TEMA 1: PROBABILIDAD

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1 robabldad TEM : ROBBILIDD Índce del tema Índce del tema.. Introduccón 2.2. Defncón de probabldad ropedades nmedatas 3 Ejemplo 7 Ejemplo 2 8 Ejemplo robabldad condconada Introduccón Defncón 0 Ejemplo Sucesos ndependentes Teorema de las probabldades totales Teorema de Bayes 3 Ejemplo 5 4 Ejemplo 6 5 Ejemplo 7 6 Ejemplo 8 7 Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág.

2 robabldad.. Introduccón La probabldad, desde un punto de vsta conceptual, es la medda del grado de confanza en la verfcacón de determnado enuncado al realzar una experenca. or lo tanto, ya desde la msma ntroduccón conceptual, podemos observar la probabldad como una medda. Veamos los ejemplos sguentes: Ejemplo : Experenca: Lanzamento de un dado regular. Enuncado : Obtener una puntuacón gual o superor a cnco. La probabldad de será el grado de confanza que tenemos de obtener una puntuacón mayor o gual a cnco al lanzar un dado regular. Ejemplo 2: Experenca: Observacón de la longtud del cuerpo de un ndvduo de la Espece Dplodus cervnus en una zona protegda del Medterráneo. Enuncado : Longtud por encma de los 35 cm. La probabldad de será el grado de confanza de que al observar un ndvduo de la espece supere los 35 cm, o lo que es equvalente, la proporcón de ndvduos de la espece en la zona con longtud superor a 35 cm. Una vez ntroducda la dea ntutva de probabldad, es necesaro construr una teoría matemátca que permta desarrollar la dea y dotarla de la potenca y rgor sufcentes con el fn de tener una herramenta útl en la solucón tanto de problemas de aplcacón como teórcos. Desde el punto de vsta hstórco, se han planteado varas formulacones. Ctemos brevemente las más nteresantes. Laplace defne probabldad de un suceso como el cocente del número de casos favorables entre el número de casos posbles, sempre que estos sean gualmente plausbles. Evdentemente, gualmente plausbles es snónmo de equprobables (con gual probabldad) y ello da lugar a que en la defncón ya se utlce el térmno a defnr. or otro lado esta defncón da lugar a paradojas, como por ejemplo la paradoja de Bartrand. Sguendo con la dea de regulardad en la aparcón de un resultado al realzar una larga sere de expermentos, se ntenta (Venn, 887 y Von Mses, 98) defnr la probabldad de un suceso como el límte de las frecuencas relatvas. Esta vía, s ben es muy ntutva, resulta muy complcada de desarrollar desde el punto de vsta teórco. Fnalmente, gracas al mportante desarrollo del análss matemátco de prncpos de sglo, se adapta la probabldad a la teoría de la medda, y se obtene la axomátca de Kolmogorov (933), que puede consderarse como el punto real de partda de la Teoría de la robabldad tal y como se estuda actualmente. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 2

3 robabldad De un modo sencllo, se puede decr que la probabldad debe cumplr con certos requstos (axomas) para que realmente sea consderada como medda de la probabldad. Como posterormente se podrá comprobar, estos requstos son muy lógcos y elementales, y permten enlazar fáclmente la defncón axomátca como tal con la dea ntutva expuesta al prncpo..2. Defncón de probabldad Sea Ω el conjunto de resultados lgados a la experenca. Los enuncados sobre los que nos nteresa medr el grado de confanza en su verfcacón se pueden asocar a las partes del conjunto de resultados y serán, por tanto, sucesos lgados a la experenca. or notacón, S será el conjunto de sucesos. Dremos entonces que : S ( ) es funcón de probabldad, s se verfcan las condcones sguentes: ) ( ) 0 S 2) ( Ω) 3) ara, 2,... S sendo para todo, j se cumple: j U ( ) or lo tanto, la probabldad se trata de una medda postva que se mueve entre 0 y de tal modo que al tener la unón de sucesos ncompatbles (sn resultados en común) la probabldad del nuevo suceso es justo la suma de las probabldades de los sucesos que forman la unón..2.. ropedades nmedatas lgunas propedades se pueden deducr drectamente de la defncón de probabldad. Entre estas propedades podemos destacar las sguentes:. ( ) 0 La probabldad del suceso mposble debe ser el mínmo del recorrdo de la funcón de probabldad. La explcacón es muy lógca puesto que, al realzar la experenca, es de esperar que se verfque algún resultado. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 3

4 robabldad 2. S y B son sucesos tales que está contendo en B, se deduce que ( ) ( B) Evdentemente, puesto que B contene más resultados que, y por tanto el grado de confanza que podemos depostar en B debe ser mayor que el grado de confanza que podemos depostar en. 3. S es el suceso complementaro de (elementos de Ω que no pertenecen a ), se deduce que () - (). 4. Dados y B sucesos, se verfca que: ( B) ( ) + ( B) ( B) 5. En caso de que los sucesos formados úncamente por un resultado sean equprobables, la probabldad de un suceso cualquera es el cocente entre el número de resultados que contene el suceso (casos favorables) respecto del número total de resultados posbles (casos posbles). 6. Dados, 2,..., n S, se verfca: n I Vamos a demostrar algunas de estas propedades: n ( ) Demostracón de : uesto que Ω Ω sendo Ω, por el axoma 3 ( Ω) ( Ω) + ( ) y, por el axoma 2, + ( ) con lo cual se deduce que ( ) 0, tal y como queríamos demostrar. Demostracón de 2: odemos escrbr B como Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 4

5 robabldad B ( B ) con lo cual, por el axoma 3, y, por el axoma, obtenemos, ( B) ( ) + ( B ) ( B ) 0 ( ) B ( ) tal y como queríamos demostrar. Demostracón de 3: odemos escrbr Ω como y, por el axoma 3, Ω ( Ω ) ( ) + ( ) y, como que por el axoma 2 se verfca que ( Ω ), se obtene que Demostracón de 4: odemos escrbr B como, ( ) ( ) B ( B ) De este modo, ( B) ( ) + ( B ) (*) y puesto que resulta B ( B ) ( B ) ( B ) ( B) ( B ) de donde susttuyendo en (*), ( B) ( ) + ( B) ( B) Demostracón de 5: Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 5

6 robabldad Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 6 Es una consecuenca drecta de los axomas 2 y 3. Se propone resolver la demostracón al lector. Demostracón de 6: uesto que U I según la propedad 3, U I y como ( ) U se verfca que ( ) I tal y como queríamos demostrar. Veamos algunos ejemplos en que se utlzan las propedades anterores.

7 robabldad Ejemplo Supongamos que se estuda la dstrbucón de dos contamnantes y B en un terreno. Sabemos que el 40 % de terreno padece el efecto de alguno de los contamnantes, que el 0 % padece el efecto de y que el 5% padece el efecto de los dos. Deseamos saber el porcentaje de terreno bajo el efecto de B, el porcentaje sn efecto n de n de B y el porcentaje de terreno que presenta contamnacón por pero no por B. Se calcula prmero el porcentaje bajo el efecto de B. ara ello, se utlza la propedad 4: ( B) ( ) + ( B) ( B) y (B) (B) 0.35 con lo cual se deduce que el 35 % del terreno presenta el contamnante B. Se calcula ahora el porcentaje de terreno sn contamnacón por o B. En este sentdo, se debe calcular: ( B) ( B) y resulta que el 60 % de terreno no está contamnado n por n por B. or últmo, se calcula el porcentaje de terreno que presenta contamnacón por, pero no por B. Se debe calcular: ( B) ( ) ( B) de donde se deduce que el 5 % de terreno presenta contamnacón por pero no por B. Se ha vsto en este ejemplo cómo, utlzando correctamente las propedades nmedatas, se obtenen probabldades de sucesos que no aparecen de entrada. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 7

8 robabldad Ejemplo 2 Supongamos que en una determnada zona localzada en la costa se encuentran N focas. Se capturan r focas y se marcan, y al cabo de mes se capturan s focas contando el número de focas marcadas de entre las capturadas. Calcularemos la probabldad de que hayan sdo recapturadas exactamente focas de entre las marcadas (se supone menor que el mínmo entre r y s). En este caso la probabldad será el número de casos favorables dvddo por el número de casos posbles. Número de casos posbles: hay tantos casos posbles como subconjuntos de s elementos en un conjunto de N. Número de casos favorables: de entre los s debe haber marcados y s- no marcados; por tanto, el número de maneras posbles será el producto del número de subconjuntos de entre los r marcados de elementos por el número de subconjuntos de entre los N-r no marcados de s- elementos. or tanto, ( focas marcadas) r N x s N s r Como nota complementara podemos ndcar que el número de focas de la zona se puede estmar medante la fórmula: (r s /, aunque ello se podrá entender mejor a partr del capítulo de estmacón. ara más detalles se puede buscar nformacón en textos y artículos sobre estmacón de contajes en marcaje-recaptura. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 8

9 robabldad Ejemplo 3 Una agenca de transporte de vajeros por carretera dspone de vente autocares. Decde hacer un control mensual del servco y, para ello, decde selecconar dos autocares aleatoramente de entre los vente. S realmente hay dos autocares con rregulardes, cual es la probabldad de que se detecte con este control? Y s son cnco los autocares con rregulardades? De entre los dos autocares que se examnan, se pueden encontrar 0, o 2 con rregulardades. El hecho de detectar rregulardades se puede asocar con el suceso Se hallan o 2 rregulardades. Lo más sencllo será calcular la probabldad del suceso complementaro, y así, 8 (0 rregulardades) or tanto la probabldad de detectar rregulardades con el control propuesto será S son cnco los autocares con rregulardades, es fácl comprobar que la probabldad de no detectar nnguna (medante un cálculo déntco al anteror) es 0.55 y, por tanto, la probabldad de detectar rregulardades con el control propuesto pasa a ser de Ejercco Se propone al lector demostrar que para,..., sucesos, se verfca: + U < j ( ) ( j ) + ( j ) ( ). (.. ) Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 9

10 robabldad.3. robabldad condconada.3.. Introduccón Imagnemos que al realzar la experenca descrta en el Ejemplo, supéramos de antemano que el número resultante es un número par. S nos fjamos, como en el ejemplo, en el suceso Obtener número mayor o gual que cuatro, se observa que la probabldad de este suceso, es decr, el grado de confanza de que se haya verfcado, se ha alterado y, en nuestro caso, realmente ha aumentado. S antes la probabldad de era de /2 ahora ha pasado a ser de 2/3. or lo tanto la verfcacón del suceso B Obtener número par ha modfcado la probabldad sobre. Igualmente en el ejemplo 2, s consderamos, por ejemplo, que se verfca el suceso B Medr más de 25 cm. no será la msmo la probabldad de, ya que se entenderá ahora como el tanto por uno de ndvduos con longtud superor a 35 cm. de entre aquellos cuya longtud supera los 25 cm. Este será el sentdo en dcho ejemplo de la probabldad de condconada a B. Dcho de otro modo, será la probabldad de que un ndvduo cuya longtud sabemos supera los 25 cm, mda más de 35 cm. sí pues, hemos vsto como, de forma ntutva, se llega al concepto de probabldad condconada. Sn embargo, se debe formular con precsón el concepto para poder desarrollarlo Defncón Dado un suceso B, se defne la probabldad de condconada a B como: ( ) B ( B) ( B) La nueva funcón resulta ser tambén una funcón de probabldad. Se verfca: B ) ara todo suceso, ( ) 0 Ω B 2) ( ) 3) U B B Se sugere comprobar las tres propedades. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 0

11 robabldad Ejemplo 4 El 40% de las mujeres gestantes que acuden a un hosptal padecen trastornos de crculacón sanguínea, y el 20% problemas relaconadas con el nvel de glucosa. El 5% padecen ambos tpos de problemas. Se pde calcular: a) orcentaje de mujeres gestantes sn nnguno de los trastornos anterores. b) Entre las mujeres que padecen problemas con el nvel de glucosa, el porcentaje de las que padecen además problemas con la crculacón sanguínea. Sean los sucesos, C problemas con la crculacón sanguínea G problemas con el nvel de glucosa ara obtener el porcentaje de mujeres sn nnguno de los trastornos anterores, se debe calcular: ( C G) ( C G) ( C) ( G) + ( C G) or lo tanto, se deduce que el 45 % de las mujeres no presenta los problemas anterores. ara obtener el porcentaje de las que padecen problemas con la crculacón sanguínea de entre las que presentan problemas con la glucosa se debe calcular: ( C ( C G) 0.05 ) G ( G) con lo cual se obtene que el porcentaje buscado es del 25 %. 0.2 Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág.

12 robabldad.3.3. Sucesos ndependentes Lógcamente, s ( ) () B se deduce que B no modfca el grado de confanza sobre la verfcacón de. Se dce entonces que y B son sucesos ndependentes. Es fácl comprobar de forma nmedata que se cumplen las propedades sguentes: a) y B ndependentes s y sólo s ( B) () (B). b) y B son ndependentes s y sólo s y B son ndependentes. c) y B son ndependentes s y sólo s y B son ndependentes. d) y B son ndependentes s y sólo s y B son ndependentes. Se sugere como ejercco al lector que realce la demostracón de las propedades anterores Teorema de las probabldades totales S Ω... n, sendo los sucesos ncompatbles (sn nngún resultado en común) entre s, se verfca que n ( ) ( ). ( ) para cualquer suceso. Demostracón Se puede escrbr como Ω ( U n... n ) ( ) demás, ( ) ( ) para cualquer par, j. j plcando el axoma 3 de la defncón de probabldad, n ( ) ( ) Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 2

13 robabldad Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 3 y aplcando la defncón de probabldad condconada en la expresón anteror, tenemos el resultado propuesto en el teorema. Una consecuenca nmedata es el teorema de Bayes, que se explca a contnuacón Teorema de Bayes En las msmas condcones que el teorema de las probabldades totales, se verfca que n ) ).(.( La demostracón es elemental, puesto que () ).( () ) ( y, aplcando a () el teorema de las probabldades totales, queda demostrado el teorema de Bayes.

14 robabldad Ejemplo 5 En una facultad el 30 % de los estudantes pertenece a la cudad donde está ubcada la msma, y el 70 % restantes se desplazan daramente desde dversos puntos hasta la cudad. El porcentaje de aprobados resulta ser respectvamente del 60 % y del 50 %. Determnar: a) robabldad de que un alumno escogdo al azar apruebe. b) S consderamos un alumno que ha aprobado, determnar la probabldad de que pertenezca a la cudad. Se observa como la poblacón se halla dvdda en dos partes: Estudantes de la cudad, y estudantes foráneos. or tanto podemos consderar: donde Ω 2 Ω Estudantes de la facultad Estudantes que pertenecen a la cudad 2 Estudantes foráneos Sea además el suceso: probar Se debe calcular la probabldad de. ara ello se utlza drectamente el teorema de las probabldades totales. ( ) ( ). ( ) + ( ). ( 2 ) 0.6 x x De este modo obtenemos una tasa total del 53 % de alumnos aprobados. 2 or otro lado, se desea obtener la probabldad de que un alumno, que sabemos que ha aprobado, sea de la cudad. Vendo el enuncado del teorema de Bayes, se observa que una aplcacón drecta del teorema nos resolverá el problema. sí pues, deseamos calcular: ( ). ( ( ) ) 0.6x y de este modo se obtene que la probabldad de que un aprobado pertenezca a la cudad es de Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 4

15 robabldad Ejemplo 6 Respecto a un determnado carácter, los genotpos de los ndvduos de determnada espece pueden ser, a, o aa con probabldades /4, /2 y /4 respectvamente. ara detectar la presenca del gen en un ndvduo se fa una prueba que resulta postva con probabldad 0.95 s el genotpo del ndvduo es, 0.5 s es a y 0.02 s es aa. Calculemos la probabldad que un ndvduo sea aa s la prueba ha resultado postva. Estamos ante una aplcacón del teorema de Bayes. Sea el suceso Se trata de calcular + rueba postva. ( aa ) + La probabldad anteror se puede calcular s se aplca drectamente el teorema de Bayes: ( aa ) + ( + ). ( aa) aa ( + ). ( ) + ( + ). ( a) + ( + ). ( aa) a aa 0.02x x x x0.25 or lo tanto, sólo el % de las veces en que la prueba haya resultado postva estaremos ante ndvduos aa. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 5

16 robabldad Ejemplo 7 Un geólogo sabe que la probabldad de que el tratamento de una muestra provoque daños en la msma muestra es aproxmadamente de S el conjunto de muestras consttuye un conjunto ndependente de experencas, al cabo de cuántas muestras la probabldad de haber provocado daños en alguna será o superará el valor de 0.8? Sea x el número potencal de muestras. La probabldad de no provocar daños en x muestras es, 0.75 x dado que los sucesos provocar daños en una muestra, para las x muestras son ndependentes. La stuacón planteada en el problema nos pde que: x (0.75) 0.8 y, por tanto, resolvendo la ecuacón, obtenemos: x 5.8 or lo tanto, al cabo de ses muestras ya se superará la probabldad planteada en el problema. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 6

17 robabldad Ejemplo 8 l decdr sobre la presenca (E) o ausenca () de una enfermedad, es usual realzar una o varas pruebas en base a las cuales tendremos un punto más en que apoyar nuestro dagnóstco. Consderando el caso en que la prueba pueda dar postvo (+) o negatvo (-), hay que tener en cuenta que en ndvduos con la enfermedad, el test a veces dará postvo y a veces negatvo, e gual ocurrrá con ndvduos que no presentan la enfermedad. sí pues, es convenente cuantfcar tales probabldades. Sean, (+/E) robabldad de test postvo en ndvduos enfermos (sensbldad del test). (+/) robabldad de test postvo en ndvduos sanos (probabldad de falsopostvo). (-/) robabldad de test negatvo en ndvduos sanos (especfcdad del test). (-/E) robabldad de test negatvo en ndvduos enfermos (probabldad de falsonegatvo). (E) robabldad de presentar la enfermedad (prevalenca de la enfermedad). El valor predctvo del test se obtene calculando (E/+) y (/-), es decr, las probabldades de padecer la enfermedad s el test da postvo, y de no padecer la enfermedad s el test da negatvo. Veamos la aplcacón de lo anteror en el sguente problema: Un nvestgador desarrolla una prueba exploratora para el cáncer y observa un 5 % de resultados postvos en pacentes no cancerosos y un 20 % de resultados negatvos en pacentes cancerosos. plca esta prueba a una poblacón en la que sabe que el 2 % adolece de cáncer no detectado. Vamos a determnar el valor predctvo del test. Vemos que la prevalenca de la enfermedad es 0.02, una probabldad de falso postvo de 0.05, una probabldad de falso negatvo de 0.2, y por tanto con una sensbldad de 0.8 y una especfcdad de Calcularemos el poder predctvo del test utlzando el teorema de Bayes, y obtenemos: E ( + E ). ( E ) ( + ) ( + E ). ( E ) + ( + ). ( ) De gual manera se puede calcular (E/-) y se obtene , de donde (/-) El resultado se nterpreta en el sentdo que el 24.6 % de los ndvduos con test postvo padecerán la enfermedad y el % de los ndvduos con test negatvo no padecerán la enfermedad. or lo tanto, la prueba resulta mas útl cuando se trata de descartar la enfermedad. Statmeda. ISBN: , Edcons UB pág. 7