CAPITULO 5 TRAYECTORIAS EN R 3. Platón.

Transcripción

1 CAPITULO 5 La geometría es una cenca del conocmento del ser pero no de lo que esta sueto a la generacón o a la muerte. La geometría es una cenca de lo que sempre es Platón. TRAYECTORIAS EN R 5. Interpretacón de una curva como una uncón vectoral de varable escalar. 5. Dencones de velocdad rapde aceleracón longtud de curva. 5. Vectores untaros elementales curvatura componentes de la aceleracón para una curva en R. 5.4 órmulas práctcas para calcular las componentes tangencal normal de la aceleracón curvatura. 5.5 uncones vectorales de varable vectoral. 5.6 Rotaconal dvergenca de un campo vectoral. 5.7 Campos vectorales gradentes.

2 5. INTERPRETACION DE UNA CURVA COMO UNA UNCION VECTORIAL DE VARIABLE ESCALAR. Cuando estudamos las ecuacones paramétrcas de una curva plana en el curso de cálculo elemental para uncones de varable real vmos que una orma de parametrar una uncón de varable real ( es de la orma: g( ( g( varable dependente en uncón de un tercer parámetro t. ; esto es epresar tanto la varable ndependente como la De gual orma en el capítulo estudamos la orma paramétrca de epresar una recta en R. Sn temor a equvocarnos podemos epresar una curva cualquera en R en orma paramétrca de la orma: ( ( ( ( ( este raonamento lo podemos generalar a la representacón paramétrca de una curva en R n de la orma: ( ( estas parametracones son uncones n n ( ( ( (... n ( R R para una curva plana de R R para una curva en el n R R para una curva en el espaco n dmensonal; vectorales; de espaco trdmensonal de estas parametracones de traectoras son uncones vectorales de la orma: σ ( ( ( (... n ( Esta uncón lo que hacen es transormar un número real del domno en un vector del espaco n dmensonal en el rango o magen de la uncón; así: t n ( a b R ( ( (... n ( t U R a estas se las n R son uncones vectorales conoce como traectoras en n σ ( : ( a b R R.

3 Entonces gura 5-. σ ( : ( a b R R es una traectora en R como lo ndca la σ ( Z σ (b ( a b σ (a Y gura 5- X Dencón: Una traectora en R n es una uncón vectoral de la orma: σ : t ( a b R ( ( (... ( R ( Donde (... n ( son sus componentes. Esta traectora es de ( t tpo C (derencable hasta sus dervadas contínuas en su domno (a b s cada una de sus componentes son tambén de tpo C en (a b; σ ( a σ ( b son los etremos de la traectora su magen es una curva en R n n n Entonces para una traectora en R : σ ( t ( ( ( ( ; ( ( ( son las componentes de la traectora esta es derencable en (a b s sólo s cada una de sus componentes son derencables en (a b. Eemplo 5- Analar el gráco de la uncón: σ ( ( t sent cos que es una curva plana conocda como la cclode ormada por la traectora que descrbe un punto de un círculo rodante de rado.

4 Solucón: El círculo esta en el plano XY rueda sobre el ee X de tal orma que su centro se mueve haca la derecha sobre la recta con rapde constante de radán por undad de tempo. El punto del círculo rodante tene un movmento más complcado es la magen de σ ( la curva que va descrbendo se conoce como la cclode la msma que se representa en la gura 5- gura 5- Eemplo 5- Solucón: Representar una crcunerenca de rado r como una traectora en R dscutr su gráco. El círculo de rado r es una traectora en R esta dada por la uncón vectoral: σ ( t ( r cost rsen que es la parametracón de la crcunerenca de rado r usando coordenadas polares su gráco se apreca en la gura 5-. r σ ( gura 5-

5 Eemplo 5- Analar el gráco de la uncón: σ ( t ( a cost asent b que es una curva en R conocda con el nombre de hélce crcular recta. Solucón: Esta curva representa una espral crcular donde a es el rado de la espra b es el espacamento entre espras su gráco se lo puede aprecar en la gura 5-4. σ ( b a gura 5-4 (a 5. DEINICIONES DE VELOCIDAD RAPIDEZ ACELERACION Y LONGITUD DE CURVA. S consderamos una partícula de masa desplaándose por una traectora σ ( la orma vectoral de la traectora representa el desplaamento de la partícula en uncón del tempo t s la traectora es derencable su derencal como lo vmos en el capítulo seccón -5 tene una sngular mportanca en el estudo del desplaamento de dcha partícula. Sea de tpo D Dencón: σ : t ( a b R ( ( (... ( R [ σ ( ] ( n C en (a b el derencal de ( '( '( '( n n una traectora σ es la matr columna que epresada como vector representa la velocdad de una partícula que se desplaa por la traectora en el tempo t es tangente a la msma en cualquer punto.

6 S la traectora esta en R es de la orma σ ( t ( ( ( ( su σ '( t '( '( ' ( velocdad es el vector que epresado como matr columna es el derencal de la uncón vectoral es tangente a la traectora en cualquer punto. Sea de tpo Dencón: σ : t ( a b R ( ( (... ( R ( n n una traectora C en (a b la norma del vector velocdad es la rapde; representada por: S( σ '( Para una traectora en R la rapde será: S ( ( ' ( ( ' ( ( '( t Sea Dencón: σ ( : t ( a b R ( ( ( ( R C en R la recta tangente a la curva en σ ( t uncón del parámetro λ esta dada por: l( λ σ ( t λσ '( t una traectora de tpo en orma vectoral en La recta tangente a la curva σ ( en R en orma paramétrca en cualquer punto será: ( λ ( t ( λ ( t ( λ ( t λ'( t λ'( t λ' ( t

7 Eemplo 5-4 Solucón: Calcular el vector velocdad la rapde de la hélce σ en R ( t (cost sent sent v σ '( cost ; v ' ( sen (cos S ( v ( sen (cos Eemplo 5-5 Consdere una partícula que se mueve sobre la hélce σ ( t (cost sent en R ; nca su movmento en el punto σ (. En el tempo t π la partícula dea la traectora vuela haca uera por la tangente encontrar la poscón de la partícula en el tempo t π suponendo que nnguna uera eterna actúa sobre ella después de abandonar la traectora. l (π σ '( π Solucón: σ ( t (cost sent σ '( ( sentcost σ ( ( σ ( π ( π σ '( ( σ ( ( σ (π l (λ gura 5-5 Como se apreca en la gura 5-5 el recorrdo total lo reala la partícula por dos traectoras; la prmera es sobre la hélce σ ( durante un tempo t π la segunda sobre la recta tangente a la hélce en el punto σ (π durante un tempo t π tambén por cuanto el tempo total del recorrdo es π ; por lo tanto al cabo del tempo t π la partícula estará sobre la recta tangente para esto es necesaro encontrar la ecuacón de la recta tangente a la hélce en el punto σ (π :

8 l ( λ ( π λ( Luego la poscón nal de la partícula será en el punto l (π l ( π ( π π ; por lo tanto en el tempo t π la partícula se encuentra en el punto ( π π Como la rapde representa el tamaño del vector velocdad en un punto dado es raonable pensar que la longtud del recorrdo de una partícula desde t a hasta t b sea el lmte de la longtud total de la polgonal que se ormaría por los vectores entre cada dos puntos hasta cubrr el total del recorrdo cuando se toman nntos vectores desde t a hasta t b. Esta observacón se la resume en la sguente dencón. Dencón: Sea σ ( : t ( a b R ( ( ( ( R una traectora de tpo C en R la longtud de curva desde b a t a hasta t b esta dada por: l ( σ σ '( Sea Otra orma de epresar la longtud de curva será: l(σ ( '( ( '( ( '( b a S la curva esta en R la longtud de curva será: l(σ ( '( ( '( b a Dencón: σ : t ( a b R ( ( (... ( R ( n n una traectora de tpo C en (a b la aceleracón de una partícula de masa que se desplaa por la traectora esta dada por: a σ ''( ( ' '( ' '( ' '(

9 Entonces resumendo las dencones que hemos estudado hasta este punto para una curva en R son: Dencones: ( t ( ( ( ( σ Vector poscón del punto v σ '( ( ' ( ' ( '( Vector velocdad del punto a σ ''( ( ' '( ' '( ' '( Vector aceleracón del punto ( [ ' ( ] [ ' ( ] [ ' ( ] S ( σ ' t Rapde (escalar b a [ '( ] [ '( ] [ '( ] l(σ Longtud de arco Eemplo 5-6 Encontrar la longtud de una crcunerenca de rado r: σ ( θ ( r cosθ rsenθ Solucón: L L L π π π ( r Senθ r r Sen θ r r π ( r Cosθ Cos π r θ d θ Eemplo 5-7 Encontrar la longtud de curva de la hpocclode: ( t (cos t sen t a t π σ de Solucón: Como podemos ver en la gura 5-6 la hpocclode no es una curva derencable en [ π ]; por lo tanto para encontrar su longtud total lo podemos hacer calculando la longtud de una de sus ramas; del punto ( al punto ( por ser smétrca esta longtud la multplcamos por 4 así:

10 Imagen de σ ( t (cos t sen σ '( σ ( gura 5-6 L 4 ( cos t sen (sen π t cos 4 L cos t sen t sen π 4 t cos t L π sent cost sen t π L 6 σ de Eemplo 5-8 Encontrar la longtud de traectora ( ( t t [ ]. Solucón: Este recorrdo se lo puede aprecar en la gura 5-7 por tratarse de una curva con la presenca de valor absoluto tampoco es derencable de [ ] la podemos tomar por ragmentos de la sguente manera: σ ( ( t t σ ( ( t t σ ( ( t t de de de [ ] [ ] [ ]

11 Y σ ( σ ( ( σ ( σ gura 5-7 X L L L L L L σ en [ 4π ] Eemplo 5-9 Dada la hélce ( ( cos t sent 5t calcular: a.- La velocdad en t π. b.- La aceleracón en t π. c.- La rapde en t π. d.- la longtud de curva desde t a t 4π. σ Solucón: a.- '( ( sentcos t 5 v ( π σ '(π ( σ 5 b.- ''( ( 4cos t 4sent a ( π σ ''(π ( 4 c.- S ( 4sen t 4cos t 5 S ( ; constante ndependente de t. π 4 d.- L π π

12 5. VECTORES UNITARIOS ELEMENTALES CURVATURA Y COMPONENTES DE LA ACELARACION PARA UNA CURVA EN R. Ahora aplcaremos los conceptos báscos estudados en la seccón anteror al movmento de una partícula sobre la traectora a la nterpretacón geométrca de la msma. Cuando una partícula se desplaa sobre una traectora C su velocdad puede cambar lenta o rápdamente dependendo de s la curva se dobla en orma gradual o brusca respectvamente. Para medr la rapde con que se encorva o camba de orma una curva se usa el concepto de curvatura que en otras palabras sera la medad de la rapde con que la curva se tuerce o se dobla en un punto dado. Comencemos con los conceptos báscos que son; los de Vector Tangente Untaro Vector Normal Untaro. Sea de tpo Dencón: σ : t ( a b R ( ( (... ( R T ( a: n ( n una traectora C en (a b se conoce como vector tangente untaro denotado por T ( σ '( σ '( denotado por N ( a: ; de gual orma se conoce como vector normal untaro T '( N (. T '( Como se puede aprecar en la gura 5-8 T ( N ( son vectores ortogonales el prmero es tangente a la curva el segundo normal a la msma; además es ácl demostrar que T ( N ( son ortogonales. Z C N ( σ ( P T ( Eemplo 5- Demostrar que los vectores tangente normal untaros son perpendculares en cualquer punto de la curva. X gura 5-8 Y

13 Solucón: T ( ; por ser un vector untaro T ( T ( ; propedad del producto nterno seccón -5 D [ T ( T ( ] D[ ] ; aplcando la regla de la cadena T '( T ( T ( T '( T ( T '( lo que demuestra que T ( T '( son ortogonales. σ para t Eemplo 5- Dada la hélce ( t (4cost4sentt los vectores T ( N ( en cualquer punto. σ ( 4sent4cost 4 T ( 4 5 sent 5 cost 5 Solucón: '( ( 4sent4cost ( 5 4 T ( ( 4 cost sent ' ( 5 cost 5 sent N( ( cost sent 4 5 encontrar A contnuacón; prmero denamos curvatura para una curva plana para luego hacerlo para una curva en R. Como lo dmos anterormente una curva plana puede parametrarce de muchas maneras; supongamos que la paramatramos en uncón de la longtud de arco s como lo vemos en la gura 5-9 cualquer punto de la curva plana C estará dado por: r ( s ( ( s ( s donde s en este caso es la longtud de curva de los puntos A a P dervando con respecto a s se obtene el vector tangente C Y A s r (s P r '( s X d r '( s d gura 5-9 su norma es:

14 r '( s d d ; por cuanto como se vo en el curso de cálculo elemental para uncones de varable real el derencal de longtud de arco es: d d ( d ( d. En base a lo anteror r '( s es un vector untaro tangente a la curva C en el punto P como se apreca en la gura 5-9 a este vector lo R denotamos por T (s. En la gura 5- observamos que Y θ es el ángulo que orma V T (s con el vector untaro Q la rapde de varacón de θ con respecto a s esta medda por en el msmo gráco podemos aprecar que esta rapde de varacón es pequeña en los puntos Q V donde la curva se dobla levemente; mentras que en los puntos R W esta rapde de varacón es grande aquí la curva se dobla en orma abrupta. Estas observacones se concretan en la sguente dencón. Dencón: Sea C una curva plana regular dada por: ( s ( ( s ( s r donde el parámetro s es la longtud de curva sea θ el ángulo que orma el vector tangente untaro T (s con el vector untaro la curvatura de la curva C en el punto P( esta dada por: C P θ T (s X gura 5- W

15 Eemplo 5- Demostrar que la curvatura de una recta es cero en todos sus puntos. Y Solucón: Como se apreca en la gura 5- en todos los puntos de la recta l el ángulo θ es constante; por lo tanto en por lo tanto todos sus puntos. P T (s θ cte gura 5- l X Eemplo 5- Demostrar que la curvatura en todos los puntos de una crcunerenca de rado R es R. Solucón: En la gura 5- hemos gracado una crcunerenca de rado R con centro en el orgen; P es un punto de la crcunerenca en el prmer cuadrante α es el ángulo AOP meddo en radanes s es la longtud de arco AP por lo tanto: s Rα ; s R α ; Y T (s α P θ A ( gura 5- X en la gura 5- podemos ver: π s π θ α R ; dervando con respecto a s:

16 R d θ R Como mensae del eemplo 5- podemos denr rado de curvatura denotado por ρ como el rado de una crcunerenca magnara a la que pertenecería el arco de curva C; con esto es ácl nterpretar que el rado de curvatura de un recta es nnto el de cualquer otra curva regular que no sea recta es un valor nto dendo por: ρ ; el nverso de la curvatura. 5- S la curva plana esta como ( : tanθ ' de donde tan ' θ 5- Dervando θ con respecto a aplcando la regla de la cadena se tene: d d d 5- d Como la curvatura es el valor absoluto de la varacón de θ con respecto a s de la ecuacón 5-: d d d ( ' ; De la ecuacón 5-; '' por otro lado ( ' ; entonces: '' 5-4 [ ( ' ] La ecuacón 5-4 servría para calcular la curvatura de una curva plana cuando se tene a la curva de la orma normal de epresar una uncón de varable real (.

17 ( t t t S la curva esta dada en orma paramétrca σ ( ( ( tenemos: ' ( '( tanθ ; θ tan ' ( ' ( '( ''( ''( '( ( '( '( ( '( ( '( ( ' ( entonces: dervando esta últma: además: '( ''( ''( '( [( '( ( '( ] 5-5 La ecuacón 5-5 srve para calcular la curvatura de una curva plana cuando esta está dada en orma paramétrca. Sea C una curva regular en el espaco trdmensonal el análss de la curvatura no puede hacerse en orma análoga al que acabamos de hacer para una curva plana por cuanto el ángulo θ no es únco; por lo tanto el análss lo vamos hacer desde otro enoque que es smlar al usado para curvas en dos dmensones. En dos dmensones el vector tangente untaro T (s se lo puede tambén escrbr: T ( s cosθ senθ donde θ es el msmo ángulo del que hablamos anterormente dervando esta últma con respecto a s tenemos: T '( s senθ cosθ ( senθ cosθ su norma será: T ( s senθ cosθ '. Este es el enoque que usaremos para analar la curvatura en tres dmensones escrbremos el vector tangente untaro T (s sn hacer reerenca al ángulo θ luego denremos como: T '( s 5-6

18 r ( s s s s como lo vmos Dada la curva en R de la orma ( ( ( ( anterormente: r '( s d d d T ( s r s. Lo que quere decr que '( S la curva esta dada en uncón del parámetro t de la orma: σ ( t ( ( ( ( el vector tangente untaro tambén lo podemos escrbr de la orma: σ '( T ( s por tanto: σ '( T ( s σ '( 5-7 σ '( En la 5-7 como ( σ ' t es la velocdad v ( '( σ es la rapde conocda como la raón de cambo de la longtud de curva con respecto al tempo tenemos: v ( T ( s dervando esta epresón con respecto al tempo tenemos: d s d T s d s a ( ( ( v' ( T ( s T ( s T `( s a( d s v' ( T ( s T`( s 5-8 Como se demostró en el eemplo 5- las vectores T (s T '( s son perpendculares; entonces el normal untaro en uncón del parámetro s esta dado por: T'( s N ( s remplaando 5-6 en esta últma tenemos: T`( s T '( s N( s o lo que es lo msmo: T '( s N( s 5-9

19 Remplaando 5-9 en 5-8 tenemos: a( d s v' ( T ( s N( s 5- Como la aceleracón se puede escrbr de la orma: X a N Z gura 5- d s a T T (s N (s a (t K Y donde a( a T ( s a N( s T T a es la componente tangencal de la aceleracón N a N la componente normal de la aceleracón; podemos deducr de la ecuacón 5- que: dv d s a T 5- a N v 5- La gura 5- permte aprecar cada una de estas componentes de la aceleracón. 5.4 ÓRMULAS PRÁCTICAS PARA CALCULAR LAS COMPONENTES TANGENCIAL NORMAL DE LA ACELERACIÓN Y CURVATURA. Dada una curva en R como una uncón vectoral de la orma σ ( t ( ( ( ( la componente tangencal de la aceleracón es la proeccón escalar de la aceleracón en la dreccón del vector tangente untaro; por lo tanto: a T a( T( σ ''( σ '( σ '( de aquí: a T σ '( σ ''( σ '( 5-

20 De gual orma que calculamos la ( ecuacón 5- tambén podemos epresar ( orma: a en uncón de T (s (s v en uncón de (s N en la T de la sguente v ( vt( s T ( s ahora hagamos el producto vectoral v ( a( : d s v ( a( T ( s T ( s N( s o lo que es lo msmo: d s v ( a( ( T ( s T ( s ( T ( s N( s como: T ( s T ( s v ( a( ( T ( s N( s T ( s N( s sacando la norma en esta últma gualdad vectoral sabendo que: tenemos: ( a( v 5-4 Vendo la ecuacón 5- podemos decr que la componente normal de la aceleracón deducda de la ecuacón 5-4 sabendo que es la rapdees: a N σ '( σ ''( σ '( 5-5 De la 5-4 tambén podemos deducr una epresón práctca para la curvatura: σ '( σ ''( 5-6 σ '(

21 Eemplo 5-4 Dada la traectora: σ ( t ( cost sent sent cos encontrar: a.- La velocdad la rapde. b.- La aceleracón tangencal la aceleracón normal la curvatura el rado de curvatura σ Solucón: a.- ( t ( Cost Sen ( Sent Cos [ σ ( ] '( ( Sent Cos ( Cost Sent v D σ rapde v ( Cost Sen ( Cost Sent v cos t costsent sen t cos t costsent sen t v b.- a T a T a σ ''( ( cost sen ( sent cos ( sent cos( cost sen (cost sen( sent cos σ '( σ ''( sent cost cost sent σ '( σ ''( cost sent sent cost a N a a a T an sen t cos tsent cos t sen t sent cos t cos t

22 a ( ρ Eemplo 5-5 Dada la traectora: σ ( t ( t t t encontrar: a.- La velocdad la rapde para t. b.- La aceleracón tangencal la aceleracón normal la curvatura el rado de curvatura para t. Solucón: a.- ( t t t σ [ σ ( ] '( t t v D σ v t rapde v 4 ( ( (t 4t 9t v t b.- a σ ''( 6t 4t 8t a T 4t 9t 4 a T t 4 4 7

23 σ '( σ ''( t t 6t σ '( σ ''( 6t 6t 6t 6t 4 a N 4t 9t 4 4 a N t 8 7 Para t : a a a T an t 4 8 ( ρ t UNCIONES VECTORIALES DE VARIABLE VECTORIAL. En el captulo seccón -6 cuando hablamos de las uncones de varas varables menconamos a las uncones vectorales de varable vectoral como aquellas que transorma un vector del domno R n en otro vector del rango R m ; esto es: Podemos ctar algunos eemplos práctcos de este tpo de uncones como:

24 Imagnémonos un gas comprmdo en una cámara; en el una uncón vectoral que relacona un punto cualquera del nteror de la cámara con la velocdad del gas de una partícula del msmo stuada en dcho punto del nteror de la cámara; esta uncón vectoral relacona: Como se puede ver es una uncón vectoral de R a R 5.6 ROTACIONAL Y DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL. Dencón: Dado un campo vectoral : U R dendo en el conunto aberto U en producto vectoral ( rot. rot ( R ( derencable R el operador ; al se lo llama rotaconal del campo se lo smbola rot Observacones El rotor del campo es un vector Es aplcable para vercar s un campo vectoral es gradente o no. Es aplcable para vercar s un campo vectoral es de ueras rotaconales o no. Eemplo 5-6 Encontrar el rotaconal del campo ( ( (

25 Solucón: ( ( ( ( ( ( ( ( ( rot ( rot Teorema 5- Demostracón: ( rot rot Dencón: Sea R R U : ; una uncón de clase C denda el conunto aberto U de R. Su gradente : R R U (. Entonces el rotaconal del gradente es cero.

26 Dado un campo vectoral : U R dendo en el conunto aberto U en producto vectoral ( dv. dv R ( derencable R el operador ; al se lo llama dvergenca del campo se lo smbola ( ( Observacones La dvergenca del campo es un escalar La dvergenca sólo se aplca para uncones vectorales Eemplo 5-7 Encontrar la dvergenca del campo ( ( e Solucón: dv e ( e ( e ( ( dv e Teorema 5- Sea : U R R ; un campo de clase C denda el conunto aberto U de R. Entonces la dvergenca del rotaconal del campo es cero. Demostracón:

27 rot ( rot dv ( rot dv 5.7 CAMPOS VECTORIALES GRADIENTES. Una uncón vectoral en R ( ( ( ( ( puede ser una uncón gradente; lo que quere decr que puede tratarse del gradente de una certa uncón escalar ( en cuo caso la uncón se la llama uncón potencal del campo. Las uncones gradentes consttuen campos conservatvos (en los cuales el trabao es ndependente de la traectora las uncones que no son gradentes consttuen campos dspatvos o no conservatvos (en los cuales el trabao no es ndependente de la traectora. Averguamos s un campo vectoral es o no gradente con su rotor s es gual a cero es un campo gradente s dstnto a cero no es gradente. Cuando un campo es gradente podemos encontrar su uncón potencal. Eemplo 5-8 Investgar s el campo vectoral ( es o no un campo gradente rot rot Campo Vectoral Gradente Campo Vectoral No gradente Campo Vectoral uncón Potencal No tene uncón Potencal

28 Solucón: ( rot ( rot rot no es un campo gradente Eemplo 5-9 Averguar s el campo vectoral ( ( e e es o no conservatvo en caso de serlo determnar su uncón potencal. Solucón: ( ( ( rot e e e e e e es un campo gradente ( ( ( ( ( ( ( e e e e e e ( e