Cálculo de momentos de inercia

Transcripción

1 Cálculo de momentos de nerca Cuando el cuerpo es homogéneo y unforme el cálculo de momento de nerca es una ntegral - Dvdmos el cuerpo en elementos de masa nfntesmal dm, todos a la msma dstanca r del eje de rotacón: () I = rdm Necestamos determnar r y dm en térmnos de la msma varable de ntegracón Para un objeto en 3D homogéneo es más fácl expresar dm en térmnos de un elemento de volumen dv y de la densdad (constante) ρ () I = ρ rdv El elemento de volumen puede ser exprmdo en térmnos de las varables de ntegracón y los límtes de ntegracón son determnados por la forma y dmensón del cuerpo

2 Ejemplo # Barra delgada unforme Seccón de masa dm de longtud dx a una dstanca x de O Densdad unforme: dm = dx M L M dm = L dx Usando I = rdm : L h 3 L h M M x L I = = M ( L 3Lh+ 3h ) h L 3 3 h I = xdm= xdx Para h = 0 (extremo zquerda) I = ML, la msma respuesta para h= L 3 L S el eje pasa por el centro: h = I = ML, mucho mas bajo (de hecho un mínma) : di L 3L 6h 0 h dh = + = =, y di 6 0 dh =+ >

3 Ejemplo # Clndro hueco o relleno Escogemos como elemento de volumen una capa clíndrca delgada de rado r y espesor dr con longtud L El volumen es smlar a una lámna plana de espesor dr longtud L y anchura π r. dm = ρdv = ρπrldr R I = rdm= r ρπrldr R R πρl πρ L I = πρ L rdr = R R = R R R + R R 4 ( ) ( )( ) Como el volumen esta dado por: V = π L( R R ) La masa es gual a: ( M = ρv = ρπ L R R ) I = M ( R + R ) S el clndro no es hueco: R = 0 y R = R I = MR S la pared es muy delgada: R R = R I = MR Podríamos haber predcho este últmo resultado, porque en un clndro de pared delgada, toda la masa está a la msma dstanca r = R I = rdm= R dm= MR Observe que el momento de nerca depende solamente de la dstrbucón radal de la masa no de su dstrbucón a la largo del eje 3

4 Ejemplo #3 Esfera unforme de rado R Dvdmos la esfera en dscos delgados de espesor dx con rado r = R x El volumen: dv = πrdx= π ( R x ) dx ; La masa: = ρ = ρπ ( ) di rdm R x R x dx Del Ej. 9.: = ( ) = πρ ( ) πρ di = ( R x ) dx dm dv R x dx Integrando de x = 0 a x= R, obtenemos el momento de nerca del hemsfero derecho Por smetría, el momento de nerca total debe ser el doble: R I = πρ R x dx 0 ( ) 8πρ I = R Como 4 M = ρv = ρ πr 3 3 I = MR Observe que el momento de nerca de una esfera sóldo de masa M y rado R es menor que el de un clndro sóldo con msma masa y rado La razón es que una proporcón mayor de la masa de la esfera es cerca del eje dstrbucón smétrca tene menos nerca 4

5 Traslacón y rotacón combnadas: relacón de energía En el espaco-tempo los objetos rígdos tene al msmo tempo movmento de traslacón y rotacón la energía es la suma de de la energía de los dos movmentos (equpartcón de energía) Cada movmento de un cuerpo rígdo puede representarse como una combnacón de un movmento de traslacón del centro de masa y un movmento de rotacón alrededor de un eje que pasa por el centro de masa del cuerpo (referencal relatvo) La energía cnétca de un cuerpo rígdo con movmento de traslacón y rotacón es la suma de una parte Mv asocado al centro de masa y una parte I ω asocada al movmento de las partículas en torno de un eje pasando por el centro de masa (3) K = Mv + I ω Demostracón Consderamos el movmento de una partícula de masa m : v = v + v Donde v es la velocdad de rotacón relatva al centro de masa su energía cnétca K = m( v v) se decompone en K = m v + v v + v ( ) ( ) = + + = v + v v + v [ v v v v v v ]

6 La energía cnemátca total es la suma sobre todas las partículas (4) K = K = mv + v mv' + mv En el segundo térmnos la expresón mv ' = 0porque es la velocdad del centro de masa relatvo al centro de masa En el prmero térmno m = M y como por defncón v = rω v = r ω () K = m v mr ω Mv I + = + ω Un caso partcular mportante = rodar sn deslzar En cualquer nstante podemos pensar que la rueda gra alrededor de un eje de rotacón nstantáneo que pasa por el punto de contacto en el suelo Como el punto que toca el suelo debe ser momentáneamente en reposo: v = 0, v + v = 0 La condcón para rodar sn deslzar (6) v v = v v = Rω o = Rω 6

7 En torno del eje de rotacón en contacto con el suelo K = Iω Pero por el teorema de los ejes paralelos: I = I + MR K = Iω = ( I + MR ) ω = I ω + MR ω = I ω + Mv Ejemplo #4 - Casco clíndrco hueco que rueda El clndro tene una masa M un rado R y rapdez v I = MR y por la condcón v = Rω ω = La energía cnétca: ( ) v R v K = Mv + MR = Mv R La mtad de la energía es traslaconal y la otra es rotaconal S el cuerpo camba de altura, debemos nclur el potencal gravtaconal U = Mgy Demostracón: Para un cuerpo rígdo la energía potencal de un elemento de masa m es mgy La energía potencal gravtaconal total es: U = mgy = g my Por defncón del centro de masa: my m my = M = y my = My Donde y es la coordenada vertcal del centro de masa del sstema De modo que para un cuerpo de masa total M, la energía potencal gravtatora es (7) U = Mgy La nerca es solamente la suma de las masas, no depende de su dstrbucón en el espacó todo se pasa como s la masa total estaba concentrada en un punto = centro de masa del sstema 7

8 Ejemplo # - Cuerpos rodantes Consderamos dversos cuerpos rígdos de msma masa M rolando sobre un plano nclnado. Cual cuerpo llegara a bajo del plano el prmero? Asummos que los cuerpos no resbalan y que no hay frccón Como cada cuerpo parte del reposo a altura h Arrba: K = 0 y U Abajo: U = 0 y Sn resbalar = Mgh K = Mv + I ω v ω = R Los momentos de nerca puede se escrbr como geometría del cuerpo I = cmr donde 0 c < < depende de la Aplcamos el prncpo de la conservacón de la energía: U+ K= U+ K v ( ) Mgh = Mv + cmr = + c Mv R v = gh ( + c) 8

9 La velocdad lneal no depende de la masa o del rado Depende de la dstrbucón de masa en torno de un eje pasando por el centro de masa Un cuerpo con c menos tenes mayores velocdades lneal Por orden de velocdad lneal crecente I = cmr. clndro hueco con pared delgada ( c= v = gh ) 6gh. esfera hueca con pared delgada ( c= v = ) 3 4gh 3. clndro sóldo ( c= v = ) 3 0gh 4. esfera sólda ( c= v = ) 7 9

10 Por un cuerpo rígdo con masa M, la aceleracón lnear a estaba concentrada en un punto (8) Fext = Ma es la msma que s toda la masa Smlarmente, para el movmento de rotacón alrededor del centro de masa τ = I α (9) ext La relacón es valda aunque el eje de rotacón se mueve s:. El eje que pasa por el centro de masa es un eje de smetría. El eje no debe cambar de dreccón Cabe señalar que en general este eje de rotacón móvl no esta en reposo en un marco de referenca nercal S el cuerpo tene movmento de traslacón y rotacón necestamos dos ecuacones ndependentes para resolver los problemas dnámcamente 0

11 Ejemplo #6 - Esfera rodante Una bola de bolos sóldo rueda sn resbalar por la rampa de retorno La rampa hace un ángulo β con el pso - buscamos la aceleracón a La ecuacón del movmento de traslacón: ( ) F = Mgsenβ + f = Ma x El momento de nerca de la bola: I = MR Solo la fuerza de frccón produce un momento de torsón La ecuacón del movmento de rotacón: τ = fr = Iα = MR α Sn resbalar a = Rα deducmos que f = Ma Despejamos f en la ecuacón de traslacón Mgsenβ Ma = Ma a = g sen β 7 Substtumos en la expresón por la frccón: f = M gsenβ = Mgsenβ 7 7 La aceleracón es de su valor s la bola pudera deslzarse sn frccón 7

12 Como f es la fuerza de frccón estátca, podemos deducr cual seré el coefcente de frccón µ s mínmo necesaro para evtar el deslzamento La fuerza normal η = Mg cosβ La fuerza máxma de frccón estátca es µη s f Mg senβ 7 µ s = = = tan β η Mgcosβ 7 Al aumentar el ángulo µ s debe ser mayor Cuando la bola comenza a resbalar v Rω y a Rα Tenemos dos ecuacones por tres ncógntas a, f y α Necestamos consderar la frccón cnemátca S la bola descende una dstanca h al bajar la rampa su desplazamento es sen h β La rapdez de la bola en la basa v 0 = gh esto es el msmo resultado que antes con c = 7

13 Frccón por rodamento S la superfce y el cuerpo son rígdos no hay frccón por rodamento Pero s la superfce es amontona delante de la esfera, por estas deformacones la fuerza de contactos sobre la esfera actúan en un área y la fuerza normal ejerce un momento de torsón que se opone a la rotacón Además hay certo deslzamento debdo a la deformacón causando una perdda de energía Esto es la frccón por rodamento (otro ejemplo es un cuerpo deformable como un neumátco) 3