Ecuación de Lagrange

Transcripción

1 Capítulo 6 Ecuacón de Lagrange 6. Introduccón a las ecuacones de Lagrange La mecánca que nos presenta Lagrange en su Mécanque Analytque sgnfca un salto conceptual muy grande respecto de la formulacón Newtonana. El concepto de fuerza, central en el tratamento dado por Newton, práctcamente desaparece de la escena. En las próxmas clases nos remos despdendo de él, y sólo aparecerá esporádcamente. Poco a poco será reemplazado por la dea de funcón potencal en el marco de un tratamento que podríamos llamar energétco. Lo que quero ahora es dar algunos pasos que nos acerquen a la dfícl formulacón de Lagrange de la Mecánca. Consderemos el movmento de una partícula en un plano bao la accón de una fuerza F. Escrbmos la ecuacón de Newton en coordenadas polares: m r mr θ 2 F.ˆr mr θ + 2mṙ θ F.ˆθ Queremos construr una formulacón energétca, en el sentdo de que podamos partr de la energía cnétca T 2 m ṙ 2 + r 2 θ2 y llegar a las ecuacones de Newton, por medo de algún operador D tal que, por eemplo, DT m r mr θ 2. Notablemente, esta no es una tarea muy complcada. Trabaando un poco dcho térmno, m r mr θ 2 d mṙ d θ2 dr 2 mr2 d mṙ2 d θ2 dṙ 2 r 2 mr2 podemos escrbr la componente radal de la ecuacón de Newton en térmnos de la energía cnétca como ṙ r F. r r

2 2 Capítulo 6. Ecuacón de Lagrange Un cálculo smlar permte demostrar que la componente angular de la ecuacón de Newton es equvalente a θ θ F. r θ Bueno, parece que hemos encontrado algo nteresante. Podemos escrbr ambas como una sola, en térmnos de la coordenada q r ó θ, q q F. r q Esta es la em ecuacón de Lagrange, con la cual trabaaremos de aquí en adelante ad nauseam. La demostracón que hemos hecho es completamente correcta, pero dea en el tntero un aspecto muy mportante. Aquí, hemos trabaado con una únca partícula, donde la fuerza F ncluye todas las nteraccones que actúan sobre ella, ncludas las fuerzas de vínculo. Pero d Alembert ya hzo el gasto de elmnar las fuerzas de lgadura de la mecánca, y no sería muy astuto de nuestra parte gnorar este resultado. Ahora vamos a deducr las ecuacones de Lagrange a partr del Prncpo de d Alembert, demostrando que aquellas valen para todo el sstema no sólo una partícula y para cualquer coordenada generalzada q compatble con los grados de lbertad del sstema, sn tener en cuenta explíctamente las fuerzas de vínculo. 6.2 Ecuacones de Lagrange Trabaaremos sobre la ecuacón de d Alembert para un sstema arbtraro de N partículas F dp.δr 0 Recordemos que con esta ecuacón hemos logrado desembarazarnos de las fuerzas de lgadura, pero pagando el preco de que los sumandos de dcha ecuacón ya no son ndependentes, puesto que -habendo un certo número k de lgaduras holónomas- ahora no son ndependentes las varacones r. Ahora vamos a salvar esta dfcultad, escrbendo la ecuacón de d Alembert en térmnos de las 3N k coordenadas generalzadas q del sstema, en funcón de las cuales las antguas coordenadas r están dadas por r r q,..., q 3N k, t La eleccón de las 3N k coordenadas generalzadas de un sstema no es únca, por lo cual tampoco son úncas las ecuacones de Lagrange.

3 6.3. Demostracón de las ecuacones de Lagrange 3 Nuestro obetvo es demostrar que, en térmnos de estas coordenadas generalzadas, que el prncpo de d Alembert se puede escrbr como [ F. r ].δq 0 q Supongamos, por ahora, que ya logramos demostrar esta ecuacón lo haremos en la próxma seccón. S las lgaduras son holónomas y tal condcón se utlza recén ahora, no sendo mprescndble para la demostracón anteror, las coordenadas generalzadas q son ndependentes y, por lo tanto, la únca manera de que se cumpla la ecuacón de d Alembert es que se anule cada coefcente por separado. d T q donde hemos defndo la fuerza generalzada Q Q 0 F. r Supongamos ahora que algunas de las fuerzas aplcadas sobre el sstema dervan de una funcón potencal V que es la energía potencal del sstema, F F V. En dcho caso podemos escrbr Q F. r V. r Q V Reemplazando en las ecuacones anterores, podemos ncorporar el potencal en el prmer térmno, V q q Q Como el potencal V solo depende de la poscón, debe ser ndependente de las velocdades generalzadas q. Por ello podemos nclur el potencal V en la dervada parcal respecto de q, obtenendo la ecuacón de Lagrange d L L q q Q donde hemos defndo el Lagrangano L T V. 6.3 Demostracón de las ecuacones de Lagrange Nos falta demostrar la ecuacón [ q ] Q.δq 0

4 4 Capítulo 6. Ecuacón de Lagrange A partr del prncpo de d Alembert. F dp.δr Manos a la obra!... En funcón de las coordenadas generalzadas, el trabao vrtual de las fuerzas aplcadas es F.δr r F. δq Q.δq Ya tenemos un buen trozo de la demostracón lsta. Lo que falta no va a ser tan fácl, dp.δr m r.δr [ N m d Ahora ben, por un lado tenemos que ṙ q q y por otro d m r. ṙ. r r δq ṙ. d r dr r dq k q k q k + r t r k 2 r q k dq k + 2 r t Reemplazando en la ecuacón anteror, tenemos dp.δr [ d q N ] k δq N m r. r r q k δ k + 0 r dr ṙ d m ṙ. ṙ m ṙ. ṙ.δq q [ d 2 m ṙ 2 q T [ d q Con esto completamos la demostracón. 2 m ṙ 2 ].δq 2 m ṙ 2 ].δq N ] 2 m ṙ 2.δq δq

5 6.4. No uncdad del Lagrangano No uncdad del Lagrangano Es mportante destacar que el Lagrangano de un sstema no es únco. En prmer lugar, es fácl verfcar que s se camba L por L + }/, con g cualquer funcón de las coordenadas generalzadas q y del tempo t, la solucón de la ecuacón de Lagrange permanece nalterada. Esta propedad puede resultar muy útl para smplfcar el aspecto funconal de un Lagrangano. Por otra parte, puede verfcarse fáclmente que el Lagrangano L 2m 2 q 4 + m q 2 V q + V 2 q conduce a la msma solucón m q dv/dq del problema undmensonal general que el Lagrangano usual L 2 m q2 V q