Fenómenos transitorios

Transcripción

1 apítulo 4 Fenómenos transtoros 4.1. Introduccón uando al menos uno de los componentes de un crcuto eléctrco camba alguna de sus propedades, comenza una etapa en que las varables que descrben el estado del crcuto (correntes de ramas o mallas, o tensones de ramas) tambén se modfcan, tendendo haca un estado de equlbro compatble con dcho cambo. El cambo que con mayor frecuenca se trata en los cursos de Electrcdad y Magnetsmo es la apertura o cerre de una llave eléctrca. Pero tambén pueden consderarse modfcacones bruscas de los valores de resstencas, capactores, nductancas y/o fuentes que lo compongan. Mentras las varables eléctrcas evoluconan haca el equlbro, se dce que el crcuto se encuentra en estado, o régmen, transtoro; luego del cual, s no ocurren nuevos cambos, se alcanza el denomnado estado, o régmen, estaconaro. a frontera entre ambos estados es dfusa, pero como se verá, pueden establecerse crteros cuanttatvos basados en los valores de los componentes crcutales, que permten dstngur, convenconalmente, entre ambos estados Descrpcón matemátca as correspondentes caídas de tensón, Δ, Δ y Δ, en funcón del tempo en los elementos, y, se modelan según se ndca en el sguente cuadro, 31

2 32 APÍTUO 4. FENÓMENOS TANSITOIOS A B ΔV V B V A = A B ΔV V B V A = d/dt A ΔV V B V A = Q Q B 1 dt donde se asumó que la corrente ncalmente crculante por la bobna es nula. Nótese que se ha consderado que la carga ncal del capactor, Q, es la correspondente a la placa del msmo por la que se consdera que ngresa la corrente. Ejemplo: a corrente (t) crculante por un crcuto como el de la fgura 4.1, en el que se asume que la llave se cerra en el nstante t =, se modela de la sguente manera: (t) = t <, y luego del cerre de la llave satsface la sguente ecuacón íntegro-dferencal = + d dt + 1 t dt + Q t > (4.1) l Fgura 4.1: rcuto sere en régmen transtoro. a llave se cerra en el nstante t =. Q A contnuacón se analzarán los casos partculares de transtoros en crcutos, y sere Transtoros en crcutos uando se tene un crcuto como el de la fgura 4.2, la ecuacón (4.1) se reduce a la

3 4.2. DESIPIÓN MATEMÁTIA 33 l ecuacón ntegral Fgura 4.2: rcuto en régmen transtoro. a llave se cerra en t =. = + 1 t Q dt + V () t > (4.2) sendo V () = Q. Dferencando la ecuacón (4.2) respecto del tempo se obtene la ecuacón dferencal: = d dt + 1 t > (4.3) con la condcón ncal, que surge trvalmente de la ecuacón (4.2), expesable como () = V () esolvendo la ecuacón (4.3) con la condcón ncal (4.4) resulta (t) = V () (4.4) e t/ (4.5) El tempo t = se denomna convenconalmente tempo característco del transtoro, y habtualmente se lo denota con el símbolo τ. En el caso que nos ocupa, τ = corresponde al nstante en el que la corrente se reduce a e 1,37 de su valor ncal. Expresado con otras palabras: (τ) es, aproxmadamente, el 37 % de (). De la ecuacón (4.5) se desprende que la caída de tensón en el capactor es V (t) = V () + [ V ()] 1 e t/ (4.6) Transtoros en crcutos uando se tene un crcuto como el de la fgura 4.3, la ecuacón (4.1) se reduce a = + d dt con la condcón ncal () = ; de donde resulta t > (4.7) (t) = (1 e t/τ ) (4.8) V (t) = e t/τ (4.9) sendo en este caso τ = / el tempo característco del transtoro.

4 34 APÍTUO 4. FENÓMENOS TANSITOIOS l Fgura 4.3: rcuto en régmen transtoro. a llave se cerra en t = Transtoros en crcutos sere Un crcuto sere como el de la fgura 4.1, puede descrbrse medante la ecuacón íntegro-dferencal (4.1), o ben medante su dferencal = d2 dt 2 + d dt + 1 t > (4.1) Planteando solucones del tpo (t) e λ t, λ, resulta la ecuacón característca cuyas raíces son λ ± = 2 ± donde se defnó, para facltar la notacón, λ 2 + λ + 1 = (4.11) = α ± α 2 ω 2 = α ± β (4.12) α = 2, ω = 1 y β = α 2 ω 2 (4.13) onsderando que tanto como y son postvas, se pueden dar tres casos según sea el dscrmnante Δ = = α2 ω, 2 postvo, nulo o negatvo; dando lugar a su vez, a las solucones denomnadas sobre-, crítca- y subamortguadas, respectvamente, que se verán a contnuacón. aso sobreamortguado: > 2 / En este caso, la ecuacón característca tene dos raíces reales dstntas, y por lo tanto resulta (t) = A e ( α + β) t + B e ( α β) t (4.14) sendo A y B dos constantes reales que dependen de las condcones ncales. Asumendo que el capactor esta ncalmente descargado resulta () = y d = /, lo que mplca A = B y dt = d dt = 2 A β (4.15)

5 4.2. DESIPIÓN MATEMÁTIA 35 por lo tanto se tene (t) = = 2 β e α t e β t e β t (4.16) 2 e 2 t sh t (4.17) 2 aso crítcamente amortguado: = 2 / En este caso el dscrmnante del polnomo característco se anula (β = ) y sus dos raíces colapsan en una sola de multplcdad dos λ ± = 2 a solucón de la ecuacón homogénea es entonces = α (4.18) (t) = A e α t + B t e α t (4.19) Aplcando las condcones ncales () = y d = / se obtene dt luego resulta A = y B = (4.2) (t) = t e α t = t e 2 t (4.21) aso subamortguado: < 2 / En este caso se tene λ ± = α ± j ω 2 α2 = α ± j ω (4.22) sendo j la undad magnara: j 2 = 1, y ω = ω 2 α 2. esulta entonces (t) = e α t (A sen ω t + B cos ω t) = D e α t sen (ω t + φ) D, φ (4.23) Aplcando las condcones ncales () = y d = / se obtene (t) = ω e α t sen (ω t) = ω e 2 t sen dt t (4.24)

6 36 APÍTUO 4. FENÓMENOS TANSITOIOS 4.3. Transtoros en crcutos almentados con ondas cuadradas Es frecuente estudar expermentalmente fenómenos transtoros en crcutos eléctrcos almentándolos con una onda cuadrada. Esto evta la necesdad de acconar manualmente una llave eléctrca. t Fgura 4.4: epresentacón temporal de una onda cuadrada que adopta los valores y. Fgura 4.5: Una fuente de onda cuadrada almenta a un crcuto genérco. a fuente de onda cuadrada tene la representacón gráfca en funcón del tempo que se lustra en la fgura 4.4, y se comporta para el crcuto como s fuese una fuente de tensón que alternatvamente toma los valores y. Ver fgura 4.5. Tenga presente que medante el control de offset (corrmento de cero) de la fuente se puede modfcar el valor medo de la onda cuadrada (ver fgura 4.6), lo que corresponde a una dsposcón expermental como la lustrada en la fgura 4.7. V 2 V 1 t V 2 V 1 Fgura 4.6: epresentacón temporal de una onda cuadrada de valor medo arbtraro. Fgura 4.7: Una fuente de onda cuadrada almenta a un crcuto genérco Preguntas 1. Uno cualquera de los crcutos estudados en este apítulo se almenta con una onda trangular. ree que se producrán transtoros? 2. ree que un crcuto en régmen transtoro puede presentar más de un tempo característco? 3. onsdere la smulacón cuyo esquema se presenta en la fgura 4.8, en la que una fuente de onda cuadrada que adopta valores o 1 V con un semperíodo de 1 ms, almenta a un crcuto sere de valores = 1 kω y = 1 µf (τ = = 1 ms). El capactor está ncalmente descargado y la fuente se encende en el nstante t =

7 4.5. PATE OMPUTAIONA 37 En la fgura 4.9 se presenta el resultado de smular, en funcón del tempo, la tensón aplcada por la fuente (trazo a rayas) y la correspondente caída de tensón sobre la resstenca (trazo lleno). Se observan al menos dos detalles curosos: a) durante certos lapsos la caída de tensón en la resstenca adopta valores negatvos, a pesar de que la fuente sólo aplca tensones postvas o nulas. b) la tensón pco a pco sobre la resstenca es mayor que la tensón pco a pco que aplca la fuente. Es ncorrecta la smulacón?. Justfque su respuesta. Fgura 4.8: Esquema correspondente a una smulacón de un crcuto almentado por una fuente de tensón cuadrada (pregunta 3). Fgura 4.9: Un resultado de la smulacón del crcuto esquematzado en la fgura 4.8, en el que se lustran la tensón aplcada por la fuente, V A, en trazo a rayas, y la caída de tensón sobre la resstenca, en trazo lleno Parte omputaconal 1. Smule al menos uno de los crcutos estudados y compare los resultados de la smulacón con los esperados a partr de las deduccones formuladas más arrba. 2. Pruebe ahora con ondas cuadradas de dferentes valores medos, y de períodos menores, guales y mucho mayores que los respectvos tempos característcos. Interprete los resultados Parte Expermental Transtoros En esta seccón se estudará el proceso de carga y descarga de un capactor a través de una resstenca. Para ello se plantea el problema de verfcar expermentalmente todas las

8 38 APÍTUO 4. FENÓMENOS TANSITOIOS característcas de la curva (t) correspondentes a dcho proceso. Para lograr el objetvo se debe tener presente que entre las prncpales propedades a verfcar se encuentran: 1. a curva (t) es exponencal. 2. rcutos con gual constante de tempo presentan curvas (t) proporconales entre sí. 3. as constantes de proporconaldad están relaconadas drectamente con la tensón de carga. A esta lsta puede agregarse cualquer otra propedad que se consdere de nterés destacar. Fgura 4.1: Una fuente de onda cuadrada almenta a un crcuto. onsdere el crcuto de la fgura 4.1. Trabajando con el oscloscopo en modo Y (t) y conectando la punta de medcón sobre el capactor, se podrá observar la tensón V (t) en este elemento durante su carga y descarga. Antes de efectuar la medcón debe pensarse sobre cuál de los termnales del capactor se va a conectar cada uno de los extremos de la punta. Observe que las 2 posbldades de conexón no son equvalentes entre sí y que sólo una de ellas es la correcta. Tenendo en cuenta las ecuacones que modelan los procesos que se desean observar qué tpos de curvas se esperan ver?. Se modfcarán al cambar la constante del crcuto? Expermente con dversos valores de pero mantenendo sempre > 1 Ω. Por qué no se debe pasar de un valor mínmo para? Qué sucede s =? En caso de que se observen cambos sgnfcatvos al varar la constante, grabe las formas de onda que consdere de ntéres nformar. En el nforme debera constar la nterpretacón que el grupo haga de los dferentes casos mostrados. Utlzando ahora el crcuto de la fgura 4.11 mda la tensón sobre la resstenca, V, que obvamente por la ley de Ohm resulta proporconal a la corrente que crcula por el crcuto. Para este caso caben todas las consderacones y preguntas formuladas en la medcón de V (t), en partcular se deberá volver a tener en cuenta cómo conectar la punta de

9 4.6. PATE EXPEIMENTA 39 Fgura 4.11: rcuto adecuado para sensar la corrente medante un oscloscopo, pero no para sensar, con dcho nstrumento, la caída de tensón sobre el capactor. medcón. A dferenca del caso anteror, en esta oportundad bastará con que se grabe una forma de onda típca, que a juco del grupo ejemplfque el comportamendo de V (t). Observe que desde el punto de vsta de las ecuacones que modelan el comportamento de los crcutos de las fguras 4.1 y 4.11, ambas dsposcones expermentales son equvalentes. uego, a gualdad de condcones ncales, las correntes crculantes por ambos crcutos y las caídas de tensón sobre los dversos elementos que los componen serán respectvamente guales. En las condcones del trabajo de esta práctca puede suponerse que las condcones ncales son guales. Esto sgnfca que la corrente crculante es la msma ya sea que se trate del crcuto de la fgura 4.1 o el de la o propo ocurre con las caídas de tensón en los dstntos elementos de ambos crcutos. Entonces, s el objetvo es medr V (t) y V (t) por qué se deben utlzar dsposcones expermentales dferentes? Desde el punto de vsta de la realzacón de la experenca sería más práctco efectuar las medcones sobre un solo crcuto, por ejemplo el de la fgura 4.1. por qué no se mde V (t) en el crcuto de la fgura 4.1? Transtoros arga y descarga de una bobna a través de una resstenca Arme un crcuto como el de la fgura 4.12 y estude expermentalmente las propedades de la caída de tensón sobre la bobna, V, y la corrente. Determne s exste una constante Fgura 4.12: Una fuente de onda cuadrada almenta a un crcuto.

10 4 APÍTUO 4. FENÓMENOS TANSITOIOS de tempo, y en caso afrmatvo, mídala y compárela con los valores nomnales del crcuto bajo estudo. Analce comparatvamente las propedades de los crcutos y Transtoros sere Arme un crcuto como el de la fgura 4.13 e nvestgue sus propedades. Fgura 4.13: Una fuente de onda cuadrada almenta a un crcuto sere. Estude expermentalmente los casos sub-, sobre-, y crítcamente amortguados. 216.c2 ésar Moreno, Departamento de Físca-FEyN-UBA e INFIP-ONIET.