Departamento: Física Aplicada III. Mecánica Racional (Ingeniería Industrial) Curso i q. k Como las coordenadas q k son libres queda

Transcripción

1 Departamento: Físca Aplcada III Mecánca Raconal (Ingenería Industral) Curso Dnámca Analítca 1. Introduccón. Prncpo de D Alambert a. Enuncado: Cualquer poscón de una partícula puede ser consderada como de equlbro s a las fuerzas actvas se añaden las de nerca b. Reduccón de la dnámca a la estátca : Inclur las fuerzas de nerca como actvas F ma δ r = c. Ecuacón smbólca de la dnámca: ( ) 0 3. Ecuacones de Lagrange para coordenadas lbres a. Condcones: Conunto de coordenadas q 1...q n ndependentes. 1. Vínculos holónomos. n grados de lbertad b. Deduccón r r δ r = δ q; ( F ma ) δr ; ( F ma ) δq q, Como las coordenadas q son lbres queda r n, ( F ma ) () r () r e = ; Q = F e ; Q = F r () () ma = ma e = ma ; A () : Componente covarante de a () () d τ τ d T T ma = m = ; donde T =½m v dt q q dt q q () d T T d T T ma = = ; T: energía cnétca dt dt En consecuenca d T T = Q dt c. Interpretacón en el espaco de las confguracones de n dmensones.. Sstema: N puntos P, n (g.d.l.),. Sstema equvalente: Un solo punto P(x 1...x 3N )= P(q 1...q n ) de coordenadas (q 1,...,q n ) Masa la del sstema M=Σm Energía cnétca la del sstema: T= ΣT 1 n Fuerzas: Q = ( Q1,..., Qn) = Q1e Qne, donde () Q = Q. Sgnfcado de las ecuacones de Lagrange Expresón del segundo prncpo de la dnámca en componentes covarantes d. Aplcacón: Masa puntual m stuada sobre una mesa horzontal sn rozamento y unda medante un resorte, de constante y longtud en reposo nula, a un punto fo O. Incalmente m está stuada a una dstanca ρ 0 y se le mprme una determnada velocdad.

2 Mecánca Raconal (Industrales) Dnámca Analítca e. Caso de sstemas conservatvos.. Expresón del gradente en coordenadas curvlíneas Por defncón F = V dv = Fdr r dv = F dq = Fedq = Fdq V V F = F = e Comparando con la defncón ncal se deduce la expresón del operador y con ello la expresón del gradente en coordenadas covarantes. φ = e ; gradφ = φ = e. Ecuacones de Lagrange d T T V = dt En el caso de que exstan varas fuerzas conservatvas V representa la suma de los potencales ndvduales. El segundo membro podemos pasarlo al prmero. Como V es funcón solo de la poscón no depende de las velocdades generalzadas n del tempo queda d ( T V) ( T V) dt Hacendo L=T-V : funcón lagrangana resulta dt f. Caso de sstemas conservatvos y no conservatvos * = Q dt donde Q * representan las componentes covarantes de las fuerzas no conservatvas g. Caso de coordenadas cíclcas. Defncón: Una coordenada q es cíclca s no aparece en la lagrangana:. Consecuenca. S además Q =0, = cnst. Integral prmera dt Al valor p = se le conocen como momento generalzado, canónco ó q conugado h. Aplcacón: Masa puntual m 1 stuada sobre una mesa horzontal sn rozamento y unda medante un hlo nextensble y sn peso de longtud l, a otra m, que cuelga vertcalmente gracas a un orfco practcado en la mesa. El sstema es conservatvo con dos grados de lbertad descrtos por las coordenadas ρ, θ. ( z = ( l ρ) = ρ l ). Energía cnétca: T=T 1 +T. O Z ρ m g θ X m 1 Pag- / 6

3 Mecánca Raconal (Industrales) Dnámca Analítca 1 T1 = m1( ρ + ρθ 1 1 ); T = mz ; T = m ρ 1 1 T1 = ( m1+ m) ρ + m1ρθ V = m gz; V = m g( l ρ). 1 1 L= ( m1+ m) ρ + m1ρθ + mg( l ρ). Energía potencal:. Lagrangana L=T-V: v. Ecuacón de Lagrange para la coordenada ρ: = ( m1+ m) ρ; = m1ρθ mg dt ρ ρ ( m1+ m) ρ m1ρθ + mg dt ρ ρ v. Ecuacón de Lagrange para la coordenada θ: La coordenada θ es cíclca porque no aparece en la lagrangana. ; ; =. θ dt θ θ Integral prmera del movmento Q θ, cte m1 ρθ= cte 4. Ecuacones de Lagrange para sstemas con coordenadas dependentes a. Caso de coordenadas con lgaduras geométrcas En algunas ocasones no podemos separar las coordenadas dependentes de las ndependentes. En el caso que nos ocupa esta dependenca puede expresarse medante una lgadura entre las coordenadas del tpo ψ(q 1...q n )=0. Para mantener la hpótess de coordenadas ndependentes, necesara para la valdez de las ecuacones de Lagrange, debemos aplcar el prncpo de lberacón y susttur la lgadura por la fuerza de reaccón vncular. De esta fuerza sabemos que es normal a la superfce vncular, defnda por la ecuacón de lgadura ψ(q 1...q n )=0, en el hperespaco de las confguracones. φ = λ ψ Escrbendo el gradente en coordenadas covarantes resulta ψ φ = λ e lo cual sgnfca que la componente covarante de la fuerza de lgadura es φ = λ ψ. S trasladamos este resultado a las ecuacones de Lagrange se obtene q fnalmente: ψ = λ dt Los coefcentes λ se conocen con el nombre de multplcadores de Lagrange En el caso de que exstan varas ecuacones de lgaduras como las anterores ψ (q 1...q n )=0, =1...r; las ecuacones de Lagrange toman la forma: d L L = λ ψ dt Aplcacón: El msmo caso anteror b. Caso de coordenadas lgadas cnemátcamente. Lmtaremos el estudo al caso partcular en que la ecuacón de lgadura es del tpo ψ aq aq n n + b= 0 Multplcando por dt se obtene Pag- 3/ 6

4 Mecánca Raconal (Industrales) Dnámca Analítca adq adq n n + bdt= 0 tenendo en cuenta que el P.T.V. fundamento de las ecuacones de Lagrange, se aplca a tempo constante resulta adq adq n n La ecuacón anteror puede escrbrse en forma vectoral Aδ r ; donde A= ae, δr = δqe y expresa que el vector A es normal a δ r, es decr la dreccón de A es normal a la superfce de lgadura por ello la fuerza generalzada tene la forma φ = λa φ = λa e En defntva las componentes covarantes de la fuerza de lgadura son Q = λa = q λ Ψ Con ello las ecuacones de Lagrange para este caso son: Ψ = λ dt En el caso de que exstan varas ecuacones de lgadura como las anterores ψ a,1q a, nq n + b, = 1... r, la fuerza de lgadura será la resultante de todas ellas y las ecuacones de Lagrange toman la forma: Ψ = λ Y dt Aplcacón: Movmento en un plano v (x,y) horzontal de una varlla oblgada a moverse de tal forma que la velocdad de su centro de masas sea normal a la θ propa varlla G(x,y) 5. Ecuacones canóncas de Hamlton en el caso de coordenadas ndependentes y fuerzas conservatvas a. Momentos conugados. Se ha de recordar que los momentos conugados se defneron como b. Expresón de las ecuacones de Lagrange dp = p = dt dt O p = q X c. Defncón de hamltonano H p q L, donde L=T-V es la lagrangana del sstema = En general H = H( p, q, t). Como se podrá observar mas adelante H no depende explíctamente de las velocdades generalzadas q d. q =. Se obtene dervando parcalmente H p e. p = q Obtencón: Pag- 4/ 6

5 Mecánca Raconal (Industrales) Dnámca Analítca Tenendo en cuenta las ecuacones de Lagrange para el caso conservatvo: p = y q dervando parcalmente H se obtene = p = f. = Se obtene dervado parcalmente H respecto del tempo. S en L no aparece t explíctamente, en H tampoco aparece el tempo g. H no depende explíctamente de q H L H = p = p p 6. Teoremas de conservacón en el caso de fuerzas actvas conservatvas a. Coordenadas cíclcas L d L L p = = co nst. dt Tenendo en cuenta la ecuacón de Hamlton p =, q Lo que nos ndca que en la hamltonana tampoco aparece la coordenada q b. Dervada temporal de la hamltonana. Se ha vsto antes que H = H( p, q, t), luego dh = p q dt p Las ecuacones de Lagrange pueden expresarse medante los momentos generalzados p = y susttuyendo además las ecuacones de Hamlton, resulta q dh L ( qp pq pq pq ) dt = + t dh = dt t c. Caso de lgaduras esclerónomas r = r( q q ) 1 n 1 1 v qe, v τ = = e τ = qe τ e, τ = q τ multplcando por m sumando para todo y escrbendo el sgno sumatoro se obtene 1 T T T = q q = T La hamltonana H = p q L queda H=T-(T-V) H=T+V: Energía del sstema d. Caso de t cíclco L H = cte. e. Caso de t cíclco y vínculos esclerónomos: H=T+U= cte. Pag- 5/ 6

6 Mecánca Raconal (Industrales) Dnámca Analítca Bblografía Cuadernos de Mecánca. Dnámca. Marcelo Rodríguez Danta Curso de MECÁNICA RACIONAL. Dnámca. Manuel Preto Alberca. Edtoral A.D.I Mecánca del Sóldo Rígdo, Carlos F. González Fernández. Arel Cenca. Mecánca Clásca, Herbert Goldsten. Edtoral Agular Físca para Arqutectos, P.Hervas Pag- 6/ 6