Introducción al Control en Modo Deslizamiento

Transcripción

1 Introduccón al ontrol en Modo Deslzamento arles Jaén Fernández Unerstat Poltècnca de atalunya - Departament d ngnyera lectrònca./olom,1, Terrassa, spaña Tel.: Fax.: jaen@eel.upc.es esumen. n este trabajo se presenta una ntroduccón a la teoría del control en modo deslzamento. Se comprueba que este tpo de control puede dar buenos resultados en térmnos de robustez frente a perturbacones, mantenendo una buena respuesta dnámca. Tambén se ncluye el dseño de un controlador en modo deslzamento basado en arables promedadas. La aplcacón de este controlador en lazo cerrado a un conertdor buck ha mostrado un comportamento satsfactoro en cuanto a resultados de smulacón. I. INTODUIÓN A LOS. SISTMAS D STUTUA VAIABL Los sstemas de estructura arable (SV) son aquellos en los que su topología camba en el tempo de forma ntenconada y consecuentemente la accón de control es dscontnua y la planta es no lneal. Los nstantes de tempo en los cuales se produce el cambo de estructura están determnados por el estado actual del sstema. Los conertdores de potenca D-D conmutados en los que la accón de control (cclos de trabajo de transstores y dodos) es dscontnua pueden ser consderados dentro de la categoría de SV. La fgura 1 muestra las tres topologas báscas de conertdores conmutados D-D. n las todas ellas se ha substtudo el conjunto transstor dodo por un nterruptor de dos poscones controlado por la arable de control u y se ha supuesto conduccón contnua. Los conertdores anterores pueden ser descrtos según la expresón (1) en donde el ector de estado X está formado por la tensón en el condensador y L u= 1 u= 1 L u= L conertdor buck u= 1 u= onertdor Boost u= c) onertdor Buck-Boost u= 1 u= t ON T t OFF d) Intensdad a la bobna t X& = X& = A1 X B1 A X B para para u = 1 u = ; X = (1) Fg. 1 onertdores báscos D-D e ntensdad a la bobna

2 la ntensdad en la bobna La expresón (1) se puede compactar según () ( A A ) X ( B B )) u ( ) X& = A X B 1 1 l objeto fnal es sntetzar el alor de la arable de control u para que se cumplan las especfcacones del conertdor. III. L ONTOL N MODO DSLIZAMINTO Prncpos generales La asgnacón de arables de estado a un sstema no es únca. S en lugar de tomar la ntensdad en la bobna y la tensón en el condensador del conertdor se consdera el error de la tensón de salda y sus deradas sucesas se puede defnr el ector error de la tensón de salda V, tal como muestra la expresón (3) sendo ~ (error de tensón) gual a la dferenca entre la tensón de salda y la consgna deseada. V ~ ~ d ~ =.. d ~ ( 3 ) l sstema correspondente a la ecuacón () tambén puede expresarse en la forma matrcal mostrada en () donde es una matrz de dmensón nxn y D una matrz de dmensón nx1 V ~ & V ~ n = Du ( ) ejes son el error de salda y sus deradas sucesas. l prncpo del control en modo deslzamento es mponer medante la adecuada entrada de control que el sstema esté en el hperplano S=. uando esto se consgue la dnámca del sstema ene dctada por (5). Al oblgar a los estados del sstema que satsfagan S =, se debe de asegurar que éste es capaz de alcanzar el estado S = desde cualquer condcón ncal y que una ez se ha alcanzado dcho estado la accón de control es tambén capaz de mantener al sstema en dcho estado. stas condcones se expresan matemátcamente en () o tambén en S S > hacer < ( ) S S > hacer < forma más abreada en (7) S. < ( 7 ) uando el sstema está en un estadofuera de la superfce S =, el momento del estado del sstema respecto del tempo (/) es en la dreccón de recuperar la superfce S =. Por consguente la entrada de control dscontnua u debe escogerse de tal manera que se cumplan las condcones expuestas anterormente. S se combnan () y (5) se obtene () y s se supone (9) = GV& = GV ~ GDu G () S S > hacer u = u (9) S S < hacer u = u se obtene (1) que contene la estratega de control Se puede escrbr una nuea ecuacón (5) como la d ~ d ~ ~ S = g g1... g = ( 5 G = ( g,g1,...,g,) suma ponderada del error de la tensón de salda y de sus deradas sucesas. Los elementos del ector fla son las ganancas de realmentacón del error de la tensón de salda y de sus deradas sucesas. Desde un punto de sta geométrco la expresón de S= descrbe un hperplano o superfce de deslzamento en el espaco n-dmensonal cuyos ) GV ~ < GDu G < GV ~ > GDu G > (1) S la entrada de control se asgna de forma apropada a los alores y 1 de acuerdo con (1) la dnámca del sstema se descrbrá en funcón de S= o de las ganancas g, g 1,..., sendo ndependente de otros parámetros del sstema. sta cualdad del control en modo deslzamento se conoce con el nombre de robustez. Aplcacón al conertdor buck

3 Supuesto el caso del conertdor buck (fg. 1, éste se puede descrbr para u =1 (transstor en conduccón) medante (11) y para u = (dodo en conduccón) medante (1). d = L L d = d = L d = Para el caso de régmen permanente se obtenen los puntos de equlbro que se muestran en (13). Para Para u = 1 u = = = (13) Para componer el plano de fase se elgen como coordenadas como coordenadas el error de salda d ~ ~ y su derada. Para una consgna constante se erfca (1) d ~ d = d 1 d L = d 1 d = L (1) por tanto las coordenadas del plano de fase serán el error de tensón de salda ~ y la derada de la tensón de salda d, es decr la ntensdad por el condensador. La fg. muestra las trayectoras en el plano de fase haca los puntos de equlbro del conertdor buck Se puede crear un control en modo deslzamento s se escoge la superfce descrta en (15) d S = g ~ g1 = L (11) (1) (15) con la ley de control (1). Las trayectoras de fase sempre rán a buscar la S S > hacer u = (1) S S < hacer u = 1 línea de deslzamento tanto para u= como para u= 1 ya que los puntos operatos en régmen permanente para cada alor de la entrada de control están localzados en la regón opuesta. onsecuentemente cualquer accón de conmutacón oblga al sstema a desplazarse haca la línea de deslzamento y pasar a la otra regón. uando se aplca la ley de control el estado del Trayectoras para u = 1 sstema se muee haca la línea de deslzamento y una ez llega a la msma se deslza a traés suyo hasta llegar al régmen permanente fnal. n la práctca el deslzamento se produce alrededor de la línea de deslzamento entre unos límtes S= V d Trayectoras para u = V V Fg. Trayectoras y puntos de equlbro en el plano de fase S< d formando unas bandas de hstéress de ampltud Ψ, tal y como se puede obserar en fg. 3. Debdo a que la eolucón del sstema está oblgada a mantenerlo sempre alrededor de la línea de deslzamento la respuesta del msmo depende úncamente de la línea o superfce de deslzamento escogdo y es ndependente de los parámetros del sstema. c) esultados de smulacón Se ncluyen algunos resultados de smulacón en el entorno MATLAB-Smulnk. Se ha trabajado con un conertdor buck con los parámetros sguentes: = V, L= 1 mh, = 1 µf y = 1 Ω. Para la ley de control se ha escogdo una relacón g /g 1 gual a 5 y una banda de hstéress Ψ gual a ±3. ~ Fg. 3 olucón del sstema en el plano de fase S> Ψ -V Ψ -

4 La fg. muestra la eolucón de la tensón de salda y de la ntensdad en la bobna para un proceso de arranque con una tensón de consgna de 1 V. x 1 La fg. 5 muestra la respuesta del sstema bajo condcones de cambo en la resstenca de carga. Para t= 5 ms se ha modfcado el alor de de 1 a 15 Ω., obserándose una buena respuesta dnámca del sstema ya que se alcanza el nueo equlbro en menos de 1ms. d/ (/ms) rror (- ) (V) 5 Tensón salda (V) Intensdad bobna Tensón salda (V) Intensdad bobna (A) Tempo Fg. Secuenca de arranque con una consgna de 1 V x 1-3 Fg. 5 olucón de la tensón de salda e ntensdad en la bobna frente a cambos en la resstenca de carga n la fg. se muestra la eolucón del sstema en un proceso de arranque bajo las msmas condcones que las mostradas en fg.. Para ello se ha utlzado un espaco de fase trdmensonal en donde se ha añaddo el tempo como el tercer eje. Fg. olucón del sstema en el plano de fase trdmensonal IV. ONTOLADO N MODO DSLIZAMINTO BASADO N VAIABLS POMDIADAS n este apartado se propone el dseño de un controlador en modo deslzamento basado en un modelo promedado de espaco de estado del conertdor. Su funconamento será a frecuenca fja y utlzará la técnca de la modulacón en anchura de pulso (PWM) en contraste con el método clásco de frecuenca arable más habtual en este tpo de controlador y que se ha mostrado anterormente. Aplcacón al conertdor buck La formulacón del modelo promedado en espaco de estado del conertdor buck conduce a la expresón (17) en donde el símbolo ()denota arable promedada y d corresponde al cclo de trabajo del conmutador d = d = d L L (1) Se puede defnr una superfce de deslzamento (S) en el plano de fase, según la expresón (19) donde λ es un número real posto denomnado factor de conergenca. d ~ S = λ ~ = (19) uanto mayor sea el alor de este factor más rápdamente alcanzará el sstema el régmen permanente. No obstante exsten lmtacones en el alor máxmo de este parámetro debdo a restrccones del propo sstema. Un alor

5 excesamente grande puede conducr a una defcente respuesta dnámca. Para el dseño del controlador en modo deslzamento se deben combnar (1) y (19); a partr de estas expresones se obtene el cclo de trabajo d(t) () en funcón de los parámetros del conertdor y de las arables promedadas. ( ) α d( t ) = () λl con α = λ L Para erfcar las prestacones del controlador se ha dseñado el sstema en lazo cerrado que se muestra en Fg. 7. rcutodsp. d(t)1 T D l conertdor y el controlador han sdo realzados en formato de subsstemas en el entorno MATLAB-Smulnk. esultados de smulacón Para la smulacón se han adoptado los sguentes alores para los parámetros del conertdor: = V, = 1Ω, L= 1 mh, = 1 µf, con un perodo de conmutacón de 1 µs. Para el dseño del controlador, λ se ha ajustado a un alor de 5 s 1. Varas smulacones preas mostraron resultados con una buena dnámca hasta un límte de λ cercano a 1. s -1. Así pues, el alor selecconado para este parámetro está justo en la mtad del rango práctco. n la Fg. se muestra un proceso de arranque en respuesta a una referenca de tensón de 1 V operando en bucle cerrado. Se presentan la tensón de salda y la ntensdad por la bobna. l régmen permanente se obtene en aproxmadamente 3 ms. Para erfcar las prestacones dnámcas del sstema bajo condcones de cambos en la carga, ésta se ha modfcado de 1 a 15 Ω en t = 1 ms. Tal y como muestra la Fg. 9, la tensón de salda alcanza un alor de pco de 1 V con una duracón L ontrolador Parámetros conertor F Fltro Fg. 7 Dagrama del sstema de control en lazo cerrado _ nferor a,5ms, tardando aproxmadamente ms en recuperar su alor nomnal. Tensón salda Intensdad bobna Tensón salda 1d1 La Fg. 1 lustra la respuesta del conertdor a la aplcacón de un escalón de 1 V a 15 V en la consgna de tensón en el nstante t = 1 ms. l conertdor alcanza el nueo régmen permanente en aproxmadamente ms. Tensón salda 1d Fg.. Proceso de arranque en respuesta a una tensón de referenca de 1 (V) Fg. 9. Tensón de salda y cclo de trabajo frente a cambos en la carga Fg. 1. Tensón de salda y cclo de trabajo frente a cambos en la consgna de tensón VI. ONLUSIONS n este trabajo se ha efectuado una ntroduccón a los sstemas de estructura arable así como a la

6 teoría del control en modo deslzamento, con una posteror aplcacón a un conertdor de estructura buck. A contnuacón se ha dseñado un controlador en modo deslzamento medante la técnca del promedado local de arables. Igualmente se ha aplcado a un conertdor buck Los resultados de smulacón del sstema, operando en lazo cerrado han mostrado un comportamento satsfactoro. FNIAS [1] J. Mahda, A. mad, H.A. Tolyat. Applcaton of state space aeragng method to sldng mode control of PWM D/D conerters, Industry Applcatons Socety, Annual Meetng, New Orleans, Oct. 1997, pp -7. [] P.Mattaell, L.ossetto, G.Spazz, P.Tent General-purpose sldng-mode controller for D/D conerter applcatons, Trans. on Power lectroncs, Vol.1,nº3, May, 1995, pp 3-39 [3] Kassakan, J.G. Schlecht, M.F Verghese G.. Prncples of power electroncs, Addson Wesley. 199 [] L. Martnez Salamero,. Gral, O. Pallas ontrol de conertdores en modo deslzamneto. Metodologa, ejemplos de aplcacón y problemas abertos. Dpt ngnyera lectrònca. UV, Tarragona [5] V.I. Utkn, Sldng modes and ther applcaton n arable structure systems, MI, Moscow, 197