La cinemática estudia como ya sabemos el movimiento como una relación espacio-temporal, sin analizar cuales son las causas que lo producen.

Transcripción

1 Capítulo 5 DINÁMICA 5.1. Introduccón La cnemátca estuda como ya sabemos el movmento como una relacón espaco-temporal, sn analzar cuales son las causas que lo producen. La dnámca tene por objeto el estudo del movmento en relacón con las causas que lo orgnan. Dchas causas son las fuerzas. El problema dnámco consstrá en defnr las fuerzas y determnar el movmento que éstas mprmrán a un punto materal o ben a un conjunto de puntos materales o sstema Fuerzas El estado de movmento o reposo de un cuerpo materal depende de sus nteraccones mecáncas con otros cuerpos. La magntud que es la medda cuanttatva de la nteraccón mecánca de los cuerpos materales se denomna fuerza. La fuerza es una magntud vectoral, y como tal, su conocmento completo queda determnado por: El módulo. La dreccón. El sentdo. El punto de aplcacón. 172

2 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 173 Las fuerzas que actúan sobre una partícula ndvdual podrán ser clasfcadas en las sguentes clases: 1. Fuerzas actvas y fuerzas reactvas. Las fuerzas actvas son las que tenden a producr el movmento. Por el contraro, las fuerzas reactvas, vnculares o de enlace, no tenden a mover los cuerpos, sno que se oponen a que éstos ocupen determnadas poscones o se muevan de determnada manera. 2. Fuerzas nterores y fuerzas exterores. Para una partícula materal, encuadrada dentro de un sstema, la nteraccón mecánca provenente de otras partículas de ese msmo sstema será una fuerza nteror. S la nteraccón provene de partículas ubcadas en otro sstema, se tratará de una fuerza exteror. 3. Fuerzas de campo. Se orgnan por la exstenca de un campo de furezas. Dcho campo puede ser de dstntos tpos: gravtatoro, electrostátco, electromagnétco, etc. Se producen sobre partículas que poseen una determnada propedad denomnada magntud actva, cuando se stúan en el espaco geométrco en el que exste el campo consderado. 4. Fuerzas de rozamento. Se producen en los puntos de contacto entre dos sstemas materales, y tenden a oponerse al desplazamento relatvo entre ambos. 5. Fuerzas de nerca. Se presentan sobre una partícula materal cuando refermos su poscón a un sstema referencal no nercal El sstema referencal en la dnámca. Dferenca con la referenca en la cnemátca El sstema referencal que en la cnemátca denomnabamos fjo no debía cumplr nnguna condcón especal, salvo nuestra voluntad de así consderarlo. En la dnámca, el sstema referencal que denomnaremos fjo, o más propamente nercal, deberá cumplr una de las leyes de Newton denomnada ley de la nerca. Dcha ley ndca que una partícula materal stuada en una referenca nercal, y sobre la que no actúa nnguna fuerza, s ncalmente se encuentra en reposo, segurá en reposo con respecto a dcha referenca.

3 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 174 Un sstema referencal es nercal cuando se encuentra en reposo o se traslada con velocdad rectlínea y unforme con respecto a otra referenca nercal Leyes fundamentales de la dnámca Estas leyes fueron enuncadas por Isaac Newton a fnales del sglo XVII en su texto Prncpos matemátcos de flosofía natural. 1. Ley de la nerca: Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movmento rectlíneo y unforme, a menos que se altere este estado mprméndole una fuerza. Como ya hemos ndcado, un sstema referencal nercal, es aquél en el que se cumple esta ley. 2. Ley fundamental de la dnámca: La aceleracón del movmento es proporconal a la fuerza motrz mpuesta, y tene lugar según la línea de accón en que dcha fuerza actúa. F = m a En donde m que es la constante de proporconaldad recbe el nombre de masa nerte. Esta ley es la fundamental en la dnámca, pues en ella se nos relacona la varacón en el movmento, aceleracón, que es el efecto, con la causa que lo provoca, la fuerza. 3. Prncpo de accón y reaccón: La reaccón es sempre gual y contrara a la accón: las accones mutuas entre dos cuerpos sempre son guales y se drgen en sentdos contraros. ( Ver Fgura 5.1 ) 2 F 21 1 F 12 Fgura 5.1: Prcpo de accón y reaccón F 12 : Accón que sobre el cuerpo1 ejerce el 2.

4 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 175 F 21 : Accón que sobre el cuerpo 2 ejerce el 1. F 12 = F 21 F12 + F 21 = 0 Se suele añadr una cuarta ley, ésta no enuncada por Newton, para que quede completo todo el fundamento dnámco: 4. Ley de la ndependenca de las fuerzas: El efecto que produce una fuerza no depende de la exstenca de otras n del estado de movmento del cuerpo. S sobre una partícula de masa nerte m actúa una fuerza F 1 aparecerá una aceleracón a 1. S deja de actuar F 1, y actúa otra fuerza F 2 que genera una aceleracón a 2, esta ley nos ndca que s actuase sobre la msma partícula una fuerza F = F 1 + F 2, la aceleracón que se mprmría a dcha partícula sería a = a 1 + a 2. ( Ver Fgura 5.2 ) F 2 F a 2 a m a 1 F 1 Fgura 5.2: Ley de la ndependenca de las fuerzas 5.5. El problema general de la dnámca La ecuacón fundamental de la dnámca podrá expresarse como: F = m a = m d v = m d2 r 2 Ecuacón vectoral que en un espaco trdmensonal podrá admtr una descomposcón en las dreccones de los tres ejes de referenca, dando lugar al sguente sstema de ecuacones dferencales escalares: F x = m dv x F y = m dv y o ben: F x = m d2 x 2 F y = m d2 y 2 F z = m dv z F z = m d2 z 2

5 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 176 La fuerza que actúa sobre la partícula F = F x + F y j + F z k será en general, una funcón de la poscón, de la velocdad y del tempo: F = F ( r, v, t) El problema general de la dnámca del punto lbre o no lgado presenta estas dos posbles perspectvas: 1. Conocda la ley del movmento del punto r = r(t), averguar cuales son las fuerzas actuantes que orgnan este movmento. Este es el problema drecto, y se resuelve por dervacón. 2. Conocdas las fuerzas actuantes, determnar la ley del movmento. Este problema se resuelve por ntegracón de las ecuacones dferencales. En general se tratará de tres ecuacones dferencales de segundo orden, que orgnarán ses constantes de ntegracón, obtenbles por las condcones de contorno del problema. S el punto materal consderado no fuese lbre, sno que se encuentra sometdo a unas certas lgaduras o vínculos, la ecuacón general de la dnámca podría ser escrta de la sguente forma: F + R = m a En donde: F : Resultante de las fuerzas actvas que actúan sobre la partícula. R : Resultante de las fuerzas de enlace que actúan sobre la partícula. Con lo que el movmento del punto no lbre o enlazado podría consderarse como lbre, al susttur los enlaces por sus correspondentes fuerzas de reaccón. Los problemas a consderar en la dnámca del punto lgado son fundamentalmente dos: 1. Conocdo el movmento del punto, y las fuerzas actvas que actúan sobre él, determnar la fuerza de enlace. Este problema es de fácl resolucón, aplcando la ecuacón F + R = m a; se reduce solamente a los correspondentes cálculos cnemátcos. 2. Conocdas las fuerzas actvas aplcadas al punto, determnar su ley de movmento y las reaccones de lgadura. Este es el problema prortaro o fundamental de la dnámca del punto sometdo a enlaces, y el de más compleja resolucón.

6 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Dnámca de la partícula lgada a una trayectora Sea una partícula materal de masa m oblgada a recorrer una determnada trayectora, y sobre la cual actúan unas determnadas fuerzas actvas, cuya resultante es F. Sobre esta partícula actuarán tambén las fuerzas de enlace, cuya resultante es R, la cual s el contacto partícula-trayectora es sn rozamento será normal a la trayectora. El planteamento de la ecuacón fundamental de la dnámca será en nuestro caso: F + R = m a Proyectamos esta expresón vectoral sobre la referenca ntrínseca, en las dreccones tangente, normal prncpal y bnormal, lgadas a la poscón del punto en la trayectora. ( Ver Fgura 5.3 ) b τ m R η F Fgura 5.3: Partícula lgada a una trayectora y referenca ntrínseca F τ + R τ = m a τ F η + R η = m a η F b + R b = m a b S como hemos dcho, el enlace partícula-trayectora es sn rozamento, la fuerza de enlace R es normal a la trayectora, y estará contenda en el plano normal, no dando por tanto componente sobre la dreccón tangencal. Es decr: R τ = 0. Por la cnemátca sabemos que el vector aceleracón sólo posee componentes normal y tangencal, es decr, se encuentra sempre contendo en el plano osculador, y no tene por tanto componente en la dreccón bnormal. Esto es: a b = 0.

7 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 178 Tenendo en cuenta estas consderacones, las anterores ecuacones nos quedarán: F τ = m a τ = m dv = m d2 s 2 (5.1) F η + R η = m a η = m v2 ρ (5.2) F b + R b = 0 (5.3) Estas tres ecuacones nos permten resolver el problema dnámco de este punto así lgado en sus dos posbles aspectos. Concretamente en el problema fundamental, la ecuacón (5.1) permte determnar la ley del movmento por ntegracón, y las ecuacones (5.2) y (5.3) permten determnar la fuerza de enlace R. Así: R η = m v2 ρ F η R b = F b A la componente m v2 drgda en la dreccón de la normal prncpal se le conoce con el ρ nombre de fuerza centrípeta. El vector R así determnado es la fuerza que la trayectora ejerce sobre la partícula. Por el prncpo de accón y reaccón exstrá una fuerza R gual, pero de sentdo opuesto a R que es la que la partícula realza sobre la trayectora. R η = F η m v2 ρ R b = F b La componente m v2 ρ es la denomnada fuerza centrífuga, gual y opuesta a la centrípeta.

8 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Teoremas fundamentales de la dnámca para la partícula o masa puntual Estos teoremas se obtenen drectamente de la ley fundamental de la dnámca. Permten analzar casos concretos y partculares sn necesdad de plantear el estudo general que nos oblgaría a realzar todas las operacones de ntegracón que el planteamento general exge. En la aplcacón de los teoremas fundamentales ya se han realzado mplíctamente alguna de las operacones de ntegracón Teorema del momento lneal o de la cantdad de movmento Defnmos la cantdad de movmento o momento lneal p de una partícula materal de masa m, provsta de una velocdad v como: p = m v El momento lneal es por tanto una magntud vectoral cuya dreccón y sentdo concde con el de la velocdad v de que va provsta la partícula. Consderando la segunda ley de la dnámca de Newton: F = m a = m d v Luego: = d (m v) = d p F = d p (5.4) Expresón del teorema del momento lneal en su forma dferencal que nos ndca que la dervada de dcho momento con respecto del tempo es gual a la fuerza aplcada sobre la partícula. Integrando esta ecuacón dferencal vectoral, y aplcando como condcones de contorno que para el nstante t 1 el momento lneal es p 1, y que para el nstante t 2 el momento lneal es p 2 : d p = F = p2 p 1 d p = t2 t 1 F = p2 p 1 = t2 t 1 F Defnmos mpulso mecánco que recbe una partícula entre los nstantes t 1 y t 2 como: t2 t 1 F

9 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 180 Con lo que el teorema del momento lneal en su versón ntegrada podría enuncarse en la sguente forma: La varacón que en un ntervalo de tempo expermenta el momento lneal de una partícula es gual al mpulso mecánco que recbe esta partícula en dcho ntervalo de tempo. Proyectando la expresón vectoral de este teorema sobre los ejes de referenca: p 2x p 1x = t2 t 1 F x p 2y p 1y = p 2z p 1z = t2 t 1 t2 t 1 F y F z Este teorema será de utldad práctca para los casos en que las fuerzas actuantes sobre la partícula sean constantes o varables en funcón del tempo Teorema del momento angular o cnétco Defnmos el momento angular o cnétco de una partícula con respecto de un punto fjo 0 L 0, como el momento de la cantdad de movmento de dcha partícula con respecto a ese punto. L 0 = r p = r m v En donde r es el vector de poscón del punto móvl con respecto del punto fjo 0. Dervando la expresón del momento angular L 0 con respecto del tempo: d L 0 = r p + r p El prmer sumando es nulo, por ser r = v y p = m v dos vectores colneales. El segundo sumando es: r p = r Por tanto: d(m v) = r m d v = r m a = r F = M 0 d L 0 = M 0 (5.5)

10 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 181 Lo que podría enuncarse como: La dervada con respecto del tempo del momento angular de una partícula con respecto de un punto, es gual al momento con respecto de dcho punto de la fuerza que actúa sobre la partícula. Integrando esta ecuacón dferencal vectoral, y aplcando como condcones de contorno que para el nstante t 1 el momento angular es L 01, y que para el nstante t 2 el momento angular es L 02 : d L 0 = M 0 = L 02 L 01 d L 0 = t2 t 1 M0 = L02 L 01 = t2 t 1 M0 Con lo que el teorema del momento angular en su versón ntegrada podría enuncarse en la sguente forma: La varacón que en un ntervalo de tempo expermenta el momento angular de una partícula con respecto de un punto fjo es gual al mpulso angular con respecto a ese punto que recbe esta partícula en dcho ntervalo de tempo. Tenendo en cuenta el concepto de momento axal, podríamos proyectar la ecuacón (5.5) sobre un eje cualquera ξ que pase por 0, y obtendríamos el teorema del momento angular con respecto de un eje ξ: dl ξ = M ξ El teorema del momento angular tene partcular mportanca en el problema de la partícula sometda a fuerzas centrales, es decr, fuerzas que se drgen sempre haca un determnado punto fjo, cual es el caso de la accón gravtatora entre el Sol y los planetas. Dnámca de las partículas sometdas a fuerzas centrales. Ley de las áreas S una partícula se encuentra sometda a una fuerza que está constantemente drgda haca un punto central fjo 0, en ese caso: M 0 = 0 = d L 0 = 0 = L0 = Kte La prmera conclusón que se deduce del hecho de que L 0 = Kte, es que la trayectora debe ser una curva plana para que la dreccón del vector L 0 se mantenga nvarable. La segunda conclusón será que la velocdad de la partícula deberá ser tal que las áreas barrdas por el rado vector que partendo del punto fjo 0, marca la poscón de la partícula, en ntervalos de tempo guales, serán guales, es decr, la velocdad areolar será constante. En efecto:

11 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 182 El área barrda en un nstante será: ( Ver Fgura 5.4 ) 1 ds = d s = ( r d r) 2 = 1 2 ( r d r) Y la velocdad areolar: ( ) ds = d s = 1 2 r d r = 1 2 ( r v) r + d r d s d r 0 r Fgura 5.4: Dferencal de área barrda por el vector r Como L 0 = L 0 = r m v = Kte por ser la fuerza de tpo central: Kte = r v = Kte = ds = Kte Por tanto, la velocdad areolar será constante, lo que se traduce en la denomnada ley de las áreas o de Kepler. En el caso de las fuerzas centrales, las áreas barrdas por el rado vector trazado desde el punto central, en ntervalos de tempo guales, serán guales. Esto oblga a que el punto móvl sea más rápdo en su movmento en la trayectora en las proxmdades del punto central, que en las zonas de la trayectora más alejadas del msmo. ( Ver Fgura 5.5 ) D C B a a A 0 Fgura 5.5: Ley de las áreas o de Kepler

12 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Teorema de la energía cnétca Denomnamos fuerza vva de una partícula materal en movmento al producto de su masa por el cuadrado de su velocdad, es decr: Fuerza vva = m v 2 Se denomna energía cnétca de una partícula materal en movmento a su semfuerza vva: T = 1 2 m v2 Ambos conceptos corresponden a magntudes escalares y postvas. La fuerza vva tambén podría defnrse como el producto escalar del momento lneal por la velocdad: Fuerza vva = p v = (m v) v = m ( v v) = m v 2 = m v 2 Dferencando esta expresón de la fuerza vva: d(m v 2 ) = d(m v 2 ) = m 2 v d v = 2 m d v v = 2 m a d r = 2 F d r Expresón que podrá ser ntegrada, establecendo como condcones de contorno que para la poscón de la partícula dada por r = r 0 el módulo de la velocdad es v 0, en tanto que para la poscón defnda por r, el módulo de la velocdad es v. v r d(m v 2 ) = 2 F d r = m v 2 m v0 2 = 2 v 0 r m v2 1 r 2 m v2 0 = F d r Denomnando Trabajo mecánco a: W = r r 0 F d r Nos quedará: r 0 r r 0 F d r T = W (5.6) Expresón que determna el teorema de la energía cnétca, el cual lo enuncamos dcendo que el ncremento que expermenta la energía cnétca de una partícula es gual al trabajo mecánco producdo por las fuerzas que actúan sobre la msma. Dada la naturaleza de la energía y del trabajo, se dce que éste es un teorema escalar, en tanto que los otros dos vstos con anterordad, el del momento lneal y el del momento

13 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 184 angular, son teoremas vectorales. Conservacón de la energía Consderemos una partícula materal sometda a una fuerza F defnda por la poscón de dcha partícula en el espaco. Tal dstrbucón de la fuerza se denomna campo de fuerzas. S el trabajo realzado por la fuerza F, cuando la partícula se mueve por un determnado camno, depende sólo de las poscones ncal y fnal, y no del camno recorrdo, dremos que la fuerza F, o más propamente, el campo de fuerzas, es conservatvo. S el campo de fuerzas es conservatvo, y N es una poscón de referenca, dremos que la energía potencal en un determnado punto del espaco P es el trabajo realzado por las fuerzas del campo F cuando la partícula se desplaza desde P hasta la poscón de referenca N. Denomnando V P a la energía potencal en el punto P : V P = N P F d r ( Trabajo realzado a lo largo de cualquer camno ) Cuando la partícula se desplaza en un campo conservatvo, por cualquer camno, desde el punto P 1 al punto P 2 : P2 P 1 F d r = N P 1 F d r + P2 N F d r = N P 1 F d r N P 2 F d r = VP1 V P2 Es decr: s el campo de fuerzas es conservatvo, el trabajo realzado por el msmo, al actuar sobre una partícula que por un camno cualquera se desplaza desde el punto P 1 al punto P 2, es gual a la dferenca de los valores de la energía potencal entre esos puntos. S en el punto P 1 la velocdad de la partícula es v 1, y en el punto P 2 la velocdad de la partícula es v 2, aplcando el teorema de la energía cnétca podremos decr: P2 1 2 m v m v2 1 = T = P m v2 2 + V P 2 = 1 2 m v2 1 + V P 1 Esto es: F d r = VP1 V P2 1 2 m v2 + V = Kte. Resultado que podremos expresar dcendo: Cuando una partícula se mueve en un campo de fuerzas conservatvo, la suma en todo momento de la energía cnétca y de la energía potencal es constante. Hay que tener en cuenta que no todas las fuerzas son conservatvas. Las fuerzas de rozamento por ejemplo, no lo son, y la energía mecánca ( 1 2 m v2 + V ) no permanece constante

14 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 185 cuando el movmento es retardado por una frccón, pues en tal caso parte de la energía se dspa en forma de calor. En tal caso hay que recurrr a una ley mucho más ampla, cual es la de la conservacón unversal de la energía. Suponendo que en el recorrdo de la partícula desde el punto P 1 al punto P 2 se produce por efecto del rozamento una cantdad de calor Q expresada en undades de energía mecánca, lo que se verfcará es: 1 2 m v2 1 + V P 1 = 1 2 m v2 2 + V P 2 + Q

15 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Dnámca del movmento relatvo de la partícula Todo lo planteado hasta el presente sobre la dnámca de la partícula está basado en la ley fundamental de la dnámca, la cual está expresada en un sstema referencal que denomnaremos nercal. Veamos cuál es el planteamento cuando el sstema al que refermos la poscón de la partícula no es nmóvl. Tenemos una partícula materal de masa m sobre la que están aplcadas una sere de fuerzas F 1, F 2,..., F,..., F n. Examnaremos el movmento que estas fuerzas orgnan a la partícula respecto de un sstema referencal 0XY Z, el cual se mueve con respecto de otra referenca 0 1 X 1 Y 1 Z 1 fja, o más propamente dcho, nercal. Como ya deducmos en la cnemátca del punto: a abs = a s + a rel + a cor En donde: a cor = 2 w v rel Multplcando en ambos térmnos de la expresón por la masa de la partícula m: m a abs = m a s + m a rel + m a cor La ley de la dnámca para el movmento de la partícula en una referenca nercal, nos dce: m a abs = Por tanto: F F = m a s + m a rel + m a cor Despejando en esta ecuacón el térmno correspondente a la a rel que es el que nos nteresa, pues es con esta aceleracón con la que veríamos moverse a la partícula desde la referenca móvl 0XY Z: m a rel = En donde: F m a s m a cor F = F Resultante de las fuerzas actvas que actúan sobre la partícula. F ner.arr. = m a s Fuerza de nerca de arrastre.

16 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 187 F ner.cor. = m a cor Fuerza de nerca de Corols. Nos quedará por tanto: m a rel = F + F ner.arr. + F ner.cor. (5.7) Esta ecuacón expresa entonces la ley fundamental de la dnámca para el movmento relatvo, en la cual como se observa se ha tendo que añadr a la resultante de las fuerzas actvas que que actúan sobre la partícula, dos nuevas fuerzas que denomnamos de nerca, la fuerza de nerca de arrastre, y la fuerza de nerca de Corols, las cuales tenen en cuenta la nfluenca del movmento de la referenca móvl sobre el movmento relatvo de la partícula. Pasemos ahora a analzar algunos casos partculares: 1. Caso en que no exsta la fuerza de nerca de Corols. F ner.cor. = m a cor = 2 m w v rel Para que esta fuerza se anule se debe cumplr una de estas condcones: a) Que w = 0, lo que ndcaría que el movmento de arrastre de los ejes móvles es de traslacón. b) Que v rel = 0, es decr, que en ese nstante la velocdad relatva se anule. c) Que w y v rel sean vectores colneales. En cualquera de estos casos, la ley de la dnámca quedará expresada como: F + F ner.arr. = m a rel 2. Caso de que no exstan fuerzas de nerca n de arrastre n de Corols. Para que tampoco exsta la fuerza de nerca de arrastre se exgrá que a s = 0, lo cual mplcará que el movmento del sstema referencal móvl deberá ser de traslacón rectlínea y unforme. En ese caso la ecuacón de la dnámca para el movmento relatvo será: F = m a rel La cual concde plenamente con la ya enuncada ley fundamental de la dnámca. Es por esto que los sstemas referencales con movmento de traslacón rectlínea y unforme con respecto a referencas nercales, son tambén nercales. En ellos se cumplen las leyes de la dnámca sn necesdad de tener que ntroducr fuerzas complementaras, y no es posble dstngur desde ellos su stuacón de movmento.

17 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Dnámca del sstema Concepto de sstema mecánco. Fuerzas nternas y externas Se denomna sstema mecánco a un conjunto de puntos materales vnculados entre sí, en el cual, la poscón y movmento de cada punto materal, condcona la poscón y movmento de todos los demás. Así, ante esta defncón tan ampla, un sstema mecánco tanto podrá ser, el sstema solar, un mecansmo, o un sóldo rígdo. Las fuerzas que actúan sobre cada punto del sstema materal, podrán ser como ya sabemos, nternas o externas, según provengan de puntos pertenecentes al sstema, o ajenos a él. Las fuerzas nternas de un sstema mecánco presentan estas dos propedades: 1. La resultante de todas las fuerzas nternas es nula. En efecto, según la tercera ley de la dnámca, s consderamos dos puntos cualesquera pertenecentes a un msmo sstema mecánco, las fuerzas nterores F 12 nt y F 21 nt con que ambas partículas nteracconan entre sí, son vectores opuestos, y su suma consderados como vectores lbres, será nula: F nt 12 + F nt 21 = 0 Como para cada par de puntos pertenecentes al sstema se obtendrá el msmo resultado, extendendo la suma para todo el sstema se tendrá: F nt = 0 2. La suma de los momentos de todas las fuerza nternas respecto de un punto arbtraro 0 es nula. Determnemos el momento que con respecto al punto 0 orgnan las fuerzas nternas F 12 nt y F 21 nt que actúan sobre las partículas 1 y 2: ( Ver Fgura 5.6 ) nt F 21 2 nt F 12 r 2 1 r 1 0 Fgura 5.6: Momento con respecto de 0 de las fuerzas nternas que actúan sobre dos puntos

18 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 189 M 0 ( F nt 12 ) + M 0 ( F nt 21 ) = r 1 F nt 12 + r 2 F nt 21 = r 1 F nt 12 r 2 F nt 12 = = ( r 1 r 2 ) F nt 12 = 21 F nt 12 = 0 Extendendo la suma a todas las posbles parejas de puntos del sstema materal: M 0 ( F nt ) = 0 Sn embargo, de estas dos propedades, resultante de las fuerza nternas gual cero, y momento resultante de las fuerzas nternas respecto de un punto 0 gual a cero, no se deduce que las fuerzas nternas se equlbren en tal forma que no sean capaces de producr movmentos en los puntos del sstema materal, ya que se encuentran aplcadas en puntos dstntos, y pueden provocar desplazamentos mútuos entre éstos. Las fuerzas nternas sólo generarán una stuacón de equlbro en un sstema materal muy concreto, el denomnado sóldo rígdo ndeformable Ecuacones dferencales del movmento del sstema Sean m 1, m 2,..., m,..., m n las masas de las n partículas materales que componen un determnado sstema mecánco. Sobre cada una de estas partículas materales actuarán las fuerzas F ext y las fuerzas nternas F nt. Para cada una de estas partículas será aplcable la ecuacón fundamental de la dnámca del punto: m 1 a 1 = F 1 ext + F 1 nt m 2 a 2 = F 2 ext + F 2 nt... m a = F ext + F nt... m n a n = F n ext + F n nt Estas ecuacones que permten determnar la ley del movmento de cada partícula del sstema, se denomnan ecuacones dferencales del movmento del sstema. Son dferencales ya que a = d2 r 2 Proyectándolas sobre los ejes del sstema de referenca obtendríamos su correspondente escalarzacón. Se podría pensar que ya está resuelto el problema de la dnámca del sstema, pero en la práctca esto no es así por las sguentes razones:

19 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Por encontrarnos en la resolucón del sstema de ecuacones dferencales con dfcultades matemátcas dfíclmente superables. 2. Por la dfícl determnacón en cada caso de las magntudes que ntervenen en ellas, concretamente, de las fuerzas nternas. El papel más mportante de estas ecuacones es ser la base para la obtencón de los teoremas fundamentales de la dnámca del sstema, que veremos a contnuacón Teorema del movmento del centro de masas Recordemos que tal y como habíamos vsto en la geometría de masas, la localzacón del centro de masas G de un sstema materal vene dada por: r G = m r =n = m m r M En donde M es evdentemente, la masa total del sstema. Despejando en la ecuacón anteror: m r = M r G Calculamos las dervadas segundas de los dos membros de esta expresón, recordando que la dervada de la suma es gual a la suma de las dervadas: m d2 r 2 = M d2 r G 2 = m a = M a G En donde a G es la aceleracón del centro de masas del sstema. El prmer membro de la expresón anteror podrá ser obtendo sn más que sumar todo el conjunto de las ecuacones dferencales del movmento del sstema expresadas en el apartado anteror m a = F ext + F nt Recordando la prmera propedad de las fuerzas nternas del sstema materal expuesta en el apartado F nt = 0

20 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 191 Con lo que nos quedará: m a = F ext Y tenendo en cuenta lo ya vsto: M a G = F ext (5.8) Ecuacón que expresa el teorema del movmento del centro de masas, el cual podría enuncarse como sgue: El producto de la masa total del sstema materal por la aceleracón de su centro de masas es gual a la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre dcho sstema. Observemos que la ecuacón deducda concde formalmente con la ley fundamental de la dnámca para el punto materal. En vrtud de ello podríamos dar este otro enuncado del teorema: El centro de masas de un sstema se mueve como un punto materal en el que se encuentra concentrada la totaldad de la masa del sstema, y al que se le estan aplcando todas las fuerzas externas que actúan sobre el sstema. Proyectando sobre los ejes de referenca obtendríamos: M d2 x G = F ext 2 x M d2 y G 2 = M d2 z G 2 = F ext y F ext z Estas últmas ecuacones representan las ecuacones dferencales del movmento del centro de masas de un sstema en su forma escalar. S se supese a pror que el movmento del sstema es de traslacón, este teorema habría resuelto completamente el problema dnámco. En cualquer caso el teorema permte determnar el movmento del centro de masas del sstema, sn tener en cuenta las fuerzas nternas, que en prncpo, nos son desconocdas. En esto resde su valor práctco.

21 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 192 Ley de conservacón del movmento del centro de masas En base al teorema anteror se pueden obtener estas conclusones: 1. Supongamos que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sstema es nula: F ext = 0 = M a G = 0 = a G = 0 = v G = Kte S la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un sstema materal es nula, su centro de masas se moverá con velocdad constante, es decr, con un movmento rectlíneo y unforme. En partcular, s ncalmente el centro de masas se encontraba en reposo, segurá permanecendo en reposo. Como se ve, la accón exclusva de las fuerzas nternas no puede alterar el movmento del centro de masas del sstema. 2. Supongamos ahora, que la suma de las fuerzas externas que que actúan sobre un sstema no es nula, pero que sí lo es su proyeccón sobre un eje de referenca cualquera, el eje X por ejemplo. En ese caso: F ext x = 0 = M d2 x G = 0 = dx G 2 = v Gx = Kte Entonces la proyeccón de la velocdad del centro de masas del sstema sobre ese eje sí es constante. En partcular, s ncalmente v Gx = 0, en todo nstante v Gx segurá sendo nulo, es decr, el centro de masas no se desplazará a lo largo de ese eje Momento lneal o cantdad de movmento de un sstema Defnmos momento lneal o cantdad de movmento de un sstema a la magntud vectoral P que es la suma de los momentos lneales p = m v de todas las partículas que lo componen. P = m v Recordando la expresón de la localzacón del centro de masas de un sstema materal: m r = M r G Y dervándola una vez con respecto del tempo: m d r = M d r G = m v = M v G = P = M v G Es decr: la cantdad de movmento o momento lneal de un sstema es gual al producto de la masa total del sstema por la velocdad de su centro de masas.

22 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 193 De ello se deduce que s un sstema se mueve en tal forma que su centro de masas permanece nmóvl, el momento lneal del sstema es nulo. Por tanto, el momento lneal P de un sstema caracterza el movmento de su centro de masas, pero no una posble rotacón del sstema alrededor del msmo Teorema de la varacón de la cantdad de movmento de un sstema Sea un sstema compuesto por n partículas materales. Planteamos el conjunto de las n ecuacones dferencales del movmento expresadas en el apartado 5.9.2, y las sumamos: m a = F ext + F nt Recordando que tal y como vmos en el apartado la suma de las fuerzas nternas extendda a la totaldad del sstema es nula, nos quedará: m a = F ext Supuesta la masa de cada una de las partículas del sstema como constante, y tenendo en cuenta que la dervada de la suma es gual a la suma de las dervadas, podremos expresar: m a = ( d m v ) Con lo que nos quedará: = d P dp =n = F ext (5.9) Lo que podría expresarse como: La dervada del momento lneal de un sstema materal con respecto del tempo es gual a la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre dcho sstema. Proyectando sobre los ejes de referenca tendríamos:

23 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 194 F ext x F ext y = dp x = dp y F ext z = dp z La forma ntegral de este teorema se obtendrá de la sguente forma: P 2 F ext P 1 d P = = d P t2 t 1 F ext = P 2 P 1 = =n t2 t 1 F ext = Lo que podrá ser expresado de la sguente forma: La varacón del momento lneal que expermenta un sstema entre los nstantes de tempo t 1 y t 2 es gual a la suma de los mpulsos que las fuerzas externas que actúan sobre el sstema producen durante ese ntervalo de tempo. Esta expresón vectoral, tambén podrá ser escalarzada al proyectarla sobre los ejes de referenca: P 2x P 1x = S ext x S ext P 2y P 1y = P 2z P 1z = S ext y S ext z El teorema de la varacón de la cantdad de movmento y el teorema del movmento del centro de masas del sstema son práctcamente el msmo. En efecto: Teorema de la cantdad de movmento: d P =n = F ext Teorema del movmento del centro de masas: M a G = F ext

24 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 195 Ya que como sabemos P = M v G, bastará con substtur en la prmera expresón para obtener la segunda. Ley de la conservacón de la cantdad de movmento En base al teorema anteror se pueden obtener las sguentes conclusones: 1. Supongamos que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre el sstema es nula: F ext = 0 = d P = 0 = P = Kte. En este caso el vector cantdad de movmento permanece constante. 2. Supongamos que la suma de las fuerzas externas aplcadas sobre el sstema materal no es nula, pero sí lo es su proyeccón sobre un eje cualquera, por ejemplo sobre el eje X de referenca. En ese caso: F ext x = 0 = dp x = 0 = P x = Kte. En vrtud de estos aspectos de la ley de la conservacón de la cantdad de movmento se deduce que con las fuerzas nternas no es posble modfcar el momento lneal o cantdad de movmento de un sstema Momento angular o cnétco de un sstema ( Sóldo rígdo ) Consderemos un sstema materal de masa total M, y cuyo centro de masas está localzado en el punto G. El sstema de referenca utlzado es fjo, o más propamente en dnámca, nercal. ( Ver Fgura 5.7 ) El momento cnétco de una de las partículas m que componen el sstema con respecto a un punto cualquera P de dcho sstema será: L P = r m v S el sstema fuese ndeformable, la velocdad v de la partícula de masa m puede ser relaconada con la velocdad del punto P, v P, medante la relacón cnemátca: v = v P + w r Con lo que susttuyendo en la expresón del momento cnétco para la partícula de masa m tendremos: L P = r m ( v P + w r ) = ( r m ) v P + r ( w r ) m

25 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 196 Z w r ' G m r G r P Y X Fgura 5.7: Determnacón del momento angular de un sstema con respecto al punto P El momento angular o cnétco de todo el sstema con respecto del punto P será la suma de los momentos angulares con respecto de dcho punto de las n partículas que componen el sstema. Es decr: L P = ( =n ) ) r m v P + ( r ( w r ) m Suponemos ahora, que el sstema materal además de ndeformable es contnuo, es decr, lo que denomnamos un sóldo rígdo. En este caso, en la expresón anteror los sumatoros pasarán a ser ntegrales, y los valores de las masas dscretas m pasarán a ser valores dferencales dm. Esto es: ( ) L P = r dm v P + r ( w r) dm Hacemos ahora las sguentes consderacones según certas característcas del punto P : 1. Supongamos que el punto P del sstema materal es un punto fjo y por tanto con velocdad nula, que denomnaremos 0. En este caso: v P = v 0 = 0 Y el momento angular o cnétco con respecto a ese punto será: L 0 = r ( w r) dm En donde r representa a los vectores de poscón que con orgen en 0 localzan a los puntos genércos del sstema materal. 2. Supongamos ahora que el punto P concde con el centro de masas del sstema G.

26 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 197 En este caso los vectores de poscón r al tener como orgen el punto G los denomnaremos r y r dm = 0 ya que la localzacón del centro de masas a partr del propo centro de masas G tene que ser 0. El momento angular o cnétco con respecto al centro de masas será: L G = r ( w r ) dm En donde los vectores de poscón r, como ya hemos dcho, están trazados desde el centro de masas G. 3. Por últmo, pensemos que el punto P es un punto cualquera del sstema materal. Podemos expresar que: ( Ver Fgura 5.7 ) r = r G + r Y susttuyendo en la expresón general del momento angular del sstema sóldo rígdo con respecto al punto P : ( ) L P = ( r G + r ) dm v P + ( r G + r ) w ( r G + r ) dm Y desarrollando: ( ) L P = r dm v P + ( r G v P ) ( ) ( + r dm ( w r G ) + r G w dm + r ( w r ) dm + ) r dm + r G ( w r G ) dm En esta expresón, los sumandos prmero, cuarto, y qunto son nulos, por contener r dm, que como hemos vsto es 0. El cuarto sumando: r ( w r ) dm = L G Tal y como hemos determnado en el supuesto anteror. Tenendo en cuenta que dm = M, masa total del sstema, la expresón del momento angular del sstema con respecto al punto P nos quedará: L P = ( r G v P ) M + L G + r G ( w r G ) M = r G ( v P + w r G ) M + L G Y como sabemos por la cnemátca del sóldo rígdo que v G = v P + w r G : L P = ( r G v G ) M + L G

27 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 198 En defntva, el momento angular de un sóldo rígdo con respecto a un punto P del msmo será: L P = r G M v G + L G La expresón obtenda es el denomnado teorema de Koeng para el momento angular o cnétco, que se podrá enuncar así: El momento cnétco de un sstema materal sóldo rígdo con respecto a un certo punto P del msmo, es gual al momento cnétco del centro de masas, supuesto que en él se encuentra concentrada toda la masa del sstema, con respecto a P, más el momento cnétco del sstema con respecto del centro de masas Momento angular o cnétco de un sstema sóldo rígdo expresado en funcón del tensor de nerca Como hemos vsto, el momento angular o cnétco de un sstema sóldo rígdo, sea con respecto a un punto fjo 0, o sea con respecto al centro de masas del sstema G, adopta la forma: L = r ( w r) dm En donde los vectores r marcan la poscón de los puntos genércos del sstema, tenendo como orgen el punto fjo del sstema 0, o el centro de masas del sstema G, según sea el caso. La ntegral está extendda al entorno del sstema materal. Desarrollando el contendo de la ntegral: r ( w r) = ( r r) w r ( r w) = r 2 w { r r} w = En donde : r 2 = ( r r) : Cuadrado del módulo del vector r { r r} : Operador dádco de los vectores r y r {δ} : Operador δ de Kronecker Por tanto, la expresón del momento angular o cnétco será: [ ] L = r 2 {δ} { r r} dm w = {I} w [ ] r 2 {δ} { r r} w Ya que como vmos en el Capítulo 2, Geometría de masas, el tensor de nerca en un punto resultaba ser : [ ] {I} = r 2 {δ} { r r} dm Sendo el punto en el que se encuentra defndo el tensor {I} el punto desde el que están

28 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 199 trazados los vectores de poscón r. En nuestro caso, dcho punto puede ser un punto fjo 0 del sstema, o el centro de masas del msmo G. De la expresón obtenda para el momento angular o cnétco L = {I} w se deduce que en general el momento angular L y el vector velocdad angular de rotacón w no son colneales. En efecto: L x L y L z = I xx I xy I xz I yx I yy I yz I zx I zy I zz Según esta transformacón, nada nos hace pensar que los vectores L y w tengan sus componentes proporconales, y que por tanto sean colneales. Como ya sabemos por lo vsto en el Capítulo 2, Geometría de masas, s el sstema referencal fuese el de las dreccones prncpales del sstema, la matrz asocada al tensor de nerca adoptaría la forma: I ε I η I ρ En donde I ε, I η e I ρ son los denomnados momentos de nerca prncpales. S el vector rotacón w estuvese drgdo según una de las dreccones prncpales, por ejemplo la ε, su expresón en esta referenca sería w = w ε u ε. En este caso el momento angular será: L ε L η L ρ = I ε I η I ρ w ε 0 0 w x w y w z = I ε w ε 0 0 Y las componentes de este vector momento angular en la referenca prncpal serán: L ε = I ε w ε ; L η = 0 ; L ρ = 0 En esta crcunstanca, los vectores w y L son colneales, y podríamos expresar: L = I ε w En donde I ε es un escalar que resulta ser el momento de nerca axal del sstema con respecto del eje ε, que como hemos ndcado, es prncpal.

29 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Teorema de la varacón del momento cnétco de un sstema materal con respecto a un punto en movmento Consderamos ahora un sstema un sstema materal compuesto por n partículas materales, sendo la masa genérca de cada una de ellas m, y trataremos de expresar su momento cnétco con respecto de un punto P que en prncpo no pertenece al sstema, y que se encuentra anmado de una velocdad v P. ( Ver Fgura 5.8 ) El momento angular o cnétco del v m r v P Fgura 5.8: Momento angular de un sstema compuesto por partículas m con respecto al punto en movmento P P sstema con respecto del punto P, será evdentemente, la suma de los momentos angulares de todas las partículas que componen el sstema con respecto a dcho punto: L P = r m v Dervando esta expresón con respecto el tempo: dl ( ) =n P d r = m v + r d(m v ) Tenendo en cuenta la relacón que podemos establecer entre la velocdad v de una de las partículas genércas del sstema de masa m, y la velocdad v P del punto P : v = v P + d r = d r = v v P Y como por otra parte, a las partículas genércas de masa m les podremos aplcar el teorema de la varacón del momento lneal expresado en la ecuacón (5.4): d(m v ) = F ext + F nt Susttuyendo en la dervada del momento angular del sstema: d L P ] [ = [( v v P ) m v + r ( F ext + F ] nt )

30 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 201 En esta ecuacón: v m v = 0 Por ser vectores colneales. ( r F ) nt = 0 Segunda propedad de las fuerzas nterores. Por tanto nos quedará: d L P ( = v P m v ) + ( r F ext ) dl P = M P ( F ext ) + P v P (5.10) La dervada con respecto al tempo del momento angular o cnétco de un sstema materal con respecto de un punto P en movmento, es gual al momento resultante de las fuerzas exterores que actúan sobre el sstema con respecto de dcho punto P, más el producto vectoral del momento lneal del sstema por la velocdad del punto P. Este es el teorema de la varacón del momento angular para el sstema materal en su versón más general. Para los casos partculares que veremos a contnuacón, adopta una formulacón más senclla, y formalmente concdente con la expresón del msmo teorema para la partícula materal. 1. Supongamos que el punto P es un punto fjo, y por tanto con velocdad nula, al que denomnaremos 0. En ese caso v P = v 0 = 0. Tenendo esto en cuenta en la ecuacón (5.10) nos quedará: dl 0 = M 0 ( F ext ) 2. Supongamos que el punto P es precsamente el centro de masas G del sstema materal, y por tanto v P = v G. Entonces el vector momento lneal del sstema P = M v G y el vector v P = v G son colneales y su producto vectoral será nulo. Tenendo esto en cuenta en la ecuacón (5.10) nos quedará: d L G = M G ( F ext ) Por tanto, la dervada con respecto al tempo del momento angular o cnétco de un sstema materal con respecto del centro de masas G, o con respecto a un punto fjo 0 será gual al momento resultante de las fuerzas exterores que actúan sobre el sstema con respecto al punto consderado. Consderamos ahora un sstema referencal con orgen en el punto P, cuyos ejes de referenca se mueven permanentemente paralelos a s msmos. Por otra parte, suponemos que

31 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 202 el sstema referencal con orgen en O es fjo, o más propamente dcho en dnámca, nercal. m r r r G G O r P P Stuados ahora en el sstema referencal con orgen en P, dcho punto se nos aparece como fjo, con lo que podemos expresar: d L P = M P ( F ext + F n ) Como este sstema no es nercal, hemos tendo que nclur además de las fuerzas exterores, la fuerzas de nerca. En este caso se trata exclusvamente de fuerzas de nerca de arrastre, dado que como hemos ndcado, los ejes móvles se mueven paralelos a s msmos, y por tanto en traslacón. La fuerza de nerca que actuará sobre cada partícula m del sstema será entonces: F n = F ns = m a P Y el teorema del momento angular en el punto P, se expresará: d L P = M P ( F ext ) Σ r m a P = M P ( F ext ) Σ ( r r P ) m a P dl P = M P ( F ext ) Σ r m a P + Σ r P m a P El térmno Σ r m a P expresa el momento resultante respecto al punto O, de un sstema de vectores paralelos m a P. Dcho sstema cumplrá el teorema de Vargnon, por lo que ese momento resultante, será el momento de su resultante, Σ m a P = M a P, supuesta como vector deslzante cuya línea de accón es el eje central, que pasa por el punto central G, con respecto a O. Podremos expresar entonces: Σ r m a P = r G M a P

32 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 203 El otro térmno, Σ r P m a P, será: Σ r P m a P = r P Σ m a P = r P M a P Por tanto: d L P = M P ( F ext ) r G M a P + r P M a P d L P d t = Σ M P ( F ext ) + ( r P r G ) M a P El térmno ( r P r G ) M a P, se anulará en alguna de las sguentes crcunstancas: S P G r P r G = 0 S a P = 0 S los vectores a P y ( r P r G ) = GP, son colneales. En resumen, el teorema del momento angular o cnétco para el sstema materal, se puede aplcar en un punto P, sn la presenca de nngún térmno complementaro o corrector, en la forma: d L P = Σ M d t P ( F ext ) S el punto P, es el centro de masas del sstema G. S el punto P es un punto fjo. S el punto P, tene su aceleracón nula, o drgda haca el centro de masas del sstema G. Ley de la conservacón del momento cnétco Suponendo que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas aplcadas sobre un sstema materal respecto de un punto fjo 0 es cero: M 0 ( F ext dl ) = 0 = 0 = 0 = L0 = Kte Suponendo que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas aplcadas sobre un sstema materal respecto del centro de masas G es cero: M G ( F ext dl ) = 0 = G = 0 = LG = Kte Suponendo que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas aplcadas sobre un sstema materal respecto de un eje ε es cero: M ε ( F ext dl ε ) = 0 = = 0 = L ε = Kte

33 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Energía cnétca de un sstema sóldo rígdo Consderemos un sstema materal de masa total M, y cuyo centro de masas está localzado en el punto G. La energía cnétca de una de las partículas m que lo componen será: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( v v ) S el sstema fuese ndeformable, la velocdad v de la partícula de masa m puede ser relaconada con la velocdad del punto P, v P, medante la relacón cnemátca: Z w G m r P Y X Fgura 5.9: Determnacón de la energía cnétca de un sstema en base al punto P v = v P + w r Con lo que susttuyendo en la expresón de la energía cnétca para la partícula de masa m tendremos: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m ( v P + w r ) ( v P + w r ) Y desarrollando: T = 1 2 m ( v P v P ) + v P ( w r ) m ( w r ) ( w r ) m La energía cnétca para la totaldad del sstema será la suma de las energías cnétcas de las partículas que lo componen:

34 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 205 T = 1 2 ( v P v P ) ( ) m + v P w r m + 1 ] [( w r ) ( w r ) m 2 Suponemos ahora, que el sstema materal además de ndeformable es contnuo, es decr, lo que denomnamos un sóldo rígdo. En este caso, en la expresón anteror los sumatoros pasarán a ser ntegrales, y los valores de las masas dscretas m pasarán a ser valores dferencales dm. Esto es: T = 1 2 M( v P v P ) + v P ( w ) r dm + 1 [ ] ( w r) ( w r) dm 2 El contendo de la últma ntegral puede ser transformado: ( w r) ( w r) = ( w r w r) = ( r w r w) = }{{} Producto mxto Y por tanto: T = 1 2 M( v P v P ) + v P ( w ( r ( w r) ) r dm w ) w r ( w r)dm Hagamos las sguentes consderacones según la naturaleza del punto P : 1. Supongamos que el punto P es un punto fjo 0 pertenecente al sstema. v P = v 0 = 0 T = 1 2 w r ( w r)dm = 1 2 w L 0 Como ya conocemos la expresón de L 0 en funcón del tensor de nerca: T = 1 2 ( ) I xx I xy I xz w x w x w y w z I yx I yy I yz w y I zx I zy I zz w z Y desarrollando este producto de matrces: T = 1 2 I xx w 2 x I yy w 2 y I zz w 2 z + I xy w x w y + I xz w x w z + I yz w y w z S la referenca empleada fuese la de las dreccones prncpales: T = 1 2 I ε w 2 ε I η w 2 η I ρ w 2 ρ 2. Supongamos ahora que el punto P es el centro de masas G del sstema. v P = v G

35 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 206 Como los vectores de poscón r parten ahora del centro de masas G, la ntrgral r dm que representa el numerador en la expresón que determna el vector de localzacón del centro de masas será nula, ya que el vector que localza G desde G será 0. Por tanto en este caso r dm = 0. La energía cnétca del sstema será entonces: T = 1 2 M v2 G w L G Ecuacón que expresa el teorema de Koeng para la energía cnétca, que podríamos enuncar de la sguente forma: La energía cnétca de un sstema sóldo rígdo en movmento se determna sumando la energía cnétca de traslacón, calculada como s toda la masa del sstema se concentrase en el centro de masas del sstema, y la energía cnétca de rotacón del sstema en su gro alrededor del centro de masas. En forma análoga a como se ha hecho en el caso del punto fjo, la energía cnétca expresada en funcón del tensor de nerca, en este caso en el centro de masas, será: T = 1 2 M v2 G + 1 ( ) I xx I xy I xz w x wx w y w z I yx I yy I yz w y 2 I zx I zy I zz w z Y desarrollando el producto de matrces: T = 1 2 M v2 G I xx w 2 x I yy w 2 y I zz w 2 z + I xy w x w y + I xz w x w z + I yz w y w z S la referenca empleada en la defncón de la matrz asocada al tensor de nerca en G es la de las dreccones prncpales: T = 1 2 M v2 G I ε w 2 ε I η w 2 η I ρ w 2 ρ

36 CAPÍTULO 5. DINÁMICA Teorema de la varacón de la energía cnétca de un sstema Sea un sstema materal compuesto por n partículas, sendo m la masa genérca de una cualquera de ellas. El teorema de la varacón de la energía cnétca para una de estas partículas que componen el sstema, en su forma dferencal será: d(m v 2 ) 2 = F d r = dw Tenendo en cuenta que las fuerzas que actúan sobre cada partícula del sstema pueden provenr del exteror o del nteror del msmo, dstnguremos entre el trabajo producdo por las fuerzas exterores, y el trabajo producdo por las fuerzas nterores: d(m v 2 ) 2 = dw ext + dw nt Efectuando la suma para todas las partículas que componen el sstema: ( ) d m v 2 2 = dt = d W ext + d W nt Ecuacón que expresa el teorema de la varacón de la energía cnétca para el sstema materal en su forma dferencal. Procedendo a su ntegracón: T 2 T 1 = W ext + W nt = T = W ext + W nt Lo que podremos expresar de la sguente forma: La varacón de la energía cnétca de un sstema durante su desplazamento es gual a la suma de los trabajos producdos por las fuerzas externas e nternas que actúan en el sstema durante ese ntervalo. A dferenca de lo vsto en los teoremas anterores, las fuerzas nternas no quedan excludas. Sn embargo, exsten algunos casos partculares en los que el trabajo de las fuerzas nternas tambén se anula. Veamos alguno de estos casos: 1. Sóldo rígdo Sean dos puntos 1 y 2 pertenecentes a un sstema sóldo rígdo. Actuarán sobre estos puntos las fuerzas F 12 nt ( Fuerza que actúa sobre 1 provenente de 2 ) y F 21 nt ( Fuerza que actúa sobre 2 provenente de 1 ) nternas, y que como sabemos por el prncpo de accón y reaccón serán opuestas, es decr: F 21 nt = F 12 nt. ( Ver Fgura 5.10 ) Estando el sstema en movmento, los puntos 1 y 2 tendrán las velocdades v 1 y v 2 que deberán cumplr el teorema de las proyeccones por tratarse de puntos pertenecentes a un sstema ndeformable.

37 CAPÍTULO 5. DINÁMICA 208 v 1 1 d r 1 nt nt 21 F 12 F 2 d r 2 v 2 Fgura 5.10: Fuerzas nterores en dos puntos de un sstema sóldo rígdo P roy 12 v 1 = P roy 12 v 2 En un certo ntervalo de tempo los puntos 1 y 2 efectuarán los desplazamentos elementales d r 1 = v 1 y d r 2 = v 2 colneales y proporconales con las velocdades v 1 y v 2. Las proyeccones de d r 1 y de d r 2 sobre la línea 12 serán tambén guales. P roy 12 d r 1 = P roy 12 d r 2 El trabajo dferencal producdo por las fuerzas nterores F nt 12 y F nt 21 será por tanto: dw 12 ( F nt ) = F nt 12 d r 1 + F nt 21 d r 2 = F nt 12 d r 1 F nt 12 d r 2 = = F nt 12 P roy 12 d r 1 F nt 12 P roy 12 d r 2 = 0 Extendendo el trabajo de las fuerzas nterores a todos los posbles pares de puntos del sstema, la suma total será tambén nula: d W ( F nt ) = 0 Por tanto, en el caso del sstema sóldo rígdo ndeformable, el teorema de la varacón de la energía cnétca podrá expresarse en su forma ntegral como: T = W ext No ntervnendo ahora los trabajos producdos por las fuerzas nterores. 2. Sstema con lgaduras deales S se trata de sstemas o conjuntos mecáncos compuestos por sóldos rígdos en los que todos los enlaces son deales ( sn rozamento ), las fuerzas de enlace tambén generarán en todo momento trabajos nulos.