MATEMÁTICAS FINANCIERAS

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1 MATEMÁTICAS FINANCIEAS TEMA: A N U A L I D A D E S CONTENIDO AUTO: Tu l o A. Ma teo D u v a l Santo Domngo, D. N. ep. Dom.

2 MATEMÁTICAS FINANCIEAS A N U A L I D A D E S CONTENIDO:. Defncón 2. Elementos de una Anualdad 3. Clasfcacón de las 4. Anualdad Vencda Smple 4. Monto de una Anualdad Vencda Smple 4.. Cálculo de la enta 4..2 Cálculo del Plazo o Duracón 4..3 Cálculo de la Tasa de Interés 4.2 Valor Actual de las Vencdas y Dferdas Smples 4.2. Cálculo de la enta Cálculo del Plazo o Duracón Cálculo de la Tasa de Interés 5. Anualdad Vencda General 5. Cálculo del Monto, Valor Actual, enta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualdad Vencda General 6. Anualdad Antcpada Smple 6. Monto de una Anualdad Antcpada Smple 6.. Cálculo de la enta 6..2 Cálculo del Plazo o Duracón 6..3 Cálculo de la Tasa de Interés 6.2 Valor Actual de las Antcpadas y Dferdas Smples 6.2. Cálculo de la enta Cálculo del Plazo o Duracón Cálculo de la Tasa de Interés 7. Anualdad Antcpada General 7. Cálculo del Monto, Valor Actual, enta, Plazo y Tasa de Interés de una Anualdad Antcpada General 8. Anualdad Perpetua o Perpetudad 8. Anualdad Perpetua Vencda 8.2 Anualdad Perpetua Antcpada 9. Amortzacón y Fondos de Amortzacón 9. Amortzacón de Deudas. Tabla de Amortzacón 9.. Saldo Insoluto, Derechos Adqurdos por el Deudor y Saldo a Favor del Acreedor 9.2 Fondo de Amortzacón. Tabla de un Fondo de Amortzacón 9.2. Cálculo del Total Acumulado en un Fondo de Amortzacón y del Saldo Insoluto en Cualquer Fecha 0. esumen de Fórmulas elatvas a las

3 MATEMÁTICAS FINANCIEAS A N U A L I D A D E S. DEFINICIÓN En las transaccones comercales y fnanceras es común emplear, en vez de un pago únco al térmno de un plazo, una anualdad o renta, esto es, un conjunto de abonos fjos a ntervalos guales de tempo. Ejemplos de anualdades: pago de las cuotas mensuales de un préstamo hpotecaro, los dvdendos trmestrales sobre accones preferdas, pagos bmestrales de la prma del seguro de un vehículo, los pagos mensuales de un contrato de alquler de un apartamento, el cobro quncenal del sueldo, los abonos mensuales efectuados para pagar una nevera comprada a crédto, los depóstos semestrales realzados en un fondo de amortzacón para fnancar la susttucón de una maqunara, etc. Se denomna Anualdad o enta a una sere de pagos o sumas de dnero, generalmente de gual cuantía, que vencen a ntervalos guales de tempo. Aún cuando el vocablo anualdad sugere que los pagos son anuales, no debemos entenderlo sempre así, pues la frecuenca de los pagos puede ser cualquer otra: semestral, trmestral, bmestral, mensual, etc. En resumen, por anualdad no asumremos pagos anuales, sno pagos fjos que vencen a ntervalos de tempo guales. 2. ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD Una anualdad queda completamente defnda medante sus cuatro (4) elementos, a saber: a) enta o pago peródco de la anualdad (): es el nombre que se da a la cuantía o valor de cada uno de los pagos peródcos de la anualdad. b) Perodo de los pagos o perodo de la anualdad : es el espaco de tempo fjado entre el vencmento de pagos o captales sucesvos de la msma (año, semestre, bmestre, cuatrmestre, quncena, etc.). c) Plazo o duracón de la anualdad : es el ntervalo comprenddo entre el nco del prmer perodo y la fnalzacón del últmo, o sea, el número total de perodos o de pagos de la anualdad (n). d) Tasa de nterés de la anualdad : es la tasa anual de nterés compuesto que aplca a los abonos o depóstos de la anualdad, con captalzacón peródca que puede concdr o no con el perodo de los pagos. Ejemplo Para fnancar la susttucón qunquenal de una maqunara, una empresa deposta $32, al térmno de cada año en un fondo que abona el 8.75% compuesto anual. Identfque los elementos y represente gráfcamente la anualdad. a) enta o pago peródco: = $32, b) Perodo de los pagos = año c) Plazo o duracón de la anualdad: n = 5 años d) j = 5% m = = $ 3 2, a ñ o s j = % m = 2

4 3. CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES Bajo el título general de anualdades exste una gran varedad de ellas. Una anualdad puede tener o no sus fechas de nco y térmno defndas, o pueden sus pagos efectuarse al nco o al fnal de cada perodo. Asmsmo, la frecuenca de sus abonos puede concdr o no con la frecuenca de captalzacón de los ntereses, así como el prmer pago puede realzarse en el prmer perodo o algunos perodos después. Dependendo de éstos y otros factores, para fnes de estudo, las anualdades se clasfcan de acuerdo con los sguentes crteros: CITEIO TIPO DESCIPCIÓN TIEMPO (se refere a las fechas de nco/térmno del plazo) VENCIMIENTO DE LOS PAGOS (se refere al momento en que se efectúan los pagos) CIETAS CONTINGENTES VENCIDAS ANTICIPADAS En éstas los pagos comenzan y termnan en fechas perfectamente determnadas. En éstas la fecha de vencmento del prmer o del últmo pago, o de ambos, depende de algún suceso prevsble, pero cuya fecha de realzacón no puede fjarse. Las anualdades vencdas u ordnaras son aquellas en las que los pagos se efectúan al fnal de cada perodo. Las anualdades antcpadas son aquellas en las que los pagos se efectúan al nco de cada perodo. CONCODANCIA O NO DE PEIODOS (se refere a la concdenca o no del perodo de los pagos y del perodo de captalzacón de los ntereses) INICIACIÓN DE LOS PAGOS (se refere al momento en que se comenzan a realzar los pagos) SIMPLES GENEALES INMEDIATAS DIFEIDAS En éstas el perodo de los pagos concde con el perodo de captalzacón de los ntereses. En éstas el perodo de los pagos no concde con el perodo de captalzacón de los ntereses. En éstas el prmer pago se efectúa al nco o al fnal del prmer perodo de la anualdad (antcpada o vencda). Son aquellas en las que se estpula que el prmer pago debe efectuarse después de transcurrdo certo número de perodos. Como los crteros de clasfcacón antes vstos no son mutuamente excluyentes, elgendo una característca de cada crtero se pueden formar dferentes tpos de anualdades, resultando que, en las más usuales, predomnan las modaldades: certas, smples, nmedatas (vencdas y antcpadas) y dferdas. Cabe menconar además la anualdad perpetua o perpetudad, una varante de las anualdades certas, la cual se caracterza porque los pagos peródcos se efectúan por tempo lmtado. Abordaremos aquí el estudo de las anualdades certas, comenzando con las smples e nmedatas (vencdas y antcpadas) por ser las más empleadas en el sstema fnancero. Tambén se analzan las anualdades dferdas y las generales, tomando en cuenta, que en este últmo caso, cualquer anualdad general se puede convertr en smple s se emplea la correspondente tasa de nterés equvalente. Comencemos efectuando el cálculo del monto acumulado al fnal del plazo de una anualdad vencda smple. Ejemplo 2 Qué cantdad se acumulará en 2 años s se depostan $20, al fnal de cada semestre en una cuenta de nversones que abona un 0% anual captalzable semestralmente? a) enta o pago peródco: = $20, b) Perodo de los pagos = semestre c) Plazo duracón de la anualdad: n = 4 semestres d) = 0/2 = 5% semestral e) S =? 3

5 n = 3 S =? = $20,000 n = 2 n = sem = 5% S nos ubcamos al fnal del plazo y efectuamos la sumatora de los montos de cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos, obtendremos a S : 2 3 S = 20, ,000 ( ) + 20,000 ( ) + 20,000 ( ) = $86, ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE Una anualdad vencda smple es aquella cuyos pagos vencen al fnal de cada uno de los perodos que la componen, sempre y cuando éstos concdan con los perodos de captalzacón de los ntereses. Ejemplo de este tpo de anualdad, además del caso vsto en el Ejemplo 2, lo consttuye el conjunto de 2 pagos mensuales por valor de $28, c/u, correspondentes al alquler de un local comercal, s los msmos son depostados en una cuenta bancara que paga ntereses a razón del 8% anual convertble mensualmente. 4. MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El monto o valor futuro de una anualdad vencda smple "S" es el valor de dcha anualdad calculado en su fecha de termnacón. Se obtene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos hasta el fnal de la duracón de la anualdad. S n-2 n- n n = núm ero de perodos = tasa de nterés por perodo = renta o pago peródco S = m onto de la anualdad Para deducr una fórmula que permta obtener drectamente el monto o valor futuro de una anualdad vencda smple "S" se ejecuta el msmo proceso segudo en el Ejemplo 2, pero trabajando con pagos nvertdos a la tasa de nterés por perodo de captalzacón y por n perodos de captalzacón: 2 S = + ( + ) + ( + ) + Multplcando ambos membros por ( + ) se tene: n K K+ ( + ) (A) 2 3 S ( + ) = ( + ) + ( + ) + ( + ) + K ) n K + ( + (B) Esta operacón es la que se conoce como monto de una anualdad vencda smple. 4

6 estando membro a membro las expresones B A, se obtene: S. = ( + ) n Factorzando se tene: S = [( + ) ] Despejando a S de la expresón anteror, se obtene la fórmula que permte hallar el monto de una anualdad vencda smple: n n [( + ) ] Ejemplo 3 esolver el Ejemplo 2 empleando la fórmula [] encontrada anterormente. S = MONTO ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [] a) enta o pago peródco: = $20, b) Perodo de los pagos = semestre c) Plazo o duracón de la anualdad: n = 4 semestres d) = 0/2 = 5% semestral e) S =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene: S = 20,000 4 [( ) ] = $86, Ejemplo 4 S una persona deposta $, al fnal de cada trmestre en una cuenta bancara que abona un 2% compuesto trmestralmente, cuánto será el balance de la cuenta al cabo de 9 años? Cuál es el nterés total ganado? = $, j = 2% m = 4 = 0.2/4 = 3% trmestral t = 9 años n = 9 4 = 36 trmestres S =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el balance de la cuenta al cabo de los 9 años: S =, [( ) ] = $9, b) Interés total ganado = S Depóstos = 9, ,450 = $39,550.2 Ejemplo 5 Un señor decde ahorrar $5, al fnal de cada bmestre durante 5 años en una nsttucón fnancera que paga el 9% anual captalzable bmestralmente. a) Cuánto será su balance al fnal del plazo? b) S al fnalzar el plazo no se retra n se deposta nada, cuál será el balance de la cuenta 3 años después del últmo depósto? = $5, j = 9% m = 6 = 0.09/6 =.5% bmestral t = 5 años n = 5 6 = 30 bmestres S =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el balance al fnal del plazo: S = 5, [( ) ] = $563,

7 b) Como el balance anteror está dsponble al térmno de los 5 años, luego el msmo se quedará captalzando los ntereses generados durante 8 perodos (3 años 6 bm.) adconales. Por tanto, el balance peddo se obtene al calcular el monto compuesto de los $563, a la tasa de nterés del.5% bmestral y al cabo de los 8 bmestres: S = 563,080.22( ) 8 = $736,37.65 Ejemplo 6 Andrés amírez efectúa un depósto ncal de $6, en una cuenta de ahorros que abona el % mensual. S acordó depostar $3, al fnal de cada mes durante ½ años y $4, al fnal de cada mes durante los 2 años sguentes, cuál sería el balance de la cuenta al térmno de los 3½ años? cuánto se ganaría por concepto de ntereses? n=42 $6,000 =$3,000 S =$4,000 n=24 S S meses =% D epósto ncal = $6, S = m onto anualdad con =$3, S 2 = m onto anualdad con =$4, = tasa de nterés por perodo = % S = monto total peddo a los 3½ años Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtenen los montos o valores futuros de las 2 anualdades: 8 [( + 0.0) ] $58, S = 3,000 = [( + 0.0) ] $07, S = 4,000 = a) Usando la fórmula del monto compuesto, se captalzan los valores del depósto ncal y del monto de la anualdad "S ", sumándosele al valor de "S 2 ", a los fnes de obtener el balance peddo "S" : S = 6,000 ( + 0.0) , ( + 0.0) , = $9,723.7 b) Interés total que se ganaría = S Depóstos = 9, , , ,000 = $35, CÁLCULO DE LA ENTA En ocasones se requere obtener el valor de la renta o de los pagos (o depóstos) peródcos "", partendo de un monto o valor futuro específco de una anualdad vencda smple "S", de una duracón "n" y una tasa de nterés por perodo " ". En tales casos, el cálculo de la renta se realza con la expresón que resulta al despejar a "" de la fórmula []: S. = VALO DE LA ENTA [2] n [(+ ) ] 6

8 Ejemplo 7 Cuánto deberá ahorrar una persona al fnal de cada semestre en una cuenta bancara que paga el 8% anual captalzable semestralmente para acumular la suma de $20, al cabo de 6 años? Cuánto se gana por concepto de ntereses? S = $20, j = 8% m = 2 = 8/2 = 4% semestral t = 6 años n = 6 2 = 2 semestres =? I =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se obtene: 20, = [(+ 0.04) ] 2 = $7, b) El nterés total que se gana resulta al restar la suma acumulada "S" menos los depóstos efectuados "n." : I t S n. Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: I t = [3] = 20, , = $24,64.88 Ejemplo 8 Calcular cuánto se debería ahorrar al fnal de cada mes durante los próxmos 7 años s se deseara acumular $300, efectuando depóstos en un fondo que paga el 5% compuesto mensualmente. S = $300, j = 5% m = 2 = 5/2 =.25% mensual t = 7 años n = 7 2 = 84 meses =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se obtene: 300, = [( ) ] 84 = $2, Ejemplo 9 Con un depósto ncal de $5, y 0 depóstos guales a efectuarse al fnal de cada mes se desea llevar el balance de una cuenta bancara que abona el.% mensual a que alcance la suma de $9, Cuál sería el valor de los depóstos para que al cabo de los 0 meses se tenga acumulado dcho monto? n= 0 S $5,000 =? S m eses =.% D ep ósto n ca l = $5, = tasa de nteré s por perod o =.% S = m onto de la a nualdad con =? S = m onto tota l a a cum u lar 7

9 Como vemos, la suma del monto compuesto del depósto ncal (hasta el fnal del plazo) más el monto de la anualdad deberá alcanzar la suma de $9, ,000 ( + 0.0) + S = 9, A partr de esta relacón, se obtene el valor del monto que se deberá acumular medante los depóstos peródcos de la anualdad "S " : 5, S = 9, S = 9, , S = $4,88.23 Conocdo el monto de la anualdad "S " y medante la fórmula [2], se obtene el valor de los depóstos: 4, = [(+ 0.0) ] 0 = $, CÁLCULO DEL PLAZO O DUACIÓN S se conoce el monto "S" de una anualdad vencda smple, la tasa de nterés por perodo " " y el valor de la renta "", puede calcularse el valor de "n", o sea, el número total de perodos (o de pagos) de la anualdad, medante la expresón que resulta al despejar a "n" de la fórmula []: S log + n = VALO DE LA DUACIÓN [4] log (+ ) Dado que "n" representa el número total de perodos, por consguente s se qusese el tempo expresado en años 2 se procedería a dvdr el valor obtendo con la fórmula [4] entre la frecuenca de los pagos (o de captalzacón de la tasa de nterés) "m", o sea: n t( años ) = [5] m Ejemplo 0 Una persona deposta $900 al fnal de cada mes en una cuenta bancara que abona el 2% anual captalzable mensualmente con el fn de acumular la suma de $4, Cuántos depóstos deberá hacer? S = $4,487.2 = $ j = 2% m = 2 = 2/2 = % mensual n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 4,487.2 log n = = 5 depóstos log (+ 0.0) 2 Después que se tene el tempo expresado en años puede hacerse la conversón a cualquer otra undad (meses, quncenas, semanas, etc.). 8

10 Ejemplo Mguel Torres necesta reunr $33, y con ese propósto realza depóstos quncenales vencdos de $ c/u en un fondo que rnde el 9.024% anual convertble quncenalmente. Determne durante qué tempo (años) deberá estar efectuando esos depóstos. S = $33, = $ j = 9.024% m = 24 = 9.024/24 = 0.376% quncenal n =? t =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 33,585 log n = = 60 quncenas log ( ) Medante la fórmula [5] se calcula el tempo peddo ( en años): 60 ( ) = = 2.5 años = 2½ años 24 t años Ejemplo 2 Para acumular $22, un señor efectúa depóstos guales de $2, al fnal de cada mes en una fnancera que abona el.25% mensual. Determne cuántos depóstos será precso hacer para acumular dcha suma y el valor de un depósto adconal en caso necesaro. S = $22, = $2, =.25% mensual n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 22,000 log ,500 n = = depóstos log ( ) Consderaremos que para reunr los $22, se requeren 8 depóstos completos de $2, un depósto adconal que vencerá al fnal del sguente mes 3. Veremos a contnuacón 2 maneras de obtener el valor del depósto adconal: A) D eterm nacón del depósto ad conal m edante una ecuacón de valor =$2,500 S n = S 0 X FF 2 3 =.25% mes x = depósto adconal S = m onto a acum ular = $22, S = m onto de la anualdad (n=8 dep.) La fecha focal se tomará a los 9 meses 3 Se efectuará de esa manera a fn de garantzar que el valor de los depóstos nunca exceda la renta orgnalmente establecda. 9

11 ( ) Cálculo de "S " : [ ] S = 2,500 $20, = Luego, a partr de una ecuacón de valor con FF: a los 9 meses, se obtendrá el valor del depósto adconal: 20, ( ) + x = 22, , x = 22, x = 22, ,58.44 x = $84.56 ESP.: Se requeren 8 depóstos completos de $2, un depósto adconal de $84.56 B) Cálculo del depósto adconal redondeando el valor de "n" obtendo al entero próxmo mayor Como vmos anterormente, susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 22,000 log ,500 n = = depóstos log ( ) Como es de suponer, con un valor de " n = 9 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: S = 2,500 [( ) ] = $23, Fnalmente, se determna el valor del exceso, obtenéndose el depósto adconal "x" al restarle dcho exceso a la cuantía del últmo (noveno) depósto: Valor del exceso= 23, ,000 = $, Depósto adconal " x" = 2,500, = $84.56 ESP.: Se requeren 8 depóstos completos de $2, un depósto adconal de $84.56 Ejemplo 3 Mlton oque realza depóstos guales por valor de $, al fnal de cada bmestre en una cuenta bancara que abona el 2% compuesto bmestral con el fn de acumular la suma de $3, Determne cuántos depóstos será precso efectuar para alcanzar dcho monto y el valor de un depósto adconal en caso necesaro. S = $3, = $, j = 2% m = 6 = 2/6 = 3.5% bmestral n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 3,900 log ,350 n = = log ( ) depóstos 0

12 Con un valor de " n = 8 " resulta un monto acumulado que excede la suma propuesta: S =,350 [( ) ] = $33, Fnalmente, se determna el valor del exceso, obtenéndose el depósto adconal "x" al restarle dcho exceso a la cuantía del últmo depósto: Valor del exceso= 33, ,900 = $,74.58 Depósto adconal " x" =,350,74.58 = $75.42 ESP.: Se requeren 7 depóstos completos de $, un depósto adconal de $ CÁLCULO DE LA TASA DE INTEÉS En este acápte trataremos sobre el cálculo de la tasa de nterés anual, sempre y cuando sean conocdos el monto "S", la duracón "n" y el valor de la renta "" de una anualdad vencda smple. Ante la mposbldad de despejar a " " de la fórmula [], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e nterpolacón. Para desarrollar el proceso de tanteo, trabajaremos con dcha fórmula en el sguente formato: [( + ) ] n = Después de consegur la tasa de nterés por perodo " ", se procede a multplcar dcho valor por la frecuenca de captalzacón de la tasa de nterés "m", a los fnes de obtener la tasa de nterés anual " j ", o sea: S j = m [7] [6] Ejemplo 4 amón Suero ha depostado $, al fnal de cada mes en una cuenta de ahorros, acumulando la suma de $4, al cabo de 8 meses. Qué tasa anual convertble mensualmente ha ganado? S = $4, = $, n = 8 meses =? m = 2 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [6], se tene: 8 [( + ) ] 4, = = ,700 Veamos a contnuacón 2 maneras de obtener la tasa de nterés pedda. A) Usando TANTEO e INTEPOLACIÓN TANTEO " " (%) S / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [6] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de captalzacón, éste depende drectamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Luego, medante la nterpolacón se obtene el valor buscado de " ":

13 INTEPOLACIÓN X Establecendo una proporcón con las dferencas (suponendo una varacón lneal de los valores), se calcula el valor de x y, a partr de éste, se obtene el valor de " ". Luego con la fórmula [7] se obtene la tasa anual pedda. x = x = = = x = = 2.34 % j = = %» Tasa anual convertble mensual pedda B) Usando TANTEO TANTEO " " (%) S / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [6] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de captalzacón, éste depende drectamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: = 2.34 % j = = %» Tasa anual convertble mensual Ejemplo 5 Una persona efectuó depóstos trmestrales vencdos por $, c/u en una cuenta bancara. S al cabo de 4½ años tene en su cuenta la suma de $29,398.20, determne qué tasa anual compuesta trmestral le abonó el banco. S = $29, = $, n = 4.5 4=8 trmestres =? m = 4 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [6], se tene: 8 [( + ) ] 29, = = ,000 Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés pedda: 2

14 TANTEO " " (%) S / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [6] resulte gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de captalzacón, éste depende drectamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 5.4 y 5.5. Probando valores entre 5.4 y 5.5, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: : = 5.47 % j = = 2.88 %» Tasa anual compuesta trmestral 4.2 VALO ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE El valor actual de una anualdad vencda smple "A" es el valor de dcha anualdad calculado en el momento presente, esto es, en su fecha ncal. Se obtene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos hasta el nco del prmer perodo de la anualdad. A n -2 n - n n = núm ero de perodo s = ta sa de nte rés por perodo = ren ta o pago p eró dco A = valo r actual de la anu aldad Para deducr una fórmula que permta obtener drectamente el valor actual de una anualdad vencda smple "A", nos ubcamos en la fecha ncal y allí efectuamos la sumatora de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía ", los cuales se descaptalzan en base a la tasa de nterés " " por perodo de captalzacón: 2 3 A = ( + ) + ( + ) + ( + ) + ) Multplcando ambos membros por ( + ) se tene: A ( + ) = + ( + ) + ( + ) estando membro a membro las expresones B A, se obtene: 2 + A. = ( + ) n Factorzando se tene: A. = [ ( + ) ] n K K+ ( + (A) n+ K K+ ( + ) (B) Despejando a A de la expresón anteror, se obtene la fórmula que permte hallar el valor actual de una anualdad vencda smple: n [ ( + ) ] A = VALO ACTUAL ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE [8] n 3

15 Ejemplo 6 Cuál es el valor actual o el valor de una deuda al día de hoy, s la msma se debe saldar medante pagos vencdos de $, durante ½ años, suponendo una tasa de nterés anual del 24% compuesto mensualmente? = $, n =.5 2=8 meses j = 24% m = 2 = 24/2 = 2% mensual A =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [8], se tene: A =,900 8 [ ( ) ] = $28, Ejemplo 7 Calcular el preco de contado de un artículo que puede adqurrse pagando $30, de ncal y $2, al fnal de cada mes durante 2 años, suponendo una tasa de nterés del 2% anual compuesto mensualmente. Inc.= $30, = $2, n = 2 2=24 meses j = 2% m = 2 = 2/2 =.75% mensual PC=? P C V A A P C = Inc al + V A A In cal mes In ca l = $ 30, = re n ta = $ 2, P C = p re co d e c on ta do V A A = va lo r a c tu a l d e la a n u a ld a d Para obtener el preco de contado "PC" se deben referr (o descaptalzar) todos los pagos a la fecha ncal. Esto es, al pago ncal (se queda gual debdo a que vence allí) se le añaden las 24 mensualdades de $2, descaptalzadas (las cuales estamos dentfcando con "VAA"), resultando: PC Incal + VAA Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [9], se tene: = [9] PC = 30, , [ ( ) ] = $84,

16 Ejemplo 8 Un solar valorado en $850, se puede adqurr medante un pago ncal y mensualdades vencdas por $3, durante 5 años. S la tasa de nterés aplcada es de % mensual, determne la cuantía del pago ncal. PC= $850, = $3, n = 5 2 = 60 meses = % mensual m =2 Incal =? Despejando de la fórmula [9] resulta la expresón con la cual se obtene la cuantía del pago ncal: Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [0], se tene: Incal = 850,000 3, Incal = PC VAA [0] 60 [ ( + 0.0) ] 0.0 = $249, Ejemplo 9 (anualdad dferda smple) El valor de una motoccleta se puede saldar medante un pago ncal de $5, y 5 abonos mensuales de $4,2.0, vencendo el prmero dentro de 4 meses. Determne el preco de contado de la motoccleta, suponendo una tasa de nterés del 24% anual convertble mensualmente. Inc.= $5, = $4,2.0 n = 5 meses j = 24% m = 2 = 24/2 = 2% mensual PC=? PC Inc = $5,880 n = 3 A3 =$4,2.0 n = mes = 2% Pago ncal = $5, = renta = $4,2.0 = tasa de nterés por perodo = 2% PC = preco de contado A 3 = valor actual anualdad vencda smple con duracón gual a 5 perodos Para obtener el preco de contado "PC" se deben referr (o descaptalzar) todos los pagos a la fecha ncal. Esto es, al pago ncal (se queda gual debdo a que vence allí) se le añaden las 5 mensualdades de $4,2.0 descaptalzadas. Ahora ben, como los 5 pagos ncan en el mes #4, estamos ante una anualdad dferda 4, la cual podemos analzar como una anualdad vencda cuyos nco y fnal están defndos en el dagrama con los puntos azules. Véndolo así, refermos las 5 mensualdades de $4,2.0 hasta el mes #3 medante la fórmula [8], resultando "A3" y a contnuacón se descontará dcho valor a nterés compuesto hasta la fecha "0" para proceder fnalmente a sumárselo al pago ncal, obtenéndose así el preco de contado "PC" : A 3 = 4,2.0 5 [ ( ) ] = $66, PC = 5, , (+ 0.02) 3 = $4, Una ANUALIDAD DIFEIDA es aquella en la que se estpula que el prmer pago se efectúa después de transcurrdo certo número de perodos. Sus elementos (monto, valor actual, plazo, valor de la renta, etc.) se obtenen consderándola como una anualdad nmedata (vencda o antcpada), usándose para ello las fórmulas correspondentes a ésta. 5

17 4.2. CÁLCULO DE LA ENTA Esta vez de lo que se trata es de obtener el valor de la renta o de los pagos peródcos "", partendo de un valor actual específco de una anualdad vencda smple "A", de una duracón "n" y de una tasa de nterés por perodo " ". En tales casos, el cálculo de la renta se realza con la expresón que resulta al despejar a "" de la fórmula [8]: A. = n [ (+ ) ] VALO DE LA ENTA [] El uso de esta fórmula aplca para la obtencón de la cuantía del pago peródco fjo (captal + nterés) con el que se saldaría una deuda "A", así como para el cálculo del valor de la renta fja que se recbría al realzar una nversón "A" durante un plazo determnado. Ejemplo 20 Una persona adquere una computadora valorada en $29, y acuerda pagarla medante 0 mensualdades vencdas e guales. Cuánto tendrá que pagar cada mes s le aplcan una tasa de nterés del 30% anual captalzable mensualmente y se la entregan sn pago ncal? Qué nterés total envuelve dcho fnancamento? PC= A = $29, j = 30% m = 2 = 30/2 = 2.5% mensual n = 0 meses =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se tene: 29, [ ( ) = = 0 ] $3,404.9 b) El nterés total que envuelve el fnancamento se obtene al restarle la deuda "A" al total pagado "n." : I t = n. A Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se tene: I t = 0 3, ,800 = $4, [2] Ejemplo 2 S se nvrteran $80, en un fondo que abona el 2% compuesto trmestralmente con el fn de retrar sumas guales al fnal de cada trmestre durante 6 años, determne la cuantía de los retros. A = $80, j = 2% m = 4 = 2/4 = 3% trmestral n = 24 trmestres =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se tene: 80, [ (+ 0.03) ] = = 24 $0, Con esta fórmula tambén se obtene el nterés ganado al realzar una nversón cuya fnaldad sea recbr una renta fja. En este caso, el nterés total vendría dado por la dferenca del total que se proyecta recbr menos la suma nvertda. 6

18 Ejemplo 22 Lus Lugo compra un apartamento valorado en $2,400,000.00, pagando un 60% del valor por concepto de ncal y fnancando el resto para saldarlo medante mensualdades vencdas en un plazo de 5 años. S la tasa de nterés aplcada es de un 8% anual convertble mensual, determne la cuantía del abono ncal y de la cuota fja mensual a pagar. PC = $2,400, Incal = 60% PC j = 8% m = 2 = 8/2 =.5% mensual t = 5 años n = 5 2 = 80 meses =? a) Cuantía del abono ncal = ,400,000 = $,440, b) Valor a fnancar = A = PC Incal = 2,400,000,440,000 = $960, Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se tene: 960, = = $5,460.04» Valor de los pagos mensuales 80 [ (+ 0.05) ] Ejemplo 23 Sobre la compra del apartamento planteada en el Ejemplo 22, determne: a) Cuál es el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72? b) Cuánto se le ha abonado a la deuda hasta ese momento? c) A cuánto ascenderían los pagos mensuales, s el balance de la deuda obtendo anterormente se acordara saldar en un plazo de 4 años? a) Para obtener el balance de la deuda justamente después de efectuado el pago #72, basta con descontar (a esa fecha) todos los pagos que faltan por efectuar. Como en total eran 80 mensualdades y se han efectuado 72, entonces restan 08 pagos de $5,460.04, los cuales se descaptalzan medante la fórmula [8], resultando: 08 [ ( ) ] = $824, A = 5,460.04» Balance de la deuda justo después del pago # b) Aunque hasta ese momento se han efectuado 72 pagos por valor de $5, c/u, a la deuda sólo se le ha abonado una cantdad gual a la dferenca entre el valor del fnancamento menos el balance de deuda ya obtendo: Valor abonado = 960, , = $35,767.3 c) Susttuyendo: A = $824, =.5% mensual y n = 4 2 = 48 meses en la fórmula [], se obtene: 824, = = $24,2.83» Valor de los nuevos pagos mensuales 48 [ (+ 0.05) ] 7

19 Ejemplo 24 Sergo Lorenzo compra un auto nuevo valorado en $645, y le recben uno usado por $225, como pago ncal, aceptando saldar la suma restante medante el pago de 36 mensualdades con ntereses al 30% anual convertble mensualmente. Determne la cuantía de la mensualdad, s: a) El prmer pago se realza dentro de un mes (anualdad vencda smple) b) El prmer pago se realza dentro de 3 meses (anualdad dferda smple) PC = $645, Incal = $225, j = 30% m = 2 = 30/2= 2.5% mensual n = 36 meses =? Valor a fnancar = A = PC Incal = 645, ,000 = $420, a) Como este caso corresponde a una anualdad vencda smple, la cuota fja mensual a pagar se obtene drectamente medante la fórmula []: 420, = = $7,829.66» Valor de los pagos mensuales 36 [ ( ) ] b) Como este caso corresponde a una anualdad dferda smple, procederemos a analzarla como una anualdad vencda cuyos nco y fnal están defndos en el dagrama con los puntos azules. Véndolo de ese modo, captalzamos la deuda hasta el mes #2 (nco de la anualdad vencda), resultando "A2" (valor de la deuda a los 2 meses): A = $420, =? n = 2 A 2 n = = 2.5% 38 mes Deuda ncal = $420, j = 36% m = 2 = tasa de nterés por perodo = 2.5 % A2 = valor actual anualdad vencda smple con duracón gual a 36 perodos = renta =? A 2 = 420,000 ( ) 2 = $44, Fnalmente, el valor de la mensualdad "" de la anualdad vencda smple de 36 meses (que se nca en el mes #2 y termna en el mes #38) se obtene medante la fórmula []: 44, = = $8,732.29» Valor de los pagos mensuales 36 [ ( ) ] 8

20 4.2.2 CÁLCULO DEL PLAZO O DUACIÓN S se conoce el valor actual "A" de una anualdad vencda smple, la tasa de nterés por perodo " " y el valor de la renta "", puede calcularse el valor de "n", o sea, el número total de perodos (o de pagos) de la anualdad, medante la expresón que resulta al despejar a "n" de la fórmula [8]: A log n = VALO DE LA DUACIÓN [3] log (+ ) Dado que "n" representa el número total de perodos, por consguente s se qusese el tempo expresado en 6 años se procedería a dvdr el valor obtendo entre la frecuenca de los pagos (o de captalzacón de la tasa de nterés) "m", o sea medante la fórmula [5]: n t( años ) = m Ejemplo 25 Cuántos pagos trmestrales vencdos de $ deberán efectuarse para cancelar una deuda de $7,402.74, s la msma se contrajo con ntereses a razón del 2% trmestral? A = $7, =$ = 2% trmestral m = 4 n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: 7, log n = = 2 pagos log (+ 0.02) Ejemplo 26 Una deuda por $43,35.00 contraída hoy se va a lqudar medante pagos guales de $3,00.00 a efectuarse al fnal de cada quncena. S la tasa de nterés aplcada es de un 2% anual captalzable quncenalmente, determne el número de pagos completos y el valor de un pago complementaro (en caso necesaro) requerdos para saldar la deuda. A = $43,35.00 =$3,00.00 j = 2% m = 24 = 2/24 = 0.5% quncenal n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: 43,35 log ,00 n = = pagos log ( ) Consderaremos que para saldar los $43,35.00 se requeren 4 pagos completos de $3, un pago complementaro adconal que vencerá al fnal de la sguente quncena 7. 6 Después que se tene el tempo expresado en años puede hacerse la conversón a cualquer otra undad (meses, quncenas, semanas, etc.). 7 Se efectuará de esa manera a fn de garantzar que el valor de los pagos nunca exceda la renta orgnalmente establecda. 9

21 Veremos a contnuacón 2 maneras de obtener el pago complementaro: A) Determnacón del pago complementaro medante una ecuacón de valor A n = 5 =$3,00 FF 0 A X 2 3 = 0.5% 4 5 qunc x = pago complementaro A = deuda a saldar = $43,35.00 A = valor actual anualdad (n=4 pagos) La fecha focal se tomará en la fecha 0 Calculamos el valor de "A " descaptalzando los 4 pagos de $3,00.00 hasta la fecha "0 : 4 [ ( ) ] $4, A = 3,00 = Luego, se plantea la gualdad entre la deuda "A" y los 5 pagos medante una ecuacón de valor con FF en la fecha "0. A partr de ésta se obtene el valor del pago complementaro: 4, x ( ) 5 = 43, , x = 43, x = 43, , x =,500.0 x =, x = $,66.53 ESP.: Se requeren 4 pagos completos de $3, un pago complementaro de $,66.53 B) Cálculo del pago complementaro redondeando el valor "n" obtendo al entero próxmo menor Como vmos anterormente, susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se obtene: 43,35 log ,00 n = = pagos log ( ) Como es de suponer, con un valor " n = 4" resulta un valor actual "A " que no compensa la deuda contraída: 4 [ ( ) ] $4, A = 3,00 =

22 Sendo así, se genera un valor faltante que se obtene de la dferenca de " A A ": Valor faltante = 43,35 4,84.99 = $,500.0 Fnalmente, la cuantía del pago complementaro se obtene al captalzar el valor faltante desde la fecha "0 hasta la fecha de vencmento de éste (" n = 5"): Pago complementaro " x" =,500.0( ) 5 = $,66.53 ESP.: Se requeren 4 pagos completos de $3, un pago complementaro de $,66.53 Ejemplo 27 Plar Moreno nverte $58, en una cuenta de nversones que abona el 9% compuesto semestralmente con el fn de efectuar retros guales de $9, al fnal de cada semestre. Determne cuántos retros completos podrá hacer y, s es precso, el valor de un retro adconal. A = $58, =$9, j = 9% m = 2 = 9/2 = 4.5% semestral n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: 58,000 log ,000 n = = retros log ( ) Consderaremos que podrá efectuar 35 retros completos de $9, un retro adconal al fnal del sguente semestre. Como es de suponer, con un valor " n = 35" resulta un valor actual "A " menor que la nversón efectuada: 35 [ ( ) ] $57,49. A = 9,000 = Sendo así, se genera un valor faltante que se obtene de la dferenca de " A A ": Valor faltante = 58,000 57,49. = $ Fnalmente, la cuantía del retro adconal se obtene al captalzar el valor faltante desde la fecha "0 hasta la fecha de vencmento de éste (" n = 36" ): etro complementaro " x" = ( ) 36 = $4,50. ESP.: Podrá efectuar 35 retros completos de $ un retro adconal de $4,50. 2

23 4.2.3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTEÉS Examnaremos a contnuacón el proceso de cálculo de la tasa de nterés anual, sempre y cuando sean conocdos el valor actual "A", la duracón "n" y el valor de la renta "" de una anualdad vencda smple. Ante la mposbldad de despejar a " " de la fórmula [8], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e nterpolacón. Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dcha fórmula en el sguente formato: n [ ( + ) ] Después de consegur la tasa de nterés por perodo ", se procede a multplcar dcho valor por la frecuenca de captalzacón de la tasa de nterés "m" a fn de obtener la tasa de nterés anual " j ", o sea, medante la fórmula [7]: = j = m A [4] Ejemplo 28 Para saldar una deuda de $24, contraída hoy, se deberán efectuar pagos guales de $, al fnal de cada trmestre durante 5 años. Determne con qué tasa anual convertble trmestralmente se estaría cargando la operacón. A = $24, = $, n = 5 4 = 20 trmestres =? m = 4 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se tene: 20 [ ( + ) ] = 24,630, = Veamos a contnuacón 2 maneras de obtener la tasa de nterés pedda. a) Usando TANTEO e INTEPOLACIÓN TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [4] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y 3.24 lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Luego, medante la nterpolacón se obtene el valor buscado de " ": INTEPOLACIÓN X

24 Establecendo una proporcón con las dferencas (suponendo una varacón lneal de los valores), se calcula el valor de x y, a partr de éste, se obtene el valor de " ". Luego con la fórmula [7] se obtene la tasa anual pedda. x = x = = = x = = 4.38 % j = = 7.52 %» Tasa anual convertble trmestral pedda b) Usando TANTEO TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [4] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y 3.24 lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 4.3 y 4.4. Probando valores entre 4.3 y 4.4, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: = 4.38 % j = = 7.52 %» Tasa anual convertble trmestral Ejemplo 29 Qué tasa anual convertble bmestralmente se le cobró a un crédto de $50, s el msmo fue saldado medante 8 pagos bmestrales vencdos de $3,672.42? A = $50, = $3, n = 8 bmestres =? m = 6 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se tene: 8 [ ( + ) ] 50,000 = = , Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés pedda: TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [4] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 3. y 3.2. Probando valores entre 3. y 3.2, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual = 5.47 pedda % " j " medante la fórmula [7]: = 3.2 % j = = 8.72 %» Tasa anual convertble bmestral 23

25 Ejemplo 30 (Eleccón entre varas opcones de pago) Lucía Sánchez resultó ganadora en el sorteo de una lavadora nueva y como no pensa usarla decde venderla, recbendo las sguentes ofertas: a) 2 mensualdades vencdas de $2, una mensualdad adconal (#3) de $, b) 8 mensualdades vencdas de $, Cuál oferta le convene más, consderando una tasa de nterés del 4.4% anual convertble mensualmente? Las 2 opcones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas dferentes. Para poder realzar la comparacón se referrán los pagos a la fecha ncal (ya que en ésta es que se debe tomar la decsón) para obtener los Valores de Contado Equvalentes (VCE) correspondente a cada opcón, procedéndose luego a selecconar la que arroje el mayor mporte a recbr. ) OPCIÓN a V C E a n = 3 =$2, 00 A =.2% 2 3 m es $,900 = $ 2, = 4.4 / 2 =.2% VCE a = 2,00 2 [ ( ) ] 0.02 A = v alor actual a nua lda d (n =2 pag os) V C E : v a lor d e co nta do equv ale nte +,900( ) 3 = $24, A 2) OPCIÓN b VCEb =$, =.2% 8 mes = $, = 4.4 / 2 =.2% VCE : valor de contado equvalente VCE b =,525 8 [ ( ) ] 0.02 = $24, ESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegr la OPCIÓN a porque arroja el mayor mporte a recbr. 24

26 Ejemplo 3 (Eleccón entre varas opcones de pago) Una persona que se dspone a comprar un equpo de músca valorado en $38,000.00, puede elegr entre 3 planes de pago. Dga cuál le convene más s la tasa de nterés del mercado es de un 30% anual captalzable mensualmente: a) De contado con un 6% de descuento b) Un pago ncal del 25% del valor y 0 mensualdades vencdas de $2, c) Un pago ncal de $3, y 6 mensualdades de $4, ncando a los 4 meses de efectuado el pago ncal. Las 3 opcones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas dferentes. Se obtene el Valor de Contado (VC) o Valor de Contado Equvalente (VCE) correspondente a cada opcón, procedéndose luego a selecconar la que arroje la menor erogacón. ) OPCIÓN a VC a $35,720 j =30% m=2 0 meses VC a = $38,000 ( 0.06) = $35,720.00» Este sería el valor a pagar de contado. 2) OPCIÓN b VCEb 0 A Incal =$2, = 2.5% 0 meses Incal = ,000=$9, = renta = $2, A = valor actual de la anualdad VCE = valor de contado equvalente VCE b = 9, ,950 0 [ ( ) ] = $35,38.59 A 25

27 3) OPCIÓN c 0 VCEc n = 3 =$4,495 A Incal meses = 2.5% Incal = $3, = renta = $4, A = valor actual de la anualdad VCE = valor de contado equvalente VCE c [ ( ) = 3, , ] ( ) 3 = $35,99.2 A ESPUESTA : Al comparar los valores VCa, VCEb y VCEc, se concluye en que se debería elegr la OPCIÓN b por nvolucrar la erogacón de menor cuantía. Ejemplo 32 (Ecuacones de valores equvalentes) Una deuda de $0, contraída hoy se debe pagar medante un abono de $30,000 dentro de 4 meses, 5 abonos mensuales de $7, ncando a los 7 meses y un últmo pago a los 24 meses. Cuál es la cuantía del pago fnal, s la tasa de nterés cargada a la operacón es de un 3.4% mensual? n = 24 $0,000 = 3.4% FF meses $30,000 n = 5 pagos =$7,250 S X n = 3 Como vemos en el dagrama temporal, la deuda la hemos ndcado con una flecha haca arrba y los pagos con flechas haca abajo. Para plantear la gualdad de los dos conjuntos de captales, se obtene el monto o el valor actual de la anualdad dferda, es decr, debemos trabajar con una sola suma que la represente (en este caso usaremos el monto "S"). Colocando la fecha focal al fnal, la ecuacón de valor resultante será: n = 20 0,000 ( ) 24 = 30,000( ) 20 + [( ) 7, ] ( ) 3 + X S 26

28 22, , = 22,5.5 = 202, X X X = $9,59.59» Valor del pago fnal Ejemplo 33 (Ecuacones de valores equvalentes) Víctor uz efectuó los sguentes depóstos: $3, al momento de la apertura de una cuenta bancara y $ mensuales en los próxmos 0 meses. Luego realza los sguentes retros: $, al cabo de 2 meses y 6 mensualdades de $ ncando a los 4 meses de la apertura de la cuenta. S a contnuacón la cuenta no regstra n depóstos n retros, determne su balance a los 26 meses, s la msma abona una tasa del 2% compuesto mensual. n = 26 n = 6 $3,800 =$700 n = 0 depóstos S = % FF meses $,000 n = 6 retros X =$500 S2 n = 7 n = 4 Como vemos en el dagrama temporal, los depóstos se han ndcado con flechas haca arrba y los retros con flechas haca abajo (el balance peddo es lo que tene la cuenta dsponble para retrar a los 26 meses). Para plantear la gualdad de los dos conjuntos de captales, se obtene el monto o el valor actual de las anualdades, es decr, debemos trabajar con una sola suma que represente cada anualdad (en este caso usaremos el monto, por tanto tendremos a "S" y "S2" ). Colocando la fecha focal al fnal, la ecuacón de valor resultante será: 3,800 ( ) 26 [( + 0.0) ] (+ 0.0) 6 =,000( + 0.0) 4 + [( + 0.0) ] ( ) 7 + X S S 2 3,509.4 = 4, X 3, , = X X = $9,062.04» Balance de la cuenta a los 26 meses 27

29 5. ANUALIDAD VENCIDA GENEAL Una anualdad vencda general es aquella cuyos pagos vencen al fnal de cada uno de los perodos que la componen, sendo éstos dferentes de los perodos de captalzacón de los ntereses. Ejemplo de este tpo de anualdad lo consttuye el conjunto de 0 depóstos guales de $, c/u a efectuarse al fnal de cada trmestre en una cuenta de ahorros que abona el 0% de nterés anual convertble mensualmente. 5. CÁLCULO DEL MONTO, VALO ACTUAL, ENTA, PLAZO Y TASA DE INTEÉS DE UNA ANUALIDAD VENCIDA GENEAL La forma más senclla de trabajar con una anualdad vencda general es transformarla en una vencda smple, y luego utlzar las fórmulas ya conocdas de ésta para determnar los valores deseados. Una manera de realzar dcha modfcacón consste en utlzar la tasa de nterés " j " captalzable " m " veces por año, equvalente a la tasa de nterés anual conocda j " captalzable m " veces por año 8 : " 2 " 2 m 2 m j + m = 2 j m TASA DE INTEÉS EQUIVALENTE [5] 2 S la tasa equvalente deseada fuese una tasa efectva (ésta se dentfcaría con " j e " 9 y " m " sería gual a ), entonces se podría trabajar con la expresón smplfcada de la fórmula anteror que resulta al susttur a " m " por : j + m 2 2 j TASA DE INTEÉS EFECTIVA [6] e 2 = m Ejemplo 34 Cuál es el monto y el valor actual de un conjunto de 20 pagos bmestrales vencdos de $3, s la tasa de nterés aplcada es de un 20.5% anual compuesto trmestralmente? = $3, n = 20 bmestres j = 20.5% m = 4 (trmestral) S =? A =? Como estamos ante una anualdad vencda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta bmestralmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una vencda smple: j 2 = 20.5% j =? m 2 = 4 m = 6 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (4 6) j = = % = + 4 O sea, emplearemos: j = % m = 6 = / 6 = 3.388% bmestral 8 S sempre se dentfca con j 2 la tasa de nterés compuesto conocda, entonces nvarablemente se podrá obtener la tasa de nterés equvalente con la fórmula de j, o sea, con la fórmula [5]. 9 Al hallar una tasa j con una frecuenca m =, es decr, una tasa efectva, se camba el subíndce por e y se representa con j e. 28

30 a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el valor del monto de la anualdad: S ( ) = 3, = $83, b) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [8], se obtene el valor actual de la anualdad: A = 3,000 ( ) = $43,072.7 Ejemplo 35 Para la compra de un automóvl usado valorado en $350, se paga un ncal del 40% y el resto con 36 mensualdades vencdas. A cuánto ascende cada mensualdad s se carga un 27.85% de nterés anual convertble semanalmente? A cuánto ascenden los ntereses? PC = $350, Incal = 0.40 PC = $40, Valor de la deuda = A = PC Incal =$20, n= 36 meses j = 27.85% m = 52 (semanal) =? I =? Como estamos ante una anualdad vencda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta mensualmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una vencda smple: j 2 = 27.85% j =? m 2 = 52 m = 2 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (52 / 2) j = = % = + 52 O sea, emplearemos: j = % m = 2 = / 2 = 2.346% mensual a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el valor de la renta "" : 20, [ ( ) ] = = 36 $8,697.6 b) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], obtenemos la cuantía de los ntereses: I t = 36 8, ,000 = $03,

31 Ejemplo 36 Una repostería dspone de las sguentes opcones para vender unos equpos usados: a) Un clente le ofrece $0, de contado y 8 mensualdades de $40, cada una. b) Otro le ofrece $90, de contado y 5 pagos quncenales de $22, cada uno. Determne cuál le convene más s el rendmento promedo del dnero es del 23% compuesto semestralmente. Las 2 opcones de pago no podrían compararse tal como están expresadas, pues los valores envueltos vencen en fechas dferentes. Para poder realzar la comparacón se referrán los pagos a la fecha ncal (ya que en ésta es que se debe tomar la decsón) para obtener los Valores de Contado Equvalentes (VCE) correspondente a cada opcón, procedéndose luego a selecconar la que arroje el mayor mporte a recbr. Como cada opcón envuelve una anualdad vencda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una vencda smple: a) OPCIÓN a Incal = $0, = $40, n = 8 meses j = 23% m = 2 (semestral) VCEa=? Tasa equvalente: j 2 = 23% j =? m 2 = 2 m = 2 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (2 / 2) j = = = % O sea, emplearemos: j = % m = 2 = / 2 =.8308% mensual Descontando las 8 mensualdades hasta la fecha ncal ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselas al pago ncal, obtenemos el Valor de Contado Equvalente de la Opcón a (VCEa) : VCE a [ ( ) = 0, , ] = $408, b) OPCIÓN b Incal = $90, = $22, n = 5 quncenas j = 23% m = 2 (semestral) VCEb=? Tasa equvalente: j 2 = 23% j =? m 2 = 2 m = 24 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (2 / 24) j = = % = + 2 O sea, emplearemos: j = % m = 24 = / 24 = % quncenal 30

32 Descontando los 5 pagos hasta la fecha ncal ( usando la fórmula [8] ) y sumándoselos al pago ncal, obtenemos el Valor de Contado Equvalente de la Opcón b (VCEb) : VCE b [ ( ) = 90, , ] = $408, ESPUESTA : Al comparar los valores VCEa y VCEb, se concluye en que se debería elegr la OPCIÓN a porque arroja el mayor mporte a recbr. Ejemplo 37 S una persona desea acumular $8, efectuando depóstos trmestrales vencdos de $ en una cuenta de ahorros que abona ntereses a razón del 30% compuesto mensualmente, cuántos depóstos deberá realzar para acumular dcha suma? S = $8, = $ (trmestral) j = 30% m = 2 (mensual) n =? (trmestres) Como estamos ante una anualdad vencda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta trmestralmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una vencda smple: j 2 = 30% j =? m 2 = 2 m = 4 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (2 / 4) j = = % = + 2 O sea, emplearemos: j = % m = 4 = / 4 = 7.689% trmestral Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se obtene: 8,500 log n = = 0 depóstos log ( ) Ejemplo 38 Una deuda por $,875, con ntereses al 25% compuesto anual se saldará con pagos mensuales vencdos de $25, cada uno. Determne cuántos pagos completos será precso hacer para saldar la deuda y obtenga el valor de un pago adconal en caso necesaro. A = $,875, = $25, (mensual) j = 25% m = (anual) n =? (meses) Como estamos ante una anualdad vencda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta mensualmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una vencda smple: j 2 = 25% j =? m 2 = m = 2 3

33 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: ( / 2) j = = % = + O sea, emplearemos: j = % m = 2 = / 2 =.8769% mensual Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se obtene:,875,000 log ,000 n = = depóstos log ( ) Como es de suponer, con un valor " n = 7" resulta un valor actual "A " que no compensa la deuda contraída: 7 [ ( ) ] $,805, A = 25,000 = Sendo así, se genera un valor faltante que se obtene de la dferenca de " A A ": Valor faltante =,875,000,805,003.3 = $69, Fnalmente, la cuantía del pago complementaro se obtene al captalzar el valor faltante desde la fecha "0 hasta la fecha de vencmento de éste (" n = 8"): Pago adconal " x" = 69,996.87( ) 8 = $97,823.4 ESP.: Se requeren 7 pagos completos de $25, un pago adconal de $97,823.4 Ejemplo 39 S un préstamo por $32, se saldó medante 24 pagos trmestrales vencdos de $2,25.86 cada uno, qué tasa anual captalzable mensualmente le aplcaron al préstamo? Cuál es la tasa efectva equvalente a la encontrada anterormente? A = $32, = $2,25.86 (trmestral) n = 24 trmestres j =? m = 2 (mensual) j =? m = 4 (trmestral) Como estamos ante una anualdad vencda general y la tasa de nterés captalzable mensualmente es la ncógnta, ncalmente calcularemos la tasa de nterés captalzable trmestralmente para transformar la anualdad general en una vencda smple (de modo que concdan el perodo de los pagos y el de captalzacón de los ntereses). Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de nterés equvalente. Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [4], se tene: 24 [ ( + ) ] 32,000 = = ,25.86 Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés " ": 32

34 TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [4] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 4 y 5%. Probando valores entre 4 y 5%, se encuentra el valor = 5.47 buscado % de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual " j " medante la fórmula [7]: = 4.7 % j = = 8.8 %» Tasa anual captalzable trmestral a) Para calcular la tasa de nterés anual captalzable mensualmente (tasa pedda) empleamos la fórmula [5] que nos permte hallar la tasa equvalente a la obtenda anterormente: j 2 = 8.8% j =? m 2 = 4 m = 2 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (4 / 2) j = = % = +» Tasa anual captalzable mensual 4 b) Medante la fórmula [6], se obtene la tasa efectva: j 2 = 8.529% j e =? m 2 = j = + = = %» Tasa efectva e 2 33

35 6. ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE Una anualdad antcpada smple es aquella cuyos pagos vencen al nco de cada uno de los perodos que la componen, sempre y cuando éstos concdan con los perodos de captalzacón de los ntereses. Ejemplo de este tpo de anualdad lo consttuye el conjunto de 5 depóstos de $3, a efectuarse a prncpo de cada mes en una cuenta bancara que paga ntereses a razón del 9% anual convertble mensualmente. =$3, = 0.75% 4 5 mes = renta = $3, = j / m = 9 / 2 = 0.75% m ensual 6. MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE El monto o valor futuro de una anualdad antcpada smple "S" es el valor de dcha anualdad calculado en su fecha de termnacón. Se obtene al sumar los montos que acumulan cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos hasta el fnal de la duracón de la anualdad. S n -2 n - n n = número de perodos = tasa de nterés por perodo = renta o pago peródco S = monto de la anualdad Para deducr una fórmula que permta obtener drectamente el monto o valor futuro de una anualdad antcpada smple "S" se suman los montos que acumulan cada uno de los depóstos nvertdos a la tasa de nterés, desde sus respectvos vencmentos hasta el fnal de la duracón de la anualdad: 2 S = ( + ) + ( + ) + ) n n K K+ ( + ) + ( + (A) Multplcando ambos membros por ( + ) se tene: 2 3 n n + S ( + ) = ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) (B) estando membro a membro las expresones B A, se obtene: n + S. = ( + ) ( + ) n + Factorzando se tene: S. = [( + ) ] 34

36 Despejando a S de la expresón anteror, se obtene la fórmula que permte hallar el monto de una anualdad antcpada smple: S = n+ [( + ) ] MONTO ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE [7] Ejemplo 40 S en una cuenta bancara que abona el 0% compuesto trmestralmente se depostan $3, al nco de cada trmestre, qué suma se acumulará al cabo de 4½ años? = $3, j = 0% m = 4 (trmestral) = 0 / 4 = 2.5% trmestral t = 4½ años n = =8 trmestres 0 S =? A n u a ld a d A n tcp a d a S m p le = $ 3,0 0 0 S = 2.5% trm n = 8 trm e s tre s = ta s a n te ré s p or p e ro d o = 0 / 4 = 2.5 % = re n ta = $ 3, S = m o n to d e la a n u a lda d Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [7], se tene: S = 3, [( ) ] = $68, Ejemplo 4 Cuánto se acumula en 7 meses, s se efectúan depóstos quncenales antcpados de $2,300.00, en una cuenta de ahorros que paga el 2% anual convertble quncenalmente? = $2, j = 2% m = 24 = 2 / 24 = 0.5% quncenal n = 7 2 =4 quncenas S =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [7], se tene: S = 2, [( ) ] = $33, Como son 8 pagos y el prmero vence en el cero, luego el últmo, es decr el pago #8, vence en el 7 (un perodo antes del fnal de la anualdad, tal como ocurrrá en todas las anualdades antcpadas). 35

37 6.. CÁLCULO DE LA ENTA En ocasones se requere calcular el valor de la renta o de los depóstos peródcos "", partendo de un monto o valor futuro específco de una anualdad antcpada smple "S", de una duracón "n" y de una tasa de nterés por perodo " ". En tales casos, el cálculo de la renta se realza con la expresón que resulta al despejar a "" de la fórmula [7]: S. n [(+ ) ] = + VALO DE LA ENTA [8] Ejemplo 42 Cuánto debe nvertr una persona, al nco de cada mes, para acumular la suma de $300, en un plazo de 5 años, s su nversón gana un 3.2% anual compuesto mensualmente? S = $300, j = 3.2% m = 2 = 3.2 / 2 =.% mensual n = 5 2 = 60 meses =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [8], se tene: = 300, = $3, [(+ 0.0) 0.0 ] Ejemplo 43 Qué cantdad se debe depostar al nco de cada cuatrmestre durante 6 años para acumular $90,000.00, s la tasa de nterés es del 4% cuatrmestral? Qué cantdad de nterés se gana? S = $90, = 4% cuatrmestral m = 3 n = 6 3 = 8 cuatrmestres =? I t =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [8], se tene: = 90, = $7, [(+ 0.04) 0.04 ] b) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3], se tene: I t = 90, ,23.78 = $6, CÁLCULO DEL PLAZO O DUACIÓN S se conoce el monto "S" de una anualdad antcpada smple, la tasa de nterés por perodo " " y el valor de la renta "", puede calcularse el valor de "n", o sea, el número total de perodos (o de pagos) de la anualdad, medante la expresón que resulta al despejar a "n" de la fórmula [7]: S log + + n = VALO DE LA DUACIÓN [9] log (+ ) 36

38 Dado que "n" representa el número total de perodos, por consguente s se qusese el tempo expresado en años se procedería a dvdr el valor obtendo entre la frecuenca de los pagos (o de captalzacón de la tasa de nterés) "m", o sea, medante la fórmula [5]: n t( años ) = m Ejemplo 44 José Melo efectúa depóstos antcpados mensuales por valor de $ cada uno en una cuenta de ahorros que abona el 35.64% anual convertble mensualmente. Determne: a) el balance de la cuenta justamente antes del 8vo depósto, y b) durante qué tempo (años) deberá realzar dchos depóstos s pretende acumular la suma de $5, = $ S = $5, j = 35.64% m = 2 = / 2 = 2.97% mensual n =? t (años) =? a) Como el 8vo. depósto vence en el mes #7, nteresa el balance en el mes #7 pero sn nclur el depósto correspondente a esa fecha, o sea, se pde el monto de la anualdad antcpada smple con "n=7" : = $ S = % m e s E l 8 v o. d e p ó s to v e n c e e n e l m e s 7. = ta s a n t e r é s p o r p e r o d o = / 2 = % = r e n t a = $ S = m o n to d e l a a n u a ld a d Medante la fórmula [7], se obtene el balance justamente antes del 8vo. depósto: S = [( ) ] = $4, b) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [9], se tene la cantdad de perodos requerdos para acumular los $5,000.00: 5,000 log n = = 8 meses log ( ) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se obtene el tempo en años: t = 8 2 =.5 años = ½ años Después que se tene el tempo expresado en años puede hacerse la conversón a cualquer otra undad (meses, quncenas, semanas, etc.). 37

39 Ejemplo 45 Un señor deposta $9, al nco de cada trmestre en una cuenta de nversones con la fnaldad de acumular $30, S la cuenta abona un 0% anual captalzable trmestralmente, determne cuántos depóstos deberá hacer para lograr su objetvo de reunr los $30, y el valor de un depósto adconal en caso necesaro. = $9, S = $30, j = 0% m = 4 = 0 / 4 = 2.5% trmestral n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [9], se tene la cantdad de depóstos requerdos para acumular los $30,000.00: 30,000 log ,000 n = = depóstos log ( ) Consderaremos que para reunr los $30, se requeren 2 depóstos completos de $9, un depósto adconal que vencerá al nco del sguente trmestre 2. Veamos a contnuacón el cálculo del depósto adconal: Determnacón del depósto adconal medante una ecuacón de valor =$9,000 S X S FF = 2.5% trm x = depósto adconal S = monto a acumular = $30, S = monto de la anualdad (n=2 dep.) La fecha focal se fjará a los 2 trmestres Cálculo de "S " : S 2 + ( ) = 9, = $27, Luego, a partr de una ecuacón de valor con FF: en el trmestre #2, se obtendrá el valor del depósto adconal: 27, x = 30, x = 30, , x = $2, ESP.: Se requeren 2 depóstos completos de $9, un depósto adconal de $2, Se efectuará de esa manera a fn de garantzar que el valor de los depóstos nunca exceda la renta orgnalmente establecda. 38

40 6..3 CÁLCULO DE LA TASA DE INTEÉS En este acápte trataremos sobre el cálculo de la tasa de nterés anual, sempre y cuando sean conocdos el monto "S", la duracón "n" y el valor de la renta "" de una anualdad antcpada smple. Ante la mposbldad de despejar a " " de la fórmula [7], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e nterpolacón. Para desarrollar el proceso de tanteo, trabajaremos con dcha fórmula en el sguente formato: + [( + ) ] n = Después de consegur la tasa de nterés por perodo ", se procede a multplcar dcho valor por la frecuenca de captalzacón de la tasa de nterés "m" a fn de obtener la tasa de nterés anual " j ", o sea, medante la fórmula [7]: j = m S [20] Ejemplo 46 A qué tasa anual convertble bmestralmente se acumulan $45, luego de efectuarse 5 depóstos bmestrales antcpados de $8,000.00? Cuál es la tasa efectva equvalente a la obtenda anterormente? S = $45, = $8, n = 5 bmestres =? m = 6 j =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [20], se tene: ( + ) , = = ,000 Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés pedda: TANTEO " " (%) S / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [20] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de captalzacón, éste depende drectamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 2.3 y 2.4. Probando valores entre 2.3 y 2.4, se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: : = 2.36 % j = = 4.6 %» Tasa anual convertble bmestralmente b) Medante la fórmula [6], se obtene la tasa efectva: j 2 = 4.6% j e =? m 2 = j = + = = %» Tasa efectva e 6 39

41 6.2 VALO ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE El valor actual de una anualdad antcpada smple "A" es el valor de dcha anualdad calculado en el momento presente, esto es, en su fecha ncal. Se obtene al sumar los valores actuales de cada uno de los pagos desde sus respectvos vencmentos hasta el nco del prmer perodo de la anualdad. A n -2 n - n n = número de perodos = tasa de nterés por perodo = renta o pago peródco A = valor actual de la anualdad Para deducr una fórmula que permta obtener drectamente el valor actual de una anualdad antcpada smple "A", nos ubcamos en la fecha ncal y allí efectuamos la sumatora de los valores actuales de los "n" pagos de cuantía ", los cuales se descaptalzan en base a la tasa de nterés " " por perodo de captalzacón: A = + ( + ) + ( + ) 2 + ( + ) Multplcando ambos membros por ( + ) se tene: A ( + ) = ( + ) + + ( + ) ( + ) estando membro a membro las expresones B A, se obtene: n+ 2 n+ K K+ ( + ) + ( + ) (A) 2 + A. = ( + ) ( + ) n + Factorzando se tene: A. = [ + ( + ) ] n+ 3 n+ 2 K K+ ( + ) + ( + ) (B) Despejando a A de la expresón anteror, se obtene la fórmula que permte hallar el valor actual de una anualdad antcpada smple: n + [ + ( + ) ] n+ A = VALO ACTUAL ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE [2] Ejemplo 47 Determne el valor actual al día de hoy (preco de contado) de una bccleta que puede pagarse medante abonos mensuales antcpados de $ durante ½ años, s la tasa de nterés es del 8% compuesto mensualmente. = $ j = 8% m = 2 = 8 / 2 =.5% mensual n =.5 2 = 8 meses PC = A =? Para obtener el preco de contado se procede a descaptalzar todos los pagos desde sus respectvos vencmentos hasta el nco del prmer perodo de la anualdad, o sea, hallamos el valor actual de la anualdad antcpada smple usando la fórmula [2]: PC = A = [ ( ) ] = $5,

42 Ejemplo 48 Determne el preco de contado de un artículo por el que se efectuaron 20 pagos quncenales guales de $ El prmer pago fue de nmedato y la tasa de nterés aplcada a la operacón fue del % quncenal. Cuánto se pagó por concepto de ntereses? = $58.49 = % quncenal m = 24 n = 20 quncenas PC= A =? I t =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se obtene el preco de contado: PC = A = [ ( + 0.0) ] = $9, b) Medante la fórmula [2], resulta el valor pagado por concepto de ntereses: I t = ,450 = $99.80 Ejemplo 49 (anualdad dferda smple) S un señor nverte $00, en una cuenta bancara que paga el 0.93% mensual y al cabo de un tempo puede realzar 60 retros mensuales e guales de $3,403.0, determne cuántos meses después de efectuar la nversón podrá realzar el prmer retro. 0 $00,000 =$3, n n+ n+2.. n+ 59 n+ 60 mes n =? = 0.93% = tasa de nterés por mes = 0.93 % A FF n = 60 meses A= valor actual anualdad antcpada smple con duracón gual a 60 perodos En el dagrama temporal se ha ndcado la nversón con una flecha haca abajo y los retros con flechas haca arrba. Para obtener el valor de "n" se planteará una ecuacón de valores equvalentes con FF en el mes "n", que es el momento en que se podrá realzar el prmer retro. En la FF se gualará la nversón captalzada hasta allí con el valor actual de la anualdad dferda 3 compuesta de 60 retros, la cual analzaremos esta vez como una anualdad antcpada smple, cuyos nco y fnal están defndos en el dagrama con los puntos azules. Véndolo así, refermos los 60 retros de $3,403.0 hasta el mes "n" medante la fórmula [2], resultando "A" y eso lo gualamos al monto compuesto de la nversón, obtenéndose de dcha gualdad el valor peddo de "n" : 00,000 ( ) n = 3,403.0 [ ( ) A 60+ ] 3 Una ANUALIDAD DIFEIDA es aquella en la que se estpula que el prmer pago se efectúa después de transcurrdo certo número de perodos. Sus elementos se obtenen consderándola como una anualdad nmedata (vencda o antcpada). En este caso, la analzamos como una anualdad antcpada, procedéndose a obtener a n, esto es, el llamado perodo de dfermento o perodo de graca de la anualdad. 4

43 n 00,000 ( ) = 57, Despejando a n de la gualdad anteror, se obtene el tempo peddo en meses: 57, log 00,000 n = = 49 meses log ( ) 6.2. CÁLCULO DE LA ENTA Aquí de lo que se trata es de calcular el valor de la renta o de los pagos peródcos "", partendo de un valor actual específco de una anualdad antcpada smple "A", de una duracón "n" y de una tasa de nterés por perodo " ". En tales casos, la obtencón de la renta se realza con la expresón que resulta al despejar a "" de la fórmula [2]: = A. + [ + ( + ) n VALO DE LA ENTA [22] ] El uso de esta fórmula aplca para la determnacón de la cuantía del pago peródco fjo (captal + nterés) con el que se saldaría una deuda "A". Ejemplo 50 Un reloj valorado en $7, se puede comprar a crédto medante el pago de 6 mensualdades antcpadas. Determne el valor del pago mensual, s el nterés cobrado es del 30% anual captalzable mensualmente. PC = A = $7, j = 30% m = 2 = 30 /2 = 2.5% mensual n = 6 meses =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [22], se obtene el valor del pago mensual: 7, [ ( ) = 6+ = $, ] Ejemplo 5 Un señor debe pagar hoy $280,000.00, pero al no poder cumplr con su compromso se pone de acuerdo con el acreedor para cancelar la deuda medante pagos trmestrales e guales durante 5½ años, efectuando el prmer pago nmedatamente. S la tasa de nterés aplcable a la operacón es del 25% compuesto trmestralmente, calcule el valor del pago trmestral y el nterés total a pagar por el fnancamento. A = $280, j = 25% m = 4 = 25 / 4 = 6.25% trmestral n = = 22 trmestres =? I t =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [22], se obtene el valor del pago trmestral: 280, [ ( ) = 22+ = $22,363.0 ] b) Medante la fórmula [2], resulta el nterés total a pagar por el fnancamento: I t = 22 22, ,000 = $2,

44 Ejemplo 52 (anualdad dferda smple) Fábrca de Muebles Alberto, SL. compra a crédto una maqunara valorada en $630,000.00, pagando $230, de ncal y acordando saldar el resto medante 24 pagos bmestrales guales, vencendo el prmero en 6 meses. Encuentre el valor del pago bmestral s la tasa de nterés aplcada es del 8% anual convertble bmestralmente. PC = $630, Incal = $230, Valor a Fnancar = PC Incal = $400, j = 8% m = 6 = 8 / 6 = 3% bmestral n = 24 bmestres =? n = 6 $400,000 A =? n = 24 bmestres = 3% bmest = 8 / 6 = 3% bmestral n = 24 bmestres A = valor actual de la anualdad antcpada smple La anualdad dferda la analzaremos como una anualdad antcpada, cuyos nco y fnal están defndos en el dagrama con los puntos azules. Luego, captalzaremos la deuda hasta el bmestre #6, obtenéndose el valor de la deuda al nco de la anualdad, o sea el valor actual A : A = 400,000 ( ) 6 = $477, A partr de A y con la fórmula [22], se obtene el valor peddo del pago bmestral: 477, [ ( ) = 24+ = $27, ] CÁLCULO DEL PLAZO O DUACIÓN De conocerse el valor actual "A" de una anualdad antcpada smple, la tasa de nterés por perodo " " y el valor de la renta "", puede calcularse el valor de "n", o sea, el número total de perodos (o de pagos) de la anualdad, medante la expresón que resulta al despejar a "n" de la fórmula [2]: A log + n = VALO DE LA DUACIÓN [23] log (+ ) Dado que "n" representa el número total de perodos, por consguente s se qusese el tempo expresado en 4 años se procedería a dvdr el valor obtendo entre la frecuenca de los pagos (o de captalzacón de la tasa de nterés) "m", o sea, medante la fórmula [5]: n t( años ) = m 4 Después que se tene el tempo expresado en años puede hacerse la conversón a cualquer otra undad (meses, quncenas, semanas, etc.). 43

45 Ejemplo 53 Andrés Morla compra a crédto un automóvl valorado en $500, con un fnancamento del 00% del valor del auto al 2.3% anual convertble quncenalmente y acordando realzar pagos quncenales e guales de $5, comenzando de nmedato. Determne durante cuántos años se habrán de efectuar dchos pagos. PC = A = $500, j = 2.3% m = 24 = 2.3 / 24= 0.525% quncenal = $5, n =? t =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [23], se obtene cantdad de perodos o de pagos: 500,000 log , n = = 20 quncenas log ( ) Luego, medante la fórmula [5] se halla la cantdad de años durante los cuales se habrán de efectuar los pagos: 20 t = = 5 años 24 Ejemplo 54 Un señor debía pagar hoy $4,270.45, pero acuerda con su acreedor cancelar la deuda medante pagos trmestrales de $, comenzando nmedatamente. S la tasa de nterés aplcada a la operacón es de un 3.25% trmestral, determne cuántos pagos son necesaros para saldar la deuda y el valor de un pago adconal en caso necesaro. A = $4, = 3.25% trmestral m = 4 = $, n =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [23], se obtene cantdad de perodos o de pagos: 4, log ,000 n = = trmestres log ( ) Consderaremos que para saldar los $4, se requeren 8 pagos completos de $, un pago adconal que vencerá al fnal del sguente trmestre 5. Determnacón del pago adconal A A n = 8 =$,000 X = 3.25% trmestral 7 8 trm x = pago complementaro A = deuda a saldar = $4, A = valor actual anualdad antcpada con n = 8 pagos 5 Se efectuará de esa manera a fn de garantzar que el valor de los pagos nunca exceda la renta orgnalmente establecda. 44

46 Como es de suponer, con un valor " n = 8" resulta un valor actual "A " que no compensa la deuda a saldar: 8+ [ ( ) ] $3, A =,000 = Sendo así, se genera un valor faltante que se obtene de la dferenca de " A A ": Valor faltante = 4, , = $ Fnalmente, la cuantía del pago complementaro se obtene al captalzar el valor faltante desde la fecha "0 hasta la fecha de vencmento de éste (" n = 8"): Pago adconal " x" = ( ) 8 = $ ESP.: Se requeren 8 pagos completos de $, un pago adconal de $ CÁLCULO DE LA TASA DE INTEÉS Analzaremos a segudas el proceso de cálculo de la tasa de nterés anual, sempre y cuando sean conocdos el valor actual "A", la duracón "n" y el valor de la renta "" de una anualdad antcpada smple. Ante la mposbldad de despejar a " " de la fórmula [2], se procede a obtener su valor por tanteo o por tanteo e nterpolacón. Para llevar a cabo el tanteo, trabajaremos con dcha fórmula en el sguente formato: n+ [ + ( + ) ] Después de consegur la tasa de nterés por perodo ", se procede a multplcar dcho valor por la frecuenca de captalzacón de la tasa de nterés "m" a fn de obtener la tasa de nterés anual " j ", o sea, medante la fórmula [7]: j = m Ejemplo 55 Una persona se comprometó a pagar $34, en la fecha de hoy, pero al no poder cumplr con su compromso acuerda saldar la deuda medante 9 pagos semestrales e guales de $4, comenzando de nmedato. Obtenga la tasa de nterés anual convertble semestralmente aplcada a la operacón. A = $34, = $4, n = 9 semestres =? m = 2 j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [24], se tene: = A 9+ [ + ( + ) ] 34,009 = = ,600 Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés pedda: [24] TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [24] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores 7.43 y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 5.2 y 5.3. Probando valores entre 5.2 y 5.3 se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: = 5.47 % = 5.27% j = = 2.08% 45

47 Ejemplo 56 S me entregan una nevera valorada en $53, y acepto pagar 24 mensualdades antcpadas de $3,20.59 cada una, determne la tasa de nterés anual captalzable mensualmente cargada a la operacón, así como la tasa de nterés efectva. A = $53, = $3,20.59 n = 24 meses =? m = 2 j =? j e =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [24], se tene: 24+ [ + ( + ) ] 53,800 = = ,20.59 a) Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés anual captalzable mensualmente: TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [24] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 3. y 3.2. Probando valores entre 3. y 3.2 se encuentra el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual pedda " j " medante la fórmula [7]: = 5.47 % = 3.2% j = = 37.44% b) Medante la fórmula [6], se obtene la tasa efectva: j 2 = 37.44% j e =? m 2 = j = + = = %» Tasa efectva e 2 7. ANUALIDAD ANTICIPADA GENEAL Una anualdad antcpada general es aquella cuyos pagos vencen al nco de cada uno de los perodos que la componen, sendo éstos dferentes de los perodos de captalzacón de los ntereses. Ejemplo de este tpo de anualdad lo consttuye el conjunto de 8 pagos guales por valor de $7, a efectuarse al nco de cada cuatrmestre a los fnes de saldar una deuda contraída al 9% de nterés anual convertble mensualmente. 7. CÁLCULO DEL MONTO, VALO ACTUAL, ENTA, PLAZO Y TASA DE INTEÉS DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA GENEAL La forma más senclla de trabajar con una anualdad antcpada general es transformarla en una antcpada smple, y luego utlzar las fórmulas ya conocdas de ésta para determnar los valores deseados. Una manera de realzar dcha modfcacón consste en utlzar la tasa de nterés " j " captalzable " m " veces por año, equvalente a la tasa de nterés anual conocda j " captalzable m " veces por año 6 ( fórmula [5] ). " 2 " 2 6 S sempre se dentfca con j 2 la tasa de nterés compuesto conocda, entonces nvarablemente se podrá obtener la tasa de nterés equvalente con la fórmula de j, o sea, con la fórmula [5]. 46

48 Ejemplo 57 Sandra Lora acuerda efectuar depóstos antcpados de $3, cada 2 meses en un fondo de nversón que paga un 2.7% anual convertble semestralmente. Cuánto habrá acumulado en el fondo justamente antes de realzar el décmo qunto depósto? = $3, (bmestral) j = 2.7% m = 2 (semestral) n = 4 bmestres S =? Como estamos ante una anualdad antcpada general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta bmestralmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una antcpada smple: j 2 = 2.7% j =? m 2 = 2 m = 6 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (2 / 6) j = = % = + 2 O sea, emplearemos: j = % m = 6 = / 6 = % bmestral n = 4 bmestres =$3,800 S bm = % bm S = monto a acumular un nstante antes de realzar el décmo qunto depósto Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [7], se obtene el valor acumulado: S = 3, [( ) ] = $62, Ejemplo 58 Para la compra de una computadora valorada en $34,650.00, una compañía realzó pagos guales al nco de cada mes durante un año, a partr de la fecha en que recbó el equpo. Consderando ntereses al 28.85% anual captalzable daramente, de cuánto fueron los pagos? Qué suma se pagó por concepto de ntereses? PC = A = $34, j = 28.85% m = 360 (dara) n = 2 meses =? (mensual) I t =? Como estamos ante una anualdad antcpada general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta mensualmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una antcpada smple: j 2 = 28.85% j =? m 2 = 360 m = 2 Susttuyendo en la fórmula [5], se tene: 47

49 (360 /2) j = = % = O sea, emplearemos: j = % m = 2 = / 2 = % mensual a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [22], se obtene el valor del pago mensual: 34, [ ( ) = 2+ = $3, ] b) Medante la fórmula [2], resulta la suma a pagar por concepto de ntereses: I t = 2 3, ,650 = $4, Ejemplo 59 Con cuántos depóstos guales de $8,500.00, efectuados al comenzo de cada trmestre, se alcanza un monto de $350,000.00, s el dnero rnde un.34% mensual? Obtenga el valor de un depósto adconal, s fuera necesaro. = $8, (trmestral) S = $350, =.34% mensual m = 2 j =.34 2 = 6.08% n =? (trmestres) Como estamos ante una anualdad antcpada general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta trmestralmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una antcpada smple: j 2 = 6.08% j =? m 2 = 2 m = 4 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: (2 / 4) j = = % = + 2 O sea, emplearemos: j = % m = 4 = / 4 = 4.074% trmestral Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [9], se tene la cantdad de depóstos requerdos para acumular los $350,000.00: 350,000 log ,500 n = = depóstos log ( ) Consderaremos que para reunr los $350, se requeren 24 depóstos completos de $8, un depósto adconal que vencerá al nco del sguente trmestre 7. Veamos a contnuacón el cálculo del depósto adconal: 7 Se efectuará de esa manera a fn de garantzar que el valor de los depóstos nunca exceda la renta orgnalmente establecda. 48

50 Determnacón del depósto adconal medante una ecuacón de valor S =$8,500 X S FF trm = 4.074% x = depósto adconal S = monto a acumular = $350, S = monto de la anualdad (n=24 dep.) La fecha focal se fjará a los 24 trmestres Cálculo de "S " : S 24 + ( ) = 8, = $349, Luego, a partr de una ecuacón de valor con FF: en el trmestre #24, se obtendrá el valor del depósto adconal: 349, x = 350, x = 350, , x = $ ESP.: Se requeren 24 depóstos completos de $8, un depósto adconal de $ Ejemplo 60 FINECA, S.A. fnanca una deuda ascendente a $420,000.00, acordando su cancelacón medante el pago de 30 mensualdades antcpadas de $20, cada una. Cuál es la tasa efectva cargada a la operacón? A = $420, = $20, (mensual) n = 30 meses j e =? m = (anual) j =? m = 2 (mensual) Como estamos ante una anualdad antcpada general y la tasa de nterés efectva es la ncógnta, ncalmente calcularemos la tasa de nterés captalzable mensualmente para transformar la anualdad general en una antcpada smple (de modo que concdan el perodo de los pagos y el de captalzacón de los ntereses). Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de nterés equvalente. Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [24], se tene: 30+ [ + ( + ) ] 420,000 = = , Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés " ": 49

51 TANTEO " " (%) A / a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la fórmula [24] resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 2.8 y 2.9%. Probando valores entre 2.8 y 2.9%, se encuentra = 5.47 % el valor buscado de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual " j " medante la fórmula [7]: = 2.85 % j = = 34.2 %» Tasa anual captalzable mensual Para calcular la tasa de nterés efectva (tasa pedda) empleamos la fórmula [6]: j 2 = 34.2% j e =? m 2 = j = + = = %» Tasa efectva e 2 Ejemplo 6 (anualdad dferda general) Al comprar a crédto un artefacto eléctrco valorado en $3, se acuerda saldar totalmente su preco medante 6 pagos bmestrales e guales de $2,862.43, vencendo el prmero 4 meses después de la compra. Calcule la tasa de nterés anual convertble quncenalmente cargada a la operacón. PC = A = $3, = $2, (bmestral) n = 6 bmestres j =? m = 24 (quncenal) j =? m = 6 (bmestral) 0 FF n = 4 =$2, A n = 6 bmestres =? bm.. $3,740 = $2, =? A= valor actual anualdad antcpada smple con duracón gual a 6 bmestres En el dagrama se ha ndcado el plan de pago # (al contado) con una flecha haca abajo y el plan de pago #2 (a plazos) con flechas haca arrba Como estamos ante una anualdad dferda general y la tasa de nterés anual convertble quncenalmente es la ncógnta, ncalmente calcularemos la tasa de nterés captalzable bmestralmente para transformar la anualdad general en una dferda smple (de modo que concdan el perodo de los pagos y el de captalzacón de los ntereses). Luego, para responder correctamente la pregunta planteada, obtendremos una tasa de nterés equvalente. Consderando la anualdad dferda como una anualdad antcpada, cuyos nco y fnal están defndos en el dagrama con los puntos azules, planteamos una ecuacón de valores equvalentes con FF en la fecha 0, gualando el valor de contado (plan de pago #) al valor actual de la anualdad antcpada A (fórmula [2]) descaptalzado desde la fecha 4 hasta la fecha 0 (plan de pago #2) : 50

52 6 + [ + ( + ) ] 2, ( + ) A 5 [ + ( + ) ] 4 ( + ) = Procederemos a obtener por tanteo la tasa de nterés " ": TANTEO " " (%) P / ,740 2, P/ = 3,740 = c) Como se observa, el valor de se encuentra entre los valores y lo cual ndca que el valor buscado de " " estaría entre las tasas 3.5 y 3.6%. Probando valores entre 3.5 y 3.6%, se encuentra el = valor 5.47 buscado % de " ", obtenéndose a contnuacón la tasa anual " j " medante la fórmula [7]: = 3.52 % j = = 2.2 %» Tasa anual captalzable bmestralmente Para calcular la tasa de nterés anual captalzable quncenalmente (tasa pedda) empleamos la fórmula [5] que nos permte hallar la tasa equvalente a la obtenda anterormente: j 2 = 2.2% j =? m 2 = 6 m = 24 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: a) Asgnamos valores a " " sabendo que lo que se busca es que el segundo membro de la ecuacón resulte gual o aproxmadamente gual a b) Como la expresón del prmer membro es un factor de descaptalzacón, éste depende nversamente de la tasa " " asumda. (6 / 24) j = = % = +» Tasa anual captalzable quncenal 6 5

53 8. ANUALIDAD PEPETUA O PEPETUIDAD Una anualdad perpetua, renta perpetua o perpetudad es aquella que está compuesta por pagos peródcos guales efectuados ndefndamente sn límte de tempo. Tal es el caso que se presenta cuando se nverte un captal y sólo se retran los ntereses generados, dejando ntacto el captal nvertdo. Los dvdendos sobre las accones preferentes de una compañía y las donacones efectuadas por flántropos, que son nvertdas y cuyos ntereses peródcos se les entregan a centros de nvestgacón o de benefcenca, son ejemplos de anualdades perpetuas. Como hablamos de una sere de pagos que se ncan en una fecha fja, pero cuyo plazo o duracón no tene fn, es mposble obtener el monto o valor futuro de los msmos. Sn embargo, el valor actual sí puede establecerse, ya que para tener derecho a percbr una renta perpetua habrá que efectuar una nversón ncal, la cual no es otra cosa que el valor actual o presente de la sere de pagos. Por ejemplo, s se realza el depósto de $500, en una cuenta bancara que abona el 4.4% anual captalzable trmestralmente, se podrán retrar $8, cada trmestre, permanecendo nalterable la suma nvertda. S se deja ndefndamente el captal en manos del banco, es obvo que la percepcón de los $8, trmestrales consttuye una anualdad y, dentro de la suposcón de que no exste una fecha para retrar el depósto, la anualdad es perpetua. Como vemos los $500, son el valor actual o presente de una anualdad o renta perpetua de $8, trmestral. Al gual que las anualdades antes vstas, las anualdades perpetuas pueden ser vencdas, antcpadas o dferdas, así como tambén, smples y generales. 8. ANUALIDAD PEPETUA VENCIDA Una anualdad perpetua vencda es aquella en que el valor de la renta es gual a los ntereses generados por una nversón al fnal de cada perodo. En los casos en que el perodo de vencmento de los pagos concda con el perodo de captalzacón de los ntereses dremos que la anualdad es smple, en caso contraro, general. S llamamos A al captal nvertdo (por tempo ndefndo) a la tasa de nterés por perodo, expresada en forma decmal, luego el valor de la renta será gual al nterés generado en cada perodo, el cual estará dado por la gualdad: = A. VALO DE LA ENTA [25] El valor actual de una anualdad perpetua vencda smple, es decr la nversón que proporcona la sere ndefnda de pagos, se obtene con la fórmula que resulta al despejar a A de la gualdad anteror: A = VALO ACTUAL ENTA PEPETUA VENCIDA SIMPLE [26] Despejando de la fórmula [25] se tene una expresón para calcular la tasa de nterés por perodo : Luego, la tasa anual " j " se obtene medante la fórmula [7]: = TASA DE INTEÉS PO PEIODO [27] A j = m TASA DE INTEÉS ANUAL Perpetudad pagadera cada certo número de perodos de captalzacón Lo vsto hasta aquí responde a un modelo en que se efectúa el retro peródco ndefndo de la renta (o nterés) en cada uno de los perodos que se genera. Ahora ben, analzaremos a contnuacón el caso en que el nterés peródco generado se deja captalzar por certo número de perodos, al fnal de los cuales se retra el nterés compuesto ganado, dejando úncamente el captal ncal. Sean A el captal ncal, la tasa de nterés por perodo, n el número de perodos de captalzacón exstentes entre la fecha ncal y la fecha en que el nterés compuesto se va a retrar, luego el valor de la renta perpetua 52

54 será gual al nterés compuesto generado en los n perodos de captalzacón, el cual lo podemos calcular restando el monto compuesto acumulado menos el captal ncal: Factorzando se tene: = A( + ) n A n = A [(+ ) ] VALO DE LA ENTA [28] Despejando de la expresón anteror se obtene la fórmula que permte hallar el valor actual de una perpetudad pagadera cada n perodos de captalzacón: A = VALO ACTUAL [29] n [( + ) ] Ejemplo 62 Mlton Mena donó $650, a un aslo de ancanos. S el dnero se depostó en una cuenta bancara que abona una tasa de nterés del 4.% anual captalzable bmestralmente, cuánto podrá retrar el aslo al fnal de cada bmestre por tempo lmtado? A = $650, j = 4.% m = 6 = 4. / 6 = 2.35% bmestral =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [25], se tene el valor del retro bmestral: = 650, = $5, Ejemplo 63 Cuál es la cuantía de la nversón que debe efectuarse al 0.8% anual convertble mensualmente, de modo que garantce una renta ndefnda mensual de $5,660.00, quedando ntacta dcha nversón? = $5, j = 0.8% m = 2 = 0.8 / 2 = 0.9% mensual A =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [26], se tene la cuantía de la nversón: A = 5,660 = $,740, Ejemplo 64 A qué tasa anual compuesta trmestralmente deberán nvertrse $900,000.00, s se desea recbr $29, al fnal de cada trmestre por tempo ndefndo? A = $900, = $29, =? m = 4 (trmestral) j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [27], se tene la tasa de nterés trmestral: = 29, ,000 Medante la fórmula [7] se obtene la tasa anual " j " pedda: = = 3.25% j = = 3% 53

55 Ejemplo 65 (anualdad perpetua vencda general) Qué tasa de nterés efectva rnde una nversón de $740, s produce una renta quncenal ndefnda de $4,625.00? A = $740, = $4, =? m = 24 (quncenal) j =? je =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [27], se tene la tasa de nterés quncenal: = 4, ,000 = = 0.625% Medante la fórmula [7] se obtene la tasa anual " j " compuesta quncenalmente: j = = 5 % Para calcular la tasa de nterés efectva (tasa pedda) empleamos la fórmula [6]: j 2 = 5% m 2 = 24 j e =? j = + = = %» Tasa efectva e 24 Ejemplo 66 (anualdad perpetua dferda general) Una compañía dona $,200, al hosptal de su comundad, los cuales se depostan en una cuenta bancara que paga una tasa de nterés del 5.7% anual convertble semestralmente. Cuánto podrá retrar ndefndamente el hosptal al fnal de cada bmestre, comenzando desde el noveno bmestre? A = $,200, j = 5.7% m = 2 (semestral) =? (bmestral) Como estamos ante una anualdad perpetua dferda general, prmeramente debemos obtener una tasa de nterés compuesta bmestralmente que sea equvalente a la tasa de nterés dada, a fn de transformar la anualdad en una smple: j 2 = 5.7% j =? m 2 = 2 m = 6 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [5], se tene: ( 2 / 6) j = = % = + 2 O sea, emplearemos: j = % m = 6 = / 6 = 2.550% bmestral Luego, analzando la anualdad dferda como una anualdad vencda, procedemos a captalzar la donacón hasta el bmestre #8 (un bmestre antes de la fecha en que se ncarán los retros), obtenéndose: 8 A =,200,000( ) = $,47,93.43 A partr del noveno bmestre el hosptal podrá retrar cada bmestre una suma cuya cuantía la obtenemos con la fórmula [25]: =,47, = $37,

56 Ejemplo 67 Hallar el valor actual de una renta perpetua vencda de $240, cada semestre, s la tasa de nterés es del 8% anual captalzable quncenalmente. = $230, j = 8% m = 24 (quncenal) = 0.75% quncenal n = = 2 quncenas A =? Como estamos ante una anualdad perpetua vencda, pagadera cada 2 quncenas, entonces susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [29], obtenemos el valor actual peddo: A = 230,000 = $2,45, [( ) ] Ejemplo 68 Un señor donó $800, al hosptal San Marcos. S el dnero se depostó en una cuenta que abona una tasa de nterés del 4.7% anual convertble bmestralmente, determne el valor de la renta perpetua que recbrá el hosptal al fnal de cada año. A = $800, j = 4.7% m = 6 (bmestral) = 2.45% bmestral n = 6 bmestres =? Como estamos ante una anualdad perpetua vencda, pagadera cada 6 bmestres, entonces susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [28], obtenemos el valor peddo de la renta perpetua: = 800,000 [( ) 6 ] = $25, ANUALIDAD PEPETUA ANTICIPADA Una anualdad perpetua antcpada es aquella en que el pago de la renta perpetua se hace efectvo de nmedato, es decr, al nco de cada perodo. Como vemos, esto es equvalente a una anualdad perpetua vencda más un prmer pago que debe efectuarse en la fecha ncal. S el perodo de vencmento de los pagos de la anualdad concde con el perodo de captalzacón de los ntereses dremos que la anualdad es smple, en caso contraro, general. El valor actual de una anualdad perpetua antcpada smple es aquella cantdad A que, dsmnuda en la prmera cuota, y colocada a la tasa de nterés por perodo (expresada en forma decmal), produce como ntereses una renta perpetua, o sea: ( A ). = De donde resulta: A + = VALO ACTUAL ENTA PEPETUA ANTICIPADA SIMPLE [30] por: S el pago que debe efectuarse en la fecha ncal Q, es dstnto de, entonces el valor actual vendría dado A Q + = [3] 55

57 A partr de la fórmula [30], el valor de la renta será gual a: A. = + VALO DE LA ENTA [32] Despejando de la fórmula [30] se tene una expresón para calcular la tasa de nterés por perodo : A = TASA DE INTEÉS PO PEIODO [33] A contnuacón la tasa anual " j " se obtene medante la fórmula [7]: j = m TASA DE INTEÉS ANUAL Ejemplo 69 Cuál es el valor actual de una anualdad perpetua antcpada, s la renta tene un valor de $3, mensuales, suponendo una tasa de nterés del 4.4% anual convertble mensualmente? = $3, j = 4.4% m = 2 (mensual) =.2% mensual A =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [30] se obtene el valor actual peddo: 3,800 A = 3,800 + = $,63, Ejemplo 70 Maro Peña donó a un orfanato $270, para la compra de equpos de cocna y $75,00.00 trmestrales ndefndamente para cubrr costos operatvos. S la tasa de nterés es del % compuesto trmestralmente, determne el valor actual de la donacón. Q = $270, = $75,00.00 j = % m = 4 (trmestral) = 2.75% trmestral A =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [3] se obtene el valor actual peddo: 75,00 A = 270,000 + = $3,000, Ejemplo 7 Una persona crea un fondo con $,590, que se nverte en forma ndefnda al 8.7% anual captalzable bmestralmente, con la fnaldad de ayudar a la nsttucón Casa del Nño San Lucas. Qué cantdad bmestral por tempo lmtado recbrá esta nsttucón, comenzando en el momento msmo en que se realza la nversón? A = $,590, j = 8.7% m = 6 (bmestral) =.45% bmestral =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [32] se obtene el valor de la renta bmestral pedda:,590, = = $22, ( ) 56

58 Ejemplo 72 A qué tasa de nterés anual compuesto mensualmente están nvertdos $2,300,000.00, s por esta nversón la Escuela Hogar Doña Melba recbe una renta perpetua antcpada de $23, cada mes? A = $2,300, = $23, (mensual) =? m = 2 (mensual) j =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [32] se obtene el valor de la tasa de nterés mensual: 23, = = =.05% (2,300,000 23,899.06) Luego medante la fórmula [7] se obtene la tasa anual pedda: j =.05 2 = 2.6%» Tasa anual compuesta mensualmente 9. AMOTIZACIÓN Y FONDOS DE AMOTIZACIÓN En este acápte analzaremos la cancelacón de una deuda, contraída a nterés compuesto, medante una sere de pagos o abonos peródcos. Vsualzaremos este proceso medante la elaboracón de tablas de amortzacón que muestran lo que ocurre con los pagos, los ntereses, los abonos y el saldo de la deuda. Adconalmente, se estudarán los fundamentos de los fondos de amortzacón, los factores que ntervenen en ellos, sus aplcacones, así como las técncas para elaborar tablas de fondos de amortzacón. 9. AMOTIZACIÓN DE DEUDAS. TABLA DE AMOTIZACIÓN Por amortzar una deuda entenderemos la cancelacón o saldo gradual de una deuda (captal + nterés) medante una sere de pagos o abonos peródcos. Cada abono debe tener una cuantía tal que permta: ) saldar los ntereses generados en el perodo prevo al pago, y 2) reducr (o amortzar) en alguna medda el valor adeudado, tambén conocdo como saldo nsoluto. O sea: ABONO = Intereses + Amortzacón Para vsualzar mejor el proceso de amortzacón de una deuda utlzaremos las llamadas tablas de amortzacón, las cuales nos muestran: a) cómo se va reducendo la deuda según se realzan los pagos, b) qué parte se paga para cubrr ntereses y cuánto se amortza a la deuda de cada abono efectuado, y c) el nterés total pagado. Exsten dferentes sstemas para amortzar una deuda 8, sn embargo en todos los casos, se presta atencón a la regla que establece que el nterés debe lqudarse al fnal de cada perodo, calculándolo sempre en base al saldo nsoluto. Analcemos a segudas los dos de mayor uso: amortzacón constante y amortzacón gradual. Amortzacón Constante En este sstema la deuda se lquda medante amortzacones guales, a las que peródcamente se le adconan los ntereses cobrados sobre el saldo nsoluto, es decr, sobre el saldo deudor. Como el saldo nsoluto dsmnuye a medda que se efectúan los abonos, asmsmo varará la suma a pagar por concepto de ntereses. Por tal razón, el conjunto de pagos que saldará la deuda estará compuesto por una sere de abonos peródcos decrecentes provenentes de la suma de una cuota de amortzacón constante más los ntereses varables generados en cada perodo. Una ventaja de este sstema de amortzacón es lo fácl que resulta el cálculo del saldo nsoluto en cualquer momento, sn embargo, el hecho de que la cuantía de los abonos varíe en cada perodo, hace que esta modaldad de pago no se use tan frecuentemente como el sstema de amortzacón gradual. 8 Entre los sstemas más comunes para amortzar una deuda están: amortzacón constante, amortzacón gradual y amortzacón con renta varable. 57

59 Ejemplo 73 Juana odríguez compra a crédto equpos para su peluquería valorados en $3,000.00, acordando efectuar un pago ncal de $5, y 4 pagos mensuales. S a la operacón se le carga una tasa de nterés del 30% anual convertble mensualmente, determne el valor de los abonos mensuales consderando una cuota de amortzacón constante. Elabore la tabla de amortzacón. VALO DE LA COMPA» $3, PAGO INICIAL» 5, $26,000.00» VALO DE LA DEUDA O SALDO INSOLUTO INICIAL AMOTIZACIÓN PEIÓDICA» $ 26, / 4 pagos = $6, j = 30% m = 2 = 30 / 2 = 2.5% mensual TABLA DE AMOTIZACIÓN Amortzacón Constante PEIODO (MES) AMOTIZACIÓN ($) INTEESES ($) ABONO ($) SALDO INSOLUTO ($) 0 26, , , , , , , , , , , , TOTALES 26,000.00, , CÁLCULO DE INTEESES: CÁLCULO DE SALDOS INSOLUTOS: I = 26, = $ S = 26, , = $9, I2 = 9, = $ S2 = 9, , = $3, I3 = 3, = $ S3 = 3, , = $ 6, I4 = 6, = $62.50 S4 = 6, , = $ 0.00 Amortzacón Gradual Es el sstema más empleado para saldar deudas medante pagos peródcos, debdo a que, los abonos son sempre guales y se efectúan a ntervalos de tempo tambén guales 9. Como cada abono efectuado es un valor fjo que dsmnuye en alguna medda el captal adeudado, por ende, los ntereses a lqudar en cada perodo serán cada vez menores y la cantdad destnada a reducr la deuda (cuota de amortzacón) aumentará gradualmente. Dado que en este caso se trata de lqudar una deuda medante abonos peródcos fjos a realzarse en perodos de gual duracón, la deuda se puede nterpretar como el valor actual de una anualdad vencda, sendo posble entonces, calcular la cuantía de los pagos o abonos peródcos fjos medante la fórmula [], tal como se analzara en el acápte Ejemplo 74 Determne el valor de los pagos y haga una tabla de amortzacón de una deuda por $52, contraída al 8% anual convertble bmestralmente a ser cancelada medante 5 abonos guales a efectuarse al fnal de cada bmestre. A = $52, j = 8% m = 6 = 8 / 6 = 3% bmestral n = 5 bmestres =? 9 En general usaremos el sstema de amortzacón gradual, salvo ndcacón contrara. 58

60 Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el valor de los abonos bmestrales: 52, [ (+ 0.03) ] = = 5 $, TABLA DE AMOTIZACIÓN Amortzacón Gradual PEIODO (BIMESTE) ABONO ($) INTEESES ($) AMOTIZACIÓN ($) SALDO INSOLUTO ($) 0 52,000.00,354.44, , , ,354.44, , ,7.29 3, , , , ,702.65, , , TOTALES 56, , , Veamos a contnuacón cómo se obtenen los valores que aparecen en la tabla de amortzacón: CÁLCULO DE INTEESES: CÁLCULO DE LAS CUOTAS DE AMOTIZACIÓN: CÁLCULO DE SALDOS INSOLUTOS: I = 52, = $, A =,354.44, = $ 9, S = 52, , = $42, I2 = 42, = $,266.7 A2 =,354.44,266.7 = $0, S2 = 42, , = $32,7.29 I3 = 32, = $ A3 =, = $0, S3 = 32,7.29 0, = $2, I4 = 2, = $ A4 =, = $0, S4 = 2, , = $, I5 =, = $ A5 =, = $, S5 =,023.72, = $ SALDO INSOLUTO, DEECHOS ADQUIIDOS PO EL DEUDO Y SALDO A FAVO DEL ACEEDO Hay ocasones en que un deudor está saldando un crédto medante n pagos peródcos guales y precsa conocer el captal vvo o valor de la deuda pendente de amortzacón (saldo nsoluto) en un momento determnado. S se dspone de la tabla de amortzacón del crédto y se desea obtener el saldo nsoluto que se tene una vez efectuado el pago número h, basta con entrar en la tabla y tomar el valor correspondente al perodo h que aparece en la columna dentfcada con el nombre de saldo nsoluto. Ahora ben, s no se dspusera de la tabla de amortzacón, el saldo nsoluto justamente después de efectuado el pago número h es posble obtenerlo hallando el valor actual de los restantes n h abonos que faltan por efectuar. S en este últmo caso, quséramos saber tambén cómo se dstrbuye el pago número h (ntereses y amortzacón), prmeramente se procede a encontrar los ntereses multplcando la tasa de nterés por perodo por el saldo nsoluto que se tene al fnal del perodo anteror ( h ) y luego la cuota de amortzacón vene dada por la dferenca del abono peródco fjo menos el valor de los ntereses ya obtendos. El derecho (total o absoluto) de propedad sobre un ben comprado a crédto, pagadero medante pagos peródcos, se adquere al saldar la últma cuota. Sn embargo, los derechos adqurdos por el deudor del crédto se ncan con el prmer pago efectuado y se van ncrementando paulatnamente en la msma medda que se realcen los pagos restantes. Por tanto, se conoce como derechos adqurdos por el deudor a la parte del crédto que se ha amortzado, y al resto, es decr, al saldo nsoluto, captal vvo o deuda pendente de amortzacón se le conoce como saldo a favor del acreedor. 59

61 Ejemplo 75 Un solar valorado en $460, se acuerda pagar a plazos medante un ncal del 20% de su valor y pagos trmestrales vencdos durante 5 años. Consderando una tasa de nterés del 24% anual compuesto trmestralmente, resuelva: a) Calcule el valor del abono trmestral. b) Elabore la tabla de amortzacón. c) Obvando la tabla, determne el saldo nsoluto y el porcentaje de los derechos adqurdos por el deudor justamente después de efectuado el pago # 3. d) Obvando la tabla, obtenga la dstrbucón (ntereses y amortzacón) del pago # 4. e) S nmedatamente después de realzado el pago #6 se acuerda refnancar el balance restante para pagarlo en 2 abonos trmestrales guales, obtenga el valor de los nuevos pagos. PC = $460, Incal = 0.20 PC = $92, j = 24% m = 4 = 24 / 4= 6 % trmestral n = 20 trmestres Deuda = A = PC Incal = 460,000 92,000 = $368, =? a) Como este caso corresponde a una anualdad vencda smple, el abono fjo trmestral a pagar se obtene drectamente medante la fórmula []: b) 368, = = $32, » Valor de los pagos trmestrales 20 [ (+ 0.06) ] TABLA DE AMOTIZACIÓN PEIODO ABONO INTEESES AMOTIZACIÓN SALDO INSOLUTO 0 368, , , , , , , , , , ,843.52, , , ,69.09, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,39.9 5, , , ,82.5 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,974.97, , , , , , , , , , , , , , , , (0.00) TOTALES 64, , ,

62 c) Para obtener el saldo nsoluto justamente después de efectuado el pago #3, basta con hallar el valor actual de todos los pagos que faltan por efectuar. Como en total eran 20 pagos trmestrales y se han efectuado 3, entonces restan 7 pagos de $32, , los cuales se descaptalzan medante la fórmula [8], resultando: 7 [ ( ) ] A = 32, = $79,04.66» Saldo nsoluto justamente después del pago # El valor de los derechos adqurdos por el deudor justamente después de efectuado el pago # 3 se obtene al sumar el pago ncal + la cantdad amortzada: Derechos adqurdos por el deudor = 92,000 + ( 368, ,04.66 ) = $280, El porcentaje de los derechos adqurdos por el deudor es: 280, = = 6.06% 460,000 d) Para obtener la dstrbucón (ntereses y amortzacón) del pago # 4, se debe hallar el saldo nsoluto justamente después de efectuado el pago # 3: A = 32, Los ntereses a pagar ncludos en el pago #4 serán: 7 [ ( ) ] 0.06 = $79,04.66 I = 79, = $0, De donde, la cuota de amortzacón correspondente al pago #4 será: Amortzac ón = 32, , = $2, e) Tomando de la tabla de amortzacón, el saldo nsoluto justamente después de efectuado el pago #6, encontramos: A6 = $,74.6. Luego con dcho valor, la msma tasa de nterés por perodo y con n = 2 trmestres se obtene el valor de los nuevos pagos empleando la fórmula []:, = = $3,260.52» Valor de los nuevos pagos trmestrales 2 [ (+ 0.06) ] 6

63 9.2 FONDO DE AMOTIZACIÓN. TABLA DE UN FONDO DE AMOTIZACIÓN Un fondo de amortzacón es una reserva que se establece en una cuenta que abona ntereses, y en la cual se ha acordado efectuar depóstos peródcos e guales (vencdos o antcpados) durante un certo número de perodos, a fn de lograr acumular un monto prefjado. Los fondos de amortzacón se emplean para amortzar algunos tpos de deudas o compromsos que vencen en fechas futuras (medano o largo plazo), tales como: la reposcón de una maqunara que se desvalorza con el uso, los fondos necesaros para rescatar a su vencmento una emsón de bonos u oblgacones, las aportacones que debe efectuar una compañía para proveer el pago de las pensones por jublacón de sus empleados, la compra de un automóvl o cualquer otro ben en el futuro, etc. Aunque las sumas depostadas en un fondo de amortzacón podrían ser de dferentes cuantías y efectuarse a ntervalos desguales, ésta no suele ser la norma. Lo que se estla, y será ese el modelo que aquí emplearemos, es un proceso sstemátco consstente en depostar cantdades de gual cuantía a ntervalos guales de tempo (pudendo ser al nco o al fnal de cada perodo) en una cuenta que devenga una tasa de nterés específca. Partendo de ese modelo y sendo conocdas la cuantía y la fecha de vencmento de la suma a acumular, así como la tasa de nterés abonada, un fondo de amortzacón no es más que una anualdad vencda o antcpada en la que se debe determnar el valor de los depóstos peródcos. Tal como vmos en la amortzacón de una deuda, en este caso tambén es útl elaborar lo que se conoce como tabla de un fondo de amortzacón, en la cual se vsualza el proceso de acumulacón del monto prefjado y la varacón de los ntereses cada vez que se realza un depósto. Aunque la amortzacón de deudas y los fondos de amortzacón tratan ambos de la lqudacón de deudas, hay una mportante dferenca entre ellos: los pagos peródcos de una amortzacón van drgdos a saldar una deuda actual, por eso se relacona con una anualdad con su valor actual al comenzar el plazo; en tanto que los depóstos efectuados en un fondo de amortzacón tenen la msón de acumularse, junto a los ntereses generados, a fn de lqudar una deuda futura, por eso se asoca a una anualdad con su valor futuro vencendo al fnal del plazo. Ejemplo 76 Un señor desea reunr $70, dentro de 6 meses por lo que decde realzar depóstos guales al fnal de cada mes en una cuenta de ahorros que abona un 5% anual captalzable mensualmente. Determne el valor de los depóstos mensuales y elabore la tabla del fondo de amortzacón. S = $70, j = 5% m = 2 = 5/ 2 =.25% mensual n = 6 meses =? a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se obtene el valor de los depóstos mensuales: b) PEIODO = 70, = $, [( ) ] TABLA DEL FONDO DE AMOTIZACIÓN DEPÓSITO PEIÓDICO INTEESES VALO SUMADO PO PEIODO VALO ACUM. TOTAL, ,307.37, , , , , , , , , , , , , , , , TOTALES 67, , ,

64 Veamos a contnuacón cómo se obtenen los valores que aparecen en la tabla del fondo de amortzacón: CÁLCULO DE INTEESES (I): VALOES SUMADOS PO PEIODO (VSP): VALO ACUMULADO TOTAL (VAT): I = 0 VSP =, = $, VAT = $, I2 =, = $4.34 VSP2 =, = $,448.7 VAT2 =, ,448.7 = $22, I3 = 22, = $ VSP3 =, = $,59.82 VAT3 = 22, ,59.82 = $34, I4 = 34, = $ VSP4 =, = $, VAT4 = 34, , = $46,084.6 I5 = 46, = $ VSP5 =, = $, VAT5 = 46, , = $57, I6 = 57, = $ VSP6 =, = $2,03.97 VAT6 = 57, ,03.97 = $70, Ejemplo 77 Construccones Urbanas, SL. compra equpos de construccón por valor de $3,00,000.00, pagando $600, de ncal y acordando lqudar el resto medante un pago únco a los 3 años con ntereses al 20% anual convertble semestralmente. S smultáneamente a la compra se consttuyó un fondo con reservas trmestrales vencdas que ganan una tasa del 8% anual convertble trmestralmente, determne cuánto se debe depostar cada trmestre. Exprese las prmeras tres flas y la últma de la tabla del fondo y obtenga el total de ntereses. PC = $3,00, Incal = $600, j = 20% m = 2 = 20 / 2 = 0 % semestral n = 3 2 = 6 semestres Deuda actual = PC Incal = 3,00, ,000 = $2,500, S =? El valor futuro de la deuda S se calcula captalzando a nterés compuesto el valor actual de la deuda: Fondo de amortzacón: S = 2,500,000 (+ 0.0) 6 = $4,428, S = $4,428, j = 8% m = 4 = 8 / 4= 4.5 % trmestral n = 3 4 =2 trmestres =? Como este caso corresponde a una anualdad vencda smple, el depósto fjo trmestral a realzar se obtene drectamente medante la fórmula [2]: 4,428, = = $286, » Valor de los depóstos trmestrales 2 [( ) ] TABLA DEL FONDO DE AMOTIZACIÓN DEPÓSITO VALO SUMADO VALO ACUM. PEIODO INTEESES PEIÓDICO PO PEIODO TOTAL 286, , , , , , , , , , , , , , ,428,

65 Veamos a contnuacón cómo se obtenen los valores que aparecen en la tabla del fondo de amortzacón: CÁLCULO DE INTEESES (I): VALOES SUMADOS PO PEIODO (VSP): VALO ACUMULADO TOTAL (VAT): I = 0 VSP = 286, = $286, VAT = $286, I2 = 286, = $2,888.0 VSP2 = 286, ,888.0 = $299, VAT2 = 286, , = $585, I3 = 585, = $26, VSP3 = 286, , = $32, VAT3 = 585, , = $898,444.7 Para determnar los valores de la últma fla hay que tomar en cuenta que: VAT + 286, VAT = VAT2 = $4,428, VSP2 VAT ( ) = 4,428, , VAT = 4,42, /.045 VAT = $3,964,6.99 Luego, los valores de la últma fla además del depósto trmestral (ya conocdo) son: I2 = 3,964, = $78, VSP2 = 286, , = $464,785.5 VAT2 = 3,964, ,785.5 = $4,428, El total de ntereses se obtene medante la fórmula [3]: I t = 4,428, , = $992, CÁLCULO DEL TOTAL ACUMULADO EN UN FONDO DE AMOTIZACIÓN Y DEL SALDO INSOLUTO EN CUALQUIE FECHA S son conocdos la cuantía y los vencmentos de los depóstos peródcos de un fondo de amortzacón, así como la tasa de nterés abonada, el total acumulado en el fondo al cabo de k perodos se obtene sumando los montos que acumulan cada uno de los depóstos desde sus respectvos vencmentos hasta el perodo número k, lo cual se efectúa drectamente medante la aplcacón de la fórmula []. Por otro lado, cuando se ha establecdo un fondo con el fn de acumular el monto que permta pagar una deuda a su vencmento, es posble obtener en una fecha ntermeda el saldo nsoluto, esto es, la cantdad que le falta al total acumulado para garantzar que, al fnal del plazo, el balance dsponble en el fondo sea sufcente, para lqudar la deuda. Por ejemplo, supóngase que la deuda vence dentro de n perodos y que se requere el saldo nsoluto al cabo de k perodos (k<n), entonces el valor de éste puede obtenerse restando el valor actual de la deuda n k perodos antes de su vencmento menos el total acumulado en el fondo de amortzacón a los k perodos. 64

66 Ejemplo 78 Para cancelar una deuda de $530, a 5 años de plazo se establecen reservas bmestrales vencdas en un fondo que abona el 2% anual convertble bmestralmente. Obtenga el valor de los depóstos bmestrales, así como el total acumulado en el fondo y el saldo nsoluto al fnal de los 3 prmeros años. S = $530, j = 2% m = 6 = 2 / 6 = 2% bmestral n = 5 6 = 30 bmestres a) Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [2], se obtene el valor de los depóstos bmestrales: = 530, = $3, [(+ 0.02) ] b) Para el total acumulado en fondo al cabo de 3 años, tenemos: = $3, = 2% bmestral n = 3 6 = 8 bmestres S =? Susttuyendo los valores conocdos en la fórmula [], se obtene el total acumulado peddo: S = 3, [ ( ) ] = $279, c) El saldo nsoluto al cabo de los 3 años se obtene restando el valor actual de la deuda en ese momento menos el total acumulado en el fondo de amortzacón: Saldo nsoluto = 530,000( ) 2 279, = $38,

67 ANUALIDAD VENCIDA SIMPLE S : Monto de una Anualdad Vencda Smple n A : Valor Actual de una Anualdad Vencda Smple [] [( + ) ] S = : Valor de los Pagos Peródcos de la Anualdad [8] PC : Preco de Contado de un Ben (mueble o nmueble) S. I t : Interés Total Generado [2] = n [( + ) ] Inc : Abono Incal de un Acuerdo de Pago a Crédto [9] VAA : Valor Actual de una Anualdad [3] I t = S n. [0] j : Tasa Anual de Interés Compuesto (tasa nomnal) S m : Frecuenca de Captalzacón de la Tasa de Interés log + : Tasa de Interés por Perodo = j/m [4] n = [] t : Tempo o Plazo de la Anualdad (años) log ( + ) n : Número Total de Perodos de Captalzacón n [5] t ( años ) = m [2] EQUIVALENCIA ENTE TASAS DE INTEÉS COMPUESTO j2 : FÓMULAS ELATIVAS A LAS ANUALIDADES Tasa anual de nterés compuesto (conocda) n [ ] ( + ) S [6] = [3] j = m [7] [4] m2 : Frecuenca de captalzacón de la tasa " j2 " j : Tasa anual de nterés compuesto (desconocda) [5] j m = [6] + 2 j m m : Frecuenca de captalzacón de la tasa " j " m je : Tasa efectva (anual) ANUALIDAD ANTICIPADA SIMPLE S : Monto de una Anualdad Antcpada Smple n+ [( + ) ] A : Valor Actual de una Anualdad Antcpada Smple [7] S = [2] : Valor de los Pagos Peródcos de la Anualdad j : Tasa Anual de Interés Compuesto (tasa nomnal) [8] [22] m : = S. n Frecuenca de Captalzacón de la Tasa de Interés [( + ) + ] : Tasa de Interés por Perodo = j/m S t : Tempo o Plazo de la Anualdad (años) log + + n : Número Total de Perodos de Captalzacón [9] n = [23] log ( + ) n+ [20] [( + ) ] S = [24] A = n [ ( + ) ] PC = Incal + VAA Incal = PC VAA A. = [ ( + ) PEPETUIDAD VENCIDA SIMPLE A : Valor Actual de una Perpetudad Vencda Smple : Valor de los Pagos Peródcos de la Perpetudad [25] = A. [26] A = : Tasa de Interés por Perodo = j/m [27] = PEPETUIDAD VENCIDA SIMPLE PAGADEA CADA "n " PEIODOS DE CAPITALIZACIÓN : Valor de los Pagos Peródcos cada "n" Perodos n n : A = Número de Perodos entre Pagos Sucesvos [28] = A [( + ) ] [29] n [( + ) ] PEPETUIDAD ANTICIPADA SIMPLE A : Valor Actual de una Perpetudad Antcpada Smple A : Valor de los Pagos Peródcos de la Perpetudad [30] A = + [32] = + Q : Valor del er. Pago de la Perpetudad ( Q ) : Tasa de Interés por Perodo = j/m [3] A = Q + [33] = A 2 m 2 I t = n. A n A log n = log ( + ) n [ ( + ) ] = j + m Tulo A. Mateo Duval ] A m 2 = 2 e j 2 [ + ( + ) A = = A. [ + ( + ) n n+ + A log + n = log ( + ) [ + ( + ) n+ ] = A ] A ]