PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Transcripción

1 FCULTD DE INGENIERÍ U N M ROILIDD Y ESTDÍSTIC Irene atrca Valdez y lfaro renev@unam.mx Versón revsada: juno 2018

2 T E M S DEL CURSO 1. nálss Estadístco de datos muestrales. 2. Fundamentos de la Teoría de la probabldad. 3. Varables aleatoras. 4. Modelos probablístcos comunes. 5. Varables aleatoras conjuntas. 6. Dstrbucones muestrales. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

3 CONTENIDO TEM 2 2. Fundamentos de la teoría de la probabldad. Objetvo: El alumno comprenderá el concepto de probabldad, así como los teoremas en los que se basa esta teoría. 2.1 Expermentos determnístcos y aleatoros. Eventos y espaco de eventos. 2.2 Concepto de probabldad, cálculo de probabldades a través de técncas de conteo y dagramas de árbol. 2.3 Defncón axomátca de la probabldad. 2.4 robabldad conjunta, margnal y condconal, eventos ndependentes. robabldad total, teorema de bayes. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

4 FUNDMENTOS DE L TEORÍ DE L ROILIDD CONCETOS ÁSICOS reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

5 DEFINICIONES REVIS FENÓMENO EXERIMENTO: Es todo aquel acto o accón que se realza con el fn de observar sus resultados y cuantfcarlos. Los fenómenos pueden clasfcarse de acuerdo al tpo de resultados en: Determnístco Es aquel cuyos resultados se pueden predecr de antemano. robablístco aleatoro Es aquel en el que para las lmtacones actuales del conocmento centífco, no se puede predecr con certeza el resultado. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

6 ESCIO DE EVENTOS l conjunto de todos los posbles resultados de un expermento aleatoro se le denomna ESCIO DE EVENTOS S. cada posble resultado del espaco le llamaremos ELEMENTO. Un EVENTO en general es un conjunto de eventos smples o posbles resultados del expermento. S el evento está compuesto por un únco elemento le llamaremos EVENTO SIMLE. S el evento no tene nngún resultado posble se le denomna EVENTO VCÍO. El espaco de eventos puede ser FINITO o INFINITO y a su vez DISCRETO O CONTINUO reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

7 EJEMLO: ESCIO DE EVENTOS Expermento: rrojar dos dados y observar la suma de los puntos de las caras que quedan haca arrba. Sean: Y 1 los puntos del prmer dado Y 2 los puntos del segundo dado X Y 1 +Y 2 Cuál es el espaco de eventos de X? S { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } S { x 2 x 12, x ℵ} Nota: debe observarse, en este caso, que el resultado x4 puede presentarse s Y 1 2 y Y 2 2, o ben s Y 1 1 y Y 2 3. Lo msmo ocurre con otros valores. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

8 EJEMLO: ESCIO DE EVENTOS S { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } lgunos eventos de este espaco son: { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } { 7, 10, 11 } C { 3, 5, 7, 9, 11 } D { 9 } Nota: debe observarse, en este caso, que el resultado x4 puede presentarse s Y 1 2 y Y 2 2, o s Y 1 1 y Y 2 3. Lo msmo ocurre con otros valores. LGUNS OERCIONES ESTOS CON EVENTOS: C S C C D D { 10 } C { 3, 5, 7, 9, 10, 11 } C { 7, 11 } reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

9 DEFINICIONES REVIS Eventos mutuamente excluyentes: S se tenen dos o más eventos que pertenecen a S y al realzar el expermento solo puede ocurrr uno u otro, pero no smultáneamente. or ejemplo: Eventos colectvamente exhaustvos: S la unón de los eventos es gual al especo de eventos. or ejemplo: S Eventos mutuamente excluyentes y colectvamente exhaustvos: S se cumplen las dos condcones anterores or ejemplo: y además S reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

10 EVENTOS MUTUMENTE EXCLUYENTES Y COLECTIVMENTE EXHUSTIVOS: S k S, 1, 2,... k, 1, 2,... k Todos los eventos pertenecen al espaco de eventos S. La nterseccón de todos los eventos es el conjunto nulo. S, 1, 2,... k La unón de todos los eventos es gual al especo de eventos. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

11 CONCETO DE ROILIDD Del latín probabltas, verosmltud verus, verdadero y smls semejante. Fundada aparenca de verdad, caldad de probable, que puede suceder. DIFERENTES INTERRETCIONES DE ROILIDD: SUJETIV CLÁSIC FRECUENTIST reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

12 INTERRETCIÓN SUJETIV DE L ROILIDD De acuerdo con esta nterpretacón, la probabldad de un evento es el grado de certdumbre que tene una persona, o grupo de personas, acerca de la ocurrenca de un evento. puede ser que se base en la experenca o en certa nformacón que se tenga. Una probabldad gual a cero ndca una certeza absoluta de que el evento no ocurrrá y una probabldad gual a 1 100% ndca una certeza absoluta de que el evento ocurrrá. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

13 INTERRETCIÓN CLSIC DE L ROILIDD Sea ns es el número de elementos, gualmente posbles y mutuamente excluyentes, del espaco muestral S de un expermento aleatoro, y sea n el número de elementos de un evento cualquera de ese espaco muestral. La probabldad de que ocurra el evento, al realzar el expermento, es la proporcón de n con respecto a ns. n n S reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

14 INTERRETCIÓN FRECUENTIST DE L ROILIDD S un expermento aleatoro se ejecuta n veces bajo las msmas condcones, y m de los resultados son favorables al evento, la probabldad de que ocurra el evento al realzar nuevamente el expermento es: lím n m n Una forma común de calcular la probabldad aproxmada de un evento, desde el punto de vsta frecuentsta, es dvdendo el número de veces que ocurre, n; entre el número total de veces que se efectúa el expermentos, ns ó smplemente n. n n reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

15 EJEMLOS DE INTERRETCIONES DE L ROILIDD SUJETIV: Está nublado, hay un 70% de probabldad de lluva. CLÁSIC: S en un grupo hay 40 ngeneros y 20 arqutectos, la probabldad de que al selecconar aleatoramente a una persona del grupo, su profesón sea de ngenero es: 40/60 4/6. FRECUENTIST: l sacar de una urna muy grande 100 pelotas, se observaron 30 rojas y 70 blancas. La probabldad de que al sacar otra pelota, ésta sea blanca es: 70/100 7/10. se desconoce cuántas pelotas hay dentro de la urna reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

16 XIOMS DE ROILIDD Sea S el espaco de eventos de un expermento, y E un evento cualquera de S. 1. S 1 2. E 0 3. S para E 1, E 2,... se cumple que E E j, para toda j, entonces: E 1 E 2... E 1 + E reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

17 TEOREMS DERIVDOS DE LOS XIOMS Sea S el espaco muestral de un expermento, y E un evento cualquera de S E 1, para cualquer E S 3. Regla de la adcón para cualesquera eventos: S y pertenecen a S, se cumple que: + - reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

18 reparado por Irene atrca Valdez y lfaro ROILIDD CONDICIONL Supónganse dos conjuntos y que pertenecen al espaco muestral S S se sabe que ya ocurró el evento, la probabldad de que tambén haya ocurrdo se escrbe: y se lee la probabldad de dado. equvale a calcular la probabldad de cuando el espaco muestral se reduce a. n n ero tambén, s dvdmos numerador y denomnador entre ns tenemos: S n n S n n y análogamente:

19 ROILIDD CONJUNT Supónganse dos eventos y que pertenecen al espaco muestral S La probabldad conjunta de y, es la probabldad de que ocurran el evento y el evento de manera smultánea. Despejando de la expresón dada antes para probabldad condconal se tene: o ben: reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

20 EVENTOS INDEENDIENTES Supónganse dos eventos y que pertenecen al espaco muestral S Se dce que es ndependente de s resulta que, lo que sgnfca que el evento no nfluye en absoluto para la realzacón o no del evento. S es éste el caso, y puesto que tenemos que: y por lo tanto, los eventos y son ndependentes s, y solo s: Teorema: s y son ndependentes, entonces: y son ndependentes. y son ndependentes. y son ndependentes. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

21 Sean 1, 2,... n muestral S. TEOREM DE L MULTILICCIÓN R ROILIDD CONDICIONL n eventos cualesquera de un espaco n n n 1 En una urna hay 60 esferas azules y 40 rojas, cuál es la probabldad de que al sacar tres consecutvamente sn regresarlas, la secuenca sea: {a,a,r} {a,a,r} Calcular la probabldad de que la secuenca sea {a,a,r} s cada que se saca una esfera se observa el color y se regresa a la urna. S los eventos y j son ndependentes j, entonces: n n reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

22 Ejemplo: ROILIDD CONDICIONL, CONJUNT Y MRGINL En un curso de verano de regularzacón los alumnos nscrtos se dstrbuyen como se muestra en la tabla. certo profesor se le asgnará aleatoramente a un alumno. RIMER GRDO SEGUNDO GRDO TERCER GRDO Sumas FÍSIC QUÍMIC MTEMÁTEMÁTICS Sumas La probabldad de que le asgnen un alumno de prmer grado de físca es de 46/350. robabldad conjunta. La probabldad de que le asgnen un alumno de físca de cualquer grado es 111/350. robabldad margnal. S le asgnaron un alumno de químca, la probabldad de que éste sea de tercer grado es 42/127. robabldad condconal. reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

23 ROILIDD MRGINL robabldad margnal de un evento es la probabldad smple de ese evento, pero expresada como una suma de probabldades conjuntas. En un curso de verano de regularzacón los alumnos nscrtos se dstrbuyen como se muestra en la tabla. certo profesor se le asgnará aleatoramente a un alumno. C RIMER GRDO SEGUNDO GRDO TERCER GRDO Sumas F Q M FÍSIC QUÍMIC MTEMÁTEMÁTICS Sumas odemos observar, con base en el renglón de sumas, que la probabldad del evento es smplemente 143/350, pero tambén: F + Q + M 46/ / / /350 nálogamente, con base en la columna de sumas, podemos ver que Q 127/350, pero tambén: Q Q + Q + Q C 45/ / / /350 reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

24 S ROILIDD TOTL k Consdérese que el espaco muestral S está partconado en k eventos mutuamente excluyentes y colectvamente exhaustvos; y que sobre el msmo espaco muestral S se defne un evento, que puede tener algunas nterseccones con los eventos. La probabldad total del evento puede expresarse como la suma de las nterseccones del evento con los evento k k 1 reparado por Irene atrca Valdez y lfaro

25 reparado por Irene atrca Valdez y lfaro ROILIDD TOTL Consderese la probabldad total del evento : Recordando que para cada evento : Susttuyendo éste últmo hecho en la expresón para la probabldad total de : k k k Con lo que la probabldad total de tambén se escrbe: 1 k

26 reparado por Irene atrca Valdez y lfaro TEOREM DE YES S k... j j Recordando que para un evento j : y que la probabldad total del evento es: 1 k Susttuyendo II en I obtenemos: 1 k j j...i...ii...iii

27 reparado por Irene atrca Valdez y lfaro TEOREM DE YES TEOREM DE YES: 1 k j j j j en III obtenemos el: j j j Susttuyendo la sguente expresón