EJERCICIOS RESUELTOS DE TRABAJO Y ENERGÍA

Transcripción

1 JRCICIOS RSULTOS D TRABAJO Y NRGÍA. Un bloque de 40 kg que se encuentra ncalmente en reposo, se empuja con una uerza de 30 N, desplazándolo en línea recta una dstanca de 5m a lo largo de una superce horzontal de coecente de rccón 0.3 (ver gura). Calcular: a) el trabajo de la uerza aplcada, b) el trabajo de la uerza de rccón, c) la varacón de energía cnétca, d) la rapdez nal del mueble, e) la potenca nal de la uerza aplcada. Solucón l dagrama de uerzas para el mueble de masa m de la gura se muestra a contnuacón. a) W F = FΔXcosθ = FΔX cos 0º = FΔX= (30N)(5m) = 650J b) r =µ N = µ mg, entonces: W r = r x ΔXcos80º=- µ mgδx= WR = -0.3 (40Kg)(9.8m/s )(5m) = -588 J

2 c) W Total = c W F +W N + W r +W mg = c, pero W N = W mg = 0, ya que las uerzas normal y peso son perpendculares al desplazamento, entonces: c = WF +WR = 650J 588J= 6J d) Para calcular la rapdez nal, usamos el resultado anteror. Luego: v c (6 J).76 m / s m 40Kg e) Usando la dencón de potenca: P F. v Fv cos0º Fv (30 N)(.76 m/ s) 8.8Watt. Un trapeco de crco está ormado por una barra suspendda por dos cuerdas paralelas, cada una de longtud l. l trapeco permte al actor balancearse en un arco crcular vertcal (ver gura). Suponga que una trapecsta con masa m sostenda de la barra, baja de una plataorma elevada, partendo del reposo con un ángulo ncal con respecto a la vertcal (ver gura). Suponga que; la talla de la trapecsta es pequeña comparada con la longtud l del trapeco, que ella no empuja el trapeco para balancearse más alto, y que la resstenca del are es desprecable. a. Muestre que cuando las cuerdas orman un ángulo con respecto a la vertcal, la trapecsta debe ejercer una uerza para mantenerse rme: F mg(3cos cos ) b. Determne el ángulo ncal s en la parte más baja la uerza es mg.

3 Solucón. a) A contnuacón se lustra un dagrama general de la stuacón. De la gura a) se tene que con respecto al nvel de reerenca (NR), la energía mecánca asocada al trapecsta en los puntos P y Q son: y P mgh P () Pero en este caso mv mgh Q Q Q () y h l( cos ) (3) P h l( cos ) (4) Q Luego al susttur las ecuacones (3) en () y (4) en () se tene que: mgl( cos ) (5) P Q mvq mgl( cos ) (6) Como la energía se conserva, entones la energía del sstema en P debe ser gual a la energía en el punto Q; esto es: De donde se tene que: mvq mgl( cos ) mgl( cos )

4 v gl(cos cos ) (7) Q De la gura b) y el dagrama de uerza en el punto Q se tene que: vq F F gmcos m (8) NQ l Luego al susttur la ecuacón (7) en (8) y resolver para F se obtene el sguente resultado. F gmcos mg(cos cos ) Donde nalmente se tene que: F mg(3cos cos ) (9) b) Cuando el trapecsta está en la parte más baja se tene que =0 y F=mg, por lo que al susttur en la ecuacón (9) se tene lo sguente: 0 (3cos 0 cos ) mg mg ó cos Una varlla rígda lgera mde 77cm de largo. Su extremo superor hace pvote en un eje horzontal de baja rccón. La varlla cuelga en línea vertcal en reposo con una pequeña bola unda a su extremo neror. Una persona golpea la bola, dándole de pronto una velocdad horzontal de modo que oscla alrededor en un círculo completo. Qué rapdez mínma se requere para hacerla llegar a la parte superor?

5 Solucón. Un dagrama general de la stuacón se lustra a contnuacón. Con respecto al nvel de reerenca (NR) mostrado en la gura se tene que la energía ncal del sstema es: mv o () Mentras que cuando la bola alcanza la parte más alta de la curva la velocdad se hace cero y por tanto la energía mecánca asocada al sstema es netamente potencal; esto es: mgl () Como la energía mecánca se conserva, entonces: sto es: mv o mgl De donde se tene que: vo 4gL Como L=77cm=0.77m y g=9.8m/s, entonces la rapdez mínma que se requere es: vo m/ s (0.77 m) m/ s

6 4. l coecente de rccón entre el bloque de 3kg y la superce de la gura es de 0.4. l sstema nca desde el reposo. Cuál es la velocdad de la bola de 5 kg cuando ha caído.5m? Solucón. Una lustracón general del problema se muestra a contnuacón. De la gura mostrada podemos nerr la ecuacón de lgadura asocada al sstema de masas undas por una cuerda. S suponemos que la cuerda es nextensble y de longtud L, entonces se tene que: ( d x) y R L Donde d es la dstanca ja desde el extremo de la superce horzontal al centro de la polea y R es el rado de la polea. Al dervar esta expresón con respecto al tempo se tene la relacón entre las velocdades de cada masa; esto es: ó dx dy 0 dt dt v v Con respecto al nvel de reerenca (NR) mostrado en la gura y debdo a que el sstema parte del reposo, la energía ncal del sstema se debe úncamente a la masa m ; esto es: m gy () Fnalmente cuando la masa m ha descenddo una dstanca h, la masa m tambén ha recorrdo sobre la superce horzontal una dstanca h y ambas masas en ese momento tene una velocdad v, por lo que la energía nal del sstema con respecto al nvel de reerenca escogdo y que se muestra en la gura es:

7 mv mv mg y h () Debdo a la presenca de la uerza de rccón, la cual es una uerza no conservatva, la energía mecánca del sstema no se conserva y por tanto el cambo en la energía mecánca es gual al trabajo hecho por la uerza externa. n este caso la uerza externa que hace trabajo sobre el sstema es la uerza de rccón. W r (3) Como la uerza de rccón se opone al movmento de m sobre la superce horzontal, entones el trabajo realzado por esta uerza al desplazarse la masa m una dstanca h es smplemente gual a: W r h r (4) Al susttur (4) en (3) se tene: rh (5) Pero por dencón de la uerza de rccón cnétca se tene en este caso que: r N (6) Donde es el coecente de rccón cnétco entre la superce horzontal y m y N es la normal realzada por dcha superce a la msma masa. Pero la masa m no tene movmento vertcal por lo que la normal esta compensada por el peso de la masa en todo momento, es decr: N m g (7) Luego al susttur la ecuacón (6) en (5) se tene que: r m g (8) Fnal mente al susttur las ecuacones (), () y (8) en (5) se tene lo sguente: mv mv mg y h mgy m gh Resolvendo para v se tene que:

8 v gh( m m) m m Al susttur las condcones ncales del problema, es decr m =3Kg, m =5Kg, =0.4, h=.5m y g=9.8m/s se tene nalmente que: m s m Kg Kg 9.8 / v 3.74 m / s 8Kg 5. Un muchacho en una slla de ruedas (masa total 47Kg) gana una carrera contra un competdor en patín. l muchacho tene una rapdez de.4m/s en la cresta de una pendente de.6m de alto y.4m de largo. n la parte más baja de la pendente, su rapdez es de 6.m/s. S la resstenca del are y la resstenca al rodamento se pueden modelar como una uerza constante de rccón de 4.0N, encuentre el trabajo realzado por el al empujarse haca adelante en sus ruedas al vajar cuesta abajo? Solucón. La stuacón general del problema se lustra en la gura que se observa a contnuacón. n este caso es una uerza nterna del sstema, mentras que la uerza de rccón es una uerza externa que actúa sobre el sstema y realza trabajo, por lo que el cambo en la energía del sstema es gual al trabajo realzado por la uerza nterna y externa r. W W r () Con respecto al nvel de reerenca escogdo y el cual se muestra en la gura se tene que: mv mgh ()

9 Mentras que: mv (3) Por otro lado se tene tambén que el trabajo realzado por la uerza de rccón es: W r x r (4) Al susttur las ecuacones (), (3) y (4) en () y resolver para W se tene que: mv mv mgh W rx ntonces: W mv v mgh rx Al susttur las condcones ncales dadas en el problema, es decr v =.4m/s, v =6.m/s, m=47kg, h=.6m, x=.4m, r = 4N y g=9.8m/s se tene que: W 47 Kg 6. m / s.4 m / s 47 Kg 9.8 m / s.6 m 4 N.4 m ntonces: W 68.J 6. Un bloque de 5 kg se pone en movmento ascendente en un plano nclnado con rapdez ncal de 8 m/s (ver gura). l bloque se detene después de recorrer 3 m a lo largo del plano, el cual está nclnado en un ángulo de 30 con la horzontal. Determne para este movmento: a. l cambo en la energía cnétca del bloque. b. l cambo en su energía potencal. c. La uerza de rccón ejercda sobre él (supuesta constante). d. l coecente de rccón cnétco.

10 Solucón. Ilustracón general del problema. Con respecto al nvel de reerenca (NR) que se muestra en la gura las energías ncales y nales del bloque son: mv () y mgh mgxsen () a) l cambo en la energía cnétca del bloque es: ntonces K K K mv 0. Kg m s 5 8 / K mv 60J b) l cambo en la energía potencal del bloque es en este caso: ntonces: U g Ug Ug Ug 0 Ug Ug mgxsen (5 Kg) (9.8 m/ s ) (3 m) sen J

11 c) Como el cambo en la energía mecánca es gual al trabajo realzado por la uerza de rccón, entonces tenemos: K U x De donde se tene nalmente para la uerza de rccón que: g r r ( K Ug ) 60J 73.5J x 3m 8.8N d) l coecente de rccón cnétco. Del dagrama de uerzas que se muestra en la gura anteror se observa que: N mg cos30 Luego la uerza de rccón es entonces De aquí se tene que: N mg cos30 r r 8.8N mg cos 30 5Kg 9.8 m / s cos Un bloque de kg stuado sobre una pendente rugosa se conecta a un resorte de 00N/m. l bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está deormado, y la polea no presenta rccón. l bloque se mueve 0 cm haca abajo de la pendente antes de detenerse. ncuentre el coecente de rccón cnétco entre el bloque y el plano nclnado. Solucón. Ilustracón general del problema.

12 Con respecto al nvel de reerenca (NR) que se muestra en la gura las energías ncales y nales del bloque son: y mgxsen () Kx () Como la superce del plano presenta rccón, entonces la energía mecánca no se conserva y por tanto se tene que: x r (3) A contnuacón se lustra en el sguente gráco un dagrama de uerzas sobre el bloque Del dagrama de uerza se observa que: N mg cos Por lo que la uerza de rccón en este caso está dada por: N mg cos (4) Luego al susttur (), () y (4) en (3) se tene lo sguente: r

13 Kx mgxsen mgxcos Resolvendo para el coecente de rccón con los valores ncales dados en el problema se tene: mgsen Kx mg cos 9.8 / cos 37 Kg 9.8 m / s sen37 00 N / m0.m Kg m s Una pequeña partícula de masa m se tra de una cuerda a la parte superor de un cuerpo semclíndrco sn rccón, de rado R. La cuerda pasa por la parte superor del clndro, como se lustra. a) S la partícula se mueve a rapdez constante, la componente de su aceleracón tangencal debe ser cero en todo tempo. b) Por ntegracón drecta de. W B A F. drs ncuentre el trabajo realzado al mover la partícula a rapdez constante desde la parte neror a la parte superor del cuerpo semclíndrco. Solucón. La gura que se muestra a contnuacón lustra de orma general el problema planteado. De la gura se observa que: F F mg cos 0 () t Nota: La sumatora anteror de las uerzas en la dreccón tangencal es cero porque la masa se mueve a velocdad constante, por lo que no expermenta aceleracón tangencal.

14 La sumatora de las uerzas normales es: v F mgsen m N R () n este caso, la uerza normal no realza trabajo sobre la masa, ya que en todo momento esta es perpendcular al desplazamento de dcha masa. Luego el trabajo realzado al mover la masa hasta la parte superor del semclndro se debe la componente del peso a lo largo de la dreccón tangencas, es decr, de la ecuacón () se tene que: F mg cos (3) Luego el trabajo realzado lo podemos obtener medante la expresón: W B A F. ds (4) n este caso ds además de ser paralela a F se relacona con el rado del semclndro y el ángulo barrdo medante la expresón: s R De donde al dervar se tene que: ds Rd (5) Al susttur (3) y (5) en (4) se tene lo sguente: W mg cosrd mgr sen sen0 mgr 0 9. Una partícula de 4 kg se desplaza horzontalmente de tal orma que su poscón varía con el tempo según la ecuacón x t t 3, donde x se mde en metros y t en segundos. Determnar en uncón del tempo: a) su energía cnétca, b) su aceleracón y la uerza que actúa sobre, c) la potenca de la uerza. d) Determnar el trabajo realzado sobre la partícula en el ntervalo de tempo de 0 a s. Solucón a) Dervando con respecto al tempo se tene: dx v t t c t mv t dt 6 6 b) Dervando nuevamente con respecto al tempo tenemos:

15 dv at t F t ma 48t dt c) La potenca desarrollada por la uerza será: 48 6 P t F t v t t t d) Para calcular el trabajo podemos ntegrar la potenca ya que en este caso: ntonces se tene que: dx W F tdx F t dt Ptdt dt W P t dt 48t 6t dt 48 J 0 0 Tambén se puede calcular el trabajo realzado sobre la partícula en el ntervalo de 0 a s, calculando la varacón de energía cnétca surda por la partícula en ese ntervalo de tempo; es decr: W 0 50 J J 48 J c c c 0. Un objeto de masa m nca desde el reposo y se deslza una dstanca d por un plano nclnado sn rccón de ángulo. Mentras se deslza, hace contacto con un resorte no estrado de masa desprecable, como se muestra en la gura. l objeto se deslza una dstanca adconal x cuando es llevado momentáneamente al reposo por compresón del resorte de constante de uerza K. ncuentre la separacón ncal d entre objeto y resorte. Solucón. Ilustracón del problema.

16 Con respecto al nvel de reerenca que se muestra en la gura, las energías ncales y nales del bloque son: mgh mg d x sen y () Kx () Como el plano no presenta rccón, entonces la energía se conserva y por lo tanto tenemos lo sguente: (3) Al susttur () y () en (3) se tene que: ntonces: mg d x sen Kx Kx d x mgsen. Un bloque de masa 0.50kg se coloca sobre la parte superor de un resorte vertcal lgero, de constante de uerza 5000 N/m, y empujado haca abajo de modo que el resorte se comprme 0.m. Después de que el bloque se suelta desde el reposo, avanza haca arrba y luego se separa del resorte. A qué altura máxma sube sobre el punto de lberacón? Solucón. La gura que se muestra a contnuacón lustra de orma general el problema planteado.

17 De acuerdo al nvel de reerenca (NR) escogdo las energías ncales y nales del bloque son: Kx () y () mg x h Como la energía se conserva, entonces: sto es: De donde se tene que: mg( x h) Kx 5000 N / m0.m Kx h x 0.m 0.m mg 0.5Kg 9.8 m / s