EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. x x0 y y0. Deducir la fórmula para el polinomio de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla.

Transcripción

1 EJERCICIOS SOBRE INTERPOLACIÓN POLINOMIAL. Consdere la sguente tabla, donde 0 : 0 y y0 y Deducr la fórmula para el polnomo de Lagrange de grado a lo más uno que Interpola la tabla.. Consdere la sguente tabla 0 4 y 5 Cuántos polnomos de grado a lo más tres nterpolan la tabla? Justfcar su respuesta. Calcular el polnomo de Newton de grado a lo más tres que nterpola la tabla. Hágalo de dos maneras: Paso a paso (constructvamente) y medante la tabla de dferencas dvddas.. Consdere la tabla: 0 y ( ) 0 f f ( ) Deducr la fórmula para el polnomo de Lagrange de grado uno que nterpole la tabla dada. 4. Consdere la tabla: 0 4 y = f 5 ( ) Obtener el polnomo de Newton de grado a lo más tres que nterpole la tabla dada. 5. Consdere la funcón f ( ) = para (, ). a) Calcular el polnomo p ( ) que nterpola a ( ) =. f en los nodos 0,, y b) Calcular el error relatvo que se comete al apromar f ( ) medante ( ). El polnomo de Newton ( ) = ( ) p nterpola la tabla vs. y 9 0 = p. = = Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín

2 0 0 5 y 0 5 y y0 y = = Se agrega como cuarto nodo a 0 0 que nterpola la nueva tabla. y. Se pde calcular el polnomo de Newton ( ) Los cuatro puntos de la tabla se obtuveron de la semcrcunferenca de la fgura sguente (rado 5). p Usar la fórmula smple de Smpson ( ) para apromar el área del semcírculo, con ayuda de los polnomos p ( ) y ( ). Estudar la caldad de esta apromacón y concluír. Calcular los errores relatvos. p 7. Consdere una tabla de 4 entradas, en la que 0,, y son números dstntos: Llame y f ( ) = f, k 0,,, =. k k k = 0 y y0 y y y a) Plantear una epresón para el polnomo de grado cero p 0 ( ) que nterpola la prmera columna p = =. 0 y = f = f c de la tabla. Verfcar que ( ) 0 0 [ 0 ] 0 b) Escrba una epresón para el polnomo de grado a lo más uno, ( ) prmeras columnas de la tabla, construdo a partr de p 0 ( ). p que nterpola las dos f f p = 0 = p f, donde f, = = : f : c 0 Verfcar que ( ) 0( ) [ 0 ]( 0) [ 0 ] 0 c) Con la msma dea obtener p ( ) a partr de ( ) Verfcar que p ( ) p ( ) f ( )( ) 0 0 p. =,donde Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín

3 f [, ] f [, ] [ 0,, ] = :f0 = : 0 = : f c 0 Usted notará que la epresón de f 0 no aparece eplícta sno que se debe construr. p. d) Con la msma metodología obtener p ( ) a partr de ( ) Verfcar que p ( ) p ( ) f ( )( ) f ( )( )( ) =, donde f [,, ] f [,, ] [ 0,,, ] = :f0 = : 0 = :f c 0 Para efectos de smplfcar aún más la escrtura se sugere ntroducr la notacón Usted notará que le aparece f c : = f 0 f f Concéntrese y sea pacente para construr c. Por ejemplo, avanzando ( f f ) ( f f ) f f f = 0 0 = :. 0 f0 0 = f f f j j, etc. Pero recuerde que tambén puede retroceder, empezando con la epresón que se do de c. 8. Consdere la sguente tabla, que tene como elementos f ( ) f ( ) f ( ) 7 8 Construr la tabla de dferencas dvddas. Recordar que debe repetr la fla para =, y para = se plantean tres flas. Además, debe usar la defncón de dferenca dvdda con repetcón. Dar el polnomo de Hermte que ajusta los valores de la tabla dada. Respuesta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p = 9. Consdere la sguente tabla: f ( ) f' ( ) Usar el método de dferencas dvddas con repetcón para calcular un polnomo de grado 4 que ajuste los valores de la tabla. Verfcar que su respuesta satsface lo esperado. Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín

4 0. Amplando la tabla del problema 9 con f ( ) = Verfcar su respuesta., obtener un polnomo que ajuste la nueva tabla.. Consdere la sguente tabla: k k fk f k f k Usar el método de dferencas dvddas con repetcón para obtener el Polnomo de Hermte de grado 5 correspondente que nterpola la tabla. Verfcar.. Lo msmo que en el problema, pero para la sguente tabla: y = f ( ) y = f ( ) y = f ( ) Usando la Técnca de Hermte, calcular el Trazador Cúbco Sujeto que nterpola la tabla: Verfcar su respuesta. y y Usando la técnca de Hermte, calcular el Trazador Cúbco Natural que nterpola la tabla: Verfcar su respuesta. y Calcular el polnomo que nterpola la tabla sguente: y y y Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín

5 . Calcular el polnomo que nterpola la tabla sguente: y y y Consderar la funcón T ( ) defnda como sgue: T ( ), = 7 8 8, , Eplcar cuáles propedades cumple y cuáles no cumple ( ) de la sguente tabla: y T para ser un Trazador Cúbco natural 8. Consdere la tabla sguente, en la cual 0,,, y 4 son números dstntos: 0 4 y y0 y y y y4 Con precsón, epresar todas las propedades que debe tener el Splne Cúbco ( ) nterpole la tabla dada. T natural, que 9. Consderar la sguente funcón: S ( ) 5 7, = 4 7 7, [, 0] [ 0, ] a) Inspecconar s S ( ) satsface o nó la sguente tabla: vs. y : b) Determnar s la funcón ( ) y S es un Trazador Cúbco natural para la tabla dada en a). Precsar cuáles condcones se cumplen y cuáles no. Analce y concluya. Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín 5

6 0. Calcular el Trazador Cúbco natural que nterpola la sguente tabla, contra y : y Eplcar cada uno de los pasos dados para allar el Trazador.. Calcular el Trazador Cúbco S ( ) para la tabla sguente vs. y: que satsfaga S ( 0) = y S ( ) = 0 y 0 0. Verfcar que sus cálculos sean correctos.. Calcular el Trazador (Splne) Cúbco natural T que nterpola la tabla vs. y: 0 4 y 7 7. Usar artmétca eacta para los cálculos. Grafcar vs. T ( ), vs. T ( ), y vs. T ( ). Calcular el Trazador cúbco que nterpola la tabla 0 4 y y 9 y 0 4. Consderar la tabla sguente en la cual o < < < < 4 : 0 4 y = f ( ) y0 y y y y4 Llame T ( ) el Trazador (Splne Cúbco) que nterpola la tabla dada. Mrando a T ( ) funcón, precsar su domno D T, su Codomno y la regla para calcular T ( ) con DT. Cuántos coefcentes no conocdos le aparecen en la regla para calcular T( )? Enunce las condcones que le va a mponer a T ( ) T ( ). Tene tantas condcones como ncógntas? como una, que permtrán el cálculo de lo no conocdo en Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín

7 Eplque dos maneras usuales de completar las condcones (Trazador sujeto, Trazador natural). Dar eplíctamente a T ( ) y T ( ). Hacer gráfcas lustratvas de vs. T ( ), vs. T ( ) y vs. T ( ). Completar en los casos sguentes: T ( ) es polnomal de grado? a trozos. T ( ) es polnomal de grado? a trozos. T es polnomal de grado? a trozos. ( ) 5. Contnuacón problema 4. Para obtener el Trazador cúbco que nterpola la tabla dada, se segurá la sguente estratega: Como T ( ) es lneal a trozos, dando por conocda su ecuacón, podremos ntegrar dos veces para obtener T ( ). Smultáneamente, usamos las condcones sobre T ( ) y T ( ) para obtener las constantes de ntegracón consguendo al fnal un sstema de n ecuacones con n ncógntas. Para los datos (, y ), (, y ),..., (, ) Llame se desconocen los números 0 0 n y n desarrolle la dea general anteror así: ( ) = z, T ( ) = z,..., T ( ) T n = z () 0 0 n z0, z,..., zn. Escrba la ecuacón de la recta que pasa por (,z ) (,z ), = 0,,..., y. Para [, ], consdere la funcón p ( ) Para [, ]. y en un plano n ntegre dos veces entre y. Verfcar que obtene: donde z z p ( ) p' ( )( ) ( ) ( ) z ( ) z y = =....() Calcule p ( ), despeje ( ) p y susttúyalo en (), obtenendo para = 0,,,..., n : y y z z p ( ) = z ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ) z y La ecuacón anteror se puede escrbr en la forma: z z y z y p ( ) = ( ) ( ) ( ) z( ) ( ) z y para [, ], = 0,,..., n. Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín 7

8 Donde sea convenente cambe por su gual, para consegur la epresón z z y z z y p ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) () para [, ], = 0,,..., n. De las condcones mpuestas aún no se a usado la estenca de la prmera dervada en los nodos nterores,,..., n. n para obtener que Use que p ( ) = p ( ), =,,..., ( ) z z = ( y y ) ( y y ), =,,..., n z Para =,,..., n, llame u : ( ), b : ( y y ) = =, : = b b v. Darle valores a =,,..., n para consegur el sstema de n ecuacones lneales en las n ncógntas z0, z,..., zn sguente: 0 z 0 u z z z u z z z u z z 4 z u z = v = v = v = v n n n n n n n z M En el caso del Trazador Cúbco natural, dar el sstema lneal de n ecuacones con ncógntas z, z,..., z n. Pruebe que la matrz de coefcentes del sstema es E.D.D. por flas. Observar que el sstema es trdagonal. Qué aría usted para defnr el Trazador una vez consegudos z, z,..., z n? En el caso del Trazador sujeto, se dan como datos para [, ], = 0,,..., n, obtener: y y 0 y. De la ecuacón donde se tene p ( ) n y 0 z0 0z = b0 0 y n zn n zn = bn yn Escrbr el sstema lneal de n ecuacones con las n ncógntas z0, z,..., zn. Observe que el sstema es trdagonal y la matrz de coefcentes es E.D.D. por flas (probarlo!). Cómo calcular el Trazador sujeto T ( )? 8 Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín

9 . Consdere la ecuacón 9 = 0 a) Grafcar y = y y = 9. En qué ntervalo parecen cortarse. Cómo se nterpreta esto para la ecuacón dada? b) Defna f ( ) = 9. Construya la tabla de valores de la funcóm f para los números 0 = 0, = y =, y para estos datos aga lo sguente:. Obtenga el polnomo de nterpolacón de Newton para la tabla.. Use fórmulas del problema () para obtener el Trazador cúbco natural que ntepola la tabla.. Use las apromacones polnomales, obtendas en. y. para estmar la raíz de f ( ) = 0. En caso necesaro, use DERIVE o su calculadora para ayudarse en los cálculos y en la comparacón y dscusón de resultados. Las solucones son: 7 8 Para la parte.: p ( ) = ( ) 9 Para la parte. : T ( ) 9 = 9 ( ) 7, 5, 0,, 7. Para la sguente tabla 0 y = f 0 4 ( ) Calcular el Trazador cúbco natural que nterpola la tabla. Segur los lneamentos del problema 5. Verfcar su respuesta. 8. Consderar la tabla 0 y = f ( ) ( ) ( ) y = f y = f Usar la técnca de Hermte para obtener el polnomo que nterpola la tabla dada. S la tabla se completa con ( ) = f ( ) = datos. f y, calcular el polnomo que cumple con todos los 8. Los datos de la sguente tabla corresponden a una certa funcón f. Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín 9

10 Analzar s la funcón T ( ) defnda medante: y = f ( ) y ' = f ' ( ) 4 4 T ( ) =,, es o no el Trazador cúbco sujeto que nterpola la tabla dada de la funcón f. Indcar cuáles propedades satsface y cuáles no. 9. Consderar la sguente funcón T: T ( ) =,, 0 0 a) Calcular T ' ( ), T ( ). Grafcar a T ( ), T ' ( ) y ( ) T. b) Estudar s T es el Trazador cúbco natural de la sguente tabla: 0 y = f ( ) 9. Calcular el trazador cúbco que ajusta la tabla: Verfcar su respuesta. 0 y 0 y' 0 0. Dscutr el problema de encontrar un polnomo ( ) valores p ( 0 ) = 0, p ( ) = y p ( ) = p de grado menor o gual que tres, que tome los. Utlzar dos métodos.. Dscutr el problema de encontrar un polnomo ( ) sguentes valores: p ( 0 ) = 0, p ( ) = y p ( ) = p de grado menor o gual que dos que tome los. Utlzar dos métodos.. Qué condcón se debe mponer a los nodos 0 y para que el problema de nterpolacón p c, p = c, 0 p, para cualquer ( ) = ( ) se resuelva con un polnomo cúbco ( ) 0 =, escogenca de los valores c 0, c?. 0 Unversdad Naconal de Colomba - Sede Medellín