Sistemas Lineales de Masas-Resortes 2D

Transcripción

1 Sstemas neales de Masas-Resortes D José Cortés Pareo. Novembre 7 Un Sstema neal de Masas-Resortes está consttudo por una sucesón de puntos (de ahí lo de lneal undos cada uno con el sguente por un resorte (muelle y donde se supone que cada punto posee una certa masa. S a cada punto se le asgna una poscón y velocdad ncales (lo que mplca que cada resorte estará estrado o contrado, el problema consste en determnar la poscón de cada punto/ masa a lo largo del tempo tenendo en cuenta la accón de las fuerzas debdas a los resortes.. Dnámca de un resorte En un resorte smple unendo a masas, la fuerza que actúa sobre cada una de ellas es proporconal a la elongacón del resorte respecto a su estado P sn tensón y drgda haca la otra masa s el resorte está estrado y en sentdo opuesto s está contraído: P - P = (. (ey de Hooke F k( - P - P P P donde F representa a la fuerza sobre la masa debda a la masa (a causa del resorte que une a ambas. a constante de rgdez (stffness k es propa de cada resorte. P Dado que = P P, esta ecuacón puede escrbrse: P - P F = k ( P - P - = k - ( P - P P - P P (. Se tene, por la ª ey de Newton: F = m a, sendo m la masa de la partícula y a su aceleracón. Dado que, por otra parte, la aceleracón de una partícula es la dervada segunda de su poscón en el tempo, la ecuacón (. queda: m P k P P P = - ( - (.3 que es una ecuacón dferencal de º orden en la que P y P son funcones del tempo. Nótese que para la partícula, la ecuacón de su movmento tambén depende, obvamente, de la poscón de la partícula y recíprocamente; por lo que el análss del sstema requere en realdad la resolucón smultánea de un sstema de ecuacones dferencales de º orden.

2 . Resolucón exacta del Sstema Para este caso tan smple, en el que sólo se consdera un resorte, podemos suponer sn perder generaldad que ambas partículas se encuentran sobre el ee X. m x k x x x - x = - ( - P P S además hacemos m = m = m para smplfcar: k x = - ( x - x m x - x k x = - ( x - x m x - x (.4 lamando P a la partícula con menor abscsa y P a la de mayor abscsa (esta poscón relatva es nvarable en el tempo, se tene x x > por lo que(.4 se reduce a: k x = ( x - x - m k x = ( x - x + m (.5 de donde nmedatamente sgue x + x = y de aquí, ntegrando veces: x( t + x( t = at + b as constantes a y b se determnan a partr de la poscón y velocdad ncal de cada partícula (lo cual son datos del problema: x( + x( = b x ( + x ( = a Por lo que: x( t + x( t = [ x ( + x (] t + [ x( + x(] Para smplcar el problema y comprender meor el movmento, es útl consderar que las partículas están ncalmente stuadas smétrcamente respecto al orgen: x( = x( y que sus velocdades ncales son nulas, esto es x ( = x ( =, con lo que tenemos: x( t + x( t = y de aquí: x( t = x( t t (.6 Y podemos susttur en la prmera de las ecuacones en (.5 : k x ( t = x( t - m o ben: m x ( t + k x( t = k (.7 con lo que hemos reducdo el Sstema a una únca ecuacón dferencal en la funcón x ( t. Una vez resuelta para x ( t obtenemos nmedatamente el movmento para x( t = x( t

3 Esta ecuacón dferencal lneal de º orden tene nfntas solucones dependentes de parámetros y es nmedato comprobar que estas solucones son de la forma: x ( t = Asen( ω t + Bcos( ω t donde ω = k m y los parámetros A y B se determnan a partr de las condcones ncales x ( y x ( = : quedando fnalmente: x ( ω A = = B = x( + ω x ( t = [ x ( + ]cos( t Con lo que las ecuacones del movmento para este sstema elemental son: x( t = [ x( + ]cos( ω t k ω = x( t = x( t m (.8. Restrccón en un extremo Es nteresante consderar el caso en el que una de las partículas permanece fa debdo a que está físcamente atada a una poscón y es la otra partícula la que se mueve por accón del resorte. a ley de Hooke (. sólo es aplcable evdentemente a esta segunda partícula: P - P F = k( - P - P Ponendo P ( t = (, t y P ( t = ( x( t, : x ( t F - x( t = k (.9 ( - x ( t Podemos suponer x ( > con lo que sempre será x( t > y (.9 queda: F = k( - = k[ x( t ] Sguendo el msmo razonamento que en el apartado anteror: m x ( t = k[ x( t ] m x ( t + k x( t = k (. x ( Ecuacón dferencal cuya solucón es: x( t = sen( ω t + [ x( ]cos( ω t + ω Como antes, s suponemos x ( = : x( t = [ x( ]cos( ω t + (.

4 . Sstema neal de masas-resortes El caso de un resorte conectando masas es el únco que puede resolverse analítcamente, por lo pasaremos al estudo del caso general de n resortes conectando lnealmente n + masas que, para smplfcar, supondremos son guales. Asímsmo, supondremos que todos los resortes son déntcos, por lo que sus constantes k y son guales. Sean P, P,... P n puntos del plano representando las poscones (en el tempo de las masas. a fuerza que actúa sobre la masa en P es, para n debda a la accón de los resortes que la conectan respectvamente con P y P +. Cada una de ellas puede expresarse como: P + F, = k - ( P - P P F, + = k - ( P + - P P + (. P P Por tanto, la fuerza total actuando sobre la partícula es: F = F, + F, + = k - ( P - P k - ( P + - P n P + P + Con lo que, por la ª ey de Newton F = m a = m P : k P = - ( P - P - ( P - P n m + P + P + (. que representan las ecuacones del movmento para las partículas nterores. as partículas en los extremos sólo están suetas a la fuerza de un resorte. Entonces, por (. : k F = k - ( P - P P - ( P - P P = m P k Fn, n = k - ( Pn - Pn P n - ( Pn - Pn Pn = n m Pn n (.3 a (.3 b as expresones (., (.3 a y (.3 b consttuyen un Sstema de n + ecuacones dferencales en las n + funcones ncógntas P ( t, P ( t,... Pn ( t que, para quedar totalmente determnado necesta las poscones y velocdades ncales P (, P (,... Pn ( y P (, P (,... P n (.

5 . Resolucón del Sstema por el Método de Euler Dado que el Sstema de Ecuacones Dferencales que descrbe la evolucón de la cadena de partículas a lo largo del tempo es mposble de resolver exactamente, usaremos un método terado para calcular la poscón de cada partícula en nstantes t, t, t... con t = y + = t constante. El más sencllo de los métodos es el de Euler, que esencalmente se basa en aproxmar la dervada de una funcón f ( t en un punto medante un cocente ncremental: f f ( t f ( t k + k ( + la cual puede ser una buena aproxmacón s t + t es sufcentemente pequeño dado que, por la defncón de dervada: f ( + f ( f ( = lm + t t Para cada partícula ( k + P t podemos escrbr: P ( t ( x ( t, y ( t k = con lo cual: x ( t x ( t x ( t k + k k t P ( P ( + P ( y ( + y ( t y ( t Análogamente, dado que P ( t es la dervada de P ( t : P ( P ( + P ( t Estas aproxmacones podemos escrbrlas como: P ( t P ( t + t P ( t (.4 k + k k P ( t P ( t + t P ( t (.5 k + k k a prmera expresón permte obtener recurrentemente las poscones P ( +, P ( +,... Pn ( + de cada partícula en el nstante t k + en funcón de las poscones en el nstante anteror t k supuesto se conocen las velocdades P (, P (,... P n(. Esto es certo para el nstante t dado que tanto las poscones ncales P ( t, P ( t,... Pn ( t como las velocdades ncales P ( t, P ( t,... P n( t son datos del problema. En cambo, para k =,... no son conocdas P (, P (,... P n(, por lo que hay que actualzarlas medante (.5 escrta en la forma P ( P ( + t P ( ( k, donde las dervadas segundas P ( se calculan exactamente a través de las ecuacones del movmento del Sstema (., (.3 a y (.3 b. El esquema anteror permte dseñar un algortmo recurrente para la resolucón de las ecuacones que esbozamos en el sguente apartado.

6 . Implementacón del Método de Euler S consderamos una sucesón de nstantes de tempo t, t, t... t p con t =, t = t + t y los datos del problema son las poscones y velocdades ncales de cada partícula: P ( t, P ( t,... Pn ( t P ( t, P ( t,... P n( t Proceder según el esquema:. Calcular P ( t, P ( t... Pn ( t con la expresón P ( t P ( t + t P ( t. Para k =,... p [Actualzacón de las dervadas medante P ( P ( + t P ( ] Calcular P (, P (... P n( por las ecuacones (., (.3 a y (.3 b Calcular P (, P (,... P n( por P ( P ( + t P ( [En este momento se conocen P (, P (... Pn ( t k y P (, P (,... P n( ] Calcular P ( +, P ( +,... Pn ( + medante P ( P ( + t P ( Fn del bucle +