Transformación de Park o D-Q

Transcripción

1 Apénce B ransformacón e Park o D-Q B.. Expresón e la matrz e transformacón La transformacón e Park o D-Q conerte las componentes 'abc' el sstema trfásco a otro sstema e referenca 'q'. El objeto e la transformacón consste en conertr los alores trfáscos 'abc', arables senoalmente en el tempo, a alores constantes 'q', en régmen permanente. El ector con las componentes el nueo sstema e referenca [x r ] se obtene multplcano el ector e coorenaas trfáscas [x] por la matrz e transformacón [], según la expresón (B.. x xa x = x = x = x [ ] [ ] [ ] [ ] q r b x x c (B. La expresón e la matrz e transformacón [] se tene en (B.2. [ ] cos cos cos 2 sn sn 2 sn 2 = ( θ ( θ 2π ( θ + 2π ( θ ( θ π ( θ π (B.2 one θ (B. es el ángulo e la referenca rotata (ejes D-Q, er fgura B.. one t ( t θ = ω + θ (B. ω : eloca angular e la referenca D-Q (gual a la pulsacón el sstema trfásco el lao e alterna el conertor θ : ángulo ncal e la referenca D-Q

2 ransformacón e Park o D-Q Apénce B Cuano la eloca angular ω es constante, la transformacón se puee expresar según la expresón (B.4. cos cos cos 2 [ ] sn sn 2 sn 2 = t + t + t ( ω t + θ ( ω t + θ 2π ( ω t + θ 2π + ( ω θ ( ω θ π ( ω θ π (B.4 b q ω t θ ω θ a c Fgura B.. Sstemas e referenca trfásco y D-Q. B.2. Propeaes e la matrz e transformacón El térmno que multplca la matrz e transformacón en (B.2 y (B.4 puee tener un alor erso [6][224]. En las expresones (B.2 y (B.4, este térmno presenta el alor (2/. Con este alor, se consgue que la transformacón sea ortonormal, al erfcar la propea [] - = [], según (B = = [ ] [ ] [ ] [ ] = = = [ I] [ ] = [ ] (B.5 2

3 Apénce B ransformacón e Park o D-Q Las transformacones ortonormales se caracterzan por mantener narante el proucto escalar, er (B.6. [ x ] = [ ] [ x ] ; [ x ] = [ ] [ x ] r 2r 2 [ x r] [ x2r] = ([ ] [ x] ( [ ] [ x2] = [ x] [ ] [ ] [ x2] = [ x] [ x2] (B.6 Como consecuenca e la anteror propea, el alor e la potenca nstantánea se mantene narante, nepenentemente el omno one se calcule 'abc' ó 'q' (B.7. [ ] ; [ ] = = fr f fr f a p= a a + b b + c c = [ a b c] b f f = c ( [ ] [ ] ( f f f f fr fr p= = = (B.7 p= fr fr q = q = + q q + B.. Propeaes el sstema trfásco y componentes homopolares A partr e las expresones (B.2 y (B.4, las componentes a la enomnaa secuenca homopolar o cero se calculan como se muestra en (B.8. = ( a + b + c ; = ( a + b + c (B.8 Según las característcas el sstema trfásco y las expresones e (B.8, se pueen efectuar las sguentes euccones: S el sstema trfásco e tensones está equlbrao, la suma e tensones 'abc' es nula en too momento ( a + b + c = y la tensón homopolar ( es nula. S el neutro el sstema trfásco está aslao, la suma e correntes 'abc' es nula en too momento ( a + b + c = y la corrente homopolar ( es nula. S el sstema trfásco e tensones está equlbrao y la mpeanca e carga es la msma en toas las fases (carga equlbraa, las sumas e tensones y correntes 'abc' son nulas en too momento y las componentes a secuenca cero son nulas ( =, =.

4 ransformacón e Park o D-Q Apénce B Suele ser común que el sstema trfásco e tensones sea smétrco y equlbrao, y que la carga trfásca esté equlbraa. ambén es habtual encontrar aplcacones o cargas one el neutro está aslao. En estas concones, las componentes homopolares son nulas y la aplcacón e la transformacón e Park o D-Q reuce el número e arables el sstema, al pasar e tres arables trfáscas 'abc' a os arables 'q' (e alor constante en régmen permanente. B.4. Aplcacón genérca a un sstema en el espaco e estao Se consera el moelo e un sstema trfásco en el espaco e estao (B.9, que se esea transformar al omno 'q'. [ x ] = [ A ] [ x ] + [ B ] [ u ] (B.9 S se conseran las arables transformaas (B., se obtene la expresón en el espaco e estao (B. en el omno e Park o D-Q. [ x ] [ ] [ x] [ x] [ ] [ x ] ; [ u ] [ ] [ u] [ u] [ ] [ u ] = = = = (B. r r r r [ x r] = [ A r] [ x r] + [ B r] [ u r] (B. Se puee emostrar que las matrces transformaas [A r ] y [B r ] se expresan según (B.2. = = ω [ A ] [ ] [ A] [ ] [ ] [ ] [ ] [ A] [ ] r [ B ] = [ ] [ B] [ ] r (B.2 B.5. ransformacón el nersor NPC con fltro LC y carga R En el apartao.. se etalla el proceso e moelao el nersor NPC con fltro LC y carga R. Una ez realzaos los corresponentes pasos en la metoología e moelao, se obtene el moelo en el espaco e estao y omno trfásco (.2, que se transcrbe en este apartao (B.. 4

5 Apénce B ransformacón e Park o D-Q L a a L L b b L c L c = + a' N L a' N C RC b' N b' N C RC c' N c' N C RC a [ o] = ( ap an ( bp bn ( cp cn b C DC c ao bo co No No No (B. En la transformacón el moelo (B. al omno D-Q, se tratan los laos e alterna y e contnua por separao, para luego reunrlos en el moelo efnto. Se ha sto en el apartao.. que las ecuacones el moelo (B. que escrben el lao e alterna se extraen e la aplcacón e las leyes e Krchhoff (.9, que se transcrben en este apartao en las expresones (B.4 y (B.5. = L Y + Y = L Y + YN + No (B.4 = Y C YN YN + R (B.5 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Es necesaro recorar algunas expresones ya ncaas en el apartao... VSI ao = = = [ ] ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] [ ] VSIq bo r r VSI co Y a = = = [ ] ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] [ ] Yq b Yr Y Y Yr Y c YN a ' N = = = [ ] ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] [ ] YNq b ' N YNr YN YN YNr YN c ' N Y a ' o = = = [ ] ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] [ ] Yq b ' o Yr Y Y Yr Y c' o p n ap an = = = [ ] ; [ ] [ ] [ ] ; [ ] [ ] [ ] pq nq bp bn r r p n cp cn (B.6 (B.7 (B.8 (B.9 (B.2 5

6 ransformacón e Park o D-Q Apénce B VSI p n Y p p p VSIq pq nq [ r ] ; [ r ] = Yq = n n = n VSI p n Y (B.2 ambén es mportante realzar algunas obseracones sobre las componentes homopolares. De (B.6 y (B.7 se extrae: VSI = ( ao + bo + co (B.22 Y = ( a + b + c (B.2 S el neutro e la carga está aslao ( a + b + c =, la corrente homopolar es nula en too momento ( Y =. En estas concones, al aplcar (. sobre (B.22, se tene VSI = ( ao + bo + co = No (B.24 a ransformacón e la prmera ecuacón el lao e alterna. Se aplca la transformacón D-Q a la prmera ecuacón el lao e alterna (B.4. = L + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Y YN No (B.25 Aplcano las expresones (B.6-(B.8 y efectuano el proucto el últmo sumano el lao erecho e la guala e (B.25: = L ( + [ ] + [ ] [ ] [ ] [ ] r Yr YNr No (B.26 Desarrollano la eraa el proucto: = L + L + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] r Yr Yr YNr No (B.27 Se sabe que [] [] = [I] y aemás, e (B.2 se extrae que: = ω [ ] [ ] (B.28 6

7 Apénce B ransformacón e Park o D-Q En consecuenca: = L L [ ] ω [ ] [ ] [ ] r Yr Yr YNr No (B.29 Desarrollano (B.29: VSI Yq Y YN L ω L = VSIq Y Yq YNq No VSI Y YN (B. Analzano la componente homopolar mostraa en (B.: VSI = L Y + YN + No (B. El neutro está aslao, por tanto la corrente homopolar es nula en too momento y su eraa es nula tambén. eneno en cuenta aemás (B.24, resulta YN =, según (B.2. En consecuenca, puee suprmrse la ecuacón a secuenca homopolar. YN = L Y + No VSI = + No No = (B.2 Despejano las eraas temporales e (B. y elmnano la secuenca homopolar: Y Yq YN VSI = ω Yq + Y L YNq L VSIq (B. Aplcano (B.2 a las tensones VSI, VSIq : Y Yq YN p n p = ω Yq + Y L YNq L pq nq n (B.4 Fnalmente, susttuyeno p, n por o, pn, se tene la prmera ecuacón el lao e alterna en el omno D-Q. ( p + n ( p n ( ( Y Yq YN o = ω Yq + Y L YNq 2L pn p + n p n (B.5 7

8 ransformacón e Park o D-Q Apénce B b ransformacón e la seguna ecuacón el lao e alterna. Se aplca la transformacón D-Q a la seguna ecuacón el lao e alterna (B.5. Aplcano las expresones (B.7 y (B.8: = Y YN YN + R (B.6 [ ] [ ] C [ ] [ ] [ ] [ ] ( [ ] = Yr C YNr YNr + R (B.7 [ ] [ ] [ ] [ ] Desarrollano la eraa el proucto: = + + (B.8 R [ ] C [ ] [ ] [ ] C [ ] [ ] [ ] [ ] Yr YNr YNr YNr Puesto que [] [] = [I] y empleano (B.28, se extrae: [ ] = Cω [ ] + C [ ] + [ ] Yr YNr YNr YNr R (B.9 Se esarrolla (B.9 y se elmna la secuenca homopolar, ya que Y = y YN =, como se ha sto anterormente. Y YNq YN YN C C = ω Yq + + YN YNq R YNq (B.4 Despejano las eraas temporales, se tene la seguna ecuacón el lao e alterna en el omno D-Q. YN Y YNq YN = ω YNq C Yq YN RC YNq (B.4 c ransformacón e la ecuacón el lao e contnua. Se aplca la transformacón D-Q a la ecuacón el lao e contnua (B.. Esta ecuacón se euce e las expresones (.2 y (.7. La ecuacón (B.42 es la expresón (.2. o = ( p + n (B.42 C DC Se aplca la ecuacón (B.2 sobre las correntes p, n e (B.42. o = ( + + ( + + ( + C DC p n Y pq nq Yq p n Y (B.4 8

9 Apénce B ransformacón e Park o D-Q Elmnano la componente homopolar ( Y = : se tene la ecuacón el lao e contnua en el omno D-Q. o = ( + + ( + C DC p n Y pq nq Yq (B.44 ensones e la carga referas a 'o' y a 'N'. En (B.4 se nca la relacón entre las tensones e carga (a',b',c' referas a punto meo el bus e contnua 'o' [ Y ] y referas al neutro e la carga 'N' [ YN ]. = + [ ] [ ] Y YN No (B.45 Su transformacón al omno D-Q resulta, er (B.25 y (B.26: Y YN Yr = YNr + No Yq = YNq + Y YN No [ ] [ ] (B.46 eneno en cuenta, aemás, que YN = (B.2 y que VSI = No (B.24, se tene: Y Yq = = YN YNq = = ; = Y No VSI YN (B.47 La ecuacón (B.47 nca que las tensones e la carga referas al punto meo el bus e contnua 'o' o al neutro e la carga 'N' tenen la msmas componentes '' y 'q'. La componente cero e las tensones e la carga referas al neutro e la carga 'N' es nula. oa la tensón a secuenca cero está presente en la tensón entre 'o' y 'N' ( No. e Moelo completo en el espaco e estao y omno D-Q. Empleano la expresón (B.47, agrupano las ecuacones (B.5, (B.4 y (B.44, y ferencano entre arables e estao ( Y, Y, Yq, Yq y e entraa ( pn, se obtene el moelo completo el sstema en el espaco e estao y omno D-Q. 9

10 ransformacón e Park o D-Q Apénce B ( p + n ω L 2 L Y ω Y C RC Y Y ( pq + nq = ω + L 2 L Yq Yq ω o o C RC ( p + n ( pq + nq CDC C DC ( p n ( Yq Yq pq nq f Moelo e régmen permanente. pn 2 L (B.48 Anulano las eraas temporales en (B.48, se tene (B.49. Los alores e las arables en régmen permanente se ncan con mayúsculas. = V + Lω I + ( D + D + ( D D 2 2 = IY VY + Cω VYq R = Lω I + V + ( D + D + ( D D 2 2 = Cω VY + IYq VYq R Y Yq p n o p n pn Y Yq pq nq o pq nq pn ( ( = D + D I + D + D I p n Y pq nq Yq (B.49 S la estratega e conmutacón que se emplea es smétrca, concón que se erfca en general, las relacones e conuccón transformaas cumplen la expresón (B.5. D = D = D ; D = D = D ; D = D = D (B.5 p n q pq nq p n S se esea controlar la tensón e sala, se conocen los alores e consgna o referenca V Y, V Yq, aemás e la frecuenca e sala ω y la tensón el bus e contnua V pn. En estas concones, la qunta ecuacón e (B.49 resulta nula y las ecuacones e régmen permanente se reucen a cuatro (B.5, one D, D q son las relacones e conuccón que la estratega e conmutacón ebe generar para que la tensón e la carga sea la eseaa y I Y, I Yq son las correntes e sala el conertor. D 2 Lω 2 Lω V ( LCω V V ( LC ω + V = R ; D R q = V V Y Yq Yq Y pn I = V Cω V ; I = Cω V + V R R Y Y Yq Yq Y Yq pn (B.5 En la euccón e (B.5 se tene que la qunta ecuacón e (B.49 resulta nula. Este resultao no es nnguna ncongruenca, nca que la corrente el punto meo el bus e 2

11 Apénce B ransformacón e Park o D-Q contnua ebe ser nula (B.52. Cabe recorar que las arables se han promeao, por tanto es el alor promeao el que es nulo. ( ( ( ( ( ( = = + + o p n p n Y pq nq Yq I = D + D I D + D I o p n Y pq nq Yq I = D D I D D I = o Y q q Yq (B.52 g Moelo e pequeña señal. A partr el moelo e gran señal (B.48 se euce el moelo e pequeña señal susttuyeno caa arable e gran señal por la suma e su alor e régmen permanente y su perturbacón (B.5. x( t = X + x ( t (B.5 eneno en cuenta las ecuacones e régmen permanente y esprecano los térmnos e seguno oren y superores e las perturbacones, se extrae el moelo e pequeña señal. La prmera ecuacón e (B.48 quea: ( I ( ( Y + Y = V Y + Y + ω I Yq + Yq + L L 2L ( D ( ( ( ( ( p p Dn n Vo o Dp p Dn n Vpn pn (B.54 Desarrollano los térmnos: I Y + Y = VY Y + ω IYq + ω Yq + L L + D p Vo + p Vo + Dn Vo + n Vo + Dp o + p o + Dn o + n o 2 L + D V + V D V V + D + D 2 L p pn p pn n pn n pn p pn p pn n pn n pn (B.55 Elmnano la ecuacón e régmen permanente, los térmnos perturbaos e seguno oren y agrupano conenentemente, se obtene la prmera ecuacón el moelo e pequeña señal. ( Dp + Dn ( Vo + Vpn ( Vo Vpn ( Dp Dn = + ω L 2L 2L 2L 2L Y Y Yq o p n pn (B.56 Realzano el msmo proceso para caa una e las restantes ecuacones el moelo e gran señal, se extrae el moelo e pequeña señal el sstema (B.57 2

12 ransformacón e Park o D-Q Apénce B ( ( Dp + Dn ω L 2 L Y ω Y C RC Y Y ( Dpq + Dnq = Yq ω + Yq L 2 L Yq Yq ω o C RC o ( Dp + Dn ( Dpq + Dnq CDC CDC ( Vo + Vpn Vo V pn 2 L 2 L ( Dp D n p + ( V ( n o + Vpn Vo V pn pn + ( Dpq Dnq 2 L 2 L 2 L pq nq I I Y IY Yq I Yq CDC CDC CDC C DC (B.57 Esta msma operata se puee aplcar a cualquer otra ecuacón el conertor. Por ejemplo, los alores e pequeña señal e las arables o y No son: ( ( ( Dp + Dn ( Vo + Vpn ( Vo Vpn ( Dp Dn = D + D D + D I I I I (B.58 o p n Y pq nq Yq Y p Y n Yq pq Yq nq = No o p n pn (B.59 B.6. Valores e las tensones y correntes transformaas Se conseran las tensones smples e un sstema trfásco smétrco y equlbrao. ( t = 2V cos( ω t a RMS smple ( 2 cos( 2 b t = VRMS ω t π smple ( 2 cos( 2 c t = VRMS ω t+ π smple (B.6 Aplcano la transformacón D-Q a estas tensones, y alneano el eje '' con el fasor e tensón, se puee emostrar que resulta (B.6. = V ; = ; = (B.6 Y RMS Yq Y compuesta 22

13 Apénce B ransformacón e Park o D-Q Se obsera que el alor efcaz el fasor quea multplcao por un factor al realzar la transformacón. Esta euccón puee extrapolarse al resto e arables trfáscas transformaas. Obamente, s el eje '' e la referenca e Park no está alneao con el fasor e tensón, se ebe cumplr: V = + (B RMS Y Yq compuesta 2

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