Sistemas de Amortización de Deudas MATEMÁTICA FINANCIERA

Transcripción

1 Sstemas de Amortzacón de Deudas MATEMÁTICA FINANCIERA SISTEMA FRANCÉS Lus Alcalá UNSL Segundo Cuatrmeste 2016 Como hpótess ncal de trabajo suponemos que la tasa de nterés cobrada por el prestamsta (acreedor) es constante El sstema de cuota constante o francés es relatvamente smple, ya que las amortzacones son guales a lo largo de la vda del préstamo a 1 = a 2 = = a n = a (1) Los elementos que componen un típco préstamo francés son: 1 C 0 : el captal prestado o deuda 2 : la tasa de nterés cobrada por el prestamsta 3 a: la cuota de amortzacón 4 n: la cantdad de pagos que debe realzar el prestataro Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Para smplfcar la notacón, supondremos que la tasa aplcada y los períodos a los que son mpuestos cada uno de los captales son temporalmente compatbles Como en todo préstamo a nterés sobre saldos, el captal prestado debe ser fnanceramente equvalente al valor actual de la renta generada por la sucesón de térmnos amortzatvos La prmera relacón que tenemos es entonces 1 (1 + ) n C 0 = a, (2) de donde podemos despejar el valor de la cuota de amortzacón a = C 0 1 (1 + ) n (3) Es claro que s los térmnos de amortzatvos son constantes, la sucesón de cuotas de nterés es estrctamente decrecente I 1 > I 2 > > I n, y la sucesón de cuotas de amortzacón debe ser estrctamente crecente: A 1 < A 2 < < A n Sabemos que C k = C k 1 A k lo que nos da la sguente relacón recursva entre los captales pendentes de dos períodos consecutvos C k = C k 1 (1 + ) a (4) Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20

2 Escrbendo la recursón para los períodos k y k C k = C k 1 (1 + ) a C k 1 = C k 2 (1 + ) a y restando estas ecuacones obtenemos C k C }{{ k 1 = (C } k 1 C k 2 ) (1 + ) }{{} A k A k 1 de donde se deduce la sguente relacón recursva entre las cuotas de amortzacón en sstema francés A k = A k 1 (1 + ) para 1 < k n (5) La expresón anteror puede resolverse recursvamente, de modo que A k = A 1 (1 + ) k 1, k = 1,, n (6) Esto mplca que para calcular las cuotas de amortzacón, A 1,, A n, sólo necestamos calcular el valor de A 1 A 1 = C 0 C 1 = C 0 C 0 (1 + ) a = a C 0 (7) En partcular, usando (3) y (7), A 1 = de donde obtenemos C 0 1 (1 + ) n C 0 = (1 + ) n C 0 = A 1 C 0, (8) Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Para hallar el captal pendente C k, además de la fórmula recursva (4), podemos usar (relacones de Prestamos) 1 Método Retrospectvo: consderando el flujo de fondos hasta el momento k, de las ecuacones (3) y (6), se tene C k = C 0 A 1 A 1 (1 + ) A 1 (1 + ) k 1 = C 0 A (1 + ) + + (1 + ) k 1 = C 0 A 1 (1 + ) k 1 Método Retrospectvo (cont): Ahora, suttuyendo (8) en la últma expresón C 0 (1 + ) k C k = C 0 Por lo tanto, conclumos que (1 + ) k = C 0 C 0 C k = C 0 (1 + ) n (1 + ) k (9) Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20

3 2 Método Prospectvo: consderando el flujo de fondos desde el momento k en adelante, C k = A 1 (1 + ) k + A 1 (1 + ) k A 1 (1 + ) n 1 = A 1 (1 + ) k 1 + (1 + ) + + (1 + ) n 1 k (1 + ) n (1 + ) k = A 1 Volvendo a usar (8) para susttur A 1 en la ecuacón anteror (1 + ) n (1 + ) k C k = C 0 Lógcamente, las expresones obtendas para C k con ambos métodos concden, es decr (9) y (10) son guales (10) Para calcular el total amortzado M k, usamos (3) y (6): M k = A 1 + A 1 (1 + ) + + A 1 (1 + ) k 1 (1 + ) k (1 + ) k = A 1 = C 0 Para calcular la cuota de nterés, I k, basta usar (10) (1 + ) n (1 + ) k 1 I k = C k 1 = C 0 Fnalmente, el valor de la cuota de amortzacón en k es (1 + ) k 1 A k = C 0 (1 + n) (11) () (13) Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Sstema Francés Ejemplo (1) Ud acude a un banco y pde un préstamo de $25000 a devolver en 5 años, en cuotas mensuales, por el método francés La TNA (mensual) que le cobra el banco es del 22,5 % Prmero calcularemos el valor del termno amortzatvo, de acuerdo con (3) ,225 a = ( ) 5 = 697, Es decr, debe pagar $697,60 cada mes, a mes vencdo Para calcular el valor de una cuota de captal, prmero calculamos el valor de la prmera cuota de captal y luego usamos (6) Por ejemplo, para hallar el valor de la cuota de captal A 41, calculamos A 1 y luego A 41 A 1 = a C 0 = 697, ( A 41 = A 1 (1 + ) 40 = 228, , 225 O sea, la cuota de captal en el mes 41 es de $481, = 228, ) 0, = 481, Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20

4 Sstema Francés El msmo resultado se puede obtener de un sólo paso usando (13) (1 + ) k 1 A k = C 0 de donde A 41 = , 225 ( ) 40 ( ) 60 = 481, Sstema Francés Para calcular el valor de una cuota de nterés dada, por ejemplo la cuota I 37, usamos () ( ) 60 ( ) 36 0,225 I 37 = ( ) 60 = 250, Podemos calcular el captal pendente en cualquer momento usando (10) C 23 = ( ) ( ( El total amortzado hasta el período 23 es ) 23 ) 60 = 18494, M 23 = C 0 C 23 = 6505, Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20

5 Cuadro de Marcha o Amortzacón Los prestamos suelen ser nformados medante un cuadro de marcha o de amortzacón Los msmos generalmente de tantas flas como períodos tenga el préstamo (ncluyendo el momento ncal) Las columnas corresponden: al período k = 0, 1,, n; térmno amortzatvo a k ; cuota de nterés I k ; cuota de amortzacón A k, total amortzado M k, y captal pendente C k Los datos necesaros para llenar cualquer cuadro de marcha de un préstamo dado, son los msmos que se necestan para confecconar un préstamo: 1 C 0 : el captal prestado 2 : la tasa de nterés que se cobra 3 n: la cantdad de períodos que dura el préstamo Cuadro de Marcha o Amortzacón Ahora damos un esquema genérco para completar un cuadro de marcha, los números entre paréntess ndcan el orden que usan los autores para llenar el cuadro (obvamente, no es el únco orden posble) k a I k A k M k C k (1) C 0 1 (2) a (3) I 1 = C 0 (4) A 1 = a I 1 (5) M 1 = A 1 (6) C 1 = C 0 A 1 2 (2) a (7) I 2 = C 1 (8) A 2 = a I 2 (9) M 2 = M 1 + A 2 (10) C 2 = C 1 A 2 3 (2) a (11) I 3 = C 2 () A 3 = a I 3 (13) M 3 = M 2 + A 3 (14) C 3 = C 2 A 3 4 (2) a (15) I 4 = C 3 (16) A 4 = a I 4 (17) M 4 = M 3 + A 4 (18) C 4 = C 3 A 4 n (2) a I n 1 = C n 2 A n 1 = a I n 1 M n 1 = M n 2 + A n 1 C n 1 = C n 2 A n 1 n (2) a I n = C n 1 A n = a I n M n = M n 1 + A n = C 0 C n = C n 1 A n = 0 M n = C 0 C n = 0 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Cuadro de Marcha o Amortzacón Cuadro de Marcha o Amortzacón Algunas observacones 1 Una vez calculado el térmno amortzatvo, se llena toda la segunda columna 2 La columna de cuotas de nterés debe ser decrecente 3 La columna de cuotas de captal debe ser crecente (de forma geométrca con razón (1 + )) 4 La columna del total amortzado debe ser estrctamente crecente, comenzando en 0 (cero) y fnalzando en C 0 5 La columna del captal pendente debe ser estrctamente decrecente comenzando en C 0 y termnando en 0 (cero) 6 En general, s se redondea a dos cfras, las dos últmas condcones no se cumplen Se recomenda trabajar al menos con 5 (cnco) decmales Ejemplo (2) Confecconar un cuadro de marcha de un préstamo francés a 6 meses por un monto de $5000, a una TEM (mensual) del 1,2 % k a I k A k M k C k , , , , ,682 50, , , , ,682 40, , , , ,682 30, , , , ,682 20, , , , ,682 10, , Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20 Lus Alcalá (UNSL) SISTEMA FRANCÉS Mat Fnancera / 20