Tema 1: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

Transcripción

1 Tema : TEORÍ DE L ROLDD Carlos lberola López Lab. rocesado de magen, ETS Telecomuncacón Despacho D04 caralb@tel.uva.es, jcasasec@tel.uva.es,

2 . ara qué estudar esto? Se pretende descrbr y utlzar una herramenta que nos proporcone capacdad de decsón en problemas donde exste ncertdumbre. qué nos estamos refrendo? or ejemplo Dejar caer una pedra Dejar caer una pluma No podemos predecr dónde va caer la pluma, pero s que podemos tratar de saber: Cómo de probable es que se aleje un rado de más de 5 undades de dstanca respecto del punto (0,0) Sabendo la desvacón horzontal, tratar de predecr la desvacón vertcal

3 ara qué estudar esto? Los problemas de comuncacones tenen elevados componentes de aleatoredad Señales que transportan nformacón: son señales no modelables medante un conjunto fnto de parámetros. ero tene que haber algo que permta caracterzar este tpo de señales para garantzar que puedan pasar sn dstorsón a través de un determnado medo de transmsón.

4 ara qué estudar esto? Los problemas de comuncacones tenen elevados componentes de aleatoredad Señales que transportan nformacón: son señales no modelables medante un conjunto fnto de parámetros. ero tene que haber algo que permta caracterzar este tpo de señales para garantzar que puedan pasar sn dstorsón a través de un determnado medo de transmsón.

5 ara qué estudar esto? Los problemas de comuncacones tenen elevados componentes de aleatoredad Señales que transportan nformacón: son señales no modelables medante un conjunto fnto de parámetros. ero tene que haber algo que permta caracterzar este tpo de señales para garantzar que puedan pasar sn dstorsón a través de un determnado medo de transmsón. Las señales de comuncacones están afectadas por rudo (señal superpuesta ndeseada que dsvrtúa el contendo de éstas).

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9 . Álgebra de conjuntos Conjuntos denotados por letras mayúsculas:,, C Elementos denotados por letras mnúsculas: a, b, c Los conjuntos se defnen en base a una relacón de pertenenca, la cual es bnara (, ) Conjuntos notables: S y Los conjuntos se pueden descrbr de forma enumeratva o partr de una ley que defna pertenenca. Cardnal Fnto nfnto Numerable No numerable a b

10 Álgebra de conjuntos De la relacón de pertenenca surge la relacón de nclusón. S un conjunto está ncludo en otro se dce que el prmero es subconjunto del segundo, y se denota medante es subconjunto es superconjunto no está ncludo en

11 Operacones con conjuntos gualdad de conjuntos: dos conjuntos son guales s tenen los msmos elementos. C Conjunto dferenca: : conjunto formado por los elementos de que NO están en.

12 Operacones con conjuntos C nón de conjuntos :conjunto formado por los elementos de y los de C nterseccón de conjuntos :conjunto formado por los elementos que pertenecen smultáneamente a ambos conjuntos

13 Operacones con conjuntos Es nteresante reparar en que y en que: La nterseccón, por ello, crea un conjunto más pequeño y la unón un conjunto más grande. Conjuntos dsjuntos:

14 plcacón sucesva de operadores S las operacones se aplcan repetdamente escrbremos para abrevar Y por razones dervadas de los axomas de la robabldad es habtual escrbr (aunque sea un abuso de notacón): L L N N N N N N N N

15 ropedades de unón e ntersec. Estos operadores satsfacen tres útles propedades: Conmutatva socatva Dstrbutva ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C C C

16 Otras cuestones adconales Conjunto complementaro de un conjunto : Se denota por Y se defne medante el conjunto dferenca Es nteresante notar que Leyes de Morgan S S

17 ( ) ( ) ( ) Ejercco: Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S ( ) ( )

18 Ejercco: Demostrar que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 C ( ) ( ) C C ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sumas y productos!!

19 3.- Defncón de probabldad Se trata de formalzar la nocón ntutva de qué cosas son más probables y cuáles más mprobables. Defncón medante frecuenca relatva: N f r ( ) lm N N N con el número de veces que sale el resultado en las N realzacones del expermento llevadas a cabo. Ej: lanzamento de dado, nterés en obtener resultado par, se expermenta 000 veces; cuéntese cuántas (dentro de esas 000) sale un, un 4 ó un 6 y dvídase por N000.

20 3.- Defncón de probabldad Se trata de formalzar la nocón ntutva de qué cosas son más probables y cuáles más mprobables. Defncón medante frecuenca relatva: N ( ) con el número de veces que sale el resultado en las N realzacones del expermento llevadas a cabo. N N Ej: lanzamento de dado, nterés en obtener resultado par, se expermenta 000 veces; cuéntese cuántas (dentro de esas 000) sale un, un 4 o un ses y dvídase. f r lm N nconvenentes: ara saber la probabldad de algo se requere expermentar. Cada vez que se realce el expermento se obtene un número dstnto de la frecuenca relatva (dremos, en breve, que ésta es una varable aleatora) Crear un cuerpo de doctrna en base a operacones en el límte es poco cómodo.

21 Defncón de probabldad Defncón clásca de la probabldad: ( ) C N N N con el número de formas de darse el resultado (número de casos favorables) y N el número de resultados (casos posbles). Ej: lanzamento de dado, nterés en obtener resultado par, 3 y. N N 6

22 Defncón de probabldad Defncón clásca de la probabldad: N ( ) C N N con el número de formas de darse el resultado (número de casos favorables) y N el número de resultados (casos posbles). Ej: lanzamento de dado, nterés en obtener resultado par, 3 y. N N 6 nconvenentes: Se asume de forma mplícta equprobabldad de los resultados. El número de casos favorables y posbles podría ser nfnto; ello produce un problema en la defncón.

23 Defncón de probabldad Se trata de amplar el marco de defncón de probabldad para que: Dé cabda a la frecuenca relatva pero no nos veamos oblgados a expermentar. Dé cabda a la probabldad clásca, pero obvando los problemas de la msma. Tal amplacón es la defncón axomátca de la probabldad. ara tal fn, cambemos un poco la termnología:

24 Defncón axomátca de probabldad La probabldad se defne sobre sucesos, en partcular Conjunto unversal S: espaco muestral (suceso seguro) Conjunto vacío : suceso mposble xomas de la probabldad: la probabldad es una funcón defnda sobre sucesos que debe cumplr: ( ) ( S) ( ) ( ) + ( ) s 0

25 Defncón axomátca de probabldad Consecuencas nmedatas de los axomas, obtendas a partr del álgebra de sucesos: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) + ( ) ( ) s ( ) ( ) s Nótese que debe verfcarse que: ( ) S 0,

26 Defncón axomátca de probabldad La defncón axomátca ncluye la defncón clásca: supongamos que N es el número de casos favorables al suceso, N lo propo para el suceso y N el número de casos posbles. Es claro pues que C ( ) 0 ( S) N N C N N Y s y no pueden darse smultáneamente

27 Defncón axomátca de probabldad La defncón basada en frecuenca relatva está tambén ncluída dentro de la teoría axomátca de la probabldad. Se demuestra medante la Ley de los Grandes Números, teorema asntótco que veremos en la seccón (varable N-dmensonal) Y es la base teórca de las práctcas de la asgnatura.

28 Ejercco: Se desea valdar un sstema automátco de medcón de alturas de edfcacones. Con el objetvo de reducr costes en el proceso de valdacón se descarta la medcón drecta de los edfcos para contrastar con la automátca, de forma que se recurre a la medcón por parte de n expertos, los cuales emplean sus propos sstemas de medda y que, naturalmente, no están exentos de errores. El sstema a valdar se consderará apto para su uso s la medcón que proporcona no se encuentra en nnguno de los dos extremos, esto es, no es n la mayor n la menor de las n+ medcones. ajo la hpótess de que los n + equpos de medda proporconen meddas smlares (es decr, que todos funconen correctamente, afectados por errores smlares), obtenga la probabldad de que el sstema sea valdado.

29 Solucón: n- Medda automátca cae en poscón (,,n+) El sstema es valdado n

30 Espaco de probabldad La defncón de un expermento probablístco precsa de la defncón de una terna: cuyos componentes son: Espaco muestral -Cardnal fnto -Card. nfnto -Numerable -No numerable Clase de sucesos (cerrada con respecto a cantdad numerable de unones e nterseccones) Ley de asgnacón de probabldades -Dscreta - Contnua

31 Ejemplo: lanzamento de dos dados, con smetría en la construccón de los msmos, y sn relacón entre ellos. nalcemos los elementos que ntegran el espaco de probabldad: Espaco muestral: 36 elementos Sucesos: cualquer subconjunto del msmo ( 36 posbles sucesos) Ley asgnacón: equprobabldad (prob. clásca) por smetría

32 Suceso : la suma de las caras es gual a 7. Hallar () j : suceso sale cara en prmer dado y cara j en segundo j j 7

33 Suceso : la suma de las caras es gual a 7. Hallar () rop. asocatva j : suceso sale cara en prmer dado y cara j en segundo

34 robabldad Condconada Se plantea cómo actualzar nuestro conocmento probablístco sobre un expermento una vez que sabemos algo más de él. Concretamente, se asume que un suceso (de probabldad no nula) se ha verfcado: La nueva probabldad en este espaco se defne (y denota)

35 robabldad Condconada Es esta defncón axomátca? Es fácl comprobar que sí: C rop. dstrbutva

36 robabldad Condconada Suceso : la suma de las caras es gual a 7. Suceso : ha saldo al menos un 6. Hallar ( ) Solucón en espaco condconado: casos favorables frente a posbles.

37 robabldad Condconada Solucón en espaco orgnal:

38 ndependenca de pares de sucesos Supongamos los sucesos y, ambos de probabldad no nula. Estos sucesos son ndependentes s se verfca que: Nótese que dado que ( ) ( ) entonces

39 ndependenca de pares de sucesos Como consecuenca de lo dcho anterormente se puede escrbr de forma alternatva la defncón de ndependenca de la manera lo cual permte abordar el casos de sucesos de probabldad nula. Nótese que s uno de los dos sucesos tene probabldad nula, éstos son ndependentes ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0

40 Ejemplo: baraja española (40 cartas, 4 palos, 0 cartas por palo). Se extrae una carta. Defínase : as ; : rey ;C: oro. Hallar ( ) y ( C). Son los sucesos y C ndependentes de? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( C) C ( ) 0 40 C ( ) Sucesos mutuamente excluyentes Sucesos ndependentes

41 ndependenca de múltples sucesos ara el caso de N sucesos se deben cumplr las condcones sguentes de forma smultánea:

42 ndependenca de múltples sucesos or ejemplo, los sucesos de la fgura podrían ser ndependentes por pares pero no lo serían por tríos: C nterseccones no vacías por parejas ero C

43 ndependenca de múltples sucesos S no son ndependentes se puede recurrr a aplcar repetdamente la defncón de probabldad condconada; ello se basa en las propedades asocatva y conmutatva de los sucesos ( L ) ( ( L ) ) N N ( L ) ( ) ( ) ( ) N N 444 N N N 4443

44 ndependenca de múltples sucesos Entonces obtenemos Cabe preguntarse estamos mejor o estamos peor?

45 Ejercco (Septembre de 005): En un juego de cartas de baraja española (40 cartas, 4 palos, 0 cartas por palo) se reparte una únca carta a cada jugador, sendo 7 el numero de éstos. Se pde que calcule la probabldad de que no salga un determnado palo (por ejemplo, que no salgan copas) en tal reparto Solucón: l jugador -ésmo no le sale copa (,,7) nngún jugador le sale copa ( ) 7?? 7 ( ) ndependentes?

46 Los sucesos no pueden ser ndependentes pues, por ejemplo, s salen copas a los prmeros jugadores el hecho de que salgan copas a los últmos es cada vez más dfícl (más mprobable). ero podemos escrbr, de forma alternatva: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y ahora ( ) ( ) 30 cartas, no copas 0 cartas, copas

47 ( ) ( ) cartas, no copas ( ) cartas, copas Contnuando con este razonamento ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4

48 Teorema de rob. Total y ayes Concepto de partcón SS 3 4 Condcones a cumplr por los N sucesos para consttur partcón

49 Teorema de rob. Total y ayes Teorema de la robabldad Total SS 3 4 odemos escrbr el suceso de la forma

50 Teorema de rob. Total y ayes Entonces, dado que los elementos de la partcón son dsjuntos: lo cual se puede reescrbr de la forma que es la expresón del teorema.

51 Teorema de rob. Total y ayes Teorema de ayes: se obtene de ntercambar el orden de los condconantes: y empleando el Teorema de la rob. Total que es la expresón del teorema.

52 Teorema de rob. Total y ayes S S 3 S 3 DTOS ( S ) j robabldad de recbr S cuando se ha transmtdo j. ( ) robabldad de transmtr símbolo. E suceso error en la transmsón

53 Teorema de rob. Total y ayes S S 3 S 3 3 ( E ) ( E ) ( ) 3 3 ( ( E ) ( ) ( ( S )) ( )

54 Teorema de rob. Total y ayes 3 : La tensón observada X cae en ntervalo ( ), j {,,3} (supongamos valores medbles, esto es, esta probabldad es un dato) j S observamos que la tensón observada ha caído en el ntervalo, qué símbolo dríamos que se ha envado? ( ) 3 j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j j arg max ( )

55 Expermentos compuestos Lanzamento de un dado Necestamos nformacón adconal

56 Expermentos compuestos Generacón de dos núms aleatoros entre 0 y 0,9 xs 0,3 0 : prmer número cae entre 0,3 y 0,9 : segundo número cae entre 0,5 y 0.7 0,5 0,7 S x x

57 Expermentos compuestos El suceso sería, representado gráfcamente, xs 0,9 x S x 0,3 0 0,5 0,7 por lo que se puede escrbr de forma alternatva

58 Expermentos compuestos No obstante es práctca habtual escrbrlo de la forma unque sea un abuso en la notacón pues, como hemos dcho, los sucesos y pertenecen a espacos muestrales dstntos, luego no ha lugar hablar de la nterseccón de los msmos. 0,9 0,3 0 0,5 0,7

59 Expermentos compuestos Respecto de la ley para asgnar probabldades en el expermento compuesto c, Como norma general no es conocda a partr del conocmento exclusvo de y. En el caso en que los subexpermentos sean ndependentes se verfca que: Lo cual escrbremos sn hacer explícto el expermento en cuestón, esto es, ( ) [ ( ) ] ( ) ( )

60 Expermentos compuestos Dos leyes de asgnacón de probabldades en el expermento compuesto pueden dar lugar a las msmas leyes en cada uno de los subexpermentos. Volvamos al ejemplo de los dados j Sale cara en prmer dado (,,6) Sale cara j en segundo dado (,,6) ( )?

61 ( ) ( ) [ ] ( ) 6 6 j j j j S Expermentos compuestos Suma de probabldades de resultados elementales en esa línea

62 Expermentos compuestos Dos posbles leyes del expermento compuesto que dan lugar a equprobabldad en cada expermento smple: Equprobabldad de cada resultado ( ) ( ) j Otra posbldad 6 j j

63 Composcón de Ensayos de ernoull n expermento aleatoro se dce que es un ensayo de ernoull s puede dar uno de dos posbles resultados or conveno dremos que ( ) ( ) p, p + q q Nótese que cualquer expermento aleatoro se puede nterpretar como un ensayo de ernoull.

64 Composcón de Ensayos de ernoull Nos centraremos en la composcón de ensayos de ernoull ndependentes. Concretamente, supondremos que un determnado ensayo de ernoull se realza N veces, y trataremos de encontrar la probabldad de que el suceso se verfque veces (de las N posbles). ara ello defnmos Sale veces (de N posbles) el resultado j Forma j-ésma (j,,m) de verfcarse el suceso Sale resultado en ensayo -ésmo

65 Composcón de Ensayos de ernoull or ejemplo en entenddo que estamos usando notacón abrevada pues en sentdo estrcto deberíamos escrbr ( S S ) ( S L S ) L ( S S ) L L N N N

66 Composcón de Ensayos de ernoull or lo dcho está claro que ero hay que resolver algunas cuestones prevas:. Son los sucesos de la unón dsjuntos?. odemos hallar la probabldad de cada uno como funcón de los parámetros del problema (p,q, y N)? 3. Es mportante ser exhaustvos en la enumeracón de j los sucesos? 4. Cuál es el valor de M?

67 Composcón de Ensayos de ernoull Vayamos por cada una de las preguntas. Los sucesos son dsjuntos: cada uno representa una ordenacón dstnta (y exclusva) de los resultados de cada ensayo de ernoull. lternatvamente Y esto sucede para cada pareja de sucesos j Consecuenca de esto es:

68 Composcón de Ensayos de ernoull. La composcón consste en ensayos ndependentes. or ello, por ejemplo: + 3. Nótese que tal probabldad es funcón de cuántos resultados hay de cada tpo, no de la ordenacón de los msmos en una determnado secuenca. or ello todos j los sucesos son equprobables, luego no hay por qué ser exhaustvos en la lsta de los msmos, sno que nos basta saber cuántos hay, es decr, cuánto vale M.

69 Composcón de Ensayos de ernoull 4. Valor de M: Cada línea expresa índces extraídos de un conjunto de N índces. or ello, todas ellas consttuyen los subconjuntos de elementos que pueden extraerse de un conjunto de N. or ello N M

70 ermutacones de 4 elementos 4!4

71 ermutacones de 4 elementos: rojo, verde y amarllo guales guales!!! 4! guales!!! 3! guales!!! guales!!!

72 Composcón de Ensayos de ernoull En nuestro caso tenemos veces el resultado N- veces el resultado Luego de las permutacones de N resultados, tenemos valores guales y otros N- valores guales. or ello tenemos en total M N!!( N )! N

73 Composcón de Ensayos de ernoull sí pues Ejercco : Esta expresón puede aproxmarse por otras más sencllas. En partcular, s entonces N >>, p <<, Np a < Ejercco : Ejercco 3: 5 (aproxmacón de osson)

74 Composcón de Ensayos de ernoull Otra aproxmacón útl es: ( ) Npq e π ( Np ) Npq N 50 p 0. Váldo s: Npq >> Np 3 Npq Np + 3 Npq

75 Composcón de Ensayos de ernoull Esta aproxmacón permte abordar el caso de probabldades calculadas sobre unón de varos valores del suceso. Concretamente: o ben Esto quedará claro cuando veamos varables gaussanas

76 Ejercco:n sstema de control de caldad de productos químcos decde, para cada producto que nspeccona, s éste cumple los requstos normatvos para su aceptacón. Supongamos que el protocolo de nspeccón rechaza los productos con una probabldad p r y el proceso de fabrcacón es tal que permte aceptar ndependenca entre productos. Se pde: a) S se dspone de N productos, probabldad de que una fraccón no superor al 0% de ellos sea rechazada. b) robabldad de que productos sean rechazados antes de aceptar un número s de éstos.

77 Solucón: a) Se descarta una fraccón no superor al 0% de N Se descartan productos de N posbles Supongamos que r que 0.N. Entonces: es el prmer número entero menor or lo que:

78 b) C Se rechazan productos antes de aceptar s [ N ] El producto es rechazado en nspeccón -ésma Se rechazan productos de N posbles s- aceptacones, rechazos Últma aceptacón [ s + ] s C +

79 Entonces: l ser composcón de ensayos ndependentes: Y tenendo en cuenta que son s+- casos posbles:

80 Ejercco: a): b): c):

81 Solucón: a) m El prmer generador da lugar al número m m El segundo generador da lugar al número m Nos dcen que: ( m m ) 35 ero: Luego: ( m ) + ( m ) ( m ) 35 ( ) m m m m + ( m ( m m) 0 no son ndependentes, por ser dsjuntos ) 35

82 b) l menos uno de los N números generados es gual a m Se han generado números (de N posbles) guales a m Está claro que: N ero: 0 Luego: ( ) ( ) ( ) con: N p 0 q p 36 0 q N 0 0 q N

83 b) Solucón numérca alternatva La expresón : ( ) N q 36 N se puede aproxmar medante la expresón de osson N a 0 36! 0 ( ) Luego: ( ) a a e e ya que: a Np.455 < 5

84 c) Se han generado números (de N posbles) guales a m Está claro que: N 50 or lo que: De forma alternatva: ( ) ( ) N N N q p N Más de 500 de los N números generados son guales a m ( ) ( ) ( ) N q p N ( ) G G Npq Np G

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86 Solucón: d) j Resultado del expermento j es (,,X),(j,,N) Salen s y s j Forma j-ésma (j,,m) de verfcarse el suceso ( ) ( ) M j j M j j M j j ( ) L L 443 L N X N X X j ( ) ( ) ( ) N X N X X j q r p L L L

87 ermutacones de 4 elementos 4!4

88 ermutacones de 4 elementos: rojo, verde y amarllo guales guales!!! guales!!! guales!!! guales!!!

89 N-( + ) ( ) ( ) + N N! N!! N! M Cuánto vale? M Entonces: ( ) ( ) N q r p N N +

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91 Solucón: a) M j j SS 3 3 C 4 Entonces: ( ) C M j ( C ) j j ( ) ( ) ( ) C M C j

92 l ser sucesos dsjuntos: ( ) C ( C ) ( ) M j ( ) ( ) C j ( ) j Y dado que : j j j Entonces podemos escrbr que : M ( ) ( ) C j C j ( ) M j ( ) j M j ( ) C j ( ) j ( ) ( ) ( ) C Teorema de la robabldad Total para probabldades condconadas!!!! j j

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94 b) M j ( ) j M j ( ) j ( ) ( ) M M j ( ) ( ) j j ( ) j ( ) ( )

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