INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

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1 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD José Lus Quntero Expermento aleatoro Expermento Bnomal Teoría de Conjuntos Probabldad Teorema de Bayes Técncas de Conteo Unversdad Central de Venezuela Facultad de Ingenería Postgrado de Investgacón de Operacones ere: Probabldad y Estadístca

2 INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD José Lus Quntero Expermento aleatoro Expermento Bnomal Teoría de Conjuntos Probabldad Teorema de Bayes Técncas de Conteo Unversdad Central de Venezuela Asgnatura: Estadístca Caracas, Dcembre 03

3 PRÓLOGO ROBABILIDADE (ITEL-3005) Tema. Fundamentos de Estadístca Descrptva Dstrbucón de frecuencas y meddas de localzacón Lo malo de escrbr lbros es que se nos va la vda en rehacerlos Alfonso Reyes El presente materal ha tendo un proceso de actualzacón permanente, ncado ya hace algunos años. En cada una de ellas, se han ncludo nuevos temas y ejerccos, con lo cual se ha vendo enrquecendo y mejorando su contendo, ajustándolo a las necesdades, para la formacón de profesonales y para estudosos de la matera, que requeren de esta matera. En esta edcón, se han mejorado sustancalmente aspectos tales como su dagramacón, hacendo más agradable y hábl la presentacón de los dferentes tópcos, además en su contendo se han ncludo, actualzado y revsado tópcos nuevos y problemas de aplcacón a fn de atender a las necesdades y consultas exgdas por estudantes, profesonales o personas que sn formacón académca requeren de su utlzacón. José Lus Quntero José Lus Quntero

4 OBJETIVO A LOGRAR ROBABILIDADE (ITEL-3005) Tema. Fundamentos de Estadístca Descrptva Dstrbucón de frecuencas y meddas de localzacón Defnr expermento aleatoro, su propósto y sus tpos e lustrar con ejemplos práctcos Defnr espaco muestral y sus tpos e lustrar con ejemplos práctcos Defnr eventos y dar ejemplos de certos eventos característcos Destacar certos expermentos aleatoros de nterés Destacar el uso de Dagramas de Venn para la comprensón del uso de eventos Defnr probabldad Dscutr los dos enfoques hasta ahora conocdos para lustrar el concepto de probabldad Trabajar medante demostracones y ejemplos algunos axomas de la probabldad Defnr combnatora Defnr prncpo adtvo y prncpo multplcatvo e lustrar con ejemplos Defnr permutacones sn repetcones o con repetcones e lustrar con ejemplos Defnr varacones sn repetcones o con repetcones e lustrar con ejemplos Defnr combnacones sn repetcones o con repetcones e lustrar con ejemplos Trabajar medante ejemplos los prncpos y usos de las técncas de conteo Defnr probabldad condconal, eventos ndependentes y probabldad total Defnr dagrama de árbol y establecer su utldad en el cálculo que nvolucra probabldades condconales Defnr y aplcar el Teorema de Bayes Defnr y aplcar un Expermento de Bernoull Defnr y aplcar un Expermento Bnomal Defnr y aplcar un Expermento Multnomal Defnr y aplcar un Expermento Geométrco Defnr y aplcar un Expermento Bnomal Negatvo de orden r Defnr y aplcar un Expermento Hpergeométrco Defnr y aplcar un Expermento Multhpergeométrco Defnr y aplcar un Expermento de Posson Trabajar medante problemas los prncpos y usos de la probabldad condconal José Lus Quntero

5 INDICE GENERAL ROBABILIDADE (ITEL-3005) Tema. Fundamentos de Estadístca Descrptva Dstrbucón defrecuencas y meddas de localzacón. Expermento aleatoro.. Defncón.. Clasfcacón.3. Propósto de un expermento aleatoro. Espaco muestral de un expermento aleatoro.. Defncón.. Clasfcacón.3. Cardnaldad de un conjunto C.4. Cardnaldad del espaco muestral 3. Eventos o sucesos 3.. Defncón 3.. Algunos eventos de nterés 3.3. Dagramas de Venn 4. Expermentos aleatoros de nterés 4.. Expermento de Bernoull 4.. Ejemplo lustratvo 4.3. Expermento Bnomal 4.4. Ejemplo lustratvo 4.5. Expermento Multnomal 4.6. Ejemplo lustratvo 4.7. Expermento Geométrco 4.8. Ejemplo lustratvo 4.9. Expermento Bnomal Negatvo de Orden r 4.0. Ejemplo lustratvo 4.. Expermento Hpergeométrco 4.. Ejemplo lustratvo 4.3. Expermento Multhpergeométrco 4.4. Ejemplo lustratvo 5. Probabldad 5.. Defncones 5.. Probabldad (versón frecuencas relatvas) 5.3. Ejemplos lustratvos 5.4. Probabldad (versón clásca espaco muestral dscreto y fnto) 5.5. Probabldad (versón clásca espaco muestral contnuo) 5.6. Axomas de la probabldad 6. Problemas resueltos 7. Prncpos de las técncas de conteo José Lus Quntero

6 7.. Combnatora 7.. Prncpo adtvo 7.3. Ejemplos lustratvos 7.4. Prncpo multplcatvo 7.5. Ejemplos lustratvos 8. Permutacones 8.. Permutacones de n elementos sn repetcón 8.. Ejemplos lustratvos 8.3. Permutacones de n elementos con repetcón 8.4. Ejemplo lustratvo 9. Varacones 9.. Varacones de n elementos tomados de r en r sn repetcones 9.. Ejemplos lustratvos 9.3. Varacones de n elementos tomados de r en r con repetcones 9.4. Ejemplos lustratvos 0. Combnacones 0.. Combnacones de n elementos tomados de r en r sn repetcones 0.. Ejemplos lustratvos 0.3. Combnacones de n elementos tomados de r en r con repetcones 0.4. Ejemplos lustratvos. Problemas resueltos. Probabldad condconal.. Defncón.. Ejemplo lustratvo 3. Eventos ndependentes 3.. Dos eventos ndependentes 3.. N eventos ndependentes 3.3. Ejemplos lustratvos 4. Probabldad total 4.. Defncón 4.. Ejemplo lustratvo 5. Dagrama de árbol 5.. Defncón 5.. Ejemplos lustratvos 6. Teorema de Bayes 6.. Defncón 6.. Ejemplos lustratvos 7. Expermento de Bernoull 7.. Defncón 7.. Ejemplos lustratvos 8. Expermento Bnomal 8.. Defncón 8.. Ejemplos lustratvos 9. Expermento Multnomal 9.. Defncón José Lus Quntero

7 9.. Ejemplo lustratvo 0. Expermento Geométrco 0.. Defncón 0.. Ejemplos lustratvos. Expermento Bnomal Negatvo de Orden r.. Defncón.. Ejemplos lustratvos. Expermento Hpergeométrco.. Defncón.. Ejemplo lustratvo 3. Expermento Multhpergeométrco 3.. Defncón 3.. Ejemplo lustratvo 4. Expermento de Posson 4.. Defncón 4.. Ejemplo lustratvo 5. Problemas resueltos 6. Problemas propuestos José Lus Quntero

8 . EXPERIMENTO ALEATORIO.. Defncón (Expermento aleatoro). Expermento en el cual no se puede predecr el resultado antes de realzarlo. Para que un expermento sea aleatoro debe tener al menos dos resultados posbles... Clasfcacón: a. mple. Ejemplos: Lanzamento de una moneda Observacón. El carácter Lanzamento de un dado Escogenca al azar de una pelota de una caja que contene n pelotas negras y v pelotas verdes aleatoro no está radcado en el fenómeno, sno que es parte del modelo que se construye para estudarlo. Cuando se lanza una Escogenca al azar de una persona moneda con el propósto de Inspeccón de caldad de un producto observar s se obtene cara o sello, fabrcado s se consderan todas las Anotacón del sexo de un recén nacdo condcones mecáncas que Anotacón de la duracón de una llamada telefónca Medcón de la temperatura nterna de un tanque que contene un fludo Medcón del número de personas que ngresan a una entdad bancara en una hora determnan el lanzamento y la caída de la moneda (velocdad ncal, peso, dstrbucón de densdad, forma y elastcdad del pso y de la moneda, etc) es probable predecr el resultado. n embargo, es sabdo que lo más frecuente es pensar el Medcón del tempo entre llegadas de los expermento asocándole dos usuaros de un aeropuerto Elegr al azar una placa de un automóvl compuesta por tres letras y tres números resultados posbles (cara y sello), a cada uno de los cuales se le asgna una certa medda. Elegr al azar un grupo de 5 personas de un unverso de 7 personas Elegr al azar un número de tres cfras entre 00 y 999 Elegr al azar una forma de colocar lbros en una estantería Elegr al azar un códgo de área de cnco dígtos del al 5 sn repetcones b. Compuesto. Implca la realzacón de varos expermentos smples de forma smultánea o de forma sucesva. Ejemplos: Lanzamento de un dado n veces José Lus Quntero

9 Lanzamento de n dados de forma smultánea Lanzamento de un dado y dos monedas Anotacón de las n pelotas escogdas al azar Observacón. Un msmo de forma sucesva de una caja que contene expermento smple puede ser n pelotas negras y v pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta es devuelta a la caja Anotacón de las n pelotas escogdas al azar de forma sucesva de una caja que contene n pelotas negras y v pelotas verdes donde ejecutado varas veces. El número de resultados de este expermento smple pudera no ser el msmo cada vez que se realza. Esta observacón da orgen a una clasfcacón de un expermento compuesto. cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta no es devuelta a la caja Anotacón de las n pelotas escogdas al azar de forma smultánea de una caja que contene n pelotas negras y v pelotas verdes Inspeccón de caldad de varos productos fabrcados b.. Compuesto con ndependenca. Un msmo expermento smple es repetdo varas veces bajo las msmas condcones sn alterar en cada ejecucón el número de resultados posbles Ejemplos: Lanzamento de un dado n veces Lanzamento de n dados de forma Observacón 3. Un caso partcular smultánea de un expermento compuesto con Lanzamento de un dado y dos ndependenca ocurre cuando se monedas realza un MUETREO ALEATORIO Anotacón de las n pelotas escogdas al CON REPOICIÓN (MACR). Esta azar de forma sucesva de una caja stuacón es lustrada en el ejemplo que contene n pelotas negras y v de las pelotas negras y verdes. pelotas verdes donde cada vez que se escoge y se anota una pelota, ésta es devuelta a la caja Inspeccón de varos productos fabrcados b.. Compuesto sn ndependenca. Un msmo expermento smple es repetdo varas veces alterando en algunas o en todas las ejecucones el número de resultados posbles Ejemplos: Observacón 4. Un caso partcular Anotacón de las n pelotas escogdas al de un expermento compuesto con azar de forma sucesva de una caja ndependenca ocurre cuando se que contene n pelotas negras y v realza un MUETREO ALEATORIO pelotas verdes donde cada vez que se IN REPOICIÓN (MAR). Esta escoge y se anota una pelota, ésta no stuacón es lustrada en el ejemplo es devuelta a la caja de las pelotas negras y verdes. José Lus Quntero

10 Anotacón de las n pelotas escogdas al azar de forma smultánea de una caja que contene n pelotas negras y v pelotas verdes.3. Propósto de un Expermento Aleatoro. Defne lo que se persgue observar después de ejecutado el expermento aleatoro. Ejemplos: Expermento aleatoro: Lanzamento de un dado normal con dos caras blancas y cuatro caras negras sobre una mesa crcular. Algunos propóstos que puderan ser defndos sobre este expermento: Propósto. Determnar el número obtendo en la cara superor del dado Propósto. Determnar el color de la cara superor del dado Propósto 3. Determnar la dstanca entre el centro de la mesa y el punto central de la cara nferor del dado Expermento aleatoro: Escogenca al azar de un estudante de Ingenería de una unversdad específca. Algunos propóstos que puderan ser defndos sobre este expermento: Propósto. Determnar la edad de la persona Propósto. Determnar el tpo de Ingenería que estuda Propósto 3. Determnar el últmo dígto de su cédula. EPACIO MUETRAL DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO.. Defncón (Espaco muestral de un expermento aleatoro). Es el conjunto de todos los posbles resultados de ese expermento. e denotará con la letra... Clasfcacón: a. Dscreto y fnto. El número total de resultados de ese expermento es un número fnto. Ejemplos: En el expermento aleatoro de lanzar una moneda con el propósto de determnar lo que ocurró en la cara superor, los posbles resultados son cara y sello. Luego el = cara, sello. Este espaco muestral tene espaco muestral puede escrbrse como { } dos posbles resultados (Expermento de Bernoull) En el expermento aleatoro de lanzar un dado con el propósto de determnar el número obtendo en la cara superor del dado, los posbles resultados son cada una de =,,3,4,5,6 las ses caras del dado. Este espaco muestral puede escrbrse como { } con ses resultados José Lus Quntero 3

11 En el expermento aleatoro de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro caras negras con el propósto de determnar el color de la cara superor del dado, los posbles resultados son blanco y negro. El espaco muestral se escrbe como = blanco, negro. Este espaco muestral tene dos posbles resultados (Expermento { } de Bernoull) En el expermento aleatoro de lanzar dos dados con el propósto de observar el número obtendo en la cara superor del prmer dado y el número obtendo en la cara superor del segundo dado, los posbles resultados son todos los pares al consderar cada una de las ses caras de cada dado. Luego el espaco muestral puede escrbrse = (, j) /, j =,,3,4,5,6. Este espaco muestral tene trenta y ses posbles como { } resultados y es un espaco bdmensonal b. Dscreto e nfnto numerable. El número total de resultados de ese expermento es un número nfnto pero se pueden ordenar en una sucesón. Ejemplos: En el expermento aleatoro de observar el número de personas que entran a un banco durante un período de una hora, el espaco muestral puede escrbrse como = 0,,,... Este espaco muestral tene nfntos resultados { } En el expermento aleatoro de lanzar un dado tantas veces como sea necesara hasta que salga ses por prmera vez con el propósto de determnar el lanzamento donde =,,... ocurre esto por prmera vez, el espaco muestral puede escrbrse como { } Este espaco muestral tene nfntos resultados (Expermento Geométrco) c. Contnuo. El número total de resultados de ese expermento es un número nfnto que no se puede ordenar en una sucesón. Aquí el conjunto de resultados vene dado por ntervalos. Ejemplos: En el expermento aleatoro de medr el voltaje entre un certo punto y terra en el crcuto de un receptor de rado, el espaco muestral puede escrbrse como = { v :0 v v MAX }. Este espaco muestral tene nfntos resultados En el expermento aleatoro de escoger un número aleatoro entre cero y uno en un = r :0 r. Este espaco computador, el espaco muestral puede escrbrse como { } muestral tene nfntos resultados En el expermento aleatoro de lanzar un dado normal sobre una mesa crcular con el propósto de determnar la dstanca entre el centro de la mesa y el punto central de la = r : 0 r R, cara nferor del dado, el espaco muestral puede escrbrse como { } donde R representa el rado de la mesa. Este espaco muestral tene nfntos resultados d. Mxto. El número total de resultados de ese expermento es un número nfnto que no se puede ordenar en una sucesón. Aquí el conjunto de resultados vene expresado por números puntuales y tambén por ntervalos José Lus Quntero 4

12 Ejemplo: uponga que se tene un sensor asocado a un meddor de temperatura del nteror de un tanque que contene un fludo que debe apagar el sstema y marcar en el meddor la temperatura de 0 C s la temperatura medda en el nteror del tanque es menor que 0 C. De gual manera debe apagar el sstema y marcar en el meddor la temperatura de 5 C s la temperatura medda en el nteror del tanque supera los 0 C. En caso contraro se debe reportar la temperatura real en el nteror del tanque. El espaco = T :0,0 T 0,5. Este espaco muestral tene muestral puede escrbrse como { } dos resultados puntuales y un ntervalo, por lo tanto tene nfntos resultados.3. Cardnaldad de un conjunto C. Es el número de elementos que posee el conjunto C. e denotará por N C..4. Cardnaldad del espaco muestral. Ejemplos: En el expermento aleatoro de lanzar una moneda con el propósto de determnar lo que = cara, sello tene cardnaldad, es ocurró en la cara superor, el espaco muestral { } decr N = En el expermento aleatoro de lanzar un dado con el propósto de determnar el número =,,3,4,5,6 tene obtendo en la cara superor del dado, el espaco muestral { } cardnaldad 6, es decr N = 6 En el expermento aleatoro de lanzar un dado normal con dos caras blancas y cuatro caras negras con el propósto de determnar el color de la cara superor del dado, el espaco muestral = { blanco,negro} tene cardnaldad 6, es decr N = 6. En este ejemplo se puede afrmar que Nblanco = y Nnegro = 4 En el expermento aleatoro de lanzar dos dados con el propósto de observar el número obtendo en la cara superor del prmer dado y el número obtendo en la cara superor del = (, j) /, j =,,3,4,5,6 tene cardnaldad 36, es segundo dado, el espaco muestral { } decr N = EVENTO O UCEO 3.. Defncón (Evento o suceso). Es cualquer subconjunto del espaco muestral. e denotan con las letras mayúsculas, por ejemplo, A,B,C. José Lus Quntero 5

13 3.. Algunos eventos de ntéres: a. Evento complemento de A. Es un subconjunto del espaco muestral que contene los resultados que no están en el evento A. b. Evento elemental. Es un evento que contene solamente un resultado del expermento aleatoro. c. Evento compuesto. Es un evento que contene más de un resultado del expermento aleatoro. d. Evento seguro. Es un evento que contene todos los resultados del expermento aleatoro. e. Evento mposble. Es un evento que no contene nngún resultado del expermento aleatoro. f. Eventos mutuamente excluyentes (o dsjuntos). on eventos de nterseccón vacía, es decr, que no poseen elementos comunes. g. k eventos colectvamente exhaustvos. on los eventos A, A,, A k del espaco muestral tales que A A... Ak =. Observacón 5. Consderacones acerca de los eventos o sucesos: Las notacones más comunes para el evento complemento de A c son A, A y A El evento seguro es el espaco muestral El evento mposble es el conjunto vaco Todos los eventos elementales son mutuamente excluyentes Todos los resultados posbles de un espaco muestral son mutuamente excluyentes Los eventos A y c A son mutuamente excluyentes o dsjuntos Los eventos A y c A colectvamente exhaustvos son Todo evento elemental tene cardnaldad uno El evento mposble tene cardnaldad cero El evento complemento de A tene cardnaldad gual a N NA Ejemplos: En el expermento aleatoro de lanzar un dado con el propósto de determnar el número obtendo en la cara superor del dado, algunos eventos compuestos que se pueden defnr son: A = { cara / par} = {,4,6 }, B = { cara / prmo} = {,3,5 } En el expermento aleatoro de lanzar un dado con el propósto de determnar el número obtendo en la cara superor del dado, el evento complemento de A vene dado por c { } { } A = cara / mpar =,3, Dagramas de Venn. on lustracones usadas en la teoría de conjuntos. e usan para mostrar gráfcamente conjuntos, representando cada uno medante un círculo o un óvalo. La fgura muestra Dagramas de Venn que lustran cuatro stuacones de eventos mutuamente excluyentes y colectvamente exhaustvos. José Lus Quntero 6

14 Fgura. Cuatro stuacones lustradas usando Dagramas de Venn 4. EXPERIMENTO ALEATORIO DE INTERÉ 4.. Expermento de Bernoull. Es un expermento aleatoro que posee solo dos resultados posbles. 4.. Ejemplo lustratvo. e tene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. e extrae una pelota al azar y se tene como propósto determnar su color Expermento Bnomal. Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón sucesva de n veces el Expermento de Bernoull bajo las msmas condcones Ejemplo lustratvo. e tene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. e extrae una pelota al azar, se anota su color y se devuelve a la caja. Este procedmento se ejecuta n veces. El propósto fnal es determnar la cantdad de pelotas negras regstradas y por ende la cantdad de pelotas verdes. José Lus Quntero 7

15 4.5. Expermento Multnomal. Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón sucesva de n veces un expermento aleatoro smple que tene m resultados bajo las msmas condcones Ejemplo lustratvo. e tene una caja con n pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas rojas. e extrae una pelota al azar, se anota su color y se devuelve. Este proceso se ejecuta n veces. El propósto es hallar la cantdad de pelotas negras, pelotas blancas y pelotas rojas regstradas Expermento Geométrco. Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón sucesva del Expermento de Bernoull bajo las msmas condcones hasta que se determna la ocurrenca de un evento (prevamente defndo como éxto) por prmera vez Ejemplo lustratvo. e lanza un dado normal tantas veces como sea necesaro hasta que se obtenga ses por prmera vez. Luego de ocurrdo lo anteror se detene el proceso Expermento Bnomal Negatvo de Orden r. Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón sucesva de del Expermento de Bernoull bajo las msmas condcones hasta que se determna la ocurrenca de un evento (prevamente defndo como éxto) por r-ésma vez Ejemplo lustratvo. e lanza un dado normal tantas veces como sea necesara hasta que salga ses por tercera vez. Luego de ocurrdo lo anteror se detene el proceso. Observacón 6. Consderacones acerca de los expermentos aleatoros de nterés: se asume el Expermento de Bernoull como un expermento aleatoro smple, entonces los Expermentos Bnomal, Mutnomal, Geométrco y Bnomal Negatvo pueden ser consderados como expermentos compuestos con ndependenca En los Expermentos Bnomal y Multnomal se sabe de antemano la cantdad de veces que se repetrá el Expermento de Bernoull mentras que en los Expermentos Geométrco y Bnomal Negatvo de orden r esto no se sabe a pror ya que la ocurrenca del evento prevamente defndo es consderada aleatora o fortuta El Expermento Bnomal es consderado un Expermento Multnomal donde m = El Expermento Geométrco es consderado un Expermento Bnomal Negatvo de orden El propósto del expermento aleatoro para los expermentos Geométrco y Bnomal Negatvo de orden r es determnar en que ntento se detene el proceso En los expermentos Geométrco y Bnomal Negatvo de orden r el espaco muestral tene cardnaldad nfnta José Lus Quntero 8

16 4.. Expermento Hpergeométrco. Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón sucesva de n veces el Expermento de Bernoull bajo condcones dstntas. 4.. Ejemplo lustratvo. e tene una caja con n pelotas negras y v pelotas verdes. e extrae una muestra de k pelotas. El propósto es hallar la cantdad de pelotas negras y de pelotas blancas contendas en la muestra de tamaño k Expermento Multhpergeométrco. Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón sucesva de n veces un expermento smple de m resultados posbles bajo condcones dstntas Ejemplo lustratvo. e tene una caja con n pelotas negras, v pelotas verdes y r pelotas rojas. e extrae una muestra de k pelotas. El propósto es hallar la cantdad de pelotas negras, de pelotas blancas y de pelotas rojas contendas en la muestra de tamaño k. Observacón 7. Consderacones acerca de los expermentos aleatoros de nterés: Los Expermentos Hpergeométrco y Multhpergeométrco pueden ser consderados como expermentos compuestos sn ndependenca En los Expermentos Bnomal, Multnomal, Geométrco y Bnomal Negatvo de orden r se realza un MUETRO ALEATORIO CON REPOICIÓN En los Expermentos Hpergeométrco y Multhpergeométrco se realza un MUETREO ALEATORIO IN REPOICIÓN 5. PROBABILIDAD 5.. Defncones (Probabldad) Es una manera de cuantfcar la ncertdumbre que exste en un expermento aleatoro Medda numérca del chance de ocurrenca de un evento Es una relacón matemátca que asgna a cada resultado del expermento aleatoro un número real que se encuentra en el ntervalo [0,] 5.. Probabldad (Versón frecuencas relatvas). ea un expermento aleatoro que se va a repetr n veces y sea n A el número de esas veces que ocurre el evento A, entonces la probabldad del evento A es el límte cuando n tende a nfnto de la frecuenca relatva de A. Observacón 8. Consderacones acerca de la probabldad: La probabldad de un evento A se denotará P(A) Posbldad Probabldad José Lus Quntero 9

17 La probabldad del evento A se defne como = = n. A P(A) lím fa lím n n n La ecuacón anteror no es práctca para calcular la probabldad de A. En su defecto, se usa la ecuacón P(A) n A n, cuando n es grande. Este enfoque se le conoce como probabldad a posteror Ejemplos lustrat vos: Ejemplo. e lanza una moneda 000 veces y se calcula la frecuenca relatva del evento A defndo como sale cara. La sucesón de resultados del expermento se refleja en la fgura Probabldad de que salga cara Probabldad de que salga cara Intentos LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: ELLO=0,CARA= - IMULACIÓN LANZAMIENTO DE UNA MONEDA: ELLO=0,CARA= - 4 IMULACIONE Intentos Fgura. Expermento de la moneda usando la versón de frecuencas relatvas Ejemplo. e lanza un dado 000 veces y se calcula la frecuenca relatva del evento A defndo como sale tres. La sucesón de resultados del expermento se refleja en la fgura 3 Probabldad de que salga tres Probabldad de que salga tres LANZAMIENTO DE UN DADO - IMULACIÓN Intentos LANZAMIENTO DE UN DADO - 4 IMULACIONE Intentos Fgura 3. Expermento del dado usando la versón de frecuencas relatvas José Lus Quntero 0

18 5.4. Probabldad (Versón clásca Espaco muestral dscreto y fnto). ea un expermento aleatoro cuyo espaco muestral es dscreto y fnto de cardnaldad N y sea un evento A con cardnaldad N A, entonces se conocerá como probabldad del evento A a la relacón entre N A y N dada por NA P(A) =. N 5.5. Probabldad (Versón clásca Espaco muestral contnuo). ea un expermento aleatoro cuyo espaco muestral es contnuo, sea L la longtud del espaco muestral y sea L A la longtud del evento A, entonces se conocerá como probabldad del evento A a la relacón entre L A y L dada por LA P(A) =. L Observacón 9. Consderacones acerca de la probabldad: Para establecer la defncón clásca no es necesaro realzar el expermento, sólo analzar los posbles resultados A es un evento elemental, entonces P(A) = / N. En consecuenca los eventos elementales son equprobables La longtud del espaco muestral contnuo debe ser fnta 5.6. Axomas de la probabldad: Para cualquer evento A, 0 P(A) P() = P(A A... A n) = P(A ) + P(A ) P(A n) P( dos eventos) + P( tres eventos) n ( ) + P(A A... A ) n : n P(A A ) = P(A ) + P(A ) P(A A ) P(A A ) P(A ) + P(A ) = n = 3: P(A A A 3) = P(A ) + P(A ) + P(A 3) P(A A ) P(A A 3) P(A A 3) + P(A A A 3) A, A,..., A n son eventos mutuamente excluyentes, P(A) + P(A) = n n P(A A... A n) = P(A ) + P(A ) P(A n) P A = P(A ) = = P(A A... A n) + P(A A... A n) = P( ) = 0 José Lus Quntero

19 6. PROBLEMA REUELTO PROBLEMA. Coloque al lado la letra V o F según consdere que la proposcón es verdadera o falsa respectvamente. a. Un evento es un subconjunto del espaco muestral que contene sólo un resultado del expermento aleatoro b. Uno de los axomas de la probabldad establece que la suma de las probabldades de un evento y su complemento es gual a uno c. Uno de los axomas de la probabldad establece que la probabldad del evento vaco es gual a cero d. El número de elementos de un conjunto determna su cardnaldad e. Todos los resultados de un expermento aleatoro son equprobables V V V V V F F F F F a. Un evento es un subconjunto del espaco muestral que contene sólo un resultado del expermento aleatoro b. Uno de los axomas de la probabldad establece que la suma de las probabldades de un evento y su complemento es gual a uno c. Uno de los axomas de la probabldad establece que la probabldad del evento vaco es gual a cero d. El número de elementos de un conjunto determna su cardnaldad e. Todos los resultados de un expermento aleatoro son equprobables V V V V V F F F F F PROBLEMA. Encerre en un círculo la letra que usted consdere corresponde a la respuesta correcta.. A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44, se puede afrmar que P(A B) : a. 0 b. 0.9 c. 0.8 d.. e lanza un par de dados honestos. La probabldad de que la suma de los dos números obtendos sea mayor o gual a 0 es equvalente a a. / b. /6 c. 5/36 d. 5/6 3. ean A, A y A 3 eventos de un espaco muestral. El evento no ocurre nnguno se expresa como: A A A a. 3 b. A A A3 c. A A A3 d. Nnguna de las anterores José Lus Quntero

20 4. ea E el conjunto con todos los posbles resultados del expermento elegr una persona al azar. ean los sucesos: M: la persona es mujer, R: la persona es ruba, C: la persona tene ojos claros. A contnuacón se muestran 4 dagramas de Venn (D, D, D3, D4) donde la zona sombreada representa un suceso. El suceso hombres de ojos oscuros se encuentra representado en el dagrama D D D3 D4 a. D b. D c. D3 d. D4. A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44, se puede afrmar que P(A B) : a. 0 b. 0.9 c. 0.8 d.. e lanza un par de dados honestos. La probabldad de que la suma de los dos números obtendos sea mayor o gual a 0 es equvalente a a. / b. /6 c. 5/36 d. 5/6 3. ean A, A y A 3 eventos de un espaco muestral. El evento no ocurre nnguno se expresa como: A A A a. 3 b. A A A3 c. A A A3 d. Nnguna de las anterores 4. ea E el conjunto con todos los posbles resultados del expermento elegr una persona al azar. ean los sucesos: M: la persona es mujer, R: la persona es ruba, C: la persona tene ojos claros. A contnuacón se muestran 4 dagramas de Venn (D, D, D3, D4) donde la zona sombreada representa un suceso. El suceso hombres de ojos oscuros se encuentra representado en el dagrama D D D3 D4 a. D b. D c. D3 d. D4 José Lus Quntero 3

21 PROBLEMA 3. A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 determne: a. P(A) b. P(B) c. P(A B) d. P(A B) e. P(A B) f. P(A B) a. P(A) = P(A) = 0.37 = 0.63 b. P(B) = P(B) = 0.44 = 0.56 c. P(A B) = P(A) + P(B) = = 0.8 d. P(A B) = 0 e. P(A B) = P(A) = 0.37 f. P(A B) = P(A B) = 0.8 = 0.9 PROBLEMA 4. e lanza un dado dos veces. Cuál es la probabldad de que la suma de los resultados sea mayor o gual a 9? Expermento aleatoro: Lanzamento de un dado dos veces Propósto: Determnar en cada lanzamento el número obtendo en la cara superor del dado Aquí se tene un expermento compuesto que resulta de llevar a cabo dos veces el expermento smple del lanzamento de un dado. De modo que N = 6 6 = 36. Por otro lado el evento A: La suma de los resultados es mayor o gual a 9, ocurre s sucede alguna de las sguentes stuacones: El resultado del dado es 3 y el resultado del dado es 6 El resultado del dado es 4 y el resultado del dado es 5 El resultado del dado es 4 y el resultado del dado es 6 El resultado del dado es 5 y el resultado del dado es 4 El resultado del dado es 5 y el resultado del dado es 5 El resultado del dado es 5 y el resultado del dado es 6 El resultado del dado es 6 y el resultado del dado es 3 El resultado del dado es 6 y el resultado del dado es 4 El resultado del dado es 6 y el resultado del dado es 5 El resultado del dado es 6 y el resultado del dado es 6 e puede aprecar entonces que NA = 0. Por lo tanto NA 0 5 P(A) = = = N 36 8 PROBLEMA 5. e tene un cuadrado de lado L y dentro de él un círculo de rado R (R<L). e lanza un dardo. el dardo cae en la zona crcular se obtene un premo. Cuál es la probabldad de obtener el premo? José Lus Quntero 4

22 Expermento aleatoro: Lanzamento de un dardo Propósto: Determnar s cae o no en la zona crcular Aquí se tene un expermento donde el espaco muestral es contnuo. Para determnar su cardnaldad se procede a calcular el área del cuadrado, de modo que defne el evento A: el dardo cae en la zona crcular, su cardnaldad es NA πr R P(A) = = = π N L L N NA = L. Por otro lado, s se = π R. En tal sentdo, PROBLEMA 6. Los empleados de la compañía Nuevo Horzonte se encuentran separados en tres dvsones: admnstracón, operacón de planta y ventas. La sguente tabla ndca el número de empleados en cada dvsón clasfcados por sexo: Mujer (M) Hombre (H) Totales Admnstracón (A) Operacón de planta (O) Ventas (V) Totales a. se elge aleatoramente un empleado: Cuál es la probabldad de que sea mujer? Cuál es la probabldad de que trabaje en ventas? Cuál es la probabldad de que sea hombre y trabaje en la dvsón de admnstracón? b. Determne las sguentes probabldades: P(A M), P(A M) y P(O H) a. se elge aleatoramente un empleado: Cuál es la probabldad de que sea mujer? 80 9 P(M) = = Cuál es la probabldad de que trabaje en ventas? 50 3 P(V) = = Cuál es la probabldad de que sea hombre y trabaje en la dvsón de admnstracón? 30 3 P(H A) = = b. Determne las sguentes probabldades: P(A M) P(A M) = P(A) + P(M) P(A M) = + = = José Lus Quntero 5

23 P(A M) P(A M) = P(A) + P(M) P(A M) = + = = P(O H) 40 7 P(O H) = = PROBLEMA 7. De 50 pacentes examnados en una clínca, se encontró que 90 tenían enfermedades cardíacas, 50 tenían dabetes y 30 tenían ambos padecmentos. Qué porcentaje de los pacentes tenían uno u otro de los padecmentos? Expermento aleatoro: Elegr al azar un pacente de la clínca Propósto: Determnar el padecmento o los padecmentos que tene (s lo tene o los tene) Espaco muestral: Todos los pacentes de la clínca. Cardnaldad = 50 Eventos: A: Pacente tene enfermedad cardíaca B: Pacente tene dabetes P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = + = = En consecuenca, el porcentaje de los pacentes que tenían uno u otro de los padecmentos es 00 % 73.33%. 5 PROBLEMA 8. e examnaron las tarjetas de regstro de 00 estudantes en relacón a certos domas. e encontró que 00 aprendan francés, 80 aprendan español y 60 ambos domas. de este grupo de 00 estudantes, se seleccona uno al azar, a. cuál es la probabldad de que se encuentre aprendendo francés o español? b. cuál es la probabldad de que no se encuentre aprendendo nnguno de los dos domas? a. cuál es la probabldad de que se encuentre aprendendo francés o español? Expermento aleatoro: Elegr al azar una tarjeta de regstro de un estudante Propósto: Determnar el doma o los domas que aprende (en caso de aprenderlo) Espaco muestral: Todas las tarjetas de regstro de los estudantes. Cardnaldad = 00 Eventos: F: Estudante aprende francés. E: Estudante aprende español P(F E) = P(F) + P(E) P(F E) = + = = b. cuál es la probabldad de que no se encuentre aprendendo nnguno de los dos domas? 3 P(F E) = P(F E) = =. 5 5 José Lus Quntero 6

24 PROBLEMA 9. Un dado tene tres caras negras numeradas, y 3; las otras tres caras son blancas y numeradas 4, 5 y 6. se lanza este dado, cuál es la probabldad de que aparezca un número par o una cara blanca? Expermento aleatoro: Lanzamento de un dado con tres caras negras numeradas, y 3 y tres caras blancas numeradas 4, 5 y 6. Propóstos: Propósto. Determnar s en la cara superor del dado aparece un número par o un número mpar Propósto. Determnar el color de la cara superor del dado Espaco muestral: Referdo al propósto : = { par, mpar}. Referdo al propósto : = { negro,blanco} N = 6, NPAR = 3, NIMPAR = 3. N = 6, NNEGRO = 3, NBLANCO = 3 Eventos A: Cara con un número par B: cara de color blanco P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = + = = PROBLEMA 0. Un dado está cargado de modo tal que la probabldad de que salga la cara es proporconal a k. Halle la probabldad de cada uno de los eventos: a. El resultado de arrojar el dado es un número par b. El resultado es menor que 6 a. El resultado de arrojar el dado es un número par. Expermento aleatoro: Lanzamento de un dado Propósto: Determnar el número ocurrdo en la cara superor del dado Espaco muestral: = { A : =,...,6}, donde A : Aparece la cara. Evento de nterés: P = A A4 A6 : Aparece un número par. Entonces P(A ) + P(A ) P(A 6) = k + k k = k = k = De modo que: N =. NA =, NA =, NA3 = 3, NA4 = 4, NA5 = 5, NA6 = 6. Por lo tanto b. El resultado es menor que P(P) = P(A A4 A 6) = P(A ) + P(A 4) + P(A 6) = + + = = 7 Evento de nterés: B = A A A3 A4 A5 = A6 : El resultado es menor que ses. El evento A 6 es el evento complemento de B. Por lo tanto P(B) = P(A 6) = = = 7 José Lus Quntero 7

25 PROBLEMA. uponga que A, B y C son eventos para los cuales se tene: P(A) = P(B) = P(C) =, P(A B) = P(C B) = 0 y P(A C) =. Halle la probabldad de que al menos uno de los 8 eventos, A, B o C ocurra. P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) 3 5 = = = PROBLEMA. e seleccona al azar una pelota de una caja que contene pelotas rojas, blancas, azules, amarllas y verdes. la probabldad de selecconar una pelota roja es /5 y la de selecconar una pelota blanca es /5, calcule la probabldad de selecconar una pelota azul, amarlla o verde. OLUCIÓN: Expermento aleatoro: Elegr al azar una pelota de una caja Propósto: Determnar el color de la pelota selecconada = ROJO, BLANCO, AZUL, AMARILLO, VERDE Espaco muestral: { } Eventos de nterés: AM: La pelota selecconada es amarlla AZ: La pelota selecconada es azul VE: La pelota selecconada es verde BL: La pelota selecconada es blanca RO: La pelota selecconada es roja e desea calcular P(AM AZ VE). Como los eventos AM, AZ y VE son dsjuntos o mutuamente excluyentes, entonces P(AM AZ VE) = P(AZ) + P(AM) + P(VE). Por otro lado se sabe que los eventos AM, AZ, VE, BL y RO son colectvamente exhaustvos, de modo que P(AZ) + P(AM) + P(VE) + P(BL) + P(RO) =. En consecuenca P(AZ) + P(AM) + P(VE) = P(BL) P(RO) = = PROBLEMA 3. ean A, B y C tres eventos tales que P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A B) = 0., P(A C) = 0., P(B C) = 0, P(A C) = 0.7. Obtenga la probabldad de que ocurra exactamente solo uno de dchos eventos. P(A) = P(A ) + P(A B) + P(A C) P(A ) = P(A) P(A B) P(A C) solamente solamente = = 0. P(B) = P(B ) + P(B A) + P(B C) P(B ) = P(B) P(B A) P(B C) solamente solamente = = 0. P(A C) = P(A) + P(C) P(A C) P(C) = P(A C) + P(A C) P(A) = = 0.4 José Lus Quntero 8

26 P(C) = P(C ) + P(C A) + P(C B) P(C ) = P(C) P(C A) P(C B) solamente solamente = = 0.3 P(A ) + P(B ) + P(C ) = = 0.7 solamente solamente solamente PROBLEMA 4. e está realzando la nspeccón fnal de aparatos de televsón después del ensamble. e dentfcan tres tpos de defectos como crítcos, mayores y menores y una empresa de envíos por correo los clasfca en: A, B y C, respectvamente. e analzan los datos con los sguentes resultados: Aparatos que sólo tenen defectos crítcos: % Aparatos que sólo tenen defectos mayores: 5 % Aparatos que sólo tenen defectos menores: 7 % Aparatos que sólo tenen defectos crítcos y mayores: 3 % Aparatos que sólo tenen defectos crítcos y menores: 4 % Aparatos que sólo tenen defectos mayores y menores: 3 % Aparatos que tenen los tres tpos de defectos: % a. Qué porcentaje de los aparatos no tene defectos? b. Los aparatos con defectos crítcos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. Qué porcentaje corresponde a esta categoría? a. Qué porcentaje de los aparatos no tene defectos? Expermento aleatoro: Inspeccón al azar de un aparato de televsón Propósto: Determnar el tpo o tpos de defectos que posee (s los tene) Espaco muestral: Todos los aparatos del sto objeto de la nspeccón Evento de nterés: B: Aparatos sn defectos P(B) 00% = 00% ( )% = 75% b. Los aparatos con defectos crítcos o mayores (o ambos) deben manufacturarse nuevamente. Qué porcentaje corresponde a esta categoría? Eventos de nterés: C: Aparatos con defectos crítcos M: Aparatos con defectos mayores P(C M) 00% = ( )% 7% = 8% PROBLEMA 5. En una determnada poblacón, el 60% de las personas son mujeres, el 5% de la gente es ruba y el 35% de la gente tene ojos claros. Por otro lado, el 0% de la poblacón son mujeres rubas, el 0% de la poblacón son mujeres de ojos claros, el 5% de la poblacón son personas rubas y de ojos claros y el 5% de la poblacón son mujeres rubas de ojos claros. Calcule la probabldad de que al elegr una persona al azar, esta sea a. mujer no ruba y de ojos oscuros b. hombre no rubo y de ojos oscuros c. persona ruba o de ojos claros José Lus Quntero 9

27 a. mujer no ruba y de ojos oscuros Expermento aleatoro: Elegr al azar una persona de una determnada poblacón Propóstos: Propósto. Determnar s la persona es hombre o mujer Propósto. Determnar s la persona es o no es ruba Propósto 3. Determnar s la persona tene los ojos claros u oscuros Espaco muestral: Referdo al propósto : = { hombre, mujer}. Referdo al propósto : = { ruba,no ruba} Referdo al propósto 3: = { ojos claros, ojos oscuros} Eventos de nterés: M: la persona elegda es mujer R: la persona elegda es ruba 3 C: la persona elegda tene los ojos claros P(M R C) = P(M) P(M R) P(M C) + P(M C R) = + = = b. hombre no rubo y de ojos oscuros P(M R C) = P(M) + P(R) + P(C) P(M R) P(M C) P(C R) + P(M C R) c. persona ruba o de ojos claros = = = P(M R C) = P(M R C) = 0.8 = P(R C) = P(R) + P(C) P(R C) = + = = PRINCIPIO DE LA TÉCNICA DE CONTEO 7.. Combnatora. Es el arte de contar los posbles elementos de un conjunto, tenendo especal cudado en no olvdar nngún elemento n en contarlo más de una vez. 7.. Prncpo adtvo. ean k conjuntos A, A,, A k, con R, R,, R k elementos dstntos respectvamente. se desea escoger un únco elemento, el número de formas dstntas será, empleando el prncpo adtvo, k R a R =. = José Lus Quntero 0

28 7.3. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. e tenen 3 conjuntos de elementos denotados como sgue: = conjunto formado por 3 sllas dstntas, M = conjunto formado por mesas dstntas, L = conjunto formado por 3 lápces dstntos. e desea selecconar sólo uno de los elementos descrtos anterormente. Cuántas eleccones dstntas se pueden realzar? olucón. Aplcando el prncpo adtvo se tene que 3 Ra = R = = 8. = Por lo tanto se pueden realzar 8 eleccones dstntas. Ejemplo. e tenen 3 conjuntos de elementos denotados como sgue: = conjunto formado por 3 sllas guales, M = conjunto formado por mesas dstntas, L = conjunto formado por lápces negros y uno blanco. e desea selecconar sólo uno de los elementos descrtos anterormente. Cuántas eleccones dstntas se pueden realzar? olucón. De la nformacón se sabe que el conjunto tene grupo, el conjunto M tene grupos dstntos y el conjunto L tene grupos dstntos. Aplcando el prncpo adtvo se tene que 3 Ra = R = + + = 5. = Por lo tanto se pueden realzar 5 eleccones dstntas Prncpo multplcatvo. ean k conjuntos A, A,, A k, con R, R,, elementos dstntos respectvamente. se desea escoger un elemento de cada uno de los k conjuntos, el número de grupos dstntos que se pueden formar será, empleando el prncpo multplcatvo, R k m R =. = R k 7.5. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. e tenen 3 conjuntos de elementos denotados como sgue: = conjunto formado por 3 sllas dstntas, M = conjunto formado por mesas dstntas, L = conjunto formado por 3 lápces dstntos. e desea selecconar un elemento de cada conjunto descrto anterormente. Cuántos grupos dstntos pueden ser elegdos? olucón. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene que 3 Rm = R = 3 3 = 8. = José Lus Quntero

29 Por lo tanto se pueden elegr 8 grupos dstntos. Ejemplo. e tenen 3 conjuntos de elementos denotados como sgue: = conjunto formado por 3 sllas guales, M = conjunto formado por mesas dstntas, L = conjunto formado por lápces negros y uno blanco. e desea selecconar un elemento de cada conjunto descrto anterormente. Cuántos grupos dstntos pueden ser elegdos? olucón. De la nformacón se sabe que el conjunto tene grupo, el conjunto M tene grupos dstntos y el conjunto L tene grupos dstntos. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene 3 Rm = R = = 4. = Por lo tanto se pueden elegr 4 grupos dstntos. 8. PERMUTACIONE 8.. Permutacones de n elementos sn repetcón. ea A un conjunto con n elementos claramente dstntos. se desea colocar un elemento en cada una de las n poscones, el número de formas dstntas defne las permutacones de n elementos. Esto es, empleando el prncpo multplcatvo, n. = 0 P = (n ) = n! n 8.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. e tene el número de 4 dígtos dstntos dado por Cuántos números de cuatro cfras dstntas se pueden construr usando el número anteror? olucón. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene que 4 Rm = R = 4 3 = 4! = 4. Por lo tanto se pueden construr 4 números de cuatro cfras dstntas. = Ejemplo. e tene el número de 3 dígtos dstntos dado por 3. Cuántos números de tres cfras dstntas se pueden construr usando el número anteror? olucón. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene que José Lus Quntero

30 m 3. = R = R = 3 = 3! = 6 Por lo tanto se pueden construr 6 números de tres cfras dstntas Permutacones de n elementos con repetcón. Dados n elementos, de los cuales hay sólo k dferentes ( n guales, n guales,, n k guales, tal que n + n nk = n), el número de secuencas ordenadas de estos elementos es n! n! PRn,k = =. n k!.n!..n k! (n )! = 8.4. Ejemplo lustratvo. e tene el número de 8 dígtos dado por Cuántos números de ocho cfras se pueden construr usando el número anteror? olucón. e dentfcan aquí 4 grupos dstntos: El número 4 aparece vez. El número 3 aparece veces. El número 9 aparece veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 8! PR8,4 = = = 680.!.!.!.3! Por lo tanto se pueden construr 680 números de ocho cfras dstntas. 9. VARIACIONE 9.. Varacones de n elementos tomados de r en r sn repetcones. ea A un conjunto con n elementos claramente dstntos. se desea colocar un elemento en cada una de las r poscones (r n), el número de formas dstntas como se puede realzar esto defne las varacones de n elementos tomados de r en r. Esto es, empleando el prncpo multplcatvo, n r = 0 n,r n = r (n ). n! V = (n ) = = = n.(n ).(n )...(n (r )) (n r)! = 0 (n ) José Lus Quntero 3

31 9.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. e tene el número de 4 dígtos dstntos dado por Cuántos números de dos cfras dstntas se pueden construr usando el número anteror? olucón. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene que 4! 4! V4, = = = 4 3 =. (4 )!! Por lo tanto se pueden construr números de dos cfras dstntas. Ejemplo. e tene el número de 8 dígtos dado por Cuántos números de dos cfras dstntas se pueden construr usando el número anteror? olucón. e dentfcan aquí 4 grupos dstntos: El número 4 aparece vez. El número 3 aparece veces. El número 9 aparece veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 4! 4! V4, = = = 4 3 = (4 )!! Por lo tanto se pueden construr números de dos cfras dstntas Varacones de n elementos tomados de r en r con repetcones. Dados n elementos dstntos, el número de seleccones ordenadas de r de ellos, pudendo ocurrr que un msmo elemento aparezca más de una vez en la seleccón es VRn,r r = n Ejemplos lustratvos: Ejemplo. e tene el número de 4 dígtos dstntos dado por Cuántos números de dos cfras se pueden construr usando el número anteror? olucón. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene que construr 6 números de dos cfras. 4, VR = 4 = 6. Por lo tanto se pueden Ejemplo. e tene el número de 4 dígtos dstntos dado por Cuántos números de ses cfras se pueden construr usando el número anteror? olucón. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene que VR4,6 = 4 = Por lo tanto se pueden construr 4096 números de ses cfras. 6 Ejemplo 3. e tene el número de 8 dígtos dado por Cuántos números de dos cfras se pueden construr usando el número anteror? olucón. e dentfcan aquí 4 grupos dstntos: El número 4 aparece vez. El número 3 aparece veces. El número 9 aparece veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 4, VR = 4 = 6. Por lo tanto se pueden construr 6 números de dos cfras. José Lus Quntero 4

32 0. COMBINACIONE 0.. Combnacones de n elementos tomados de r en r sn repetcones. ea A un conjunto con n elementos claramente dstntos. se desea colocar un grupo de r elementos (r n), el número de formas dstntas como se puede realzar esto defne las combnacones de n elementos tomados de r en r. En tal sentdo n n! Cn,r = =. r r!(n r)! 0.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. e tene el número de 4 dígtos dstntos dado por Cuántos grupos de dos números dstntos se pueden construr usando el número anteror? olucón. 4 4! 4! C4, = = = = 6.!(4 )!!! Por lo tanto se pueden construr 6 grupos de dos números dstntos. Ejemplo. e tene el número de 8 dígtos dado por Cuántos grupos de dos números dstntos se pueden construr usando el número anteror? olucón. e dentfcan aquí 4 grupos dstntos: El número 4 aparece vez. El número 3 aparece veces. El número 9 aparece veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que 4 4! 4! C4, = = = = 6.!(4 )!!! Por lo tanto se pueden construr 6 grupos de dos números dstntos Combnacones de n elementos tomados de r en r con repetcones. Dados n elementos dstntos, el número de seleccones ordenadas de r de ellos, sn tener presente el orden y pudendo ocurrr que un msmo elemento aparezca más de una vez en la seleccón es n + r (n + r )! (n + r )! CRn,r = = =. r r!(n + r r)! r!(n )! 0.4. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. e tene el número de 4 dígtos dstntos dado por Cuántos grupos de dos números se pueden construr usando el número anteror? olucón. José Lus Quntero 5

33 ! CR4, = = = = 0.!3! Por lo tanto se pueden construr 0 grupos de dos números. Ejemplo. e tene el número de 8 dígtos dado por Cuántos grupos de dos números se pueden construr usando el número anteror? olucón. e dentfcan aquí 4 grupos dstntos: El número 4 aparece vez. El número 3 aparece veces. El número 9 aparece veces. El número 8 aparece 3 veces. De modo que ! CR4, = = = = 0.!3! Por lo tanto se pueden construr 0 grupos de dos números. Observacón 0. Consderacones acerca de las técncas de conteo: V = P n,n n Cn,n = Cn, = n En las varacones, mporta la poscón de los elementos en las r poscones mentras que en las combnacones no. Hay menos combnacones que varacones se toma una combnacón y se permutan todos los elementos del grupo se hallan las varacones de ese grupo. De modo que Vn,r n! n Cn,r = = = Pr r!(n r)! r n! n! PR = C n!.n! = r!.(n r)! = n, n,r. PROBLEMA REUELTO PROBLEMA. Un club tene 5 membros y se debe elegr un presdente y un secretaro. Cuál es el número total de formas posbles para ocupar estos cargos? Número de formas posbles para ocupar estos cargos: 5! 5 4 3! V5, = = = 5 4 = 600 3! 3! PROBLEMA. e tenen 6 lbros dstntos para colocar en una estantería. De cuántas formas dstntas se pueden ordenar estos lbros? Número de formas dstntas en que se pueden ordenar estos lbros: V = P = 6! = 70 6,6 6 José Lus Quntero 6

34 PROBLEMA 3. Un club tene 0 membros y se debe elegr un grupo de 8 personas para realzar una actvdad. Cuántos grupos dstntos se pueden hacer? Número de grupos dstntos que se pueden hacer: 0 0! C0,8 = = = !! PROBLEMA 4. e tene una caja con tres pelotas rojas, dez pelotas amarllas y cnco pelotas negras. Determne la cantdad de grupos de tamaño tres que se pueden extraer: a. s la extraccón es de forma smultánea b. s la extraccón es de forma seral con reposcón c. con una pelota de cada color d. con tres pelotas de gual color a. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, s la extraccón es de forma smultánea? 8 8! C8,3 = = = = ! 5! 6 b. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer, s la extraccón es de forma seral con reposcón? ! CR8,3 = = = = = ! 7! 6 c. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con una pelota de cada color? Aplcando prncpo multplcatvo se tene que 3 N = N = = 50 m = d. Cuántos grupos de tamaño tres se pueden extraer con tres pelotas de gual color? ! 0! 5! C3,3 + C0,3 + C5,3 = + + = + + = = ! 0! 3! 7! 3!! PROBLEMA 5. Cuál es la probabldad de que se puedan sentar en una fla tres hombres y cuatro mujeres s hombres y mujeres deben quedar alternados? Expermento aleatoro: Elegr al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres José Lus Quntero 7

35 Propósto: Determnar el sexo de cada poscón ocupada Espaco muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar Evento de nterés: A: e sentan tres hombres y cuatro mujeres de forma alternada N : Número de formas dstntas en las que se pueden sentar las sete personas N A: Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : N = P7 = 7! = 5040 Cálculo de N A : e quere estudar el caso donde se sentan de la forma MHMHMHM. e escoge la prmera mujer de un grupo de 4 mujeres, luego un hombre de un grupo de 3 hombres, luego la otra mujer de un grupo de 3 mujeres, luego otro hombre de un grupo de hombres y as sucesvamente. Aplcando el prncpo multplcatvo: NA = = P3 P4 = 44. Por lo tanto NA 44 P(A) = = N 5040 PROBLEMA 6. Cuál es la probabldad de que se puedan sentar en una fla tres hombres y cuatro mujeres s los hombres se sentan juntos? Expermento aleatoro: Elegr al azar una forma de sentarse de cuatro hombres y tres mujeres Propósto: Determnar el sexo de cada poscón ocupada Espaco muestral: Todos los grupos de 7 personas que se pueden formar Evento de nterés: A: e sentan 3 hombres y 4 mujeres donde todos los hombres están juntos N : Número de formas dstntas en las que se pueden sentar las sete personas N A : Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : N = P7 = 7! = 5040 Cálculo de N A : El evento A se produce s sucede alguna de las secuencas que sguen: HHHMMMM MHHHMMM MMHHHMM MMMHHHM MMMMHHH En cualquer secuenca que ocurra se debe realzar el sguente cálculo con un razonamento smlar al del problema anteror: = 44. Como se trata de 5 secuencas entonces NA = 44 5 = 70. Otra manera de calcular N A vene dada como NA = P3 P5. Fnalmente NA P3 P5 P(A) = = = 0.49 N P 7 7 PROBLEMA 7. Cuál es la probabldad de que al escoger una placa de un automóvl compuesta por 3 letras segudas de 3 números, las letras sean dstntas y los números sean dstntos? Expermento aleatoro: Elegr al azar una placa de un automóvl compuesta por 3 letras segudas de 3 números Propósto: Determnar las letras y los números que componen la placa José Lus Quntero 8

36 Espaco muestral: Todas las placas de 3 letras y 3 números que se pueden construr Evento de nterés: A: Las letras son dstntas y los números son dstntos N : Número de formas dstntas en las que se puede escoger una placa N A : Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : Aplcando prncpo multplcatvo (7 letras y 0 dgtos), N = = Cálculo de N A : El evento A se produce s tomo una letra entre 7, luego otra en 6 y por últmo una entre 5. Analogamente para los dgtos, eljo uno de 0, luego otro de 9 y fnalmente uno de 8. Aplcando el prncpo multplcatvo se tene que N = = Fnalmente A NA P(A) = = N PROBLEMA 8. e dspone de 7 hombres y 0 mujeres para selecconar un comté de 5 personas. La seleccón se realzará al azar. Cuál es la probabldad de que el comté esté formado por dos hombres y tres mujeres? Expermento aleatoro: Elegr al azar un grupo de 5 personas de un unverso de 7 personas Propósto: Determnar el sexo de cada persona que conforma el grupo Espaco muestral: Todos los grupos de 5 personas que se pueden formar Evento de nterés: A: El comté está formado por dos hombres y tres mujeres N : Número de grupos dstntos que pueden conformar el comté N A : Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : e desean tomar grupos de 5 de un grupo de 7 elementos, de modo que, 7 7! N = C7,5 = = = = !! Cálculo de N A : El evento A se produce s dentro del comté se tene un grupo de dos hombres tomados del grupo de 7 y un grupo de 3 mujeres tomadas de un grupo 0. Por lo tanto 7 0 7! 0! N A = =. = 50 3!5! 3!7! Fnalmente NA 50 P(A) = = N 688 PROBLEMA 9. e van a alnear al azar 6 pelotas negras y blancas. Cuál es la probabldad de que las pelotas blancas queden juntas? Expermento aleatoro: Elegr al azar una alneacón de las 8 pelotas José Lus Quntero 9

37 Propósto: Determnar el color de la pelota que ocupa una poscón determnada Espaco muestral: Todas las formas de alnear las 8 personas Evento de nterés: A: En las 8 pelotas alneadas las pelotas blancas quedaron juntas N : Número de formas dstntas en las que se pueden alnear las pelotas N A: Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : e desean alnear 8 pelotas, por lo tanto N = P8 = 8! = Cálculo de N A : El evento A se produce s sucede alguna de las secuencas que sguen: BBNNNNNN NBBNNNNN NNBBNNNN NNNBBNNN NNNNBBNN NNNNNBBN NNNNNNBB Por lo tanto NA = 7! 6! = Fnalmente NA 0080 P(A) = = = 0.5 N 4030 PROBLEMA 0. ea el expermento aleatoro de selecconar al azar un número de tres cfras comprenddo entre 00 y 999, ncluyendo a ambos. Cuál es la probabldad de que el número escogdo tenga al menos un uno? Expermento aleatoro: Elegr al azar un número de tres cfras entre 00 y 999 Propósto: Determnar los dígtos que comprenden al número elegdo Espaco muestral: Todas los números de tres cfras comprenddos entre 00 y 999 Evento de nterés: A: El número escogdo tene al menos un uno N : Todos los números de tres cfras comprenddos entre 00 y 999 N A : Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : e desea escoger un número de tres cfras, por lo tanto se tene que N = = 900. Cálculo de N A : El evento complemento de A (A) se defne como: el número escogdo no tene nngún uno. De modo que: N = N N = = 648 N = N N = = 5 Fnalmente A A A NA 5 P(A) = = = 0.8 N 900 A PROBLEMA. ean una urna A que contene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna B que contene 3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. se saca una pelota de cada urna, calcule la probabldad de que sean pelotas de gual color. Expermento aleatoro: Elegr al azar un grupo de dos pelotas, donde una pelota es escogda aleatoramente de la urna A y la otra pelota es escogda aleatoramente de la urna B Propósto: Determnar el color de cada pelota escogda José Lus Quntero 30

38 Espaco muestral: Todos los grupos de pelotas que pueden ser elegdos Evento de nterés: IC: e escogen dos pelotas de gual color Cálculo de N : Aplcando prncpo multplcatvo se tene que N = = 44 Cálculo de N IC :ean los eventos BB: e obtenen dos pelotas blancas, donde NBB = 5 3 = 5 RR: e obtenen dos pelotas rojas, donde NRR = 4 4 = 6 NN: e obtenen dos pelotas negras, donde NNN = 3 5 = 5 e puede ver que IC = BB RR NN. Como los eventos son dsjuntos se tene que N = N + N + N = = 46 Por lo tanto IC BB RR NN 46 P(IC) = 44 PROBLEMA. e escogen al azar cnco resstencas en una caja que contene 30 resstencas de las cuales 7 son defectuosas. Halle la probabldad de que: a. nnguna sea defectuosa b. se escojan dos defectuosas c. por lo menos una sea defectuosa a. nnguna sea defectuosa Expermento aleatoro: Elegr al azar cnco resstencas de una caja que tene 30 resstencas Propósto: Determnar las resstencas defectuosas del grupo elegdo y las que no lo son Espaco muestral: Todos los grupos de 5 resstencas que pueden ser elegdos Evento de nterés: A: Las cnco resstencas del grupo no son defectuosas N : Número de grupos de 5 resstencas que se pueden escoger N A: Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : e desea escoger un grupo de 5 resstencas de las 30 que se encuentran en la caja, por lo tanto se tene que 30 30! N = C30,5 = = = ! 5! Cálculo de N A : e desea escoger un grupo de 5 resstencas en buen estado de las 3 que están en la caja, por lo tanto se tene que 3 3! NA = C3,5 = = = ! 8! Fnalmente b. se escojan dos defectuosas NA P(A) = = = 0.36 N 4506 Evento de nterés: A: El grupo tene dos resstencas defectuosas y tres no defectuosas José Lus Quntero 3

39 N : Número de grupos de 5 resstencas que se pueden escoger N A: Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : e desea escoger un grupo de 5 resstencas de las 30 que se encuentran en la caja, por lo tanto se tene que 30 30! N = C30,5 = = = ! 5! Cálculo de N A : e desea escoger un grupo de 5 resstencas de las cuales dos son defectuosas y tres se encuentran en buen estado 7 3 7! 3! NA = C7, C3,3 = = = = 379 3! 5! 3! 0! 6 Fnalmente c. por lo menos una sea defectuosa NA 379 P(A) = = = 0.60 N 4506 Evento de nterés: A: Por lo menos una resstenca del grupo es defectuosa A se defne como: nnguna resstenca del grupo es defectuosa. La probabldad del evento complemento ya fue calculada, de modo que P(A) = P(A) = 0.36 = PROBLEMA 3. En una estantería se desean colocar 4 lbros dferentes de matemátca, 6 lbros dferentes de físca y lbros dferentes de químca. Calcule la probabldad de que a. los lbros de cada matera queden juntos b. solo los lbros de matemátca queden juntos c. los lbros de químca queden juntos y en cualquera de los extremos a. los lbros de cada matera queden juntos Expermento aleatoro: Elegr al azar una forma de colocar los lbros en una estantería Propósto: Determnar el tpo de lbro que ocupa una determnada poscón Espaco muestral: Todos las formas en que se pueden colocar los lbros en la estantería Evento de nterés: A: Los lbros de cada matera quedan juntos N : Número de formas dstntas en las que se pueden colocar los lbros N A : Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : N = P =!. Cálculo de N A : Los lbros de matemátca se pueden colocar de 4! formas dstntas Los lbros de físca se pueden colocar de 6! formas dstntas Los lbros de químca se pueden colocar de! formas dstntas Estos tres grupos se pueden colocar de 3! formas dstntas Por lo tanto NA = 4! 6!! 3!. Fnalmente NA 4! 6!! 3! P(A) = = = N! 30 José Lus Quntero 3

40 b. solo los lbros de matemátca queden juntos Evento de nterés: A: olo los lbros de matemátca quedan juntos N : Número de formas dstntas en las que se pueden colocar los lbros N A: Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : N = P =!. Cálculo de N A : Los lbros de matemátca se pueden colocar de 4! formas dstntas se consdera el grupo de lbros de matemátca como un solo lbro entonces se tendrían 9 lbros y se pueden dsponer de 9! formas dstntas Por lo tanto NA = 9! 4!. Fnalmente NA 9! 4! P(A) = = = N! 55 c. los lbros de químca queden juntos y en cualquera de los extremos Evento de nterés: A: Los lbros de químca quedan juntos y en uno de los extremos N : Número de formas dstntas en las que se pueden colocar los lbros N A : Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : N = P =!. Cálculo de N A : Los lbros de químca se pueden colocar de! formas dstntas Como se tenen extremos entonces se tenen formas dstntas de que el grupo de lbros de químca se pueda ubcar se consdera el grupo de lbros de químca como un solo lbro entonces se tendrían lbros pero uno de ellos ya tene poscón fja por lo tanto los otros lbros tenen 0! formas dstntas de ubcacón Por lo tanto NA =! 0!. Fnalmente NA! 0! P(A) = = = N! 33 PROBLEMA 4. El códgo de área de un número telefónco se compone de tres dígtos. e están consderando los dígtos del al 5 para formar dchos códgos de área, selecconando un dígto a la vez de forma aleatora y sn repetcón. Calcule las probabldades de los sguentes eventos: a. El códgo está compuesto por dígtos sucesvos no necesaramente ordenados b. El códgo es un número par c. El códgo no debe tener n n 4 d. El dgto 3 no aparece en el códgo e. El dígto o 3 aparece al menos una vez en el códgo a. El códgo está compuesto por dígtos sucesvos no necesaramente ordenados Expermento aleatoro: Elegr al azar un códgo de área de cnco dgtos con dígtos del al 5 sn repetcones José Lus Quntero 33

41 Propósto: Determnar el número que ocupa cada poscón Espaco muestral: Todas las formas en que se pueden construr los códgos con las condcones antes menconadas Evento de nterés: A: el códgo está compuesto por dígtos sucesvos no necesaramente ordenados. Por dígtos sucesvos se entenden tres posbles casos: que en el códgo aparezcan los dígtos,,3 o los dígtos,3,4 o los dígtos 3,4,5 en cualquer orden. Luego el número de casos a favor sería: N A : = 8 Por otro lado se tene que el número total de formas como se escogen 3 dígtos de 5 dsponbles vene dado por = 60, de modo que N = 60. Por lo tanto b. El códgo es un número par NA 8 3 P(A) = = = N 60 0 Evento de nterés: B: el códgo es un número par Para que el códgo sea un número par debe termnar en o en 4. Luego el número de casos a favor sería: N B : = 4. Por lo tanto c. El códgo no debe tener n n 4 NB 4 P(B) = = = N 60 5 Evento de nterés: C: el códgo no debe tener n n 4 el códgo no debe tener n n 4 mplca que tenga entonces 5, y 3 en cualquer orden. Luego el número de casos a favor sería: NC = 3! = 6. Por lo tanto d. El dgto 3 no aparece en el códgo NC 6 P(C) = = = N 60 0 Evento de nterés: D: El dígto 3 no aparece en el códgo. ND = 4 3 = 4. Por lo tanto ND 4 P(D) = = = N 60 5 e. El dígto o 3 aparece al menos una vez en el códgo Evento de nterés: E: El dígto o 3 aparece al menos una vez en el códgo e tene que NE = 60 3 = 54. Por lo tanto NE 54 9 P(E) = = = N 60 0 PROBLEMA 5. (PROBLEMA DEL CUMPLEAÑO) Cuál es la probabldad de que entre r personas, al menos dos cumplan años el msmo día? upossón: e trabajará con un año no bsesto, es decr, de 365 días Expermento aleatoro: Elegr al azar una persona José Lus Quntero 34

42 Propósto: Determnar el día del año en el cual la persona cumple años Espaco muestral: Todas las formas de respuestas posbles consderando el unverso de r personas Evento de nterés: A: al menos dos personas cumplen año el msmo día Consderacones de nterés: r <, entonces la probabldad buscada es gual a cero. r > 365, entonces la probabldad buscada es gual a uno. Por lo tanto se trabajara con r 365. Como el espaco muestral vene dado por el conjunto de todas las r-uplas de fechas posbles, se tene que N = VR = (365). 365,r r e defne el evento complementaro como A : nnguna persona cumple años el msmo día. En tal sentdo se tene que En consecuenca se tene que N A 365! = V365,r =. (365 r)! r N V A 365,r 365! r N r VR365,r (365 r)!.(365) = P(A) = = = =... = Aplcando uno de los axomas de la teoría de la probabldad se tene que r P(A) = P(A) = 365. Usando los resultados obtendos, a modo de lustracón, se presentan las gráfcas 4 y 5 para r 365 y para r 00 respectvamente. = Prob. de que o más personas cumplan año el msmo da PROBLEMA DEL CUMPLEAÑO Número de personas Fgura 4. Problema del cumpleaños consderando todos los r de nterés José Lus Quntero 35

43 Prob. de que o más personas cumplan año el msmo da PROBLEMA DEL CUMPLEAÑO Número de personas Fgura 5. Problema del cumpleaños consderando todos los r de nterés PROBLEMA 6. Cnco personas se suben en un ascensor en el pso 0 de un edfco de ocho plantas (0,,,,7,8). Cada persona seleccona el pso en donde se bajará, entre el y el 8. Nade más se subrá. Calcule la probabldad de los sguentes eventos: a. Todas las personas se bajan antes del qunto pso b. En nngún pso se baja más de una persona c. En los psos ses y sete no se baja nade a. Todas las personas se bajan antes del qunto pso Expermento aleatoro: Elegr al azar cada pso donde debe bajarse cada una de las cnco personas Propósto: Determnar el número del pso donde se bajará cada persona Espaco muestral: Todos las formas en que se pueden bajar las cnco personas Evento de nterés: A: Todas las personas se bajan antes del qunto pso N : Número de formas dstntas en las que se pueden bajar las cnco personas N A: Número de formas dstntas en las que se produce el evento A 8,5 5 e tene que N = VR = (8) y N = VR = (4). Por lo tanto A 4,5 b. En nngún pso se baja más de una persona N A (4) N 5 (8) 3 P(A) = = = = Evento de nterés: B: Todas las personas se bajan en psos dstntos José Lus Quntero 36

44 N : Número de formas dstntas en las que se pueden bajar las cnco personas N B : Número de formas dstntas en las que se produce el evento B e tene que Por lo tanto N = VR = (8) y 8,5 c. En los psos ses y sete no se baja nade 5 N 8! = V =. 3! B 8,5 8! 3! 5 5 NB 8! P(B) = = = = = N (8) 3!(8) Evento de nterés: C: En los psos ses y sete no se baja nade N : Número de formas dstntas en las que se pueden bajar las cnco personas N C : Número de formas dstntas en las que se produce el evento C e tene que Por lo tanto 8,5 5 N = VR = (8) y N = VR = (6). C 6,5 N A 5 (6) 3 N 5 (8) 4 P(A) = = = 5 5 PROBLEMA 7. (PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA) Cuál es la probabldad de ganar en alguna de las modaldades en el sorteo del KINO TÁCHIRA? uposcón: e asumrá que el día del sorteo se venderon todos los cartones Expermento aleatoro: Elegr al azar un cartón de juego Propósto: Determnar los números que se encuentran en el cartón Espaco muestral: Todos los grupos de 5 números dspuestos de forma ascendente en un cartón Evento de nterés: A: e obtene el cartón que concde en al menos números con el grupo de de 5 números ganadores. e defnen los eventos dados por A : e obtuvo una concdenca de n números ganadores, con 5 n 5 n e puede ver que A = A A3 A4 A5. Como los eventos anterores son dsjuntos, se tene que N = N + N + N + N. A A A3 A4 A5 La fórmula para obtener la probabldad de que el cartón elegdo tenga n de los 5 números ganadores vene dada por N C5,n C An 0,5 n C5,n C0,5 n P(A n) = = =, 5 n 5 N C De modo que 5,5 José Lus Quntero 37

45 P(A) = P(A ) + P(A ) + P(A ) + P(A ) NA NA3 NA4 N = N N N N A5 C C C C C C C C = C C C C 5, 0,3 5,3 0, 5,4 0, 5,5 0,0 5,5 5,5 5,5 5, = = En térmnos porcentuales se tene un.8% de probabldad de ganar el KINO TÁCHIRA en alguna de sus modaldades. Usando los resultados obtendos, se presenta la gráfca PROBLEMA DEL KINO TÁCHIRA 0.3 Probabldad de acerto Cantdad de números acertados Fgura 6. Problema del KINO TÁCHIRA PROBLEMA 8. Un estudante debe someterse a un examen de admsón y para ello debe preparar 4 temas. El examen tene dos partes: un prmer examen que será escrto y un segundo examen que será oral. Para cada examen se debe escoger al azar un tema. El tema selecconado para el examen escrto ya no puede selecconado para el examen oral. Calcule la probabldad de los sguentes eventos: a. En los dos temas tomados al azar sempre aparece el tema y nunca aparece el tema 0 b. En los dos temas tomados al azar sempre aparece al menos uno de los 5 temas que el estudante se sabe c. El estudante presentó el tema en el examen escrto a. En los dos temas tomados al azar sempre aparece el tema y nunca aparece el tema 0 Expermento aleatoro: e escoge al azar un tema para el examen escrto y otro tema al azar dstnto para el examen oral Propósto: Determnar los temas elegdos para cada examen Espaco muestral : Grupos con reordenamento de temas que pueden ser selecconados 4! Cálculo de N s : Ns = V4, = = 4 3 = 8! José Lus Quntero 38

46 Evento A: En los dos temas selecconados azar sempre aparece el tema y nunca el tema 0 Cálculo de N A : NA = C, = 4. Por lo tanto NA 4 P(A) = = = N 8 9 s b. En los dos temas tomados al azar sempre aparece al menos uno de los 5 temas que el estudante se sabe Expermento aleatoro: e escoge al azar un tema para el examen escrto y otro tema al azar dstnto para el examen oral Propósto: Determnar los temas elegdos para cada examen Espaco muestral : Grupos con reordenamento de temas que pueden ser selecconados 4! Cálculo de N s : Ns = V4, = = 4 3 = 8! Evento B: En los dos temas tomados al azar sempre aparece al menos uno de los 5 temas que 9! el estudante se sabe. Cálculo de N B : NB = N N = 8 V B 9, = 8 = 8 7 = 0. Por 7! lo tanto NB 0 55 P(B) = = = N 8 9 c. El estudante presentó el tema en el examen escrto s Expermento aleatoro: e escoge al azar un tema para el examen escrto y otro tema al azar dstnto para el examen oral Propósto: Determnar los temas elegdos para cada examen Espaco muestral : Grupos con reordenamento de temas que pueden ser selecconados 4! Cálculo de N s : Ns = V4, = = 4 3 = 8! Evento C: El estudante presentó el tema en el examen escrto. Cálculo de N C : NC = 3. Por lo tanto NC 3 P(C) = = = N 8 4 s PROBLEMA 9. En un centro comercal hay 5 cajeros automátcos de dstntos bancos comercales. uponga que en un momento determnado van 4 personas, una tras otra, a utlzar alguno de estos cajeros. Igualmente suponga que cada una de las personas consgue los 5 cajeros desocupados. Determne la probabldad para cada uno de los sguentes eventos: a. Las cuatro personas utlzan cajeros dferentes b. olo dos de estas personas utlzan el msmo cajero c. Las cuatro personas utlzan el msmo cajero a. Las cuatro personas utlzan cajeros dferentes ean A: las cuatro personas utlzan cajeros dferentes José Lus Quntero 39

47 N : Número de formas dstntas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros N A: Número de formas dstntas en las que se produce el evento A Cálculo de N : Por lo tanto 4 N = VR5,4 = 5 = 65 Cálculo de N A: NA = V5,4 = 5! = 0 NA 0 4 P(A) = = = N 65 5 b. olo dos de estas personas utlzan el msmo cajero ean B: sólo dos de estas personas utlzan el msmo cajero N : Número de formas dstntas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros N B : Número de formas dstntas en las que se produce el evento B Cálculo de N : Por lo tanto 4 N = VR5,4 = 5 = 65 Cálculo de N B : NB = 5 V4, C4, = 360 c. Las cuatro personas utlzan el msmo cajero ean NB P(B) = = = N 65 5 C: las cuatro personas utlzan el msmo cajero N : Número de formas dstntas en las que las 4 personas pueden usar los 5 cajeros N C : Número de formas dstntas en las que se produce el evento C Cálculo de N : Por lo tanto 5,4 4 N = VR = 5 = 65 Cálculo de N C : NC = 5 NC 5 P(C) = = = N PROBABILIDAD CONDICIONAL.. Defncón (Probabldad condconal). La probabldad condconal de un evento A condconado a que ocurró un evento B, es decr, P(A/B), se defne como la relacón entre las probabldades de la nterseccón de los eventos A y B y la probabldad del evento condconante B. De modo que P(A B) P(A / B) =, P(B) 0. P(B) José Lus Quntero 40

48 .. Ejemplo lustratvo. Los empleados de la compañía Nuevo Horzonte se encuentran separados en tres dvsones: admnstracón, operacón de planta y ventas. La sguente tabla ndca el número de empleados en cada dvsón clasfcados por sexo: Mujer (M) Hombre (H) Totales Admnstracón (A) Operacón de planta (O) Ventas (V) Totales Determne las sguentes probabldades: a. P(A/M) olucón. b. P(M/A) olucón. c. P(H/V) olucón P(A M) 0 P(A / M) = = = = P(M) P(M A) 0 P(M / A) = = = = P(A) P(H V) 50 P(H / V) = = = = P(V) 50 3 Observacón. Consderacones acerca de la probabldad condconal: P(A / ) = P(A) A B A B, A, P(A) P(A / B) = P(A) P(B) P(B) P(A / B) = = P(B) B =, P(A / B) = 0 P(A B) = P(B).P(A / B) = P(A).P(B / A) 3. EVENTO INDEPENDIENTE Dos eventos ndependentes. ean dos eventos A y B defndos en el espaco muestral. la probabldad de la nterseccón de los dos eventos es gual al producto de sus probabldades, entonces esos dos eventos son ndependentes. En tal sentdo, P(A B) = P(A).P(B). 3.. N eventos ndependentes. ean n eventos A, =,...,n defndos en el espaco muestral. Estos eventos son ndependentes sempre y cuando ellos sean ndependentes tomados dos a dos. En tal sentdo, n n n. = = P A = P(A... A ) = P(A ) José Lus Quntero 4

49 3.3. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. ean una urna A que contene 5 pelotas blancas, 4 rojas y 3 negras y otra urna B que contene 3 pelotas blancas, 4 rojas y 5 negras. se saca una pelota de cada urna, calcule la probabldad de que sean pelotas de gual color. olucón. Expermento aleatoro: Elegr al azar dos pelotas, donde una pelota es escogda aleatoramente de la urna A y la otra pelota es escogda aleatoramente de la urna B Propósto: Determnar el color de cada pelota escogda Espaco muestral: Todos los grupos de pelotas que pueden ser elegdos Evento de nterés: IC: e escogen dos pelotas de gual color ean los eventos B: e escoge una pelota blanca de la prmera urna B: e escoge una pelota blanca de la segunda urna R: e escoge una pelota roja de la prmera urna R: e escoge una pelota roja de la segunda urna N: e escoge una pelota negra de la prmera urna N: e escoge una pelota negra de la segunda urna IC: e escogen dos pelotas de gual color Por lo tanto P(IC) = P(B B) + P(R R) + P(N N) = = 44 Ejemplo. Dos jugadores A y B se turnan para lanzar una moneda equlbrada. A lanza de prmero y B lanza después, y el cclo se repte hasta que gana el prmero que obtenga cara. Cuál es la probabldad de ganar de cada uno de los jugadores? olucón. ean los eventos: A: el jugador A gana, B: el jugador B gana GA : el jugador A gana en el ntento -ésmo GB : el jugador B gana en el ntento -ésmo A : el jugador A obtene cara en el ntento -ésmo B : el jugador B obtene cara en el ntento -ésmo GA = A B... A B A. En consecuenca P(GA ) = P(A B... A B A ) = P(A ).P(B )..P(A ).P(B ).P(A ) ( ) = = GB = A B... A B A B. En consecuenca P(GB ) = P(A B... A B A B ) = P(A ).P(B )..P(A ).P(B ).P(A ).P(B ) ( ) + = = Entonces (ver fgura 7) José Lus Quntero 4

50 Por otro lado = = = 4 P(A) = P(GA ) = = = = = = = = = 4 P(B) = P(GB ) = = = = = = 4 3 P(B) = P(A) = = PROBLEMA DE LO DO JUGADORE Jugador A Jugador B Probabldad de ganar en el ntento -ésmo Intento Fgura 7. Problema de los dos jugadores 94. PROBABILIDAD TOTAL 4.. Defncón (Probabldad total). ea una partcón del espaco muestral en un grupo de eventos B, =,...,n. La probabldad total de un evento A se puede expresar como la suma de las probabldades de A ntersectado con el evento B, =,...,n. De modo que n n. = = P(A) = P(A B ) = P(B ).P(A / B ) José Lus Quntero 43

51 4.. Ejemplo lustratvo. Un nversonsta está pensando en comprar un número muy grande de accones de una compañía. La cotzacón de las accones en la bolsa, durante los ses meses anterores, es de nterés para el nversonsta. Observacón. Los eventos B, =,...,n deben ser Con base en esta nformacón, se observa que la cotzacón se relacona con el Producto Naconal Bruto (PNB). el PNB aumenta, la probabldad de que las accones aumenten su valor es de 0.8. el PNB es el msmo, la probabldad de que las accones aumenten su valor es de 0.. el PNB dsmnuye, la probabldad es de sólo 0.. para los sguentes ses meses se asgnan las probabldades 0.4, 0.3 y 0.3 a los eventos, el PNB aumenta, es el msmo y dsmnuye, respectvamente, determne la probabldad de que las accones aumenten su valor en los próxmos ses meses. olucón. ean los eventos A: las accones aumentan su valor en los próxmos ses meses PNB+: el PNB aumenta PNB=: el PNB es el msmo PNB-: el PNB dsmnuye Entonces P(A) = P(A PNB + ) + P(A PNB = ) + P(A PNB ) = P(PNB + ).P(A / PNB + ) + P(PNB = ).P(A / PNB = ) + P(PNB ).P(A / PNB ) = = = 0.4 mutuamente excluyentes. 5. DIAGRAMA DE ÁRBOL Defncón (Dagrama de árbol). Es una herramenta gráfca que se utlza para determnar todos los posbles resultados de un expermento aleatoro. 5.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. Una unversdad está formada por tres facultades: La prmera facultad tene el 50% de estudantes, la segunda facultad posee el 5% de estudantes y la tercera facultad alberga el otro 5% de estudantes. Las mujeres están repartdas unformemente, sendo 60% del total en cada facultad. a. Cuál es la probabldad de encontrar una alumna de la prmera facultad? olucón. Observacón 3. Consderacones acerca de un dagrama de árbol: El número de elementos que conforman el espaco muestral se pueden determnar construyendo un dagrama de árbol e partrá asgnando una rama para cada uno de los resultados, acompañado de su probabldad (rama de prmera generacón) José Lus Quntero 44

52 Expermento aleatoro: Elegr al azar un estudante de la unversdad Propósto : Determnar la facultad donde estuda Propósto : Determnar el sexo de la persona Referdo al propósto : = Facultad,Facultad,Facultad 3. { } Referdo al propósto : = { hombre, mujer} Evento de nterés: A: e seleccona una mujer de la facultad ean los eventos F: La persona selecconada pertenece a la prmera facultad M: La persona selecconada es mujer Bajo esta notacón se solcta calcular P(A) = P(M F) = P(F).P(M / F) = P(M).P(F / M) La fgura mostrada a contnuacón (fgura 8) representa el dagrama de árbol que lustra la stuacón planteada. La pregunta de nterés en este apartado aparece analzada en el árbol presentado en la fgura 9. Observacón 4. Consderacones acerca de un dagrama de árbol: Al fnal de cada rama de prmera generacón se coloca un nodo del cual parten nuevas ramas (ramas de segunda generacón), de ser necesaro La suma de probabldades de las ramas de cada nodo es gual a Exste un prncpo sencllo de los dagramas de árbol que hace que éstos sean mucho más útles para los cálculos rápdos de probabldad: se multplcan las probabldades s se trata de ramas adyacentes (contguas), o ben se suman s se trata de ramas separadas que emergen de un msmo punto Fgura 8. Dagrama de árbol para el problema de la unversdad José Lus Quntero 45

53 Fgura 9. Dagrama de árbol que lustra el prmer apartado Lo anteror se puede escrbr como P(M F) = P(F).P(M / F) = = 0.3. b. Cuál es la probabldad de encontrar un alumno varón? olucón. Evento de nterés: B: e seleccona un varón ean los eventos F: La persona selecconada pertenece a la prmera facultad F: La persona selecconada pertenece a la segunda facultad F3: La persona selecconada pertenece a la tercera facultad Bajo esta notacón se solcta calcular P(B) = P(B F) + P(B F) + P(B F3) = P(F).P(B / F) + P(F).P(B / F) + P(F3).P(B / F3) La pregunta de nterés en este apartado aparece analzada en el árbol presentado en la fgura 0. Fgura 0. Dagrama de árbol que lustra el segundo apartado José Lus Quntero 46

54 Lo representado anterormente se puede escrbr como: P(B) = P(B F) + P(B F) + P(B F3) = P(F).P(B / F) + P(F).P(B / F) + P(F3).P(B / F3) = = 0.4 Ejemplo. e lanza una moneda dos veces y en una caja vacía se colocan tantas bolas blancas como número de caras obtendas y tantas negras como el número del lanzamento donde se obtene sello por prmera vez multplcado por dos, s es que se obtene. e extraen sn reposcón dos bolas de la caja. Cuál es la probabldad de que sean de dstnto color? olucón. Eventos: C : ocurró cara en el lanzamento, =, : ocurró sello en el lanzamento, =, B : se obtene una bola blanca en la extraccón, =, N : se obtene una bola negra en la extraccón, =, D: las dos bolas extradas al fnal son de dstnto color Todos los escenaros posbles aparecen reflejados en el dagrama de árbol de la fgura. Los números entre paréntess ndcan la probabldad de ocurrenca del evento. La fgura representa las ramas del árbol que ndcan la ocurrenca del evento D en azul. e tene que P(D) = P(C ).P(B (C ).P(N (C B ) + P(C ).P(N (C ).P(B (C N ) + P( C ).P(B ( C ).P(N ( C B ) + P( C ).P(N ( C ).P(B ( C N ) 4 = = = 4 + = = José Lus Quntero 47

55 Fgura. Dagrama de árbol José Lus Quntero 48

56 Fgura. Dagrama de árbol recortado mostrando los casos de nterés José Lus Quntero 49

57 6. TEOREMA DE BAYE Defncón (Teorema de Bayes). ea una partcón del espaco muestral en un grupo de eventos B con =,...,n. La probabldad condconal de un evento B dado que ocurró un evento A se puede expresar como la probabldad del evento A dado que ocurró ese elemento de la partcón por la relacón de las probabldades entre B y A respectvamente. En tal sentdo P(B A) P(B ).P(A / B ) P(B / A) = = P(A) n P(B ).P(A / B ) = 6.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. Tres sucursales de una tenda tenen 8, y 4 empleados de los cuales 4, 7 y 0 son mujeres, respectvamente. e escoge una sucursal al azar y de ella se escoge a un empleado. este empleado es una mujer, cuál es la probabldad de que ella trabaje en la sucursal que tene empleados? olucón. Expermento aleatoro : Elegr al azar una sucursal Propósto: Determnar la sucursal elegda Expermento aleatoro: Elegr al azar un empleado de una tenda Propósto: Determnar el sexo de la persona Defncón de eventos: M: El empleado es una mujer : La sucursal escogda es la : La sucursal escogda es la 3: La sucursal escogda es la 3 e sabe que P() = P() = P(3) =, P(M / ) = 4, P(M / ) = 7 0, P(M / 3) = De modo que P(M) = P(M ) + P(M ) + P(M 3) = P().P(M / ) + P().P(M / ) + P(3).P(M / 3) ( ) = + + = + + = = P(M ) P().P(M / ). P( / M) = = = = = P(M) P(M). Observacón 5. Consderacones acerca de la probabldad condconal: La probabldad condconal de un evento B dado que ocurró el evento A se denomna probabldad a posteror Las probabldades del evento A dado que ocurró cada elemento B se denomnan probabldades a pror El denomnador en el térmno a la derecha de la ecuacón anteror se denomna probabldad total del evento A José Lus Quntero 50

58 Ejemplo. Basándose en varos estudos, una compañía ha clasfcado, de acuerdo con la posbldad de encontrar petróleo, las formacones geológcas en 3 tpos. La compañía pretende perforar un pozo en un determnado lugar, al que le asgnan las probabldades de 0.35, 0.40 y 0.5 para los tres tpos de formacones, respectvamente. De acuerdo con la experenca, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formacones de tpo I, en un 0% de las de tpo II y en un 40% de las de tpo III. tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determne la probabldad de que ese lugar se corresponda con una formacón del tpo III. olucón. Expermento aleatoro : Perforar en una formacón geológca Propósto: Determnar el tpo de formacón geológca Expermento aleatoro : Buscar petróleo Propósto: Determnar s exste o no petróleo Eventos: P: e encuentra petróleo T: La formacón es de tpo I T: La formacón es de tpo II T3: La formacón es de tpo III P(T) = 0.35 P(T) = 0.40 P(T3) = 0.5 P(P/T) = 0.4 P(P/T) = 0. P(P/T3) = 0.4 e pde calcular P(T3/P). P(T3 P) P(T3).P(P / T3) P(T3 / P) = = P(P) P(T).P(P / T) + P(T).P(P / T) + P(T3).P(P / T3) = = = = EXPERIMENTO DE BERNOULLI Defncón (Expermento de Bernoull). Es un expermento aleatoro cuyo espaco muestral se puede expresar en térmnos de la ocurrenca o no de un determnado evento. 7.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. Consdere el expermento aleatoro de tener un hjo. ea el evento A: nacó un hjo varón. Este expermento es un Expermento de Bernoull con parámetro p = / Observacón 6. Consderacones acerca del Expermento de Bernoull: La probabldad de que ocurra el evento se denota por p La probabldad de que no ocurra el evento se denota por q = p El evento y su complemento forman una partcón del espaco muestral José Lus Quntero 5

59 Ejemplo. Consdere el expermento aleatoro de extraer una pelota de una caja con R pelotas rojas y V pelotas verdes. ea el evento A: se extrae una pelota roja. Este expermento aleatoro es un Expermento de Bernoull con parámetro R p = R + V Ejemplo 3. Consdere el expermento aleatoro de lanzar un dado. ea el evento A: ocurre un número mayor que 4. Este expermento aleatoro es un Expermento de Bernoull con parámetro p = / 3 Observacón 7. Consderacones acerca del Expermento de Bernoull: La probabldad p es el parámetro mportante para conocer un Expermento de Bernoull El Expermento de Bernoull se denota por B(p) El cálculo de las probabldades en un Expermento de Bernoull se hace de la forma p s el evento ocurre P B(p) = p s el evento no ocurre 8. EXPERIMENTO BINOMIAL Defncón (Expermento Bnomal). Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón de n veces de un Expermento de Bernoull con parámetro p. En este conjunto de n repetcones se contablza el número de veces (denotado por k) que ocurró el evento de nterés. 8.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. Una famla tene ocho hjos. Cuál es la probabldad de que, exactamente, dos de los hjos sean varones? olucón. Expermento aleatoro: Tener ocho hjos Propósto: Determnar el sexo de cada uno Evento: Dos de los hjos son varones Observacón 8. Consderacones acerca del Expermento Bnomal: El número de veces que ocurró el evento de nterés (k veces) es ncerto, por tanto, es un número aleatoro y se encuentra en el ntervalo [0,n] El Expermento Bnomal se denota por B(n,p) El cálculo de las probabldades en un Expermento Bnomal se hace de la forma n n k k P B(n,p) = k = ( p) p, k k = 0,,,...,n 8 8! P B(8, ) = = =. = = =!.6! 64 José Lus Quntero 5

60 Ejemplo. e lanzan al are cuatro monedas perfectas smultáneamente. Calcule la probabldad de obtener a. por lo menos dos caras olucón. Expermento aleatoro: Lanzar al are cuatro monedas perfectas smultáneamente Propósto: Determnar s la parte superor ndca cara o sello ea el evento A: salen por lo menos dos caras. Entonces P(A) = P B(4, ) P B(4, ) 3 P B(4, ) 4 = + = + = = + + = b. exactamente tres caras olucón. ea el evento A: salen exactamente tres caras. Entonces 3 4 P(A) = P B(4, ) 3 = = = 3 4 c. a lo sumo dos caras olucón. ea el evento A: salen a lo sumo dos caras. Entonces P(A) = P B(4, ) 0 P B(4, ) P B(4, ) = + = + = = = 6 d. exactamente una cara olucón. ea el evento A: salen exactamente una cara. Entonces 3 4 P(A) = P B(4, ) = = = 4 9. EXPERIMENTO MUTINOMIAL Defncón (Expermento Multnomal). Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón de n veces de un expermento aleatoro con m resultados posbles. 9.. Ejemplo lustratvo. e lanza un dado normal 0 veces y se desea calcular la probabldad de que salga la cara cuatro 3 veces, la cara ses vez, la cara cnco 4 veces y la cara uno veces. Observacón 9. Consderacones acerca del Expermento Multnomal: El Expermento Multnomal se denota por M(n,p,p,...,p m) m =, se trata de un Expermento Bnomal José Lus Quntero 53

61 olucón. Expermento aleatoro: Lanzar un dado 0 veces Propósto: Determnar la cara ocurrda en la parte superor del dado ea el evento A: sale la cara cuatro 3 veces, la cara ses vez, la cara cnco 4 veces y la cara uno veces P(A) = P M(0,,,,,, ) (,0,0,3,4,) = ! =!0!0!3!4!! = Observacón 0. Consderacones acerca del Expermento Multnomal: El cálculo de las probabldades en un Expermento Multnomal se hace de la forma P M(n,p,p,...,p m) = (k,k,...,k m) = n! k k k p m p..p m, k!k!...k! m p + p pm =, k + k km = n 0. EXPERIMENTO GEOMÉTRICO Defncón (Expermento Geométrco). Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón de un Expermento de Bernoull con parámetro p. Esta repetcón se realza hasta que ocurre el evento de nterés por prmera vez. 0.. Ejemplos lustratvos: Ejemplo. Un estudante tene probabldad de 0.4 de aprobar una asgnatura. reprueba la asgnatura debe repetr el curso el sguente semestre hasta que lo apruebe. se consdera que la probabldad de aprobar el curso no camba semestre tras semestre, entonces se tene un Expermento Geométrco. Calcule las probabldades de aprobar la asgnatura en la prmera, segunda y tercera oportundad que la curse. olucón. Probabldad de aprobar la asgnatura la prmera vez que la curse: P G(0.4) = = ( 0.4) 0.4 = 0.4 Probabldad de aprobar la asgnatura la segunda vez que la curse: P G(0.4) = = ( 0.4) 0.4 = = 0.4 Observacón. Consderacones acerca del Expermento Geométrco: El número de repetcones hasta consegur que ocurra el evento de nterés es ncerto, por tanto, es un número aleatoro y se encuentra en el ntervalo [, ) El Expermento Geométrco se denota por G(p) es necesaro realzar k Expermentos de Bernoull hasta que ocurra el evento de nterés, el cálculo de las probabldades en un Expermento Geométrco se hace de la forma k P G(p) = k = ( p) p, k =,,... José Lus Quntero 54

62 Probabldad de aprobar la asgnatura la tercera vez que la curse: 3 P G(0.4) = 3 = ( 0.4) 0.4 = = 0.44 Ejemplo. Un jugador lanza una moneda equlbrada. El juego termna hasta que obtenga cara. Cuál es la probabldad de ganar en el k-ésmo ntento? olucón. k k k P G( ) k = ( ) ( ) ( ), k,,... = = = =. EXPERIMENTO BINOMIAL NEGATIVO DE ORDEN R 9.. Defncón (Expermento Bnomal Negatvo de Orden r). Es un expermento aleatoro que consste en la repetcón de un Expermento de Bernoull con parámetro p. Esta repetcón se realza hasta que ocurre el evento de nterés por r-ésma vez... Ejemplos lustratvos: Ejemplo. Un jugador lanza una moneda equlbrada. El juego termna hasta que obtenga cara por tercera vez. Cuál es la probabldad de ganar en el k-ésmo ntento? olucón. P BN(,3) k k ( ) ( ) k 3 3 = = = (k )! k 3 3 ( ) ( )!(k 3)! (k )(k ) k = ( ), k = 3,4,... Ejemplo. Una manera equvalente de calcular forma k la probabldad de necestar k ntentos para k r r P BN(p, r) = k = ( p) p, obtener la ocurrenca del evento de nterés r r veces vene dada por la expresón k = r,r +,... r k r r P BN(p,r) = k = (k )( p) p, k = r,r +,... r! = Observacón. Consderacones acerca del Expermento Bnomal de Orden r: El Expermento Geométrco es un Expermento Bnomal Negatvo de orden, es decr, G(p)=BN(p,) El número de repetcones hasta consegur que ocurra el evento de nterés es ncerto, por tanto, es un número aleatoro y se encuentra en el ntervalo [r, ) El Expermento Bnomal Negatvo de orden r se denota por BN(p,r) es necesaro realzar k Expermentos de Bernoull hasta que ocurra el evento de nterés, el cálculo de las probabldades en un Expermento Bnomal Negatvo de orden r se hace de la José Lus Quntero 55

63 . EXPERIMENTO HIPERGEOMÉTRICO 9.. Defncón (Expermento Hpergeométrco). Expermento cuyas característcas se descrben a contnuacón: ea un conjunto de N elementos dvddos en dos grupos de N elementos y N elementos respectvamente, con N + N = N. e extrae aleatoramente una muestra de n elementos y se desea contablzar la cantdad de elementos n del grupo y la cantdad de elementos n, con n + n = n presentes en la muestra... Ejemplo lustratvo. En una caja se tenen 5 pelotas blancas y 5 pelotas negras. e extraen 6 pelotas. Cuál es la probabldad de que en la muestra se encuentren 4 pelotas blancas y negras? olucón. Expermento aleatoro: Extraer una muestra de 6 pelotas de la caja Propósto: Determnar la cantdad de pelotas blancas y la cantdad de pelotas negras presentes en la muestra Evento: la muestra contene 4 pelotas blancas y pelotas negras Observacón 3. Consderacones acerca del Expermento Hpergeométrco: El Expermento Hpergeométrco se denota por HG(N,N,N,n) El cálculo de las probabldades en Cálculo de la probabldad solctada: P HG(0,5,5, 6) (4, ) = = = un Expermento Hpergeométrco se hace de la forma P HG(N,N,N,n) = (n,n ) = N + N = N, n + n = n N N n n N n 93. EXPERIMENTO MULTIHIPERGEOMÉTRICO 3.. Defncón (Expermento Multhpergeométrco). Expermento cuyas característcas se descrben a contnuacón: ea un conjunto de N elementos dvddos en k grupos de N, N,, N k elementos respectvamente, con N + N Nk = N. e extrae aleatoramente una muestra de n elementos y se desea contablzar la cantdad de elementos n, n,, n k correspondentes a los grupos,,, k respectvamente con n + n nk = n presentes en la muestra. José Lus Quntero 56

64 3.. Ejemplo lustratvo. En una caja se tenen 8 pelotas blancas, 7 pelotas negras y 5 pelotas rojas. e extraen 6 pelotas. Cuál es la probabldad de que en la muestra se encuentren 3 pelotas blancas, negras y roja? olucón. Expermento aleatoro: Extraer una muestra de 6 pelotas de la caja Propósto: Determnar la cantdad de pelotas blancas, negras y rojas presentes en la muestra Evento: la muestra contene 3 pelotas blancas, pelotas negras y pelota roja. Cálculo de la probabldad solctada: P MHG(0,8,7,5,6) = (3,,) = = Observacón 4. Consderacones acerca del Expermento Multhpergeométrco: El Expermento Multhpergeométrco se denota por MHG(N,N,N,...,N k,n) k =, se trata de un Expermento Hpergeométrco El cálculo de las probabldades en un Expermento Multhpergeométrco es P HG(N,N,N,...,N k,n) = (n,n,...,n k) = N N N... k n n nk N n N + N N = N, n + n n = n k k 4. EXPERIMENTO DE POION Defncón (Expermento de Posson). ea un expermento Bnomal con parámetros n y p. Consdere que el número de expermentos de Bernoull es muy grande (n ), y que la probabldad del evento de nterés es muy pequeña (p 0), pero son tales que el producto np tende a un valor fnto, entonces el Expermento Bnomal resultante se puede expresar como un Expermento de Posson. 4.. Ejemplo lustratvo. En una empresa se revsan defectos de los productos termnados. La probabldad de hallar un defecto en un producto es e revsan 4000 productos. Cuál es la probabldad de hallar a lo sumo 6 defectuosos? olucón P = ( 0.00) (0.00) k k = k k e puede ver que los cálculos para obtener p son muy engorrosos, por lo que se utlza una aproxmacón medante un Expermento de Posson con parámetro λ = k 4 k 4 4 e 4 4 e P P P(4) = k = = e = 0.44 k! k! k = 0 k = 0 k = 0 Observacón 5. Consderacones acerca del Expermento de Posson: El Expermento de Posson se denota por P( λ ) El cálculo de las probabldades se hace de la forma k λ e λ P P( λ ) = k =, k = 0,,,... k! José Lus Quntero 57

65 5. PROBLEMA REUELTO PROBLEMA. Encerre en un círculo la letra V o F según consdere que la proposcón es verdadera o falsa respectvamente. a. dos eventos no vacíos son ndependentes, entonces la probabldad de la unón de ellos es la suma de sus probabldades b. A y B son eventos ndependentes no vacos, con probabldades P(A) y P(B) respectvamente, entonces los eventos complementaros A y B tambén lo son c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realza un muestreo de tamaño tres sn reposcón. La probabldad de obtener tres pelotas blancas es 3 3 X / (X + Y) d. se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por prmera vez, la k probabldad de que esto ocurra en el k-ésmo ntento (k ) es gual a ( ) V V V V F F F F a. dos eventos no vacíos son ndependentes, entonces la probabldad de la unón de ellos es la suma de sus probabldades b. A y B son eventos ndependentes no vacos, con probabldades P(A) y P(B) respectvamente, entonces los eventos complementaros A y B tambén lo son c. De una caja con X pelotas blancas y Y pelotas rojas se realza un muestreo de tamaño tres sn reposcón. La probabldad de obtener tres pelotas blancas es 3 3 X / (X + Y) d. se lanza una moneda honesta hasta que salga cara por prmera vez, la k probabldad de que esto ocurra en el k-ésmo ntento (k ) es gual a ( ) V V V V F F F F PROBLEMA. Un sstema contene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada una de las cuatro confguracones mostradas (F, F, F3, F4). Los tres componentes operan en forma ndependente y la probabldad de que uno, cualquera de ellos, esté funconando es p. La confguracón que proporcona la máxma probabldad de que el sstema funcone es a. F b. F c. F3 d. F4 José Lus Quntero 58

66 Un sstema contene tres componentes A, B y C. Estos componentes pueden conectarse en cada una de las cuatro confguracones mostradas (F, F, F3, F4). Los tres componentes operan en forma ndependente y la probabldad de que uno, cualquera de ellos, esté funconando es p. La confguracón que proporcona la máxma probabldad de que el sstema funcone es a. F b. F c. F3 d. F4 PROBLEMA 3. Pruebe que para cualesquera dos eventos, A y B, P(A B) + P(A B) =, con tal de que P(B) 0. P(A B) P(A B) P(B) P(A B) + P(A B) = + = = P(B) P(B) P(B) PROBLEMA 4. Pruebe que s P(B / A) = P(B / A) entonces A y B son ndependentes. P(A B) P(A B) ( P(A))P(A B) P(B / A) = P(B / A) = = P(A B) P(A) P(A) P(A) P(A B) P(A B) P(A B) = P(A B) = P(A B) + P(A B) P(A) P(A) P(A B) = P(B) P(A B) = P(A).P(B) P(A) PROBLEMA 5. Demuestre que s A y B son eventos ndependentes, tambén lo son c c P(A B ) = P(A B) = P(A) P(B) + P(A).P(B) = P(A) P(B)( P(A)) = ( P(A)).( P(B)) c c = P(A ).P(B ) c A y c B. José Lus Quntero 59

67 PROBLEMA 6. ean A y B eventos ndependentes, tales que con probabldad /6 ocurren smultáneamente, y con probabldad /3 nnguno de ellos ocurre. Halle P(A) y P(B). Informacón: P(A B) = P(A).P(B) =, P(A B) = P(A B) = 5± ± P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = + P(B) P(A).P(B) = + P(B) P(B) = = P (B) =, P (B) = 3 6P(B) 3 6P(B) P(B) 6 6P(B) = 5P(B) = + 6 P(B) 6 P(B) 5P(B) + = 0 3 Por lo tanto P(A) =, P(B) = ó P(A) =, P(B) =. 3 3 PROBLEMA 7. Los eventos A,A,...,A n son eventos ndependentes y n para el cual donde H es un número fjo. P A H n, = p(a j) = p, j =,,...,n. Halle el menor n n n c c n n P A = P A = P(A ) = ( p) H ( p) H nln( p) ln( H) = = = PROBLEMA 8. Cuál es el menor valor de n para el cual la probabldad de obtener al menos un 6 en una sere de n lanzamentos de un dado sea mayor que 3 4? ea A : se obtene un 6 en el -ésmo lanzamento. e quere determnar el menor n para el cual Como se quere hallar el menor n para el cual es decr P > n 3 A. 4 = n n n c 5 P A = P(A ) = 6, = = n 5 < n.ln < ln 6 4 José Lus Quntero 60

68 con lo cual se obtene n = 8. PROBLEMA 9. ean A, B y C tres eventos ndependentes entre sí tales que 4P(A) = P(B) = P(C) > 0 y P(A B C) = 4P(A). Obtenga P(A), P(B) y P(C). P(A B C) = 4P(A) = P(A) + P(B) + P(C) P(A).P(B) P(A).P(C) P(B).P(C) + P(A).P(B).P(C) 3 4P(A) = P(A) + P(A) + 4P(A) P(A) 4 P(A) 8 P(A) + 8 P(A) 3 3P(A) 4 P(A) + 8 P(A) = 0 P(A) 8 P(A) 4.P(A) + 3 = 0 8 P(A) 4.P(A) + 3 = 0 P(A) = 4 Usando las relacones dadas se tene que P(A) =, P(B) =, P(C) =. 4 PROBLEMA 0. En una caja hay R pelotas rojas y A pelotas amarllas. e realza un MAR de tamaño tres. Cuál es la probabldad de que las tres pelotas sean rojas? Expermento aleatoro: Escoger al azar tres pelotas de una caja Propósto: Determnar el color de cada pelota ea el evento R : sale una pelota roja en el -ésmo ntento. De modo que R R R P(R R R 3) = P(R ).P(R / R ).P(R 3 / R R ) =.. R + A R + A R + A PROBLEMA. En una caja hay 4 bombllos malos y 6 buenos. e sacan bombllos a la vez. Cuál es la probabldad de que ambos bombllos resulten buenos? Expermento aleatoro: Extraccón al azar de dos bombllos de una caja Propósto: Determnar s se encuentran o no funconando ean los eventos B : el prmer bombllo sale bueno B : el segundo bombllo sale bueno Entonces P(B B ) = P(B ).P(B / B ) =. = = PROBLEMA. e tenen dos cajas con pelotas. En la caja hay X pelotas blancas y Y pelotas rojas. En la caja hay Z pelotas blancas y W pelotas rojas. e seleccona al azar una pelota de la caja y se coloca en la caja. egudamente se escoge una pelota de la caja. Cuál es la probabldad de que esa pelota sea blanca? José Lus Quntero 6

69 Expermento aleatoro: Escoger al azar una pelota de la caja y colocarla en la caja. Posterormente se escoge una pelota al azar de la caja Propósto: Determnar el color de la últma pelota escogda ean los eventos B : se pasa una pelota blanca de la caja a la caja B : se pasa una pelota roja de la caja a la caja A: se seleccona una pelota blanca de la caja Entonces P(A) = P(A B ) + P(A B ) = P(B ).P(A / B ) + P(B ).P(A / B ) X Z + Y Z =. +. X + Y Z + W + X + Y Z + W + PROBLEMA 3. Una caja contene 000 transstores de los cuales el 5% es defectuoso. Una segunda caja contene 500 transstores de los cuales el 40% es defectuoso. Otras dos cajas contenen 000 transstores cada una con un 0% de defectuosos. e seleccona al azar una caja y de ella se toma un transstor. Cuál es la probabldad de que ese transstor esté bueno? Expermento aleatoro: Escoger al azar una caja y luego de esta caja tomar al azar un transstor Propósto: Determnar el estado del transstor elegdo ean los eventos B: el transstor escogdo es bueno B : el transstor escogdo es defectuoso C : se escoge la caja, =,...,4 Entonces P(B) = P(B) = P(B C ) P(B C ) P(B C 3) P(B C 4) = P(C ).P(B / C ) P(C ).P(B / C ) P(C 3).P(B / C 3) P(C 4).P(B / C 4) = ( ) = 0.5 ( ) = = PROBLEMA 4. e dspone de una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarllas. e lanza un dado perfecto y se obtene como resultado un valor N, con N varable entre uno y ses; s N es menor que 4 se extraen pelotas sn reposcón, en caso contraro se extraen pelotas con reposcón. Cuál es la probabldad de que no se extragan pelotas rojas? Expermento aleatoro: e lanza un dado y de acuerdo al resultado se extraen pelotas con o sn reposcón de una caja Propósto: Determnar el color de cada pelota extrada ean los eventos A: se selecconan dos pelotas amarllas José Lus Quntero 6

70 N : se obtene un número menor que 4 al lanzar el dado N : se obtene un número mayor o gual que 4 al lanzar el dado P(A) = P(A N ) + P(A N ) = P(N ).P(A / N ) + P(N ).P(A / N ) A A A A A A A = + = + R + A R + A R + A R + A R + A R + A R + A PROBLEMA 5. Tres jugadores A, B y C se turnan para lanzar un dado perfecto. A lanza de prmero, B lanza después y por últmo C, y el cclo se repte hasta que gana el prmero que obtenga un número par. Cuál es la probabldad de ganar de cada uno de los jugadores? ean los eventos: A: el jugador A gana, B: el jugador B gana, C: el jugador C gana GA : el jugador A gana en el ntento -ésmo GB : el jugador B gana en el ntento -ésmo GC : el jugador C gana en el ntento -ésmo A : el jugador A obtene un número par en el ntento -ésmo B : el jugador B obtene un número par en el ntento -ésmo C : el jugador C obtene un número par en el ntento -ésmo GA = A B C... A B C A. En consecuenca P(GA ) = P(A B C... A B C A ) 3( ) 3 = P(A ). P(A ).P(B ).P(C ) = = j j j j= GB = A B C... A B C A B. En consecuenca P(GB ) = P(A B C... A B C A B ) 3( ) 3 = P(A ).P(B ). P(A ).P(B ).P(C ) = = j j j j= GC = A B C... A B C A B C. En consecuenca Entonces P(GC ) = P(A B C... A B C A B C ) 3( ) 3 3 = P(A ).P(B ).P(C ) P(A ).P(B ).P(C ) = = j j j j= = = = 4 P(A) = P(GA ) = = 4 = 4. = 4. = = = = P(B) = P(GB ) = = =. =. = = = = P(C) = P(GC ) = = = = 7 José Lus Quntero 63

71 ean los eventos: J : el jugador -ésmo gana, =,...,N GJ : el jugador -ésmo gana en el ntento k-ésmo k PROBLEMA 6. N jugadores se turnan para tomar parte en un juego de azar. La partcpacón se hace en sere hasta que el prmero de ellos obtenga la ocurrenca del evento de nterés defndo prevamente que tene probabldad p (0 < p < ). Cuál es la probabldad de ganar de cada uno de los jugadores? k J : el jugador -ésmo obtene el evento de nterés en el ntento k-ésmo e tene que GJ = J J... J J J... J... J J... J J J... J. k N N k k Nk k k k En consecuenca P(GJ ) = P(J J... J J J... J... J J... J J J... J ) Entonces k N N k k Nk k k k N(k ) N(k ) + = ( p) ( p) p = ( p) p N(k ) + N Nk k k = k = k = P(J) = P(GJ ) = ( p) p = p( p) ( p) N N ( p) p( p) = p( p) =, =,...,N N N ( p) ( p) PROBLEMA = a,b,c,d,e, con P(a) =, P(b) =, P(c) =, P(d) =, P(e) =. ean los eventos ea { } A = { a,d,e } y B { c,d,e } =. Calcule P(B / A) P(B A) P(B A) P(B / A) = = = = = P(A) P(A) PROBLEMA 8. e tenen cnco cajas con cnco bolas cada una, dstrbudas como sgue: la caja tene bolas blancas y 5- bolas negras. e seleccona una bola al azar. Cuál es la probabldad de haber sacado una bola de la caja s ésta es de color negro? Expermento aleatoro: eleccón al azar de una bola de una caja Propósto: Tras saber que la bola selecconada es negra se desea saber de que caja se obtuvo CAJA (C): Contene bola blanca (B) y 4 bolas negras (N) CAJA (C): Contene bolas blancas(b) y 3 bolas negras (N) CAJA 3 (C3): Contene 3 bolas blancas (B) y bolas negras (N) CAJA 4 (C4): Contene 4 bolas blancas (B) y bolas negras (N) José Lus Quntero 64

72 CAJA 5 (C5): Contene 5 bolas blancas (B) y 0 bolas negras (N) P(C N) P(C).P(N / C) P(C).P(N / C). P(C / N) = = = = P(N) P(N) = = = CAJA (=): 4 =. CAJA (=): CAJA 4 (=4): 0. CAJA 5 (=5): 0 0 = P(C).P(N / C) = = =. CAJA 3 (=3): =. 0 5 PROBLEMA 9. Basándose en varos estudos, una compañía ha clasfcado, de acuerdo con la posbldad de encontrar petróleo, las formacones geológcas en 3 tpos. La compañía pretende perforar un pozo en un determnado lugar, al que le asgnan las probabldades de 0.35, 0.40 y 0.5 para los tres tpos de formacones, respectvamente. De acuerdo con la experenca, se sabe que el petróleo se encuentra en un 40% de las formacones de tpo I, en un 0% de las de tpo II y en un 40% de las de tpo III. tras perforar el pozo, la compañía descubre que hay petróleo, determne la probabldad de que ese lugar se corresponda con una formacón del tpo I. Expermento aleatoro : Perforar en una formacón geológca Propósto: Determnar el tpo de formacón geológca Expermento aleatoro : Buscar petróleo Propósto: Determnar s hay o no petróleo Eventos: P: e encuentra petróleo T: La formacón es de tpo I T: La formacón es de tpo II T3: La formacón es de tpo III P(T) = 0.35 P(T) = 0.40 P(T3) = 0.5 P(P/T) = 0.4 P(P/T) = 0. P(P/T3) = 0.4 e pde calcular P(T/P). P(T P) P(T).P(P / T) P(T / P) = = P(P) P(T).P(P / T) + P(T).P(P / T) + P(T3).P(P / T3) = = = = PROBLEMA 0. Un detector de mentras muestra una señal postva (señala una mentra) 0% de las veces que alguen dce la verdad, y 95% de las veces que alguna persona mente. dos personas son sospechosas de un crmen que se sabe ha cometdo uno solo de ellos, y ambos dcen ser nocentes, cuál es la probabldad de que una señal postva del detector corresponda al culpable? Expermento aleatoro: Emsón de una señal de una máquna José Lus Quntero 65

73 Propósto: Determnar el tpo de señal emtda Eventos: + : La señal es postva I: Es nocente C: Es culpable P(+/I) = 0.; P(+/C) = 0.95; P(I)=0.5; P(C) = 0.5; P(C/+) =? P(C + ) P(C + ) P(C).P( + /C) P(C / + ) = = = P( + ) P( + I) + P( + C) P(I).P( + /I) + P(C).P( + /C) = = PROBLEMA. Un estudante responde una pregunta de un examen de múltple escogenca que tene cuatro respuestas posbles. uponga que la probabldad de que el estudante conozca la respuesta a la pregunta es 0.8 y la probabldad de que advne es 0.. el estudante advna, la probabldad de que acerte es 0.5. el estudante responde acertadamente la pregunta, cuál es la probabldad de que el estudante realmente supera la respuesta? Expermento aleatoro : elecconar al azar una pregunta Propósto: Determnar s conozco o no su respuesta Expermento aleatoro : Responder dcha pregunta Propósto: Determnar s la respuesta es correcta o ncorrecta Eventos: C: El estudante conoce la respuesta A: El estudante advna la respuesta B: El estudante acerta la respuesta Datos e ncógnta: P(C) = 0.8, P(A) = 0., P(B / A) = 0.5, P(B / C) =, P(C / B) =? Aplcacón del Teorema de Bayes: P(C B) P(C).P(B / C) P(C / B) = = = = 0.94 P(B) P(A).P(B / A) + P(C).P(B / C) PROBLEMA. uponga que la probabldad de estar expuesto a un vrus que produce una enfermedad es 0.6. e sabe que certa vacuna mpde, en un 80% de los casos, que una persona vacunada y expuesta al vrus contraga la enfermedad producda por el vrus. Una persona no vacunada tene probabldad 0.9 de sufrr la enfermedad s entra en contacto con el vrus. Dos personas, una vacunada y otra no, son capaces de realzar certa tarea muy especalzada en una compañía. uponga que estas personas no están en la msma localdad, no están en contacto con las msmas personas n pueden contagarse entre sí. Cuál es la probabldad de que al menos uno de ellos sufra la enfermedad? Expermento aleatoro: Escoger una persona al azar Propósto: Determnar s se encuentra sana o se encuentra enferma Eventos: E: Hubo exposcón al vrus que produce una enfermedad José Lus Quntero 66

74 A: El empleado vacunado contrae la enfermedad B: El empleado no vacunado contrae la enfermedad Informacón sumnstrada: P(E) = 0.6, P(A / E) = 0., P(B / E) = 0.9 e pde: c c c c P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A B ) = P(A ).P(B ) c c c c c c c c P(A ) = P(A E ) + P(A E) = P(E ).P(A / E ) + P(E).P(A / E) = = 0.88 c c c c c c c c P(B ) = P(B E ) + P(B E) = P(E ).P(B / E ) + P(E).P(B / E) = = 0.46 De modo que c c P(A B) = P(A ).P(B ) = = = PROBLEMA 3. ea una caja denomnada caja X con 8 artículos de los cuales n son defectuosos y el resto son artículos buenos y otra caja llamada caja Y con 5 artículos buenos y defectuosos. El lunes en la noche se extrae al azar un artículo de la caja X y se coloca en la caja Y. El martes en la mañana se elge un artículo de cada caja. e sabe que la probabldad de que el lunes se haya pasado un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y dado que los dos artículos obtendos el martes son defectuosos es gual a 3/8. Determne la cantdad de artículos defectuosos que orgnalmente tenía la caja X. Expermento aleatoro: e escoge al azar un artículo de la caja X y otro de la caja Y Propósto: Determnar el estado de cada artículo extraído Defncón de eventos de nterés: : El lunes en la noche se pasó un artículo defectuoso de la caja X a la caja Y DX Y D : El prmer artículo extraído el martes es defectuoso D : El segundo artículo extraído el martes es defectuoso P(DX Y D D ) P(D X Y / (D D )) = P(D D ) n n 3 P(DX Y D D ) = P(D X Y).P(D / D X Y).P(D / (DX Y D ) = P(D D ) = P(B ).P(D / B ).P(D / (B D ) + P(D ).P(D / D ).P(D / (D D ) X Y X Y X Y X Y X Y X Y 8 n n n n 3 = n n 3 P(D.. X Y D D ) P(D X Y / (D D )) = = P(D 8 n n n n 3 D ) n(n ) 3(n ) 3 = = = n(8 n) + 3n(n ) (8 n) + 3(n ) 8 4(n ) = 6(8 n) + 9(n ) 4n 4 = 48 6n + 9n 9 n = 63 n = 3 José Lus Quntero 67

75 PROBLEMA 4. ean dos cajas numeradas y. La caja tene 7 pelotas rojas y 5 pelotas amarllas y la caja tene 8 pelotas rojas y 4 pelotas amarllas. e lanza un dado normal y se obtene como resultado un valor N, con N entre uno y ses. N es menor que 5 se extraen pelotas sn reposcón de la caja, en caso contraro se extraen pelotas con reposcón de la caja. Halle la probabldad de obtener a lo sumo pelota roja. ean los eventos N : El resultado obtendo en el dado es menor que 5 5 N 5 + : El resultado obtendo en el dado es mayor o gual que 5 R : e extrae una pelota roja en el -ésmo ntento, =, A : e extrae una pelota amarlla en el -ésmo ntento, =, R: e obtene a lo sumo una pelota roja R : e obtenen dos pelotas rojas El dagrama de árbol correspondente se vsualza en la fgura. Por lo tanto P(R) = P(R) = P(N ).P(R / N ).P(R / (N R )) P(N ).P(R / N ).P(R / (N R )) =.... = = Fgura. Dagrama de árbol José Lus Quntero 68

76 PROBLEMA 5. De los eventos A, B, C y D se tene la sguente nformacón: A y B son ndependentes, B y C son ndependentes y A y C son ndependentes De A, B y C pueden ocurrr a lo sumo de ellos A B C y D son mutuamente excluyentes A, B y C ocurren cada uno con una probabldad p (0 < p < ) El evento D tene una probabldad de ocurrenca gual a /5 a. Halle el valor de p para el cual la probabldad de que ocurra al menos uno de los cuatro eventos anterores sea máxma. b. on los eventos A, B, C y D colectvamente exhaustvos? Justfque su respuesta a. Halle el valor de p para el cual la probabldad de que ocurra al menos uno de los cuatro eventos anterores sea máxma. P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) Por lo tanto Para que la = p + p + p p p p + 0 = 3p 3p probabldad anteror sea máxma se tene que 5 P(A B C D) = f(p) = 3p 3p + f '(p) = 3 6p f ''(p) = 6 f '(p) = 3 6p = 0 p = f ''( ) = 6 < 0 Lo que mplca que s p =, entonces P(A B C D) es máxma y su valor es = = b. on los eventos A, B, C y D colectvamente exhaustvos? Justfque su respuesta 9 Como P(A B C D) = <, se concluye que los eventos A, B, C y D no son colectvamente exhaustvos. 0 5 P(A B C D) = P(A B C) + P(D) = 3p 3p + PROBLEMA 6. Consdere una caja que contene pelotas rojas, pelotas verdes y pelotas blancas. Dos jugadores A y B se turnan para extraer pelotas de la caja con reposcón. Gana aquel jugador que en ese turno sea el únco en extraer pelotas de gual color; en cualquer otro caso, ambos vuelven a ntentarlo. Calcule la probabldad de que el jugador A gane antes de su tercer ntento. Defncón de eventos: A : el jugador A extrae pelotas de gual color en el ntento, =,,... AR : el jugador A extrae pelotas rojas en el ntento, =,,... AV : el jugador A extrae pelotas verdes en el ntento, =,,... José Lus Quntero 69

77 AB : el jugador A extrae pelotas blancas en el ntento, =,,... B : el jugador B extrae pelotas de gual color en el ntento, =,,... GA : el jugador A gana en el ntento, =,,... A: el jugador A gana antes de su tercer ntento P(A ) = P(AR AV AB ) = P(B ) = = = 6 6, =,, P(GA ) = P(A B ) =. = ; P(GA ) = P(((A B ) (A B )) (A B )) = P((A B A B ) (A B A B )) Por lo tanto = P(A B A B ) + P(A B A B ) = = P(A) = P(GA GA ) = P(GA ) + P(GA ) = + = = PROBLEMA 7. e tenen tres monedas cargadas, donde se sabe que la prmera tene una probabldad de 0.3 de obtenerse cara, la segunda una probabldad de 0.4 de ocurrr sello y la tercera una probabldad de 0.4 de salr cara. Un jugador escoge al azar una de las monedas y la lanza dos veces. Cuál es la probabldad de obtener dos caras? Expermento aleatoro : Escogenca al azar de una moneda Propósto: Determnar cuál de las monedas fue escogda Expermento aleatoro : Lanzamento por prmera vez de la moneda Propósto: Determnar lo ocurrdo en la parte superor de la moneda Expermento aleatoro 3: Lanzamento por segunda vez de la moneda Propósto: Determnar lo ocurrdo en la parte superor de la moneda Defncón de eventos: M : se selecconó la moneda, =,,3 C : ocurró cara en el prmer lanzamento, =, e pde: P(C C ) = P(M ).P(C C / M ) + P(M ).P(C C / M ) + P(M ).P(C C / M ) 3 3 = (0.3) + (0.6) + (0.4) José Lus Quntero 70

78 6. PROBLEMA PROPUETO. Coloque al lado la letra V o F según consdere que la proposcón es verdadera o falsa respectvamente. a. Un evento es un subconjunto del espaco muestral que contene sólo un V F resultado del expermento aleatoro b. Uno de los axomas de la probabldad establece que la suma de las V F probabldades de un evento y su complemento es gual a uno c. Uno de los axomas de la probabldad establece que la probabldad del evento V F vaco es gual a cero d. El número de elementos de un conjunto determna su cardnaldad V F e. Todos los resultados de un expermento aleatoro son equprobables V F. Marque con una X la respuesta que consdere correcta. a. A y B son dos eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44, se puede afrmar que P(A B) : ( ) 0 ( ) 0.9 ( ) 0.8 ( ) b. e lanza un par de dados honestos. La probabldad de que la suma de los dos números obtendos sea mayor o gual a 0 es equvalente a ( ) / ( ) /6 ( ) 5/36 ( ) 5/6 c. ean A, A y A 3 eventos de un espaco muestral. El evento no ocurre nnguno se expresa como: ( ) A A A3 ( ) A A A3 ( ) A A A3 ( ) Nnguna de las anterores d. ea E el conjunto con todos los posbles resultados del expermento elegr una persona al azar. ean los sucesos: M: la persona es mujer, R: la persona es ruba, C: la persona tene ojos claros. A contnuacón se muestran 4 dagramas de Venn (D, D, D3, D4) donde la zona sombreada representa un suceso. El suceso hombres de ojos oscuros se encuentra representado en el dagrama D D D3 D4 ( ) D ( ) D ( ) D3 ( ) D4 3. A y B son eventos mutuamente excluyentes, con P(A) = 0.37 y P(B) = 0.44 determne: a. P(A) b. P(B) c. P(A B) José Lus Quntero 7