SÓLIDO RÍGIDO (I) (cinemática)
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- Ernesto Belmonte Ortiz
- hace 7 años
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1 SÓLDO RÍGDO () (cnemátca) ÍNDCE 1. ntroduccón. Momento del sóldo rígdo 3. Rodadura 4. Momento angular 5. Momento de nerca BBLOGRFÍ: Caps. 9 y 10 del Tpler Mosca, ol. 1, 5ª ed. Caps. 10 y 11 del Serway Jewett, ol. 1, 7ª ed. Caps. 1 y 13 del Gettys-Frederck-Keller.
2 1. NTRODUCCÓN Un sóldo rígdo es un sstema de partículas en el que las dstancas relatas entre ellas permanecen constantes. S las dstancas entre partículas arían, dcho sóldo se denomna deformable. El momento de un sóldo rígdo es en general complejo, pero se puede smplfcar hacendo una sere de descomposcones. Traslacón del centro de masas: F Ma ext Momento del sóldo rígdo Rotacón alrededor de un eje M ext que pasa por el centro de masas: Ejemplo Momento de la Terra, que se traslada alrededor del Sol (momento de traslacón) y que a la ez gra alrededor de un eje que pasa por su centro de masas (momento de rotacón).
3 . MOVMENTO DEL SÓLDO RÍGDO Sóldo rígdo con momento de traslacón: Todos los puntos del sóldo rígdo tenen la msma elocdad y aceleracón, luego el momento global se descrbe especfcando el momento de uno de sus puntos t1 t 3 t B B B B B B Los ejes del sstema de coordenadas fjo al sóldo rígdo no camban de dreccón respecto a un obserador en un sstema de referenca nercal.
4 . MOVMENTO DEL SÓLDO RÍGDO Sóldo rígdo con momento de rotacón: Todos los puntos del sóldo rígdo descrben crcunferencas, excepto el centro de rotacón. Los ejes del sstema de coordenadas fjo al sóldo rígdo camban de dreccón respecto a un obserador en un sstema de referenca nercal t 1 t 3 t B B B r r S ω=cte Mo. crcular unforme S α=cte Mo. crcular unformemente acelerado a t =αr a n = /r=ω r
5 . MOVMENTO DEL SÓLDO RÍGDO Sóldo rígdo con momento de traslacón y rotacón: La elocdad y aceleracón de cualquer punto del sóldo rígdo se puede calcular a partr de la elocdad angular y de la elocdad y aceleracón de cualquer otro punto traslacón rotacón r B B a B B a r r B B r B aceleracón tangencal aceleracón normal
6 Supondremos que el sóldo rueda sn deslzar, por ejemplo, el momento de las ruedas de un coche al crcular. En estos casos el eje de rotacón se traslada y el punto de contacto del sóldo con el suelo tene elocdad lneal nula (rozamento estátco). Este momento puede estudarse como la combnacón de una traslacón del centro de masas (ectores azules) más una rotacón alrededor del centro de masas (ectores rojos). R a a R X X r B C D Utlzando : Rj R r Rj R r R r r E E D D C C B B 0 x y Rotacón sn deslzamento E 3. RODDUR
7 3. MOMENTO NGULR Z L r m : momento angular de la partícula respecto a O. L z m r cos( 90 ) m R R r cos(90 ) R L z L z m R z z m R L Lz O R r m En general, el momento angular de un sóldo rígdo respecto a un punto del eje de rotacón no es paralelo al ector elocdad angular. Todo cuerpo posee al menos tres ejes (ejes prncpales de nerca) para los que los ectores momento angular (respecto de cualquer punto del eje) y elocdad angular son paralelos. Es esos casos se cumple la gualdad ectoral: L S la rotacón se produce alrededor de un eje prncpal de nerca Los ejes prncpales concden con los ejes de smetría del sóldo.
8 4. MOMENTO DE NERC El momento de nerca mde la resstenca que opone un cuerpo a arar su estado de momento de rotacón. Su análogo en traslacón es la masa, que mde la resstenca de un cuerpo a arar su estado de momento de traslacón. El momento de nerca respecto de un eje ene dado por: Masa puntual Dstrbucones dscretas de masa m r dm r Dstrbucones contnuas de masa mr Depende del eje de rotacón. Depende de la dstrbucón de masa del sstema alrededor del eje. Cuanto más alejada esté del eje de gro mayor es el momento de nerca. Dmensones de momento de nerca: Undades en el S.. : Kg m. m r ML
9 4. MOMENTO DE NERC Problema Calcular el momento de nerca de un sstema de cuatro masas puntuales respecto a los ejes ndcados en las fguras (las masas tenen alor m y el cuadrado que forman tene lado L): (a) (b) (c)
10 4. MOMENTO DE NERC Teorema de Stener (o de los ejes paralelos): El momento de nerca de un cuerpo con respecto a un eje, es gual al momento de nerca de tal cuerpo con respecto a un eje paralelo al prmero y que pasa por el centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la dstanca entre los dos ejes. Z' d Z Z Z ' Md Md
11 4. MOMENTO DE NERC Problema Calcular el momento de nerca de una arlla respecto a un eje que pase por su extremo y sea perpendcular a ella (er fgura). Cuánto ale el momento de nerca respecto a un eje paralelo a éste que pase por su centro de masas? L
12 4. MOMENTO DE NERC Teorema de los cuerpos planos (o de los ejes perpendculares): En cuerpos de espesor desprecable (cuerpos planos), la suma de los momentos de nerca respecto de dos ejes perpendculares y en el plano del cuerpo, es gual al momento de nerca respecto de un eje perpendcular al plano por el punto de corte de ellos Y X Y Z El cuerpo está en el plano OXY O X Z
13 4. MOMENTO DE NERC Problema Calcular el momento de nerca de una placa rectangular homogénea de lados a y b, respecto de los ejes mostrados en la fgura. b b b a a a (a) (b) (c)
14 4. MOMENTO DE NERC Teorema de Ponsot: Relacona el momento de nerca de un sóldo rígdo respecto a cualquer eje que pase por su centro de masas con los momentos de nerca respecto a los ejes prncpales de nerca. E Y E X cos Y cos Z cos Z X
15 4. MOMENTO DE NERC Momentos de nerca de cuerpos unformes de formas dersas (tomado del Tpler-Mosca 5ª ed., pág. 54)
16 4. MOMENTO DE NERC Problema Calcular el momento de nerca del objeto representado abajo respecto al eje Z que pasa por su centro de masas. Los dscos tenen 5 kg de masa y un rado de 10 cm. La barra clíndrca que los une tene kg de masa, 3 cm de rado y 15 cm de longtud. Cuánto ale el momento de nerca respecto a un eje paralelo al anteror (Z ) separado 0 cm de dstanca? Z Z
17 ÍNDCE SÓLDO RÍGDO (dnámca) 1. Ecuacón de rotacón del sóldo rígdo. Equlbro estátco 3. Conseracón del momento angular 4. Energía cnétca de rotacón 5. Trabajo y potenca de rotacón 6. Conseracón de la energía 7. Momento de rodadura BBLOGRFÍ: Caps. 8, 9 y 10 del Tpler Mosca, ol. 1, 5ª ed. Caps. 10, 11 y 1 del Serway Jewett, ol. 1, 7ª ed. Caps. 11, 1 y 13 del Gettys-Frederck-Keller.
18 1. ECUCÓN DE ROTCÓN DEL SÓLDO RÍGDO Ecuacón fundamental del momento de rotacón: dl dt M ext S el cuerpo gra alrededor de un eje prncpal de nerca: L M ª Ley de Newton para la rotacón ext dl dt d dt d dt Ecuacón de momento de un sóldo rígdo que rota alrededor de un eje prncpal. El orgen de momentos debe elegrse respecto a cualquer punto fjo del eje en un sstema nercal o respecto al
19 1. ECUCÓN DE ROTCÓN DEL SÓLDO RÍGDO Pasos a segur en la resolucón de problemas de rotacón 1. Dbujar el dagrama de cuerpo lbre sobre cada elemento, stuando las fuerzas en su punto de aplcacón.. plcar las ecuacones del momento (ª Ley de Newton, tanto para momento de traslacón como de rotacón), elgendo un sstema de referenca adecuado: F Ma M 1. Obtener el alor de las ncógntas del problema, resolendo las ecuacones planteadas en el apartado.
20 1. ECUCÓN DE ROTCÓN DEL SÓLDO RÍGDO Problema El bloque de masa m 1 deslza sn rozamento por la superfce horzontal, mentras que el bloque m está suspenddo de la cuerda que pasa por una polea de rado R y momento de nerca. Suponendo que la cuerda no deslza por la polea, determnar la aceleracón de los bloques y las tensones T 1 y T. (Ejemplo 9.11 del Tpler-Mosca, 5ª ed.) m 1 R m
21 . EQULBRO ESTÁTCO Un sóldo está en equlbro s tanto su aceleracón lneal como su aceleracón angular son nulas. plcando las ecuacones de momento tenemos: F Ma 0 M 0 3 ecuacones + 3 ecuacones S todas las fuerzas están en un msmo plano (por ejemplo en el plano XY): x y z F 0 F 0 M 0 3 ecuacones
22 . EQULBRO ESTÁTCO Ejemplo Cuánto tene que aler, al menos, el coefcente de rozamento (estátco) con el suelo para que la escalera no se caga? (Suponer que no hay rozamento en la pared). L
23 . EQULBRO ESTÁTCO Ejemplo Cuánto tene que aler, al menos, el coefcente de rozamento (estátco) con el suelo para que la escalera no se caga? (Suponer que no hay rozamento en la pared). N p L N P F roz
24 . EQULBRO ESTÁTCO Ejemplo Calcular el alor de la tensón de la cuerda. L
25 . EQULBRO ESTÁTCO Ejemplo Calcular el alor de la tensón de la cuerda. L V T y x H P P
26 3. CONSERVCÓN DEL MOMENTO NGULR Ejemplo De la ecuacón fundamental del momento de rotacón, dl dt M ext M 0, s. ext Persona encma de una plataforma gratora. f L cte S el momento externo es nulo, L se consera: f L L f f f f f L L f
27 4. ENERGÍ CNÉTC DE ROTCÓN Sóldo rígdo con momento de traslacón Energía cnétca de traslacón: E t 1 c M Sóldo rígdo con momento de rotacón Energía cnétca de rotacón: E c r 1 Sóldo rígdo con momento de traslacón y rotacón Energía cnétca de traslacón y rotacón: E c E c t E c r 1 M 1
28 5. TRBJO Y POTENC DE ROTCÓN dw F dr Trabajo nfntesmal dw Fdr cos dr Rd FR cos d M M Md R F FRsen FRcos Trabajo total W W f Md P dw dt Potenca d M dt M F d R dr
29 5. TRBJO Y POTENC DE ROTCÓN Ejercco El motor de un coche presenta un par motor de 400 Nm a 000 r.p.m. Qué potenca ofrece el motor a esas reolucones? La potenca máxma que ofrece ese coche es de 170 c.. a 3800 r.p.m. Cuál es el par motor cuando el coche opera a su máxma potenca? Dato: 1 c.. = 735 W
30 6. CONSERVCÓN DE L ENERGÍ W ext E c 1 1 E E M c t c r Problema La cuerda que está enrollada en el clndro de la fgura está sostenda por la mano de una persona que tra haca arrba de ella con aceleracón constante, de forma que el centro de masas del clndro permanece nmól. a) Qué elocdad alcanza el dsco después de realzar 5 reolucones, suponendo que nca el momento de rotacón con elocdad angular nula? b) Cuál es la tensón de la cuerda? c) Cuánto ale la aceleracón angular? T Datos: Rado del clndro R = 5 cm. Masa del clndro M = 00 g.
31 7. MOVMENTO DE RODDUR Este momento puede estudarse como la combnacón de una traslacón del centro de masas más una rotacón alrededor del centro de masas. y Fext Ma M R ext a R D C E Ejemplo B x Objeto que rueda (sn deslzar) por un plano nclnado. Exste rozamento (estátco). N y Eje x: P F Ma x roz F roz P x Eje y: Eje z: N P y 0 FrozR a R
32 7. MOVMENTO DE RODDUR F roz R R Mgsen Ma Mgsen a R Ma a Mgsen gsen M 1 R MR Casos: a) Esfera macza: MR 5 a gsen 1 /5 5 7 gsen 0.71gsen a) Clndro: 1 MR a gsen 11/ 3 gsen 0.67gsen b) ro: MR a gsen 11 1 gsen 0.5gsen c) Objeto puntual (no rueda, deslza sn rozamento): a gsen En los casos a), b) y c), los resultados sólo son áldos en el rango de ángulos en que hay sólo rodadura (no hay deslzamento).
33 7. MOVMENTO DE RODDUR S el objeto se encuentra a una dstanca h del suelo, su energía total será: E E c t E c r E p 1 M 1 mgh En el momento de rodadura la fuerza de rozamento es estátca, por lo tanto no realza trabajo y la energía total se consera. Ejercco Sea una esfera, un clndro y un aro en la alto de un plano nclnado. Cuál llegará antes abajo? h
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