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón ANEXO C: Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón Sean û ŵ as aproxmacones de u w, respectvamente. Además, defnmos ex ( ) ux ( ) ux ˆ( ) v( x) w( x) wˆ ( x) (C.) observe que e soporte de v (x), está contendo en (x -, x + ). Además, esta funcón se anua en x -, x, x +. Teorema C.: Sea v defndo por a Ec.(C.). Entonces, exste una funcón x H,, ta que ε ( ) ( ) ε ( ξ) w ( ξ) dξ < K* uˆ, v >+< f g, v > (C.) una constante genérca M>, ndependente de h e, con a propedad que da s b+ o N Aquí, λ en e resto de os casos ε < N Mh λ + (C.3) Demostracón.- Este Teorema será demostrado a partr de una secuenca de emas que serán enuncados a contnuacón. Para formuar e prmero, es necesaro consderar a ecuacón eíptca adunta en una dmensón escrta de a sguente manera: dw ˆ ˆ dw L* w a b cw ˆ + + (C.4) donde ˆ ; ˆ da a a b ( b+ ); cˆ c (C.5) Sea w D, una funcón que satsface a Ec.(C.4) en un subntervao ( fuera de msmo, sueta a as condcones de frontera:, x ), anuándose x wx ( ) ; wx ( ) ; (C.6) 68

2 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón Por otro ado, sea wˆ ( x) a aproxmacón ponoma de w, de grado, que satsface - condcones ortogonaes de coocacón en os puntos aussanos. Y defnamos a funcón resduo r(x) como Entonces, Lema :- Exste una cota para a funcón hr (x) rx ( ) L* wx ( ) L* wx ˆ( ) L* wx ˆ( ) (C.7), ndependente de h e,,e. Además, da o msmo se cumpe para r (x) cuando b + ó. Prueba:- Sea ξ dado por x x ξ x x (C.8) Observe que ξ satsface as condcones de frontera Ec.(C.6). La expresón ponoma de wˆ ( x) es: wx ˆ ( ) Aξ (C.9) Los coefcentes A (,,) deben satsfacer as sguentes condcones: ξ bˆ a ˆ ( ) + ξ + cˆξ A (C.) h h en - puntos de coocacón, además A (C.) debdo a a segunda condcón de frontera. De manera más expícta, a Ec.(C.) se expresa: ξ bˆ a ˆ ( ) + ξ + cˆξ A ( ) + + cξ A h h h Usando a Ec.(C.), resuta que por o tanto bˆ ˆ (C.) A A (C.3) 69

3 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón Observe que os coefcentes ξ bˆ ˆ b a ˆ ( ) + ( ξ ) + cˆ( ξ ξ) A + + cˆξ (C.4) h h h A (,,) pueden ser determnados por a condcón de que a Ec. (C.4) sea satsfecha en - puntos de coocacón. Además, uego de mutpcar por h, se puede ver que { } ˆ ˆ h r( x) a ˆ ( ) ξ + bh( ξ ) + ch ˆ ( ξ ξ) A + bh + ch ˆ ξ por o tanto en os puntos de coocacón se debe cumpr que { } ˆ ˆ a ˆ ( ) ξ + bh( ξ ) + ch ˆ ( ξ ξ) A ˆ bh ch ξ (C.6) (C.5) La únca soucón de este sstema de ecuacones cuando h, es A A, en ese caso A. Entonces, usando este hecho, se puede mostrar que exste una constante genérca M>, ndependente de h, ta que A < Mh, para,,. Por o tanto, a funcón { } ˆ ˆ ˆ ξ ξ ξ ξ A hr( x) a( ) bh( ) ch ( ) bˆ ch ˆ ξ (C.7) h esta acotada, a que A h o está,. Cuando, { ˆ ˆ ξ ˆ ξ ξ } ˆ + ˆξ (C.8) hrx ( ) a hb( ) hc ( ) A bh hc evauando en e únco punto de coocacón (ξ C /), esto es: { ˆ ˆ ξ ˆ C ξc ξc } ( ) * + *( ) + *( ) + ˆ* + ˆ* ξ hrx a hb hc A b h hc C (C.9) donde â *, bˆ * and c*, ˆ son os vaores de a ˆ, bˆ and ĉ, en e punto de coocacón respectvamente. Substraendo esta útma ecuacón de a Ec. (C.8), se puede mostrar que r(x) está acotada cuando a(x) es Lpschtz contnua. Fnamente, cuando b ˆ, se tene: { } ˆ hrx ( ) a ˆ ( ) ξ + ch ˆ ( ξ ξ) A+ chξ (C.) 7

4 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón se puede ver que A h está acotada para,,. Entonces, resuta tambén acotada. A rx ( ) a( ) + ch( ) + c { ˆ ξ ˆ ξ ξ } ˆξ (C.) h Recordando a defncón de λ dada en e Teorema C., este Lema puede ser resumdo medante a ecuacón: r O( h λ ) (C.) Lema :- Sea v w Prueba:- Sea ( x, ) wˆ, entonces < K uˆ v >+< f g v > O h λ+ + N *,, ( ) ξ a funcón de reen para cada ntervao ( x x ) satsface a ecuacón homogénea (C.4) as condcones de frontera ξ x ξ, (C.3),,..,E, que ( x, ) (, ) (C.4) Se puede mostrar que exste una constante genérca M, ta que x Mh x Mh + (, ξ) ; (, ξ) + d d ( x, ξ) M ( x, ξ) M (C.5) Se defne a r L* v observe que e soporte de v w wˆ, así como de r subntervao (x -, x + ). Además v se anua en os nodos v ( x ) v ( x ) v ( x ) (C.6) + Usando as Ecs.(C.5) e Lema, se puede mostrar que (ver [86], p.37) es e x λ+ + ξ ξ ξ ( ) N v ( x) ( x, ) r ( ) d O( h ); para x x, x x (C.7) mentras que dv x d λ + N+ ( x) ( x, ξ) r ( ξ) dξ O( h ); para x ( x, x) (C.8) x se cumpen reacones smares para (, ) x x x +. Por o tanto: x+ + N+ x < f, v > v f O( h λ ) (C.9) 7

5 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón dv dv λ + N+ < gv, > u( a ) u( a ) Oh ( ) (C.3) dv λ <, v > ( a + bv ) k O( h + N+ ) (C.3) k+ k k Entonces, k+ k k k v v O h λ + N+ < > ( ) dv < > + k+ λ + N+ Kv, uˆ uˆk[ a bv] k Oh ( ) k duˆ <, > ( ) [ ] k+ Kv uˆ a k v k k < K uˆ v >+< f g v > O h λ+ + N *,, ( ) (C.3) (C.33) (C.34) (C.35) Lema 3:- Las funcones especazadas de peso w, se pueden escrbr en a sguente forma: w ( x) ( x) + s ( x); x < x< x (C.36), w ( x) ( x) + s ( x); x < x< x (C.37), + + x x x x Aquí, ( x),, + ( x) s ( x), ( x), + ( x) P ( x), donde P ( x) - es x x x x un ponomo de grado - defndo en e ntervao. Entonces, exste un número M>, ta que Prueba:- En e ntervao (x -, x ), a funcón s M h (C.38) s, satsface: ds ˆ ˆ ˆ ds b a + b + cs ˆ cˆ, (C.39) h s ( x ) s ( x ) (C.4) 7

6 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón Por o que { ˆ ˆ } ξ ξ ( hs ( x) b + hc ( x, ) d ; para x x, x, ) (C.4) entonces hs x M bˆ h + M cˆ h x x x) (C.4) 3 ( ) ; para, donde M M, son constantes genércas adecuadas. De manera anáoga, reacones smares se cumpen para e ntervao (, ) cumpa e Lema 3. x x + (, por o tanto, de ahí mpca que se Lema 4:- Exste un número M>, ndependente de h, ta que para cuaquer sstema dado de números q (,,E-), exste una funcón ε (x) H (,) ta que para cada,,e-, se tene que: ε ( x) w ( x) q (C.43) h ε M max q (C.44) Prueba:- Efectvamente, se puede ver que cuando exste una constante M>, entonces exsten muchas funcones que pertenecen a H (,) as cuaes satsfacen a Ec. (C.43) a restrccón (C.44). Entonces resuta sufcente para probar e Lema que se muestre una de taes funcones. La notacón sguente será usada: Dado cuaquer par de funcones p,s H (,): ( p, s) p( ξ ) s( ξ) dξ ( p, s) p( ξ ) s( ξ) dξ (C.45) (C.46) Entonces, para cada,,e, se ntroducen as sguentes funcones auxares w ~ ( x ) H (,), as cuaes están defndas en e ntervao ( x x ), por: 73

7 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón ( ) ( ); ( ) ; (C.47) w x w x w E x cuando,,e- por: donde w x w x w x ( ) ( ) + ρ ( ) (C.48) ( w, w ) w w ρ (, ) (C.49) En adcón, para cada,,e, w ~ ( x ) Entonces, observe que e soporte de Tambén, observe que ( ~ w, w ). S se defne ε se anua déntcamente fuera de ntervao ( x x ) w ~ es ( x, x),., mentras que de w es ( x, x ) +. ( x) Aw ( x); x < x< x (C.5) donde A µ q µ. ( w, w ) No es dfíc verfcar que esta defncón de ε (x) satsface a Eq.(C.). En efecto, para cada,,e-: E + ε ( xw ) ( x ) ( ε, w) ( ε, w) ( ε, w) A w w A w w A w w q En vsta de a Ec.(C.5), está caro que + + (, ) + (, ) + (, ) + (C.5) Usando e Lema 3 se puede ver que ε (max µ )(max w )(max q ) (C.5) max w + O( h ) (C.53) hµ 4 + O( h) (C.54) Por o tanto Quedando e ema demostrado. h ε +O h (C.55) max q { 4 ( )} 74

8 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón De manera drecta e Teorema C. queda demostrado s apcamos en forma conunta os Lemas 4. Sean û ŵ as aproxmacones de u w, respectvamente. Además, defnmos ex ( ) ux ( ) ux ˆ( ) v( x) w( x) wˆ ( x) (C.56) observe que e soporte de v (x), está contendo en (x -, x + ). Además, esta funcón se anua en x -, x, x +. Se cumpe según Ec.( ) que < K* u, w >< f g, w > ;,..., E (C.57) Por otra parte, una soucón aproxmada en as fronteras nterores, de acuerdo con a Ec.( ), satsface < K* uˆ, wˆ >< f g, wˆ > ;,..., E (C.58) que se puede rescrbr como < K* uˆ, w >+< K* uˆ, v >< f g, wˆ > ;,..., E (C.59) Restando a Ec.(C.59) de a Ec.(C.57), se obtene: < K* e, w >< K* uˆ, v > + < f g, v > ;,..., E (C.6) Por e Teorema C., exste una funcón ε (x) H (,) una constante genérca M, ta que ε N Mh λ + < con a propedad que, para todo,,e-, se tene: ε ( ξ) w ( ξ) dξ < K* uˆ, v >+< f g, v > (C.6) da Aquí, λ s b +, o s (es decr, N), λ- en caso contraro. Usando esta funcón, se defne a funcón eˆ ( x) por: eˆ ( x) ( x, ξ ) ε ( ξ) dξ (C.6) donde (x,ξ) es a funcón de reen para e probema de contorno Secton 3, cuando os vaores en a frontera as condcones de sato se anuan. Con esta defncón, e ˆ( x) satsface a ecuacón dferenca 75

9 Estmacón de Orden de Error de Coocacón TH en una Dmensón unto con as condcones de frontera as condcones de contnudad L ex ˆ( ) ε ( x); (C.63) ( ) ˆ( ) eˆ e ; (C.64) deˆ ˆ a ; [ e] Por o tanto, a Ec.(3.7) puede ser apcada a e, con g, D*, gua a cero ˆ (C.65) < f, w> ε ( ξ) w( ξ) dξ (C.66) Lo cua mpca que < K* eˆ, w > ε ( ξ) w ( ξ) dξ;,..., E (C.67) Usando éste resutado unto con as Ecs. (C.6) (C.6), se puede ver que < K* eˆ, w > < K* e, w > ;,..., E (C.68) Esto mpca que K* eˆ K* e; (C.69) Ya que e sstema de funcones de peso {w,,w E- }, es TH-competo. Y por o tanto, Fnamente resuta que (, ) ( ) e( x ) eˆ x ; (C.7) ( ) ( ) ex ( ) ex ˆ( ) x, ξε ξ dξ ε x ξ dξ M ε < MMh λ + N (C.7) En concusón, se ha mostrado que e error de coocacón TH, cuando as funcones de peso son construdas apcando coocacón ortogona en ponomos, es O(h N da ) s + b o N, este es O(h N- ) en caso contraro. Donde, N es e número de puntos de coocacón en cada subntervao de a partcón. Recuerde que e grado de ponomo aproxmante está dado por N+. 76