CAPÍTULO 18 Interpolación

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1 CAPÍTULO 8 Interpolacón Con frecuenca se encontrará con que tene que estmar valores ntermedos entre datos defndos por puntos. El método más común que se usa para este propósto es la nterpolacón polnomal. Recuerde que la fórmula general para un polnomo de n-ésmo grado es f(x) = a + a x + a x + + a n x n (8.) Dados n + puntos, hay uno y sólo un polnomo de grado* n que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decr, un polnomo de prmer grado) que une dos puntos (fgura 8.a). De manera smlar, úncamente una parábola une un conjunto de tres puntos (fgura 8.b). La nterpolacón polnomal consste en determnar el polnomo únco de n-ésmo grado que se ajuste a n + puntos. Este polnomo, entonces, proporcona una fórmula para calcular valores ntermedos. Aunque hay uno y sólo un polnomo de n-ésmo grado que se ajusta a n + puntos, exste una gran varedad de formas matemátcas en las cuales puede expresarse este polnomo. En este capítulo descrbremos dos alternatvas que son muy adecuadas para mplementarse en computadora: los polnomos de Newton y de Lagrange. 8. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS Como se djo antes, exste una gran varedad de formas alternatvas para expresar una nterpolacón polnomal. El polnomo de nterpolacón de Newton en dferencas d- FIGURA 8. Ejemplos de nterpolacón polnomal: a) de prmer grado (lneal) que une dos puntos, b) de segundo grado (cuadrátca o parabólca) que une tres puntos y c) de tercer grado (cúbca) que une cuatro puntos. a) b) c) * De hecho se puede probar que dados n + puntos, con abscsas dstntas entre sí, exste uno y sólo un polnomo de grado a lo más n que pasa por estos puntos. Chapra-8.ndd 53 6//6 3:57:47

2 54 INTERPOLACIÓN vddas es una de las formas más populares y útles. Antes de presentar la ecuacón general, estudaremos las versones de prmero y segundo grados por su senclla nterpretacón vsual. 8.. Interpolacón lneal La forma más smple de nterpolacón consste en unr dos puntos con una línea recta. Dcha técnca, llamada nterpolacón lneal, se lustra de manera gráfca en la fgura 8.. Utlzando trángulos semejantes, ƒ ƒ = ƒ ƒ ( x) ( x) ( x) ( x) x x x x reordenándose se tene ƒ = ƒ + ƒ ( x ƒ ) ( x) ( x) ( x) ( x x ) (8.) x x que es una fórmula de nterpolacón lneal. La notacón f (x) desgna que éste es un polnomo de nterpolacón de prmer grado. Observe que además de representar la pendente de la línea que une los puntos, el térmno [f(x ) f(x )]/(x x ) es una aproxmacón en dferenca dvdda fnta a la prmer dervada [ecuacón (4.7)]. En general, FIGURA 8. Esquema gráf co de la nterpolacón lneal. Las áreas sombreadas ndcan los trángulos semejantes usados para obtener la fórmula de la nterpolacón lneal [ecuacón(8.)]. f (x) f (x ) f (x) f (x ) x x x x Chapra-8.ndd 54 6//6 3:57:47

3 8. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS 55 cuanto menor sea el ntervalo entre los datos, mejor será la aproxmacón. Esto se debe al hecho de que, conforme el ntervalo dsmnuye, una funcón contnua estará mejor aproxmada por una línea recta. Esta característca se demuestra en el sguente ejemplo. EJEMPLO 8. Interpolacón lneal Planteamento del problema. Estme el logartmo natural de medante nterpolacón lneal. Prmero, realce el cálculo por nterpolacón entre ln = y ln 6 = Después, repta el procedmento, pero use un ntervalo menor de ln a ln 4 (.38694). Observe que el valor verdadero de ln es Solucón. Usamos la ecuacón (8.) y una nterpolacón lneal para ln() desde x = hasta x = 6 para obtener ƒ = +. ( ) ( ) = que representa un error: e t = 48.3%. Con el ntervalo menor desde x = hasta x = 4 se obtene ƒ = +. ( ) ( ) = Así, usando el ntervalo más corto el error relatvo porcentual se reduce a e t = 33.3%. Ambas nterpolacones se muestran en la fgura 8.3, junto con la funcón verdadera. FIGURA 8.3 Dos nterpolacones lneales para estmar ln. Observe cómo el ntervalo menor proporcona una mejor estmacón. f (x) f (x) = ln x Valor verdadero f (x) Estmacones lneales 5 x Chapra-8.ndd 55 6//6 3:57:47

4 56 INTERPOLACIÓN 8.. Interpolacón cuadrátca En el ejemplo 8. el error resulta de nuestra aproxmacón a una curva medante una línea recta. En consecuenca, una estratega para mejorar la estmacón consste en ntroducr alguna curvatura a la línea que une los puntos. S se tenen tres puntos como datos, éstos pueden ajustarse en un polnomo de segundo grado (tambén conocdo como polnomo cuadrátco o parábola). Una forma partcularmente convenente para ello es f (x) = b + b (x x ) + b (x x )(x x ) (8.3) Observe que aunque la ecuacón (8.3) parece dferr del polnomo general [ecuacón (8.)], las dos ecuacones son equvalentes. Lo anteror se demuestra al multplcar los térmnos de la ecuacón (8.3): f (x) = b + b x b x + b x + b x x b xx b xx o, agrupando térmnos, donde f (x) = a + a x + a x a = b b l x + b x x a = b b x b x a = b Así, las ecuacones (8.) y (8.3) son formas alternatvas, equvalentes del únco polnomo de segundo grado que une los tres puntos. Un procedmento smple puede usarse para determnar los valores de los coefcentes. Para encontrar b, en la ecuacón (8.3) se evalúa con x = x para obtener b = f(x ) (8.4) La ecuacón (8.4) se susttuye en la (8.3), después se evalúa en x = x para tener b x x = ƒ( ) ƒ( ) x x (8.5) Por últmo, las ecuacones (8.4) y (8.5) se susttuyen en la (8.3), después se evalúa en x = x y (luego de algunas manpulacones algebracas) se resuelve para b = ƒ ( x ) ƒ ( x ) x x ƒ ( ) ƒ ( ) x x x x x x (8.6) Observe que, como en el caso de la nterpolacón lneal, b todavía representa la pendente de la línea que une los puntos x y x. Así, los prmeros dos térmnos de la ecuacón (8.3) son equvalentes a la nterpolacón lneal de x a x, como se especfcó antes en la ecuacón (8.). El últmo térmno, b (x x )(x x ), determna la curvatura de segundo grado en la fórmula. Chapra-8.ndd 56 6//6 3:57:48

5 8. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS 57 Antes de lustrar cómo utlzar la ecuacón (8.3), debemos examnar la forma del coefcente b. Es muy smlar a la aproxmacón en dferencas dvddas fntas de la segunda dervada, que se presentó antes en la ecuacón (4.4). Así, la ecuacón (8.3) comenza a manfestar una estructura semejante a la expansón de la sere de Taylor. Esta observacón será objeto de una mayor exploracón cuando relaconemos los polnomos de nterpolacón de Newton con la sere de Taylor en la seccón Aunque, prmero, mostraremos un ejemplo que ndque cómo se utlza la ecuacón (8.3) para nterpolar entre tres puntos. EJEMPLO 8. Interpolacón cuadrátca Planteamento del problema. Ajuste un polnomo de segundo grado a los tres puntos del ejemplo 8.: x = f(x ) = x = 4 f(x ) = x = 6 f(x ) = Con el polnomo evalúe ln. Solucón. Aplcando la ecuacón (8.4) se obtene b = La ecuacón (8.5) da b = = FIGURA 8.4 El uso de la nterpolacón cuadrátca para estmar ln. Para comparacón se presenta tambén la nterpolacón lneal desde x = hasta 4. f (x) f (x) = ln x f (x) Valor verdadero Estmacón cuadrátca Estmacón lneal 5 x Chapra-8.ndd 57 6//6 3:57:48

6 58 INTERPOLACIÓN y con la ecuacón (8.6) se obtene b 6 4 = = Susttuyendo estos valores en la ecuacón (8.3) se obtene la fórmula cuadrátca f (x) = (x ).5873(x )(x 4) que se evalúa en x = para f () = que representa un error relatvo de e t = 8.4%. Así, la curvatura determnada por la fórmula cuadrátca (fgura 8.4) mejora la nterpolacón comparándola con el resultado obtendo antes al usar las líneas rectas del ejemplo 8. y en la fgura Forma general de los polnomos de nterpolacón de Newton El análss anteror puede generalzarse para ajustar un polnomo de n-ésmo grado a n + datos. El polnomo de n-ésmo grado es f n (x) = b + b (x x ) + + b n (x x )(x x ) (x x n ) (8.7) Como se hzo antes con las nterpolacones lneales y cuadrátcas, los puntos asocados con datos se utlzan para evaluar los coefcentes b, b,..., b n. Para un polnomo de n-ésmo grado se requeren n + puntos: [x, f(x )], [x, f(x )],..., [x n, f(x n )]. Usamos estos datos y las sguentes ecuacones para evaluar los coefcentes: b = f(x ) (8.8) b = f[x, x ] (8.9) b = f[x, x, x ] (8.) b n = f[x n, x n,, x, x ] (8.) donde las evaluacones de la funcón colocadas entre paréntess son dferencas dvddas fntas. Por ejemplo, la prmera dferenca dvdda fnta en forma general se representa como ƒ = ƒ ( x ) [, ] ƒ ( xj) x xj x x j (8.) La segunda dferenca dvdda fnta, que representa la dferenca de las dos prmeras dferencas dvddas, se expresa en forma general como ƒ = ƒ [ x, ] [,, ] ƒ xj [ xj, xk ] x xj xk x x k (8.3) Chapra-8.ndd 58 6//6 3:57:48

7 8. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS 59 x f(x ) Prmero Segundo Tercero x ƒ(x ) ƒ[x, x ] ƒ[x, x, x ] ƒ[x 3, x, x, x ] x ƒ(x ) ƒ[x, x ] ƒ[x 3, x, x ] x ƒ(x ) ƒ[x 3, x ] 3 x 3 ƒ(x 3 ) FIGURA 8.5 Representacón gráf ca de la naturaleza recursva de las dferencas dvddas f ntas. En forma smlar, la n-ésma dferenca dvdda fnta es ƒ = ƒ [ x ƒ n, xn,, x] [ xn, xn,, x] [ xn, xn,, x, x] x x n (8.4) Estas dferencas srven para evaluar los coefcentes en las ecuacones (8.8) a (8.), los cuales se sustturán en la ecuacón (8.7) para obtener el polnomo de nterpolacón f n (x) = f(x ) + (x x ) f[x, x ] + (x x )(x x ) f[x, x, x ] + + (x x )(x x ) (x x n ) f[x n, x n,, x ] (8.5) que se conoce como polnomo de nterpolacón de Newton en dferencas dvddas. Debe observarse que no se requere que los datos utlzados en la ecuacón (8.5) estén gualmente espacados o que los valores de la abscsa estén en orden ascendente, como se lustra en el sguente ejemplo. Tambén, adverta cómo las ecuacones (8.) a (8.4) son recursvas (es decr, las dferencas de orden superor se calculan tomando dferencas de orden nferor (fgura 8.5). Tal propedad se aprovechará cuando desarrollemos un programa computaconal efcente en la seccón 8..5 para mplementar el método. EJEMPLO 8.3 Polnomos de nterpolacón de Newton en dferencas dvddas Planteamento del problema. En el ejemplo 8., los datos x =, x = 4 y x = 6 se utlzaron para estmar ln medante una parábola. Ahora, agregando un cuarto punto (x 3 = 5; f(x 3 ) =.69438], estme ln con un polnomo de nterpolacón de Newton de tercer grado. Solucón. Utlzando la ecuacón (8.7), con n = 3, el polnomo de tercer grado es f 3 (x) = b + b (x x ) + b (x x )(x x ) + b 3 (x x )(x x )(x x ) Las prmeras dferencas dvddas del problema son [ecuacón (8.)] ƒ [ x, x] = = ƒ [ x, x] = = Chapra-8.ndd 59 6//6 3:57:49

8 5 INTERPOLACIÓN f (x) f 3 (x) f (x) = ln x Valor real Estmacón cúbca 5 x FIGURA 8.6 Uso de la nterpolacón cúbca para estmar ln ƒ [ x3, x] = = Las segundas dferencas dvddas son [ecuacón (8.3)] ƒ [ x, x, x] = = ƒ [ x3, x, x] = = La tercera dferenca dvdda es [ecuacón (8.4) con n = 3] ƒ =. 4 [,,, ] (. 5873) x3 x x x = Los resultados de f[x, x ], f[x, x, x ] y f[x 3, x, x, x ] representan los coefcentes b, b y b 3 de la ecuacón (8.7), respectvamente. Junto con b = f(x ) =., la ecuacón (8.7) es f 3 (x) = (x ).5873(x )(x 4) (x )(x 4)(x 6) la cual srve para evaluar f 3 () = , que representa un error relatvo: e t = 9.3%. La gráfca del polnomo cúbco se muestra en la fgura 8.6. Chapra-8.ndd 5 6//6 3:57:49

9 8. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS Errores de la nterpolacón polnomal de Newton Observe que la estructura de la ecuacón (8.5) es smlar a la expansón de la sere de Taylor en el sentdo de que se van agregando térmnos en forma secuencal, para mostrar el comportamento de orden superor de la funcón. Estos térmnos son dferencas dvddas fntas y, así, representan aproxmacones de las dervadas de orden superor. En consecuenca, como ocurró con la sere de Taylor, s la funcón verdadera es un polnomo de n-ésmo grado, entonces el polnomo de nterpolacón de n-ésmo grado basado en n + puntos dará resultados exactos. Tambén, como en el caso de la sere de Taylor, es posble obtener una formulacón para el error de truncamento. De la ecuacón (4.6) recuerde que el error de truncamento en la sere de Taylor se expresa en forma general como R n n = ƒ ( + ( ξ) x+ x ( n + )! ( ) n+ donde x está en alguna parte del ntervalo de x a x +. Para un polnomo de nterpolacón de n-ésmo grado, una expresón análoga para el error es R n (4.6) n = ƒ ( + ) ( ξ) x x x x x xn ( n + )! ( )( ) ( ) (8.6) donde x está en alguna parte del ntervalo que contene la ncógnta y los datos. Para que esta fórmula sea útl, la funcón en turno debe ser conocda y dferencable. Por lo común éste no es el caso. Por fortuna, hay una formulacón alternatva que no requere del conocmento prevo de la funcón. Utlzándose una dferenca dvdda fnta para aproxmar la (n + )-ésma dervada, R n = ƒ[x, x n, x n,..., x ](x x )(x x ) (x x n ) (8.7) donde ƒ[x, x n, x n,..., x ] es la (n + )-ésma dferenca dvdda fnta. Debdo a que la ecuacón (8.7) contene la ncógnta f(x), no permte obtener el error. Sn embargo, s se tene un dato más, f(x n+ ), la ecuacón (8.7) puede usarse para estmar el error como sgue: R n ƒ[x n+, x n, x n,...,x ](x x )(x x ) (x x n ) (8.8) EJEMPLO 8.4 Estmacón del error para el polnomo de Newton Planteamento del problema. Con la ecuacón (8.8) estme el error en la nterpolacón polnomal de segundo grado del ejemplo 8.. Use el dato adconal f(x 3 ) = f(5) = para obtener sus resultados. Solucón. Recuerde que en el ejemplo 8. el polnomo de nterpolacón de segundo grado proporconó una estmacón, f () = , que representa un error de =.738. S no se hubera conocdo el valor verdadero, como usualmente sucede, la ecuacón (8.8), junto con el valor adconal en x 3, pudo haberse utlzado para estmar el error, R = ƒ[x 3, x, x, x ](x x )(x x )(x x ) Chapra-8.ndd 5 6//6 3:57:5

10 5 INTERPOLACIÓN o R = (x )(x 4)(x 6) donde el valor de la dferenca dvdda fnta de tercer orden es como se calculó antes en el ejemplo 8.3. Esta expresón se evalúa en x = para obtener R = ( )( 4)( 6) =.694 que es del msmo orden de magntud que el error verdadero. Con el ejemplo anteror y la ecuacón (8.8), debe resultar claro que el error estmado para el polnomo de n-ésmo grado es equvalente a la dferenca entre las predccones de orden (n + ) y de orden n. Es decr, R n = f n+ (x) f n (x) (8.9) En otras palabras, el ncremento que se agrega al caso de orden n para crear el caso de orden (n + ) [es decr, la ecuacón (8.8)] se nterpreta como un estmado del error de orden n. Esto se percbe con clardad al reordenar la ecuacón (8.9): f n+ (x) = f n (x) + R n La valdez de tal procedmento se refuerza por el hecho de que la sere es altamente convergente. En tal stuacón, la predccón del orden (n + ) debería ser mucho más cercana al valor verdadero que la predccón de orden n. En consecuenca, la ecuacón (8.9) concuerda con nuestra defncón estándar de error, al representar la dferenca entre la verdad y una aproxmacón. No obstante, observe que mentras todos los otros errores estmados para los procedmentos teratvos presentados hasta ahora se encontraron como una predccón presente menos una preva, la ecuacón (8.9) consttuye una predccón futura menos una presente. Lo anteror sgnfca que para una sere que es de convergenca rápda, el error estmado de la ecuacón (8.9) podría ser menor que el error verdadero. Esto representaría una caldad muy poco atractva s el error estmado fuera a emplearse como un crtero de termnacón. Sn embargo, como se expondrá en la sguente seccón, los polnomos de nterpolacón de grado superor son muy sensbles a errores en los datos (es decr, están mal condconados). Cuando se emplean para nterpolacón, a menudo dan predccones que dvergen en forma sgnfcatva del valor verdadero. S se trata de detectar errores, la ecuacón (8.9) es más sensble a tal dvergenca. De esta manera, es más valosa con la clase de análss de datos exploratoros para los que el polnomo de Newton es el más adecuado Algortmo computaconal para el polnomo de nterpolacón de Newton Tres propedades hacen a los polnomos de nterpolacón de Newton muy atractvos para aplcacones en computadora:. Como en la ecuacón (8.7), es posble desarrollar de manera secuencal versones de grado superor con la adcón de un solo térmno a la ecuacón de grado nferor. Chapra-8.ndd 5 6//6 3:57:5

11 8. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS 53 Esto faclta la evaluacón de algunas versones de dferente grado en el msmo programa. En especal tal capacdad es valosa cuando el orden del polnomo no se conoce a pror. Al agregar nuevos térmnos en forma secuencal, podemos determnar cuándo se alcanza un punto de regreso dsmnudo (es decr, cuando la adcón de térmnos de grado superor ya no mejora de manera sgnfcatva la estmacón, o en certas stuacones ncluso la aleja). Las ecuacones para estmar el error, que se analzan en el punto 3, resultan útles para vsualzar un crtero objetvo para dentfcar este punto de térmnos dsmnudos.. Las dferencas dvddas fntas que consttuyen los coefcentes del polnomo [ecuacones (8.8) hasta (8.)] se pueden calcular efcentemente. Es decr, como en la ecuacón (8.4) y la fgura 8.5, las dferencas de orden nferor srven para calcular las dferencas de orden mayor. Utlzando esta nformacón prevamente determnada, los coefcentes se calculan de manera efcente. El algortmo en la fgura 8.7 ncluye un esquema así. 3. El error estmado [ecuacón (8.8)] se ncorpora con facldad en un algortmo computaconal debdo a la manera secuencal en la cual se construye la predccón. Todas las característcas anterores pueden aprovecharse e ncorporarse en un algortmo general para mplementar el polnomo de Newton (fgura 8.7). Observe que el algortmo consste de dos partes: la prmera determna los coefcentes a partr de la ecuacón (8.7); la segunda establece las predccones y sus errores correspondentes. La utldad de dcho algortmo se demuestra en el sguente ejemplo. FIGURA 8.7 Un algortmo para el polnomo de nterpolacón de Newton escrto en seudocódgo. SUBROUTINE NewtInt (x, y, n, x, ynt, ea) LOCAL fdd n,n DOFOR =, n fdd, = y END DO DOFOR j =, n DOFOR =, n j fdd,j = (fdd +,j fdd,j )/(x +j x ) END DO END DO xterm = ynt = fdd, DOFOR order =, n xterm = xterm * (x x order ) ynt = ynt order + fdd,order * xterm Ea order = ynt ynt order ynt order = ynt END order END NewtInt Chapra-8.ndd 53 6//6 3:57:5

12 54 INTERPOLACIÓN EJEMPLO 8.5 Estmacones del error para determnar el grado de nterpolacón adecuado Planteamento del problema. Después de ncorporar el error [ecuacón (8.8)], utlce el algortmo computaconal que se muestra en la fgura 8.7 y la nformacón sguente para evaluar f(x) = ln x en x = : x ƒ(x) = ln x Solucón. Los resultados de emplear el algortmo de la fgura 8.7 para obtener una solucón se muestran en la fgura 8.8. El error estmado, junto con el error verdadero (basándose en el hecho de que ln =.69347), se lustran en la fgura 8.9. Observe que el error estmado y el error verdadero son smlares y que su concordanca mejora conforme aumenta el grado. A partr de estos resultados se concluye que la versón de qunto grado da una buena estmacón y que los térmnos de grado superor no mejoran sgnfcatvamente la predccón. NUMERO DE PUNTOS? 8 X( ), y( ) =?, X( ), y( ) =? 4, X( ), y( ) =? 6, X( 3 ), y( 3 ) =? 5, X( 4 ), y( 4 ) =? 3,.9863 X( 5 ), y( 5 ) =?.5, X( 6 ), y( 6 ) =?.5, X( 7 ), y( 7 ) =? 3.5,.5763 INTERPOLACION EN X = GRADO F(X) ERROR FIGURA 8.8 Resultados de un programa, basado en el algortmo de la f gura 8.7, para evaluar ln. Chapra-8.ndd 54 6//6 3:57:5

13 8. INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDAS 55 Este ejercco tambén lustra la mportanca de la poscón y el orden de los puntos. Por ejemplo, hasta la estmacón de tercer grado, la mejoría es lenta debdo a que los puntos que se agregaron (en x = 4, 6 y 5) están dstantes y a un lado del punto de análss en x =. La estmacón de cuarto grado muestra una mejoría un poco mayor, ya que el nuevo punto en x = 3 está más cerca de la ncógnta. Aunque, la dsmnucón más dramátca en el error corresponde a la nclusón del térmno de qunto grado usando el dato en x =.5. Dcho punto está cerca de la ncógnta y tambén se halla al lado opuesto de la mayoría de los otros puntos. En consecuenca, el error se reduce a cas un orden de magntud. La mportanca de la poscón y el orden de los datos tambén se demuestra al usar los msmos datos para obtener una estmacón para ln, pero consderando los puntos en un orden dferente. La fgura 8.9 muestra los resultados en el caso de nvertr el orden de los datos orgnales; es decr, x = 3.5, x =.5, x 3 =.5, y así sucesvamente. Como los puntos ncales en este caso se hallan más cercanos y espacados a ambos lados de ln, el error dsmnuye mucho más rápdamente que en la stuacón orgnal. En el térmno de segundo grado, el error se redujo a menos de e t = %. Se podrían emplear otras combnacones para obtener dferentes velocdades de convergenca. FIGURA 8.9 Errores relatvos porcentuales para la predccón de ln como funcón del orden del polnomo de nterpolacón. Error.5 Error verdadero (orgnal) Error estmado (orgnal) 5 Grado Error estmado (nvertdo).5 Chapra-8.ndd 55 6//6 3:57:5

14 56 INTERPOLACIÓN El ejemplo anteror lustra la mportanca de la seleccón de los puntos. Como es ntutvamente lógco, los puntos deberían estar centrados alrededor, y tan cerca como sea posble, de las ncógntas. Esta observacón tambén se sustenta por un análss drecto de la ecuacón para estmar el error [ecuacón (8.7)]. S suponemos que la dferenca dvdda fnta no varía mucho a través de los datos, el error es proporconal al producto: (x x )(x x ) (x x n ). Obvamente, cuanto más cercanos a x estén los puntos, menor será la magntud de este producto. 8. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE El polnomo de nterpolacón de Lagrange es smplemente una reformulacón del polnomo de Newton que evta el cálculo de las dferencas dvddas, y se representa de manera concsa como n ƒ ( x) = L ( x) ƒ( x ) n = (8.) donde n x xj L ( x) = Π (8.) x x j= j j donde Π desgna el producto de. Por ejemplo, la versón lneal (n = ) es x x x x ƒ ( x) = ƒ ( x ) + ƒ( x ) (8.) x x x x y la versón de segundo grado es ( x x)( x x) ( x x)( x x) ƒ ( x) = ƒ ( x ) + ƒ( x) ( x x)( x x) ( x x)( x x) ( x x)( x x) + ƒ( x ) ( x x )( x x ) (8.3) La ecuacón (8.) se obtene de manera drecta del polnomo de Newton (cuadro 8.). Sn embargo, el razonamento detrás de la formulacón de Lagrange se comprende drectamente al darse cuenta de que cada térmno L (x) será en x = x y en todos los otros puntos (fgura 8.). De esta forma, cada producto L (x) f(x ) toma el valor de f(x ) en el punto x. En consecuenca, la sumatora de todos los productos en la ecuacón (8.) es el únco polnomo de n-ésmo grado que pasa exactamente a través de todos los n + puntos, que se tenen como datos. Chapra-8.ndd 56 6//6 3:57:5

15 8. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 57 EJEMPLO 8.6 Polnomos de nterpolacón de Lagrange Planteamento del problema. Con un polnomo de nterpolacón de Lagrange de prmero y segundo grado evalúe ln basándose en los datos del ejemplo 8.: x = f(x ) = x = 4 f(x ) = x = 6 f(x ) =.7976 Solucón. El polnomo de prmer grado [ecuacón (8.)] se utlza para obtener la estmacón en x =, ƒ ( = + ) 4 = De manera smlar, el polnomo de segundo grado se desarrolla así: [ecuacón (8.3)] ƒ ( 4)( 6) = ( )( 6) ( ) ( )( ) ( 4 )( 4 6) ( )( 4) = ( 6 )( 6 4).. Como se esperaba, ambos resultados concuerdan con los que se obtuveron antes al usar el polnomo de nterpolacón de Newton. Cuadro 8. Obtencón del polnomo de Lagrange drectamente a partr del polnomo de nterpolacón de Newton El polnomo de nterpolacón de Lagrange se obtene de manera drecta a partr de la formulacón del polnomo de Newton. Haremos esto úncamente en el caso del polnomo de prmer grado [ecuacón (8.)]. Para obtener la forma de Lagrange, reformulamos las dferencas dvddas. Por ejemplo, la prmera dferenca dvdda, f( x) f( x) f[ x, x] = (B8..) x x se reformula como f( x) f( x ) ƒ [ x, x] = + x x x x (B8..) conocda como la forma smétrca. Al susttur la ecuacón (B8..) en la (8.) se obtene x x f x f x x x f x x x x x f x ( ) = ( ) + ( ) + ( ) Por últmo, al agrupar térmnos semejantes y smplfcar se obtene la forma del polnomo de Lagrange, x x f x x x f x x x x x f x ( ) = ( ) + ( ) Chapra-8.ndd 57 6//6 3:57:5

16 58 INTERPOLACIÓN 5 Tercer térmno 5 Sumatora de los tres térmnos = f (x) Prmer térmno Segundo térmno 5 FIGURA 8. Descrpcón vsual del razonamento detrás del polnomo de Lagrange. Esta f gura muestra un caso de segundo grado. Cada uno de los tres térmnos en la ecuacón (8.3) pasa a través de uno de los puntos que se tenen como datos y es cero en los otros dos. La suma de los tres térmnos, por lo tanto, debe ser el únco polnomo de segundo grado f (x) que pasa exactamente a través de los tres puntos. FIGURA 8. Seudocódgo para la nterpolacón de Lagrange. Este algortmo se establece para calcular una sola predccón de grado n-ésmo, donde n + es el número de datos. FUNCTION Lagrng(x, y, n, x) sum = DOFOR =, n product = y DOFOR j =, n IF j THEN product = product*(x x j )/(x x j ) ENDIF END DO sum = sum + product END DO Lagrng = sum END Lagrng Chapra-8.ndd 58 6//6 3:57:5

17 8. POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE 59 Observe que, como en el método de Newton, la forma de Lagrange tene un error estmado de [ecuacón (8.7)] R =ƒ[ x, x, x,, x ] ( x x ) n n n n Π = De este modo, s se tene un punto adconal en x = x n+, se puede obtener un error estmado. Sn embargo, como no se emplean las dferencas dvddas fntas como parte del algortmo de Lagrange, esto se hace rara vez. Las ecuacones (8.) y (8.) se programan de manera muy smple para mplementarse en una computadora. La fgura 8. muestra el seudocódgo que srve para tal propósto. En resumen, en los casos donde se desconoce el grado del polnomo, el método de Newton tene ventajas debdo a la comprensón que proporcona respecto al comportamento de las fórmulas de dferente grado. Además, el estmado del error representado por la ecuacón (8.8) se agrega usualmente en el cálculo del polnomo de Newton debdo a que el estmado emplea una dferenca fnta (ejemplo 8.5). De esta manera, para cálculos exploratoros, a menudo se prefere el método de Newton. Cuando se va a ejecutar sólo una nterpolacón, las formulacones de Lagrange y de Newton requeren un trabajo computaconal semejante. No obstante, la versón de Lagrange es un poco más fácl de programar. Debdo a que no requere del cálculo n del almacenaje de dferencas dvddas, la forma de Lagrange a menudo se utlza cuando el grado del polnomo se conoce a pror. EJEMPLO 8.7 Interpolacón de Lagrange empleando la computadora Planteamento del problema. Es posble usar el algortmo de la fgura 8. para estudar un problema de análss de tendenca que se relacona con nuestro conocdo caso de la caída del paracadsta. Suponga que se tene un nstrumento para medr la velocdad del paracadsta. Los datos obtendos en una prueba partcular son Tempo, Velocdad medda v, s cm/s Nuestro problema consste en estmar la velocdad del paracadsta en t = s para tener las medcones faltantes entre t = 7 y t = 3 s. Estamos conscentes de que el comportamento de los polnomos de nterpolacón tal vez resulte nesperado. Por lo tanto, construremos polnomos de grados 4, 3, y, y compararemos los resultados. Solucón. El algortmo de Lagrange se utlza para construr polnomos de nterpolacón de cuarto, tercer, segundo y prmer grado. Chapra-8.ndd 59 6//6 3:57:5

18 5 INTERPOLACIÓN 6 a) 6 b) v, cm/s c) 6 d) v, cm/s t(s) 5 5 t(s) 5 FIGURA 8. Gráf cas que muestran nterpolacones de a) cuarto grado, b) tercer grado, c) segundo grado y d) prmer grado. El polnomo de cuarto grado y los datos de entrada se grafcan como se muestra en la fgura 8.a. Es evdente, al observar la gráfca, que el valor estmado de y en x = es mayor que la tendenca global de los datos. Las fguras 8.b a 8.d muestran las gráfcas de los resultados de los cálculos con las nterpolacones de los polnomos de tercer, segundo y prmer grado, respectvamente. Se observa que cuanto más bajo sea el grado, menor será el valor estmado de la velocdad en t = s. Las gráfcas de los polnomos de nterpolacón ndcan que los polnomos de grado superor tenden a sobrepasar la tendenca de los datos, lo cual sugere que las versones de prmer o segundo grado son las más adecuadas para este análss de tendenca en partcular. No obstante, debe recordarse que debdo a que tratamos con datos ncertos, la regresón, de hecho, será la más adecuada. El ejemplo anteror lustró que los polnomos de grado superor tenden a estar mal condconados; es decr, tenden a ser altamente susceptbles a los errores de redondeo. El msmo problema se presenta en la regresón con polnomos de grado superor. La artmétca de doble precsón ayuda algunas veces a dsmnur el problema. Sn embargo, conforme el grado aumente, habrá un punto donde el error de redondeo nterferrá con la habldad para nterpolar usando los procedmentos smples estudados hasta ahora. 8.3 COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN Aunque el polnomo de Newton y el de Lagrange son adecuados para determnar valores ntermedos entre puntos, no ofrecen un polnomo adecuado de la forma convenconal f(x) = a + a x + a x + + a n x n (8.4) Chapra-8.ndd 5 6//6 3:57:5

19 8.4 INTERPOLACIÓN INVERSA 5 Un método drecto para calcular los coefcentes de este polnomo se basa en el hecho de que se requeren n + puntos para determnar los n + coefcentes. Así, se utlza un sstema de ecuacones algebracas lneales smultáneas para calcular las a. Por ejemplo, suponga que usted desea calcular los coefcentes de la parábola f(x) = a + a x + a x (8.5) Se requere de tres puntos: [x, f(x )], [x, f(x )] y [x, f(x )]. Cada uno se susttuye en la ecuacón (8.5): f(x ) = a + a x + a x f(x ) = a + a x + a x (8.6) f(x ) = a + a x + a x De esta manera, las x son los puntos conocdos, y las a las ncógntas. Como hay el msmo número de ecuacones que de ncógntas, la ecuacón (8.6) se podría resolver con uno de los métodos de elmnacón de la parte tres. Debe observarse que el procedmento anteror no es el método de nterpolacón más efcente para determnar los coefcentes de un polnomo. Press et al. (99) ofrecen un análss y códgos para computadora de los procedmentos más efcentes. Cualquera que sea la técnca empleada, se debe hacer una advertenca. Sstemas como los de la ecuacón (8.6) están notoramente mal condconados. Ya sea que se resuelvan con un método de elmnacón o con un algortmo más efcente, los coefcentes resultantes pueden ser bastante nexactos, en partcular para n grandes. S se usan para una nterpolacón subsecuente, a menudo dan resultados erróneos. En resumen, s usted se nteresa en determnar un punto ntermedo, emplee la nterpolacón de Newton o de Lagrange. S tene que determnar una ecuacón de la forma de la (8.4), lmítese a polnomos de grado menor y verfque cudadosamente sus resultados. 8.4 INTERPOLACIÓN INVERSA Como la nomenclatura mplca, los valores de f(x) y x en la mayoría de los problemas de nterpolacón son las varables dependente e ndependente, respectvamente. En consecuenca, los valores de las x con frecuenca están espacados unformemente. Un ejemplo smple es una tabla de valores obtenda para la funcón f(x) = /x, x ƒ(x) Ahora suponga que usted debe usar los msmos datos, pero que se le ha dado un valor de f(x) y debe determnar el valor correspondente de x. Por ejemplo, para los datos anterores, suponga que se le pde determnar el valor de x que corresponda a f(x) =.3. En tal caso, como se tene la funcón y es fácl de manpular, la respuesta correcta se determna drectamente, x = /.3 = A ese problema se le conoce como nterpolacón nversa. En un caso más complcado, usted puede sentrse tentado a ntercambar los valores f(x) y x [es decr, tan sólo Chapra-8.ndd 5 6//6 3:57:5

20 5 INTERPOLACIÓN grafcar x contra f(x)] y usar un procedmento como la nterpolacón de Lagrange para determnar el resultado. Por desgraca, cuando usted nverte las varables no hay garantía de que los valores junto con la nueva abscsa [las f(x)] estén espacados de una manera unforme. Es más, en muchos casos, los valores estarán condensados. Es decr, tendrán la aparenca de una escala logarítmca, con algunos puntos adyacentes muy amontonados y otros muy dspersos. Por ejemplo, para f(x) = /x el resultado es f (x) x Tal espacamento no unforme en las abscsas a menudo lleva a osclacones en el resultado del polnomo de nterpolacón. Esto puede ocurrr aun para polnomos de grado nferor. Una estratega alterna es ajustar un polnomo de nterpolacón de orden n-ésmo, f n (x), a los datos orgnales [es decr, con f(x) contra x]. En la mayoría de los casos, como las x están espacadas de manera unforme, este polnomo no estará mal condconado. La respuesta a su problema, entonces, consste en encontrar el valor de x que haga este polnomo gual al dado por f(x). Así, el problema de nterpolacón se reduce a un problema de raíces! Por ejemplo, para el problema antes descrto, un procedmento smple sería ajustar los tres puntos a un polnomo cuadrátco: (,.5), (3,.3333) y (4,.5), cuyo resultado será f (x) = x x La respuesta al problema de nterpolacón nversa para determnar la x correspondente a f(x) =.3 será equvalente a la determnacón de las raíces de.3 = x x En este caso smple, la fórmula cuadrátca se utlza para calcular. 375 ± (. 375) 4(. 4667) x = (. 4667) = Así, la segunda raíz, 3.96, es una buena aproxmacón al valor verdadero: S se desea una exacttud adconal, entonces podría emplear un polnomo de tercer o cuarto grado junto con uno de los métodos para la localzacón de raíces analzado en la parte dos. 8.5 COMENTARIOS ADICIONALES Antes de proceder con la sguente seccón, se deben menconar dos temas adconales: la nterpolacón y extrapolacón con datos gualmente espacados. Como ambos polnomos, el de Newton y el de Lagrange, son compatbles con datos espacados en forma arbtrara, usted se preguntará por qué nos ocupamos del caso especal de datos gualmente espacados (cuadro 8.). Antes de la llegada de las Chapra-8.ndd 5 6//6 3:57:5

21 8.5 COMENTARIOS ADICIONALES 53 computadoras dgtales, dchas técncas tenían gran utldad para nterpolacón a partr de tablas con datos gualmente espacados. De hecho, se desarrolló una estructura computaconal, conocda como tabla de dferencas dvddas, para facltar la mplementacón de dchas técncas. (La fgura 8.5 es un ejemplo de esa tabla.) Sn embargo, como las fórmulas dadas son subconjuntos de los esquemas de Newton y Lagrange compatbles con una computadora y debdo a las muchas funcones tabulares exstentes, como subrutnas de bblotecas, ha dsmnudo la necesdad de tener versones para datos gualmente espacados. A pesar de ello, las hemos ncludo en este tema por su relevanca en las últmas partes de este lbro. En especal, son necesaras para obtener fórmulas de ntegracón numérca que por lo común utlzan datos gualmente espacados (capítulo ). Como las fórmulas de ntegracón numérca son mportantes en la solucón de ecuacones dferencales ordnaras, el análss del cuadro 8. adquere tambén sgnfcado para la parte sete. Extrapolacón es el proceso de estmar un valor de f(x) que se encuentra fuera del domno de los valores conocdos, x, x,..., x n (fgura 8.3). En una seccón anteror, menconamos que la nterpolacón más exacta se obtene cuando las ncógntas están cerca de los puntos. En efecto, éste no es el caso cuando la ncógnta se encuentra fuera del ntervalo y, en consecuenca, el error en la extrapolacón puede ser muy grande. Como se lustra en la fgura 8.3, la naturaleza de la extrapolacón de extremos abertos representa un paso a lo desconocdo, ya que el proceso extende la curva más allá de la regón conocda. Como tal, la curva real podrá fáclmente dverger de la predccón. Por lo tanto, se debe tener mucho cudado cuando aparezca un problema donde se deba extrapolar. FIGURA 8.3 Ilustracón de la posble dvergenca de una predccón extrapolada. La extrapolacón se basa en ajustar una parábola con los prmeros tres puntos conocdos. f (x) Interpolacón Extrapolacón Curva real Extrapolacón del polnomo de nterpolacón x x x x Chapra-8.ndd 53 6//6 3:57:53

22 54 INTERPOLACIÓN Cuadro 8. Interpolacón con datos gualmente espacados S los datos están gualmente espacados y en orden ascendente, entonces la varable ndependente tene los valores de x = x + h x = x + h x n = x + nh donde el resduo es el msmo que en la ecuacón (8.6). Esta ecuacón se conoce como fórmula de Newton o la fórmula haca adelante de Newton-Gregory, que se puede smplfcar más al defnr una nueva cantdad, a: α = x x h Esta defncón se utlza para desarrollar las sguentes expresones smplfcadas de los térmnos en la ecuacón (C8..3): donde h es el ntervalo, o tamaño de paso, entre los datos. Basándose en esto, las dferencas dvddas fntas se pueden expresar en forma concsa. Por ejemplo, la segunda dferenca dvdda haca adelante es ƒ [ x, x, x ] = que se expresa como ƒ( x ) ƒ( ) ƒ ( ) ƒ x x ( x) x x x x x x ƒ = ƒ ( x ) [,, ] ƒ ( ) +ƒ x ( x) x x x h (C8..) ya que x x = x x = (x x )/ = h. Ahora recuerde que la segunda dferenca haca adelante es gual a [numerador de la ecuacón (4.4)] f(x ) = f(x ) f(x ) + f(x ) Por lo tanto, la ecuacón (B8..) se representa como x x = ah x x h = ah h = h(a ) x x (n )h = ah (n )h = h(a n + ) que se susttuye en la ecuacón (C8..3) para tener donde ƒ( x ) ƒ n ( x) = ƒ ( x) + ƒ ( x) α + α( α )! n ƒ( x ) + + αα ( ) ( α n+ ) + R n! R n n = ƒ ( + ) ( ξ) h ( n + )! n+ αα ( )( α ) ( α n) n (C8..4) ƒ( x ) ƒ [ x, x, x] =! h o, en general n ƒ( x) ƒ [ x, x,, xn] = n nh! (C8..) Usando la ecuacón (C8..), en el caso de datos gualmente espacados, expresamos el polnomo de nterpolacón de Newton [ecuacón (8.5)] como En el capítulo esta notacón concsa tendrá utldad en la deduccón y análss del error de las fórmulas de ntegracón. Además de la fórmula haca adelante, tambén exsten las fórmu las haca atrás y central de Newton-Gregory. Para más nformacón respecto de la nterpolacón para datos gualmente espacados véase Carnahan, Luther y Wlkes (969). ƒ = ƒ + ƒ ( x ) n( x) ( x ) ( x x ) h ƒ( x ) + ( x x )( x x h)! h n ƒ( x ) + + ( x x )( x x h) n nh! [ x x ( n ) h] + R (C8..3) n Chapra-8.ndd 54 6//6 3:57:53

23 8.6 INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) En la seccón anteror, se usaron polnomos de n-ésmo grado para nterpolar entre n + puntos que se tenían como datos. Por ejemplo, para ocho puntos se puede obtener un perfecto polnomo de séptmo grado. Esta curva podría agrupar todas las curvas (al menos hasta, e ncluso, la séptma dervada) sugerdas por los puntos. No obstante, hay casos donde estas funcones llevarían a resultados erróneos a causa de los errores de redondeo y los puntos lejanos. Un procedmento alternatvo consste en colocar polnomos de grado nferor en subconjuntos de los datos. Tales polnomos conectores se denomnan trazadores o splnes. Por ejemplo, las curvas de tercer grado empleadas para unr cada par de datos se llaman trazadores cúbcos. Esas funcones se pueden construr de tal forma que las conexones entre ecuacones cúbcas adyacentes resulten vsualmente suaves. Podría parecer que la aproxmacón de tercer grado de los trazadores sería nferor a la expresón de séptmo grado. Usted se preguntaría por qué un trazador aún resulta preferble. La fgura 8.4 lustra una stuacón donde un trazador se comporta mejor que un polnomo de grado superor. Éste es el caso donde una funcón en general es suave, pero presenta un cambo abrupto en algún lugar de la regón de nterés. El tamaño de paso representado en la fgura 8.4 es un ejemplo extremo de tal cambo y srve para lustrar esta dea. La fgura 8.4a a c lustra cómo un polnomo de grado superor tende a formar una curva de osclacones bruscas en la vecndad de un cambo súbto. En contraste, el trazador tambén une los puntos; pero como está lmtado a cambos de tercer grado, las osclacones son mínmas. De esta manera, el trazador usualmente proporcona una mejor aproxmacón al comportamento de las funcones que tenen cambos locales y abruptos. El concepto de trazador se orgnó en la técnca de dbujo que usa una cnta delgada y flexble (llamada splne, en nglés), para dbujar curvas suaves a través de un conjunto de puntos. El proceso se representa en la fgura 8.5 para una sere de cnco alfleres (datos). En esta técnca, el dbujante coloca un papel sobre una mesa de madera y coloca alfleres o clavos en el papel (y la mesa) en la ubcacón de los datos. Una curva cúbca suave resulta al entrelazar la cnta entre los alfleres. De aquí que se haya adoptado el nombre de trazador cúbco (en nglés: cubc splne ) para los polnomos de este tpo. En esta seccón, se usarán prmero funcones lneales smples para presentar algunos conceptos y problemas báscos relaconados con la nterpolacón medante splnes. A contnuacón obtendremos un algortmo para el ajuste de trazadores cuadrátcos a los datos. Por últmo, presentamos materal sobre el trazador cúbco, que es la versón más común y útl en la práctca de la ngenería Trazadores lneales La unón más smple entre dos puntos es una línea recta. Los trazadores de prmer grado para un grupo de datos ordenados pueden defnrse como un conjunto de funcones lneales, Chapra-8.ndd 55 6//6 3:57:53

24 56 INTERPOLACIÓN f(x) = f(x ) + m (x x ) x < x < x f(x) = f(x ) + m (x x ) x < x < x f(x) = f(x n ) + m n (x x n ) x n < x < x n FIGURA 8.4 Una representacón vsual de una stuacón en la que los trazadores son mejores que los polnomos de nterpolacón de grado superor. La funcón que se ajusta presenta un ncremento súbto en x =. Los ncsos a) a c) ndcan que el cambo abrupto nduce osclacones en los polnomos de nterpolacón. En contraste, como se lmtan a curvas de tercer grado con transcones suaves, un trazador lneal d) ofrece una aproxmacón mucho más aceptable. f (x) a) x f (x) b) x f (x) c) x f (x) d) x Chapra-8.ndd 56 6//6 3:57:54

25 8.6 INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) 57 FIGURA 8. 5 La técnca de dbujo que usa una cnta delgada y fl exble para dbujar curvas suaves a través de una sere de puntos. Observe cómo en los puntos extremos, el trazador tende a volverse recto. Esto se conoce como un trazador natural. donde m es la pendente de la línea recta que une los puntos: m x x = ƒ ( ƒ + ) ( ) x x + (8.7) Estas ecuacones se pueden usar para evaluar la funcón en cualquer punto entre x y x n localzando prmero el ntervalo dentro del cual está el punto. Después se usa la ecuacón adecuada para determnar el valor de la funcón dentro del ntervalo. El método es obvamente déntco al de la nterpolacón lneal. EJEMPLO 8.8 Trazadores de prmer grado Planteamento del problema. Ajuste los datos de la tabla 8. con trazadores de prmer grado. Evalúe la funcón en x = 5. Solucón. Se utlzan los datos para determnar las pendentes entre los puntos. Por ejemplo, en el ntervalo de x = 4.5 a x = 7 la pendente se calcula con la ecuacón (8.7): 5. m = = Se calculan las pendentes en los otros ntervalos y los trazadores de prmer grado obtendos se grafcan en la fgura 8.6a. El valor en x = 5 es.3. Chapra-8.ndd 57 6//6 3:57:54

26 58 INTERPOLACIÓN TABLA 8. Datos para ajustarse con trazadores. x f (x) Una nspeccón vsual a la fgura 8.6a ndca que la prncpal desventaja de los trazadores de prmer grado es que no son suaves. En esenca, en los puntos donde se encuentran dos trazadores (llamado nodo), la pendente camba de forma abrupta. Formalmente, la prmer dervada de la funcón es dscontnua en esos puntos. Esta defcenca se resuelve usando trazadores polnomales de grado superor, que aseguren suavdad en los nodos al gualar las dervadas en esos puntos, como se analza en la sguente seccón Trazadores (splnes) cuadrátcos Para asegurar que las dervadas m-ésmas sean contnuas en los nodos, se debe emplear un trazador de un grado de, al menos, m +. En la práctca se usan con más frecuenca polnomos de tercer grado o trazadores cúbcos que aseguran prmera y segunda dervadas contnuas. Aunque las dervadas de tercer orden y mayores podrían ser dscontnuas cuando se usan trazadores cúbcos, por lo común no pueden detectarse en forma vsual y, en consecuenca, se gnoran. Debdo a que la deduccón de trazadores cúbcos es algo complcada, la hemos ncludo en una seccón subsecuente. Decdmos lustrar prmero el concepto de nterpolacón medante trazadores usando polnomos de segundo grado. Esos trazadores cuadrátcos tenen prmeras dervadas contnuas en los nodos. Aunque los trazadores cuadrátcos no aseguran segundas dervadas guales en los nodos, srven muy ben para demostrar el procedmento general en el desarrollo de trazadores de grado superor. El objetvo de los trazadores cuadrátcos es obtener un polnomo de segundo grado para cada ntervalo entre los datos. De manera general, el polnomo en cada ntervalo se representa como f (x) = a x + b x + c (8.8) La fgura 8.7 servrá para aclarar la notacón. Para n + datos ( =,,,..., n) exsten n ntervalos y, en consecuenca, 3n constantes desconocdas (las a, b y c) por evaluar. Por lo tanto, se requeren 3n ecuacones o condcones para evaluar las ncógntas. Éstas son:. Los valores de la funcón de polnomos adyacentes deben ser guales en los nodos nterores. Esta condcón se representa como Chapra-8.ndd 58 6//6 3:57:54

27 8.6 INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) 59 f (x) Trazador de prmer orden 4 6 a) 8 x f (x) Trazador de segundo orden f (x) Trazador cúbco b) Interpolacón cúbca x c) x FIGURA 8.6 Ajuste medante trazadores de un conjunto de cuatro puntos. a) Trazador lneal, b) Trazador cuadrátco y c) trazador cúbco; se graf ca tambén un polnomo de nterpolacón cúbco. a x + b x + c = f(x ) (8.9) a x + b x + c = f(x ) (8.3) para = a n. Como sólo se emplean nodos nterores, las ecuacones (8.9) y (8.3) proporconan, cada una, n condcones; en total, n condcones.. La prmera y la últma funcón deben pasar a través de los puntos extremos. Esto agrega dos ecuacones más: a x + b x + c = f(x ) (8.3) a n x n + b n x n + c n = f(x n ) (8.3) en total tenemos n + = n condcones. Chapra-8.ndd 59 6//6 3:57:54

28 53 INTERPOLACIÓN f (x) a x + b x + c a x + b x + c a 3 x + b 3 x + c 3 f (x 3 ) f (x ) f (x ) f (x ) Intervalo Intervalo Intervalo 3 x x x x 3 = = = =3 x FIGURA 8.7 Notacón utlzada para obtener trazadores cuadrátcos. Observe que hay n ntervalos y n + datos. El ejemplo mostrado es para n = Las prmeras dervadas en los nodos nterores deben ser guales. La prmera dervada de la ecuacón 8.8 es ƒ (x) = ax + b Por lo tanto, de manera general la condcón se representa como a x + b = a x + b (8.33) para = a n. Esto proporcona otras n condcones, llegando a un total de n + n = 3n. Como se tenen 3n ncógntas, nos falta una condcón más. A menos que tengamos alguna nformacón adconal respecto de las funcones o sus dervadas, tenemos que realzar una eleccón arbtrara para calcular las constantes. Aunque hay varas opcones, elegmos la sguente: 4. Suponga que en el prmer punto la segunda dervada es cero. Como la segunda dervada de la ecuacón 8.8 es a, entonces esta condcón se puede expresar matemátcamente como a = (8.34) La nterpretacón vsual de esta condcón es que los dos prmeros puntos se unrán con una línea recta. EJEMPLO 8.9 Trazadores cuadrátcos Planteamento del problema. Ajuste trazadores cuadrátcos a los msmos datos que se utlzaron en el ejemplo 8.8 (tabla 8.). Con los resultados estme el valor en x = 5. Chapra-8.ndd 53 6//6 3:57:55

29 8.6 INTERPOLACIÓN MEDIANTE TRAZADORES (SPLINES) 53 Solucón. En este problema, se tenen cuatro datos y n = 3 ntervalos. Por lo tanto, 3(3) = 9 ncógntas que deben determnarse. Las ecuacones (8.9) y (8.3) dan (3) = 4 condcones:.5a + 4.5b + c =..5a + 4.5b + c =. 49a + 7b + c =.5 49a 3 + 7b 3 + c 3 =.5 Evaluando a la prmera y la últma funcón con los valores ncal y fnal, se agregan ecuacones más [ecuacón (.3)]: 9a + 3b + c =.5 y [ecuacón (8.3)] 8a 3 + 9b 3 + c 3 =.5 La contnudad de las dervadas crea adconalmente de 3 = condcones [ecuacón (8.33)]: 9a + b = 9a + b 4a + b = 4a 3 + b 3 Por últmo, la ecuacón (8.34) determna que a =. Como esta ecuacón especfca a de manera exacta, el problema se reduce a la solucón de ocho ecuacones smultáneas. Estas condcones se expresan en forma matrcal como 45. b c 49 7 a b 5. 3 = c a b3 4 4 c 3 Estas ecuacones se pueden resolver utlzando las técncas de la parte tres, con los resultados: a = b = c = 5.5 a =.64 b = 6.76 c = 8.46 a 3 =.6 b 3 = 4.6 c 3 = 9.3 que se susttuyen en las ecuacones cuadrátcas orgnales para obtener la sguente relacón para cada ntervalo: Chapra-8.ndd 53 6//6 3:57:55

30 53 INTERPOLACIÓN f (x) = x < x < 4.5 f (x) =.64x 6.76x < x < 7. f 3 (x) =.6x + 4.6x < x < 9. Cuando se usa f, la predccón para x = 5 es, f (5) =.64(5) 6.76(5) =.66 El ajuste total por trazadores se lustra en la fgura 8.6b. Observe que hay dos desventajas que se alejan del ajuste:. la línea recta que une los dos prmeros puntos y. el trazador para el últmo ntervalo parece osclar demasado. Los trazadores cúbcos de la sguente seccón no presentan estas desventajas y, en consecuenca, son mejores métodos para la nterpolacón medante trazadores Trazadores cúbcos El objetvo en los trazadores cúbcos es obtener un polnomo de tercer grado para cada ntervalo entre los nodos: f (x) = a x 3 + b x + c x + d (8.35) Así, para n + datos ( =,,,..., n), exsten n ntervalos y, en consecuenca, 4n ncógntas a evaluar. Como con los trazadores cuadrátcos, se requeren 4n condcones para evaluar las ncógntas. Éstas son:. Los valores de la funcón deben ser guales en los nodos nterores (n condcones).. La prmera y últma funcón deben pasar a través de los puntos extremos ( condcones). 3. Las prmeras dervadas en los nodos nterores deben ser guales (n condcones). 4. Las segundas dervadas en los nodos nterores deben ser guales (n condcones). 5. Las segundas dervadas en los nodos extremos son cero ( condcones). La nterpretacón vsual de la condcón 5 es que la funcón se vuelve una línea recta en los nodos extremos. La especfcacón de una condcón tal en los extremos nos lleva a lo que se denomna trazador natural. Se le da tal nombre debdo a que los trazadores para el dbujo naturalmente se comportan en esta forma (fgura 8.5). S el valor de la segunda dervada en los nodos extremos no es cero (es decr, exste alguna curvatura), es posble utlzar esta nformacón de manera alternatva para tener las dos condcones fnales. Los cnco tpos de condcones anterores proporconan el total de las 4n ecuacones requerdas para encontrar los 4n coefcentes. Mentras es posble desarrollar trazadores cúbcos de esta forma, presentaremos una técnca alternatva que requere la solucón de sólo n ecuacones. Aunque la obtencón de este método (cuadro 8.3) es un poco menos drecto que el de los trazadores cuadrátcos, la gananca en efcenca ben vale la pena. Chapra-8.ndd 53 6//6 3:57:55