COORDENADAS CURVILINEAS ESPACIOS DE RIEMANN

Transcripción

1 COORDENADAS CURVILINEAS ESPACIOS DE RIEMANN Por Javer de Montolu Sscar, Dr. Ing. Ind. 3ª Edcón. Enero 2000.

2 PREAMBULO En este ensayo estudaremos de forma elemental la utlzacón de sstemas coordenados curvlíneos, y en especal la aplcacón de éstos a los espacos de Remann. Para ello seguremos en líneas generales el orden del texto de "Elementos de Algebra Tensoral" de Lchnerowcz, aunque hoy da esté superado. Nuestro obeto no es profundzar en estos temas n hacer demostracones, sno solamente, ntentar ver s el método ntrínseco de álgebra y análss tensoral que hemos aplcado en escrtos anterores puede ser útl para el estudo de un espaco de Remann. El estudo está dvddo en dos partes. En la prmera se consdera un espaco eucldano en general (aunque no sea propamente eucldano), a través de la adopcón de un sstema de coordenadas curvlíneas. Esta prmera parte consttuye una ntroduccón a la segunda parte, que está dedcada a los espacos remananos. Barcelona febrero de 2002.

3 TABLA DE CONTENIDO PREAMBULO... 1 TABLA DE CONTENIDO... I COORDENADAS CURVILINEAS. ESPACIOS DE RIEMANN... 1 A.- COORDENADAS CURVILINEAS EN UN ESPACIO EUCLIDIANO Generaldades Símbolos de Chrstoffel Campo de los e y de los e Campos en general. Dferencal y dervada absoluta Campo de vectores v Campo de tensores Campo escalar B.- ESPACIOS DE RIEMANN Defncón Espacos eucldanos y métrcas tangentes Tensores en V n Tensor de Remann-Chrstoffel Tensor dervada de R Tensor de Rcc Curvatura remannana escalar Relacón de R,R 2 y R con el tensor L fundamental de Gauss de 2ª espece INDICE DE EQUACIONES I

4 COORDENADAS CURVILINEAS. ESPACIOS DE RIEMANN. A.- COORDENADAS CURVILINEAS EN UN ESPACIO EUCLIDIANO 1.- Generaldades Espaco puntual afín. Tensores de punto. Un espaco puntual afín eucldano de dmensón n, se caracterza por su asocacón con un espaco vectoral eucldano de n dmensones de manera que en cada uno de los espacos geométrcos E O, E A,..., que resultan de tomar como orgen los dversos puntos del espaco puntual, pueden adoptarse bases correspondentes a las de E (equpolenca) y en consecuenca puede defnrse una correspondenca entre puntos y bases de E. La correspondenca adoptada habtualmente es la de cualquer punto del espaco afín con una msma base de E. Según sea la correspondenca elegda serán las coordenadas de un msmo tensor de punto en un punto dado, Coordenadas curvlíneas. Hagamos corresponder bunívocamente a cada punto de un espaco puntual afín eucldano y n-dmensonal un sstema arbtraro de n varables escalares {y }. Para ello bastará evdentemente que las coordenadas normales de un punto usadas hasta ahora sean funcones ndependentes y por tanto bunívocas de las n varables {y } correspondentes al punto. Dremos que el sstema {y } es un sstema de coordenadas curvlíneas del espaco s las funcones bunívocas de las que acabamos de hablar son por lo menos tres veces dferencables. Desgnando por r a r = r y exsten por tanto las sguentes dervadas respecto a estas coordenadas varables: k r ; k r ; k r cuyo valor es ndependente del orden en que se efectúa la dervacón. La adopcón de un sstema de coordenadas curvlíneo, corresponde a la eleccón como orgen del punto {0,0,..,0}. 1

5 l.03.- Los valores y correspondentes a cada punto del espaco son las llamadas coordenadas curvlíneas del msmo. Llamando curvas coordenadas a los lugares geométrcos de los puntos del espaco cuyas coordenadas excepto una son las msmas, en dcho espaco tendremos n sstemas de curvas coordenadas. Como los anterores l. g. no son en general líneas rectas, de aquí procede la denomnacón de coordenadas curvlíneas Sstema natural en un punto. Dado un sstema {y } de coordenadas curvlíneas y un punto del espaco eucldano n-dmensonal, asocaremos a dcho punto una base {e } del espaco de tal manera que las dervadas drecconales que en análss tensoral se han desgnado por r tengan el msmo valor que las llamadas ahora de esta manera. Ello sgnfcará pues: r = r = (e y )r = e ( r ) = e quedando defndos los vectores base por: (1) e = r r = y para el punto en cuestón. Así pues podemos escrbr con referenca al punto: (2) dr = dy e ; e dr = dy (3) r = r = e = e (4) k r = e k = e k = k e = k e = k e = k e La base {e } se denomna sstema natural en el punto, del sstema {y } de coordenadas curvlíneas. De esta manera queda establecdo el espaco como un campo de los dversos vectores base e y además como un campo de todos los tensores dervados de los msmos, como los vectores de las bases duales y los elementos de las matrces métrcas correspondentes Todos los tensores asocados al punto ó tensores τ de punto se consderarán de ahora en adelante y salvo avso en contraro, como referdos a la base natural del punto. 2

6 Tambén podrán ser consderados como aplcacones de multplcdad n de las n coordenadas y elegdas como ndependentes y en el campo de éstas se verfcará: (5) dτ = dy τ para todos los tensores de punto, ncluídos los e, e y g El elemento lneal del espaco en cada punto, y en funcón de las nuevas coordenadas, será: (6) dr 2 =ds 2 =(dy e )(dy e ) =(e e )dy dy =g dy dy En un cambo de sstema coordenado curvlíneo, s las coordenadas {y } de un punto se converten en {y k' }, las y son funcones tres veces dferencables de las y k' y recíprocamente. Se deduce fáclmente de ' En el cambo de coordenadas á que acabamos de referrnos, podemos escrbr por (2): y por consguente: dr =dy k' e k' e = r k = y y e k y ; e = r h y = e h y y e e = k y h y y e k y e h resultando la sguente relacón: k y (7) g = y h y g k h Para un sstema de curvas coordenadas, hemos deducdo aquí un campo de bases vectorales y es fácl ver que cuando el sstema de curvas coordenadas concda con el de las coordenadas cartesanas habtuales, el campo de bases será unforme. Exste pues una correspondenca recíproca entre sstemas de curvas coordenadas y campos de bases vectorales, y la eleccón de los unos determna a los otros. y 3

7 2.- Símbolos de Chrstoffel Como veremos, resulta convenente utlzar las sguentes expresones característcas de un sstema coordenado curvlíneo en el entorno nfntesmal de un punto dado. (8) Γ k =( k e )e =( e )e ; Γ k k =( e k =( )e e )e k En vrtud de (3) y de la defncón, exste una smetría entre índces extremos: Γ k = Γ k ; Γ = Γ k k Paso de una a otra expresón. En el campo de las varables e y tensoral que se verfca: e sabemos por algebra y por lo tanto: e = g h e h ; e = g h e, h e = g h e ; h e = g h e h Γ k =( k e )e = ( k e )g h e h = g h Γ k h Γ k =( k e )e = ( k e )gh e h = gh Γ kh y por lo tanto Γ k =( k e )e = ( e )g h k e = g h h Γ kh Γ k =( k e )e = ( k e )g he h = g h Γ k h Expresón de las Γ en funcón de los g. Para una varacón dr por (5) se verfca: dg = dy k k g = dy k k (e e ) = dyk [( k e )e + ( k e )e ] = dy k (Γ k + Γ k ) de donde tambén: k g = Γ k + Γ k g k = Γ k + Γ k g k = Γ k + Γ k Tenendo en cuenta la smetría de las Γ al sumar membro a membro las dos prmeras gualdades y restar la tercera, obtenemos: 4

8 Por consguente: 2Γ k = k g + g k - g k Γ k = 2 1 ( k g + g k - g k ) Γ k = gh Γ kh = 2 1 g h ( k g h + g hk - h g k ) Símbolos de Chrstoffel. Son los algortmos defndos por: Símbolo de 1ª espece: { k, } = 2 1 ( k g + g k - g k ) Símbolo de 2ª espece: { k } = gh { k,h } Tenendo en cuenta estos símbolos, los resultados anterores pueden expresarse así: Γ k = { k, } Γ = { } k k Los símbolos de Chrstoffel, que son escalares, tambén son coefcentes tensorales pero no de un tensor de tercer orden sno del tensor e o dervada de e, que es de segundo orden, como podrá verse en '3.04 a,b La mportanca de los símbolos de Chrstoffel derva de la utldad de su conocmento para determnar dversas característcas de un espaco y de que a su vez son calculables, como hemos vsto, a partr de los elementos de la matrz métrca, y éstos son datos de utlzacón habtual. 5

9 3.- Campo de los e y de los e Recordaremos del álgebra tensoral: Tensor I de la aplcacón déntca de un vector: I = e e = e e Expresón de un tensor τ en relacón con una base {σ } ó {σ } del espaco vectoral de los tensores de su orden: τ = t σ = t σ t = τ σ ; t = τ σ Tambén tendremos presente (5) y las ecuacones anterores Tensor dferencal de. a) Coefcente contravarante relatvo a e : de e = [dy k ( k e )]e = dy k Γ k b) Coefcente covarante relatvo a e : de e = [dyk ( k e )]e = dyk Γ k c) Expresones de de y k e deducdas de a) y b): y como tenemos por (5): de = dyk Γ k e =dyk Γ k e podremos escrbr: de = dyk k e k e = Γ k e = Γ k e Tensor dferencal de. a) Coefcente covarante relatvo a e : Se verfca: de e = d(e e ) - e (de ) = -dyk Γ k puesto que e e en todo punto es o cero o uno y por tanto el prmer térmno tene dferencal nula y en cuanto al segundo hemos vsto su valor en el párrafo anteror. 6

10 b) Expresón de de y de k e : De la msma manera que en el párrafo anteror obtenemos: de = -dy k Γ k e ; k e = -Γ k e e (Dervada de e ). a) Coefcente mxto relatvo e e e k : [(e )= ]: ( e )(e e k ) = ( e )e k = Γ k b) Coefcente covarante relatvo a e e k : [(e )= ]: ( e )(e e k ) = ( e )e k = Γ k c) Expresón de e deducda de a) y b): e = Γ k (e e ) = Γ (e k k e k ) e (Dervada de e ). El coefcente covarante relatvo a e e k es: ( e )(e e k ) = ( e )e k = -( e k )e = -Γ k y por tanto: Dvergencas. e = -Γ k (e e k ) Recordaremos que I (a b ) = a b, y por lo tanto: e =I ( e ) = I k Γ (e e ) = Γ k k (e e ) = Γ k k k e =I (-Γ )(e k e k ) = -Γ k (e e k ) = -Γ k gk Tensores rotaconales. Como en un térmno aslado podemos permutar y k, escrbremos: e = ( e )-(e ) = Γ k (e e k ) - Γ k (e k e ) = = Γ k (e e k ) - Γ k (e e k ) = (Γ k - Γ k )(e e k ) e = ( e )-(e ) = -Γ (e k e k ) + Γ (e k k e ) = = -Γ (e k e k ) + Γ (e k e k ) = (Γ k -Γ )(e k e k ) = e es un tensor smétrco, pues acabamos de 7

11 ver que el tensor rotaconal de e es nulo. En consecuenca el campo de los e admte potencal. Vamos a ver que el potencal relatvo a e expresarse en cada punto por su coordenada y. puede Pues sabemos que se verfca: y y = y y tendremos: = (símbolo de Kronecker) (y ) = (e )y = e ( y ) = e = e Así pues e es el gradente del campo de coordenadas Como salvo el caso de coordenadas rectlíneas no es smétrco el tensor e en todos los puntos del espaco, la crculacón de e en una línea cerrada no será nula en general, y tendremos: e dr 0 Por lo tanto e dr no es dferencal de una funcón y de punto, lo que habremos de tener en cuenta s escrbmos e dr = dy No exste pues, en general, un sstema coordenado {y } dual del orgnal {y }. Para evtar confusones, de ahora en adelante no consderaremos los símbolos,, n sustturemos dr por dy e Relacón de Γ k con g = Det {g h }: Partremos del valor de g vsto al tratar del tensor fundamental en el álgebra tensoral (10 parte D'4.05), y dferencaremos este valor a contnuacón: g= [(e 1 e 2.. e n ) ]2 dg = 2(e 1 e 2.. e n ) [ (e 1 e 2.. de.. e n ) ] Susttuyendo de por el valor dyk Γ k e hallado anterormente, tendremos: = 2(e 1.. e n ) [dyk Γ k (e 1 e 2.. e.. e n ) ] = 2g dy k Γ k pues el sumatoro respecto solamente no se anula para =, 8

12 convrténdose en un sumatoro respecto. Del últmo valor deducdo, sabendo que dg = dy k k g y para cualquer sgno de g, obtenemos: k g = 2gΓ Γ = k k k g 2g = k g g En consecuenca, tambén se verfca: e = g g 9

13 4.- Campos en general. Dferencal y dervada absoluta Sea un campo tensoral de tensores τ de cualquer orden asocados a los puntos del espaco. Los coefcentes del tensor los supondremos sempre referdos a la base natural del punto asocado, determnada por el sstema de coordenadas curvlíneo adoptado. Las propedades generales de estos campos tensorales serán estudadas aquí a través de tensores de segundo orden, pero podremos ver que es fácl extenderlas a tensores de cualquer orden. La varacón que expermenta una coordenada t de un tensor τ al consderar el nuevo tensor correspondente a un punto nfntamente próxmo dado por dr = dy k e k con su nueva base, es evdentemente: (9) dt = dy k k t como resulta de aplcar la ecuacón general (5) S para el segundo punto consderado hubésemos tomado la msma base que para el prmero en vez de consderarla dstnta, la varacón obtenda para el coefcente examnado sería dstnta. Esta últma varacón es la que se denomna dferencal total ó absoluta del coefcente t del tensor de campo τ, que aquí desgnaremos por d a t. La desgnacón habtual es t, pero aquí no la usaremos para evtar confusones con el vector nabla. La dferencal absoluta de un coefcente t de τ vemos que concde con el coefcente de dτ respecto al tensor base e e correspondente al prmer punto de referenca y por tanto podremos escrbr: (10) d a t = dτ (e e ) = d a [τ (e e )] (11) dτ = (d a t )(e e ) [= (d a t )(e e ) =...] como ecuacones fundamentales para cualquer orden tensoral La dferencacón absoluta sólo tene sentdo cuando se aplca a los coefcentes tensorales correspondentes a tensores ndependentes del sstema coordenado adoptado, y sgue las reglas de la dferencacón normal. Tendremos por eemplo para un doble campo τ y σ : 10

14 d a (t s nm ) =d a [(τ σ )(e e e n e )] =[d(τ m σ )](e e e n e )= m [(dτ σ ) + (τ dσ )](e e e n e ) = m =[dτ (e e )]s nm + t [dσ (e n e )] = (d m a t )s nm + t (d a s nm ) La aplcacón de la regla anteror se smplfca cuando uno de los tensores es coefcente del tensor déntco I, pues por tener di =0, se verfca: o teorema de Rcc. 0 = d a g = d a g = d a g Esto sgnfca tambén, que son permutables las operacones dferencacón absoluta y multplcacón por un coefcente de I. Eemplo: d a (g t sk ) = g (d a t sk ) Dervada absoluta covarante. La dervada absoluta covarante, al gual que la dferencal absoluta, solo tene sentdo cuando se aplca a los coefcentes tensorales correspondentes a tensores ndependentes del sstema coordenado adoptado Defncón.- Dado un tensor de campo τ, llamamos dervada absoluta covarante de uno de sus coefcentes t respecto a k en un punto dado, al valor que para el punto tene la sguente expresón: d (12) k t at = k dy d a t = dy k ( k t ) Puede verse fáclmente que el operador k de dervacón absoluta covarante actúa sobre los productos de coefcentes tensorales de gual manera que el operador de dervacón ordnara. Una dervada absoluta solo tene sentdo cuando está aplcada a un coefcente tensoral y en vrtud de la ecuacón anteror o las (13),(14), ó (15) sguentes Relacón entre la dervada parcal de un tensor y las dervadas absolutas covarantes. Es la sguente: (13) k τ = k [t (e e )] = ( k t )(e e ) k v = ( k v )e kϕ = k ϕ Puesto que tenendo en cuenta (5) y (11) se verfca: (14) dτ =dy k ( k τ ); dτ =(d a t )(e e )=dyk ( k t )(e e ) 11

15 dv = dy k ( k v )e dϕ = dyk k ϕ=dy k k ϕ Sea el producto contracto de una magntud tensoral τ de punto por un tensor operador tal como, ( ) ó ( ) que representaremos por ϕ ( ). Eemplo para τ =t (e e ). Se verfca: [ϕ ( )]τ =[ϕ (e k k )]τ =[ϕ (e k )] k τ = =[ϕ (e k )]( k t )(e e ) Aplcacón a τ [ϕ (e k ) = e k ]: (15) τ = e k ( k τ ) = e k [ k t (e e )] = ( k t )(e k e e ) Propedades dversas. Vemos por la últma ecuacón que las dervadas covarantes son los coefcentes del tensor dervada. De los casos anterores se deduce tambén: k t = (d k τ )(e e ) k t = ( τ )(e k e e ) Casos partculares. a) S para un domno, el campo de τ es unforme, en sus puntos se verfcará: d a t = 0; k t = 0 b) S para un domno las coordenadas son rectlíneas, en él se verfcará: y recíprocamente. d a t = dt ; k t = k t c) Son permutables las operacones dervacón covarante y multplcacón por un coefcente de I : k (g t kn ) = g ( k t kn ) 12

16 5.- Campo de vectores v Sea un campo vectoral v =v e =v e. Vamos a estudar sus característcas al adoptar un sstema de coordenadas curvlíneas Dferencales absolutas: d a v = dv e = [d(v h e h )]e = (dv h )e h e + v h (de h )e = = dv + v h dy k Γ = k h ( dyk k v + v h Γ ) k h d a v = dv e = [d(v h e h )]e = (dv h )e h e + v h (de h )e = = dv - v h dy k h Γ = k ( dyk h k v - v h Γ ) k Dervadas covarantes absolutas: De las ecuacones anterores y de (8) deducmos: k v = k v + v h Γ k h k v = k v - v h Γ k h Dferencal de v : Como sus coefcentes son, por '4.02, las dferencales absolutas de los coefcentes de v, tendremos: dv = (dv + v h dy k Γ k h )e = dyk ( k v + v h Γ k h )e dv = (dv - v h dy k Γ k h )e Dervada de v : = dy k ( k v - v h Γ k h )e Sus coefcentes son, por '4.09, las dervadas absolutas covarantes de los coefcentes de v, tendremos: v = k v (e k e ) = ( k v +v h Γ k h )(ek e ) v = k v (e k e ) = ( k v -v h Γ k h )(ek e ) Dvergenca v : v = I ( v ) = I ( k v + v h Γ k h )(e k e ) = v Sabendo por '3.09 que se verfca + v h Γ h Γ k = k g 2g = k g g podemos hallar otra expresón: 13

17 v = v + v h h g g = v + v g g = 1 ( g v ) g Tensor rotaconal Rot v = v = v - v Se verfca: y por consguente: v = ( k v -v h Γ k h )(e k e ) v = ( k v -v h Γ k h )(e e k ) = ( v k -v h Γ h k )(e k e ) Como las Γ tenen smetría,k, al restar obtendremos: Rot v = ( k v - v k )(e k e ) Rot k v = k v - v k 14

18 6.- Campo de tensores. Sea un campo de tensores τ ndependentes del sstema coordenado adoptado, tensores que para mayor sencllez supondremos de 21 orden. Los resultados será fácl extenderlos a órdenes superores Dferencales absolutas. d a t = dτ (e e ) = (e e )[d{t m n (e n e )}] = m =(e e )[dt m n (e n e ) + t m m n (de n e ) + t m m n (e n de )] = m =dt m n (e e n )(e e ) +t m m n (e de n )(e e ) +t m m n (e e n )(e de )= m = dt + t n (-e n de ) + tm (e de ) = m = dt - t n dy k n Γ + t m k dy k Γ k m Análogamente tendríamos: d a t = dt + t n dy k Γ k n + tn dy k Γ k n d a t = dt - t n dy k Γ k n - t n dyk Γ k n correspondendo el sgno postvo o negatvo a la Γ con la n en poscón nferor o superor respectvamente Dervadas absolutas covarantes. Susttuyendo dt, dt y dt en las expresones anterores por sus equvalentes respectvas dy k k t, dy k k t y dy k k t y procedendo como en el campo vectoral, tendremos: k t = k t - t n n Γ + t n k Γ k n k t = k t + t n Γ k n + tn Γ k n n k t = k t - t n Γ - t Γ n k n k Dferencal de τ. Obtendremos su expresón susttuyendo en dτ = d a t (e e ) = d a t (e e ) = d a t (e e ) los valores hallados para las dferencales absolutas Dervada de τ. Hemos vsto su obtencón en '4.08: 15

19 τ = k t (e k e e ) = k t (e k e e ) = k t (e k e e ) Las dervadas absolutas sempre son coefcentes de las dervadas totales Cuando el campo tensoral es unforme, serán evdentemente nulas las dferencales y dervadas absolutas en todos los puntos y recíprocamente. Tene especal nterés el campo del tensor I, que es unforme para todo espaco eucldano. Por '6.02 tenemos para él: 0 = k g = k g - g n n Γ + g n k Γ k n 0 = K g = k g + g n Γ k n + gn Γ k n n 0 = k g = k g - g n Γ - g Γ k n k y susttuyendo por '2.02 en la 1ª y 3ª ecuacón, tendremos: n 0 = k g - Γ + Γ k k 0 = k g - Γ k - Γ k El vector a los efectos de la dervacón absoluta puede consderarse como un vector unforme = k e k respecto a una base unforme y a los símbolos k como coefcentes vectorales, y por tanto posbles obetos de dervacón covarante. Vamos a ver una aplcacón de esto, a obtener la expresón del tensor v medante (15) y (13): v = [ v ] = e k [ k ( v )](e e ) = ( k v )(e k e e ) Una consecuenca de lo que antecede, y de que la dervacón absoluta covarante opera como la ordnara, es que se verfca lo sguente: k ( v ) = ( k )v + ( k v ) Tensor d( v ). A título de eercco práctco, vamos a obtener su expresón de varas maneras. a) d( v ) = ( v )dr = ( k v )(e k e e )dr = = ( k v )(e e )(e k dr ) = dy k ( k v )(e e ) b) d( v ) = d[( v )(e e )] = [d a ( v )](e e ) = = dy k ( k v )(e e ) c) d( v ) = d v + dv 16

20 Por (14) con = e, se tene d =dy k ( k )e consguente: y por d v = [dy k ( k )e ] v e = d v = dy k [( k )v ](e e ) Por otra parte, por (15) y (14), tendremos: dv = e [dy k { ( k v )}e ] = [ dyk ( k v )](e e ) y sumando: d( v ) = dy k [( k )v + ( k v )](e e ) pero tenemos por '6.06: ( k )v = k ( v ) - ( k v ) y susttuyendo: d( v ) = dy k [ k ( v )](e e ) = [ dyk k v ](e e ) 17

21 7.- Campo escalar. Sea un campo escalar ϕ. Tendremos pues sempre k ϕ = k ϕ Gradente ϕ. ϕ = (e k k ) ϕ = e k ( k ϕ) = g k e k ϕ y por tanto k ϕ es la coordenada covarante ( ϕ) k, g k k ϕ será ( ϕ) y ( ϕ)( ϕ) tendrá el sguente valor: ( ϕ)( ϕ) = [e k ( k ϕ)][e ( ϕ)] = ( k ϕ)( ϕ)g k Laplacana ( ϕ). ( ϕ) = [e k ( k ϕ)] = e [ ( k ϕ)]e k = [ ( k ϕ)]g k = [ ( ϕ) k ]g k Pero sabemos ('5.03) que se verfca: ( ϕ) k = ( ϕ) k - ( ϕ) h Γ h k = ( kϕ) - ( h ϕ)γ h k y por consguente: ( ϕ) = [ k ϕ - ( h ϕ)γ h k ]gk Podemos encontrar otra ecuacón de la laplacana deducda de la expresón de la dvergenca de un vector v cualquera, aplcada a v =( ϕ) ('5.05). Llamaremos G a la raíz cuadrada del módulo de g. v = G -1 (Gv ) ( ϕ) = G -1 [G( ϕ) ] = G -1 (Gg k k ϕ) 18

22 B.- ESPACIOS DE RIEMANN 1.- Defncón Consderemos una varedad puntual V n de n dmensones, cuyos puntos se pueden dentfcar medante sstemas arbtraros de n coordenadas {y }. Se denomna espaco de Remann, cuando estos sstemas reúnen las condcones sguentes: 1ª.- Exste una métrca que, para el sstema coordenado elegdo, corresponde en todo punto a la forma cuadrátca dferencal: ds 2 = g dy dy cuyos coefcentes g son funcones de las coordenadas del punto. Estas funcones son smétrcas, de campo contnuo y dferencables hasta un orden sufcentemente elevado. 2ª.- En un cambo de sstema coordenado, s las coordenadas {y } de un punto se converten en {y k }, las y son funcones dferencables de las y k hasta un orden sufcentemente avanzado, y recíprocamente. 3ª.- En todo cambo de coordenadas de {y } a {y k } los coefcentes g camban según la ley: g = y y y y k h g k h Los espacos de Remann, análogamente a los eucldanos, se denomnan propamente remananos cuando la forma cuadrátca de su métrca sea defnda postva. En el caso general, dcha forma puede expresarse como suma algebraca de n cuadrados de formas dferencales lneales y se llama sgnatura de la forma al conunto de los sgnos + y -que preceden a estos cuadrados Todos los espacos eucldanos, tanto s se consderan respecto a coordenadas cartesanas normales o respecto a coordenadas curvlíneas en general, verfcan las condcones exgdas a los espacos de Remann y consttuyen por tanto un caso partcular de estos últmos Un eemplo típco de espaco de Remann de n dmensones, es el espaco puntual cuyos puntos representan cada una de todas las confguracones posbles en un sstema dnámco con n grados de lbertad. Un eemplo más sencllo, es el conunto de puntos de una superfce en el espaco geométrco ordnaro, que puede consderarse como un espaco de Remann de 2 dmensones. 19

23 2.- Espacos eucldanos y métrcas tangentes Defncón y eemplo de espaco eucldano tangente en un punto. Relaconemos un espaco V n de Remann con un espaco eucldano E n de guales dmensones y sgnatura, de manera que a cada punto de V n corresponda un únco punto de E n y que a toda línea contínua del espaco de Remann corresponda una línea contínua del espaco eucldano. Impongamos a esta correspondenca la condcón de que s tenemos en V n un punto M 0 y dos puntos próxmos tales como M y M, de mágenes m 0, m y m' respectvamente, al tender a 0 las dstancas M 0 M, M 0 M y MM, tende a verfcarse: M 0 M = m 0 m; M 0 M = m 0 m ; MM = mm y que cuando M 0 M y M 0 M son nfntésmos de prmer orden, las dferencas de estas dstancas con las de sus mágenes son nfntesmales de tercer orden. Se demuestra que en general sempre hay un espaco eucldano que verfca las condcones menconadas con cualquer par de puntos nfntamente próxmos a M 0. A este espaco lo llamamos espaco eucldano tangente al espaco remannano en el punto M 0. Un eemplo de espaco eucldano tangente lo tenemos para un punto M de una superfce en el espaco geométrco ordnaro, cuando proyectamos ortogonalmente los puntos de la superfce sobre el plano tangente en M Métrcas tangentes y osculatrces en un punto. Las mágenes de las curvas coordenadas de V n forman n sstemas de curvas en el espaco eucldano tangente en M. S en este espaco tangente adoptamos un sstema de coordenadas curvlíneas tal, que las curvas coordenadas correspondentes a m sean tangentes a las curvas magen de las curvas coordenadas correspondentes a M, dremos que la métrca eucldana resultante es tangente en M a la métrca de Remann Las métrcas tangentes se caracterzarán pues por concdr los coefcentes g en m con los coefcentes g propos de M. S las curvas adoptadas para m no sólo hubesen sdo tangentes sno osculatrces a las curvas magen, tendríamos una métrca eucldana denomnada osculatrz en M a la métrca de Remann. Una métrca eucldana osculatrz no solo tene en m unos valores comunes g con la métrca remannana en M sno que 20

24 tene tambén valores comunes para sus dervadas k g y en consecuenca lo msmo ocurre con los símbolos de Chrstoffel Espaco tangente a una línea de V n. Se demuestra que s tenemos una línea C cualquera en un espaco de Remann, podemos construr un espaco eucldano que sea tangente a la vez en todos los puntos de C. La magen de C en este espaco eucldano es una línea llamada carta o desarrollo de C sobre el espaco eucldano. En la teoría elemental de superfces tenemos un eemplo de carta: Sea C una curva trazada sobre una superfce S y consderemos la superfce desarrollable crcunscrta a S a lo largo de C. S la desarrollable se aplca sobre un plano, C determna en el plano una curva que es la carta de C Métrca eucldana de aplcabldad. Se demuestra que sobre un espaco eucldano tangente a una línea de V n es posble construr una métrca que no sólo sea tangente sno que sea osculatrz de la métrca remannana en todos los puntos de la línea. Se denomna métrca eucldana de aplcabldad a lo largo de la línea Geodéscas. Sea en V n una línea cuyos puntos venen dados en funcón de un parámetro escalar t que llamaremos tempo. Tomando un modelo cnemátco, podremos defnr a la línea como trayectora de un punto. Llamamos geodésca a la trayectora del punto cuando la aceleracón es nula. Por tanto, la ecuacón dferencal de la geodésca es: d r = Constante dt y una línea es geodésca cuando su carta es una línea recta Dstancas extremales. La dstanca sobre V n entre dos de sus puntos A y B es extremal cuando se mde sobre una geodésca. Llamando dr al vector de módulo ds defndo en un espaco eucldano tangente, común a todos los puntos de la línea ab magen de AB, dremos que la longtud del segmento ab de la magen del segmento AB pertenecente a V n es: I = b = b ds dt ads adt 21 b r r dr dr = dt dt dt a

25 sendo s el escalar dstanca longtud desde el punto a ncal. Para determnar el valor extremal de esta ntegral, recurrremos a la fórmula varaconal de Euler, que en su forma vectoral es la sguente: f - d r f r dt = 0 En nuestro caso tendremos: r r r r ds dr dr 1 dr dr f= = df= d dt dt dt f dt dt f =0 r ; f = 1 r f d r dt y por consguente la condcón de extremal es: 0 d = dt 1dr r d dt dr r d d r = = f dt dt ds dt dt ds d r ds = Constante Por consguente, la condcón de extremal es que la carta sea rectlínea, al gual que la condcón de geodésca. 3.- Tensores en V n Decmos que en un espaco de Remann tenemos un campo de tensores, cuando para cada uno de sus puntos M queda defndo un tensor del espaco eucldano tangente a M aplcado a la magen m. Para comparar los tensores de un espaco de Remann correspondentes a dos puntos dstntos, sólo es posble, y así se hace, utlzando un espaco eucldano tangente a una línea que contenga dchos puntos, pero deberemos tener en cuenta que los resultados no tenen por qué ser los msmos s utlzamos líneas dstntas Para una determnada línea, sí que concdrán los resultados s ntegramos las varacones dferencales obtendas al pasar de un punto de la línea a otro nfntamente próxmo, calculadas sobre el espaco eucldano tengente a la línea. Al cálculo de las coordenadas de dferencales y dervadas de un tensor con referenca a un sstema coordenado remannano deberemos aplcar en el espaco eucldano tangente una métrca osculatrz. El conocmento de los símbolos de Chrstoffel, comunes a ambos espacos nos permte determnar las Γ y con ello el campo en el entorno nfntesmal de cada punto. 22

26 Tanto dferencales y dervadas normales de tensores como dferencales y dervadas absolutas de coefcentes defndas en el campo eucldano tangente, se consderan tambén defndas en el espaco de Remann Consecuenca que podemos deducr de los párrafos anterores, es que un espaco de Remann es eucldano s y sólo s para cualquer campo vectoral v y cualquer línea cerrada se verfca: dv = 0 Cuando esta condcón solamente se verfca en el entorno nfntesmal de un punto, decmos que en este punto el espaco remannano es localmente eucldano Tensores smbólcos y. Consderemos el operador tensoral, cuyo segundo factor a los efectos de dervacón afecta a algún tensor, y cuyo prmer factor, a los efectos de dervacón, actúa sobre el msmo tensor y además sobre el segundo factor Este tensor se ha estudado en relacón con un espaco vectoral eucldano y bao la hpótess de que en éste no mporta el orden en que se efectúe una doble dervacón resulta ser un tensor smétrco. Vamos a estudarlo ahora en relacón con un espaco de Remann, prescndendo por tanto de la hpótess menconada. Se verfcará: = e e = e [( e ) ] + (e e ) = y susttuyendo e por su valor dado en A '3.03b : = - e (Γ k e k ) + (e e ) = y permutando k por en el prmer térmno: = - e (Γ k e k ) + (e e ) = (e e )(-Γ k k + ) Por la smetría de Γ, es smétrco el prmer sumando del coefcente de y por lo tanto será smétrco s y sólo s tambén lo es el segundo sumando, o sea que para cualquer tensor τ se verfque: τ = τ ( τ ) = ( τ ) Esta gualdad que es certa en los espacos eucldanos no lo es para todos los puntos de un espaco remannano no eucldano. Así pues, en un espaco remannano, en general no se 23

27 anula el tensor antsmétrco dferenca entre y su transpuesto, dferenca que por defncón es el tensor, cuya expresón será: = (e e ) - Por consguente, sólo será smétrco y sólo será nulo, en los puntos en que el espaco es localmente eucldano. Podremos expresar ndcando con un subíndce el orden de dervacón sucesva sobre un msmo tensor, de la manera sguente: = Por todo lo que antecede, tenemos fnalmente: ( ) τ = e e - τ = e e [ ( τ ) - ( τ )] Sendo así que según el álgebra tensoral se verfca para vectores normales cualesquera: a b = 2 1 [(a b + b a ) + (a b )] y que por tanto la componente antsmétrca de a b es 2(a b ), y la de es 2, la componente con antsmetría 1,2 de τ es: 1 [( ) τ ] Para un campo escalar α en un espaco de Remann, evdentemente no exste dferenca en la varacón de α según se sga un camno u otro. Por consguente: ( )α = 0 ; - α = 0 y en consecuenca para cualquer sstema coordenado remannano determnado se tendrá: - g hs = 0 = - (e h e s ) - Γ = 0 = - [ r e s )e t ] = - [( r e s )e t ] En un doble campo τ,σ, se verfcará; - (τ σ ) = [ (τ σ )] - [ (τ σ ) = = [( τ)σ + ( σ)τ ] - [( τ)σ + ( σ)τ ] = 24

28 = ( τ)σ + ( τ)( σ) + ( σ)τ + ( σ)( τ) - -( τ)σ - ( τ)( σ) - ( σ)τ - ( σ)( τ) = = ( - τ)σ + τ( - σ) Cuando τ y σ son de gual orden se tendrá: - (τ σ ) = 0 ; ( - τ )σ = - τ ( - σ ) Un espaco remannano es euclídeo s y sólo s para cualquer campo vectoral v ( y por lo tanto para cualquer campo tensoral de orden mayor que uno), la varacón del vector de campo a lo largo de cualquer línea cerrada es nula. Ello equvale a decr que es nula la varacón a lo largo de cualquer línea cerrada nfntamente próxma a un punto cualquera. Vamos a expresar esta varacón: El vector dferencal dl es un elemento de línea orentado, de segundo orden nfntesmal, y sabemos por cálculo tensoral que esta varacón se puede representar por: dv = [( v )r ]dl = ( v )dσ en cuya expresón, dσ es el tensor superfce: dσ = (r dl ) correspondente a la línea cerrada. Sabemos por cálculo tensoral que en la expresón de dσ, r representa el vector nfntesmal de poscón del elemento nfntesmal de segundo orden dl de la línea cerrada orentada en el sentdo de la ntegracón. Como tambén sabemos por cálculo tensoral, que dσ es un tensor totalmente antsmétrco cualquera, podremos susttur en la expresón de dv el tensor v por su componente antsmétrca 1,2 que hemos vsto que es 2( ) v y obtenemos fnalmente: (1) dv = 2 1 [( ) v ]dσ Vemos pues que dv será nulo para cualquer v y cualquer dσ s y sólo s es nulo, es decr, =. 25

29 4.- Tensor de Remann-Chrstoffel Expresón de la varacón de un vector base e a lo largo de una línea cerrada nfntamente próxma a un punto. Por lo dcho en el párrafo anteror se tene: sendo dσ línea cerrada. de = 1 [( ) e 2 ]dσ el tensor superfce correspondente a la Vamos a estudar la expresón rs-sr e. Partremos de la base que a) Las dervadas del tensor fundamental son nulas. di = d(e t e t ) = d(e t e t ) = 0 b) Las dervadas rs-sr de un producto de dos vectores son nulas. rs-sr (e t e ) = rs-sr (e t e ) = 0 escrbr: Subrayando la parte afecta al operador rs-sr podremos e = e (e t e t ) = (e e t )e t = e (e t e t ) = -e (e t e t ) e = e (e t e t ) = (e e t )e t = e (e t e t ) = -e (e t e t ) Estas gualdades nos permten escrbr: 2 de = {( ) [e (e t e t )]}dσ = {[( ) e t e t ]dσ }e 2 de = {( ) [e (e t e t )]}dσ = {[( ) e t e t ]dσ }e 2 de = {( ) [-e (e t e t )]}dσ = -{[( ) e t e t ]dσ }e 2 de = {( ) [-e (e t e t )]}dσ = -{[( ) e t e t ]dσ }e tensor Denomnamos tensor de Remann-Chrstoffel al (2) R = ( ) e t e t con lo que la expresón de la varacón de e 26 queda así:

30 (3) de = 1 (Rdσ )e En general, en los textos no se cta el tensor dσ y se aplca la fórmula del tensor de Remann-Chrstoffel al caso de que la línea cerrada sea un paralelogramo en el espaco tangente (cuas paralelogramo en el espaco de Remann). Vamos a ver que los resultados concden, al adaptar la ecuacón (3) a un paralelogramo. dz dx dy Por cálculo tensoral sabemos que refréndonos a un vértce de un trángulo, el tensor superfce de éste es: 1 (dx dy ) 2 y que para hallar el tensor de un paralelogramo podemos componer dos trángulos con el sguente resultado: dσ = 2 1 (dx dy + dy dz ) = 2[dx (dx +dz ) + (dx +dz ) dz ] = = 2 1 (dx dz + dx dz ) = dx dz Pero como dx dz es el componente antsmétrco de 2(dx dz ), y dσ vene multplcado por R que tene antsmetría 1,2, en la expresón de la varacón de e podemos susttur dσ por 2(dx dz ), con lo cual la expresón de la varacón es de = [R (dx dz )]e que corresponde a la fórmula habtual Smetrías en el tensor R de Remann Chrstoffel. 1ª.- De las expresones obtendas para R se deduce nmedatamente la antsmetría 1,2 así como la antsmetría 3,4. 2ª.- Indcando los factores de R en la forma (1234), el tensor R tene la smetría especal: (1234) + (2431) + (4132) = 0 Pues susttuyendo por , se tene: (1234) = 2 1 e t e t e t e t 27

31 (2431) = 1 e t e t 2-2 e t e t 1 (4132) = e t 2 e t 1 - e t 1 e t 2 Tenendo en cuenta que, según hemos vsto al estudar las coordenadas curvlíneas en espacos eucldanos, la dervada 1 e t es un tensor smétrco y por lo tanto un tensor no varía al permutar 1 por e t, al sumar membro a membro las tres gualdades, vemos que los térmnos del segundo membro se anulan entre sí. Como por la prmera smetría tenemos (1234) = (2143), la últma smetría tambén se verfcará a partr de (2143) con lo que obtenemos: (2143) + (3241) + (1342) = 0 así como se verfcarán las gualdades que resulten de efectuar en cada térmno las msmas transposcones sea sobre la ecuacón anteror o sobre esta últma. 3ª.- Smetría (1234) = (3412). Podemos escrbr por la 20 smetría: y susttuyendo los valores: (1234) = -(2431)-(4132) (1234) = -(2314)-(3124) -(2431) = (3412) + (1423) -(3124) = (3241) + (3412) al sumar membro a membro tendremos: 2(1234) = 2(3412) + (1423) - (4132) - (2314) + (3241) Pero por la 1ª smetría (1234) = (2143) y por tanto, cambando el orden de estas dos formas de gual manera tambén tendremos: (2314) = (1423); (4132) = (3241); con lo que la anteror gualdad se reduce a 2(1234) = 2(3412) (1234) = (3412) 4ª.- Las smetrías demostradas permten su generalzacón, pues como por ellas se verfca: (1234) = (2143) = (3412) = (4321) 28

32 tambén se verfcará: (3412) + (4213) + (2314) = 0 (4321) + (3124) + (1423) = 0 así como todas las gualdades que se puedan deducr de estas últmas o de las anterores por transposcón de factores tensorales Coefcentes del tensor de Remann-Chrstoffel. R,rs. El coefcente R rs se acostumbra a representar por Tenendo presente que rs-sr sobre un producto de vectores es nulo, se puede calcular así: R rs = [( ) e t e t )](e r e s e e ) = [( )(e r e s )](e t e )(e t e ) = ( rs-sr e t )e (e t e ) = = -( rs-sr e )e t (e t e ) = -( rs-sr e )[e (e t e t )] = -( rs-sr e )e = ( rs-sr e )e Estas cordenadas pueden ponerse en funcón de las Γ de la sguente manera: R,rs = ( rs-sr e )e = Γ - Γ +Γ h Γ -Γ r s s r s rh r h Γ sh R = ( e,rs rs-sr )e = r Γ s - Γ +Γ h Γ -Γ h Γ s r s r h r s h Pues sabemos por álgebra tensoral que I (a b )=a b y por tanto tenemos: ( rs e )e = [ r ( s e )]e = r [( s e )e ] - ( s e )( r e ) = = r Γ s - I ( s e r e ) = r Γ s -(e h e h )( s e r e ) = = r Γ s - [( s e )e h ][( r e )e h ] = r Γ s - Γ sh Γ r h Tenendo en cuenta que ( r e )e h = - ( r e h )e, obtendríamos análogamente: ( rs e )e = r Γ + Γ h Γ s s r h Restando de estas expresones las que resultan de permutar r por s, obtenemos nmedatamente las fórmulas ndcadas. 29

33 Además de la expresón de R utlzada hasta ahora se utlza tambén la sguente: R = e e e t - e t que se obtene nmedatamente de la anteror De los párrafos anterores resulta evdente que un espaco remannano es euclídeo s y sólo s R = Varacón de un vector de campo v en un crcuto cerrado nfntamente próxmo a un punto dado. Es: dv = 2 1 (R dσ )v y tene la msma forma que la varacón hallada para e. Puesto que se verfca (1): dv = 2 1 [( ) v ]dσ = 2 1 v [( ) e ]dσ = v de = 1 = v (R dσ )e = 1 (R dσ )v rs-sr v h = R m h,rs vm Efectvamente. Tenendo en cuenta que respecto al operador se verfca: v = (v e t )e t y que las dervadas absolutas son los coefcentes de la dervada espacal, podremos escrbr: rs-sr v h = [( ) v ](e r e s e h ) = [( ) e t ](e r e s e h )(v e t )= =[( ) e t e t ](e r e s e h v ) =[( ) e t e t ](e r e s e h e m )vm = = [( ) e t e t ](e r e s e m e h )v m = R m h,rs vm 30

34 5.- Tensor dervada de R Lo expresaremos por: R = e k k e e e t - e t Como sea que sabemos que se verfca: e s Γ k t s = e s [( k e s )e t ] = -e s [( k e t )e s ] = - k e t e Γ s s k podemos escrbr: t = e s [( k e t )e s ] = k e t (e s e s ) = k e t a) k e - e t = (-Γ k s e s ) - e t = y permutando con s: = e (-Γ k s s-s e t ) b) k e - e t = e (-Γ k s s-s e t ) c) k e t - e t = Γ k s t e s - e t = e s - (e t Γ k s t ) y permutando s con t: d) k ( - e t ) = k-k e t = e t - (e s Γ k ts ) = = - e t - ( k e t ) = - e ( t k-k e t ) Por lo tanto R es gual a (e k e e e t e t )(-Γ k s s-s -Γ k s s-s - k-k + k-k ) Expresando de esta menera la dervada, se ve fáclmente que verfca la sguente smetría: y en consecuenca: (12345) + (23145) + (31245) = 0 k R rs, + R rs,k + R rs,k = 0 y esta es la expresón de las dentdades llamadas de Banch. 31

35 6.- Tensor de Rcc. Examnemos los tensores que resultan de las contraccones del tensor de Remann-Chrstoffel: R = 2 1 e t e t e t e t = e e e t - e t Contraccones 1-2 y 3-4. Son nulas, pues R tene antsmetrías 1,2 y 3, Contraccón 1-4. Da lugar al tensor de Rcc, expresado por R. 2 R =( 2 2 )( e t 1 e )-( t 1 )( e t 2 e ) =[( t 2 ) e t 1 ] e -[( t 1 ) e t 2 ] e = t [( 2 1 )e t ] e t - [( 1 2 )e t ] e t = [( )e t ] e t y en otra forma: R 2 = (e e t )[e ( - e t )] Contraccón 2-3. Por la smetría (1234)=(2143) del tensor de Remann tambén dará lugar al tensor de Rcc, para el que tendremos una nueva expresón: R 2 =(e e t )(e - e t ) =e - [e t (e e t )] =e - e Contraccones 1-3 y 2-4. Dan lugar al tensor -R 2 tenemos (1234) = -(1243) pues para el tensor de Remann El tensor de Rcc es smétrco. Queda evdente al obtener el tensor de Rcc por contraccón 2-3 en la forma (1234) del tensor de Remann y 1-4 en la forma (3412): R 2 = (e e t )(e - e t ) = (e t e )( - e t e ) Coordenadas del tensor de Rcc. Se deducen fáclmente de la expresones anterores así como de la contraccón de coordenadas del tensor de Remann- Chrstoffel: R s = R r,rs = ( e rs-sr )e r = 32

36 r = r Γ - Γ r +Γ h Γ r -Γ h Γ r s s r s r h r s h R = R s s = g R s = ( rs-sr e )e r 33

37 7.- Curvatura remannana escalar Es el escalar R que resulta de la contraccón del tensor de Rcc. Tendremos pues: así como tambén: y tambén R = [( )e t ]e t = ( )(e t e t ) R = [(e e ) - e t ]e = [( t - e t )e ](e e ) = t = -[( - e )e t ](e e ) = -( t - e )e = ( - e )e R = (R 2 ) = R, Relacón entre el tensor de Rcc y la curvatura remannana escalar. Podemos obtener una relacón nteresante entre R 2 y R, a partr de las dentdades de Banch: e e e t - e t + e e e t - e t + e e e t - e t = 0 + en las que cada afecta al resto del térmno. Aplcando las contraccones 2-4 y 3-5, resulta: (e e t )[( - e t )e ] + e ( e t )[( - e t )e ] + + e (e e t )[( - e t ) ] = 0 Pero tenendo en cuenta las expresones de R y R 2, y la smetría del tensor de Rcc, podremos escrbr: (e e t )[( - e t )e ] = [( - e )e ] = - R e ( e t )[( - e t )e ] = [(e t e )][( - e t )e ] = R 2 e (e e t )[( - e t ) ] = [( u- e ) e ] = R 2 Y sumando membro a membro tendremos: 0 = - R + 2 R R ( I)R = 0 (R IR) =

38 8.- Relacón de R,R 2 y R con el tensor L fundamental de Gauss de 2ª espece. Consderaremos un espaco de Remann (n-1)-dmensonal, sumergdo en un espaco propamente eucldano de dmensón n, de manera que el prmero pueda consderarse una superfce (n-1)- dmensonal del segundo y adoptaremos un sstema coordenado curvlíneo con arreglo a las sguentes condcones: 1ª.- Todos los puntos del espaco de Remann, tenen, además de las coordenadas elegdas para el msmo, otra coordenada más, y n, con gual valor en todos sus puntos. 2ª.- Las bases elegdas para los puntos del espaco de Remann quedan ampladas con un nuevo vector base e n, untaro y ortogonal a los restantes vectores base del msmo punto De acuerdo con el sstema coordenado que acabamos de establecer, en cada punto del espaco de Remann se verfcará: e n = e n e n = e n ( n): ( e n )e n = ( e n )e n = ( e n )e n = ( e n )e n = 0 ( n): Γ nn = Γ nn = 0 Tambén se verfcará: ( e n )e = ( e )e Γ n = Γ n n Como el tensor R del espaco eucldano es nulo en cada punto del espaco eucldano, tambén lo será cuando concda con un punto del espaco de Remann. La coordenada R,rs eucldana de tal punto, cuando,,r,s correspondan a coordenadas del espaco de Remann, será: 0 = r Γ - Γ + Γ h Γ - Γ h Γ s s r s r h r s h Refrendo dcha coordenada al espaco de Remann, su expresón tendrá los msmos sumandos que la anteror, exceptuando aquellos en que h toma el valor n y por lo tanto podremos escrbr: 0 = R + Γ n Γ - Γ n Γ,rs s r n r s n y esta es la expresón de la condcón por la que la coordenada añadda a las del espaco de Remann lo converte en un espaco eucldano. 35

39 Por defncón, el tensor L de segundo orden, llamado tensor fundamental de Gauss de 2ª espece, verfca: L s = ( s r )e n = ( e s )e n = Γ ns y por tanto es smétrco con L s =L s. En cada punto de la superfce ó espaco de Remann tendremos: L s = ( e s )en = -( e n )e s = -( e n )e s = -Γ sn L r = L rs g s = [( r e s )e n ]g s = ( r e )e n = -( r e n )e = -Γ r n = L r Pero como tenemos: R = -Γ n Γ + Γ n Γ,rs s r n r s n susttuyendo valores se obtene: R = L L,rs s r - L r L s o sea que el tensor R de Remann-Chrstoffel es la dferenca entre entre las permutacones 2,4 y 2,3 del tensor L L Por sucesvas contraccones obtenemos: (=r): (R 2 ) s = L s L r r - L r L r s (R 2 ) s = L s L rr - L r Lr s (s=): R = L L r r - L r Lr Observando que L es la traza de L y que L r Lr es la norma de L, con I como tensor fundamental de 2º orden, podremos escrbr: R = (L I ) 2 - L L y llamando λ 2 al segundo nvarante del tensor L, que es smétrco, resulta: R = 2λ 2 Pues s por ser L smétrco adoptamos su matrz dagonal, podremos escrbr: R = ( a )( a ) - [(a ) 2 ] = ( ): (2a a ) = 2 (a a ) = 2λ S el espaco de Remann es bdmensonal, podemos consderarlo como una superfce del espaco geométrco ordnaro. Entonces λ 2 concde con el determnante de L, y como sabemos que este determnante es el producto de las curvaturas prncpales, la magntud escalar R será el doble de este producto. 36

40 El tensor L de Gauss, para todos los puntos de la superfce, concde con el tensor -( e n ). Pues para e n se verfca: a) Componente covarante relatva a e e k = Γ kn b) Componente mxta relatva a e e = Γ k Por tanto: -L = ( e n ) = Γ kn (e e k ) = Γ kn (e e k ) k n 37

41 (1)... 2, 25 (10) (11) (12) (13) INDICE DE EQUACIONES (14) (15) (2)... 2, 26 (3)... 2, 27 (4)... 2 (5)... 3 (6)... 3 (7)... 3 (8)... 4 (9)