LECCIÓN Nº 11 y 12 ANUALIDADES VENCIDAS

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1 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI LECCIÓN Nº 11 y 12 ANUALIDADES VENCIDAS OBJETIVO: El objetvo de este captulo es reconocer, defnr y clasfcar los dferentes de tpos de anualdades y en espacal las anualdades vencdas.; Identfcar y manejar los dstntos factores que ntervenen en las anualdades Al termnar el estudo se podrán calcular: montos o valores futuros, valores actuales, rentas de anualdades, tasas de nterés y tempos o plazos de anualdades vencdas. Introduccón Una anualdad es un conjunto de dos o más flujos de efectvo, en el que, a partr del segundo, los períodos de tempo comprenddo entre un flujo y el anteror son unformes. Este período unforme de tempo: período de renta, no es necesaramente un año, sno un ntervalo de tempo fjo, por ejemplo día, quncena, mes, trmestre, etc. Bajo estas característcas, son ejemplos de anualdades: los sueldos, dvdendos, deprecacones, amortzacones, pensones de enseñanza, pensones de jublacón, prmas de seguros, etc. Dentro de la anualdad, el mporte de cada flujo (ngreso o egreso), recbe el nombre de renta (R) y el conjunto de rentas consttuye la anualdad. Clasfcacón de las anualdades. Certa Eventual o contngente Temporal Perpetua Vtalca Temporal Vencda u ordnara Antcpada Dferda Vencda Antcpada Dferda Smple General Impropa o varable Anualdades certas Son aquellas anualdades cuyas condcones se conocen de antemano (plazo, tasa, días del período captalzable, etc.) y se establecen prevamente, generalmente por contrato entre las partes ntervnentes (deudor y acreedor). Estas anualdades de acuerdo a su duracón pueden ser: Temporales. Cuando el horzonte temporal es un plazo determnado. Por ejemplo, cuando se contrae un crédto a través de Leasng u otra modaldad a un plazo específco. Pág. EDUCA INTERACTIVA 77

2 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI Perpetudades. Son anualdades en la que el fn del horzonte temporal no está determnado, como por ejemplo: la emsón de bonos que en algunos países pagan una renta a perpetudad. Anualdades eventuales o contngentes. Son aquellas cuya fecha ncal o termnal dependen de algún suceso prevsble, pero cuya fecha de realzacón no puede especfcarse por estar en funcón de algún acontecmento externo no prevsble exactamente. Son ejemplos de anualdades eventuales los seguros de vda, en los cuales se conocen la renta pero su duracón es ncerta. El desarrollo de estos flujos corresponde al campo de las matemátcas actuarales, el cual demanda no sólo el conocmento del nterés compuesto sno tambén las probabldades. Estas anualdades a su vez pueden ser: Vtalcas. Es una anualdad que tene vgenca mentras dure la vda del rentsta. Temporales. Es en esenca, una anualdad vtalca cuya dferenca con ella estrba en que termna después de un determnado número de pagos, aun cuando el rentsta contnúe con vda. Las anualdades certas y contngentes pueden ser a su vez: Vencdas u ordnaras: cuando las rentas se ncan a fn de período. Antcpadas o mposcones: cuando las rentas se ncan a comenzo de período. Dferdas: cuando las rentas se ncan después de un determnado numero de perodos de renta, plazo en el cual el captal ncal se va captalzando. Las rentas dferdas pueden ser, a su vez, vencdas o antcpadas. Las anualdades en general pueden ser a su vez: Smples: cuando el período de renta concde con el período de captalzacón. Generales: cuando el período de renta no concde con el período de captalzacón. Pueden darse varos períodos captalzables por período de renta, o varos períodos de renta por período captalzable. Impropas o varables: son anualdades cuyas rentas no son guales. Smbología P = Valor presente de una anualdad S = Monto de una anualdad, valor futuro R = Renta H = Número de días del plazo de la anualdad a nterés compuesto f = Número de días del período de captalzacón n = Número de períodos de captalzacón en el Horzonte temporal (n = H/f) = Valor constante que asume la tasa de nterés del período captalzable. EDUCA INTERACTIVA Pág. 78

3 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI m = Número de períodos de captalzacón en un año de la TNA. Esquema de la clasfcacón de las anualdades certas temporales Esquema de la clasfcacón de las anualdades certas temporales. Vencda Antcpada R R R R R R n-1 n R R R R R R n-1 n Vencda dferda ( 2Rentas ) X R R R R n-1 n Antcpada Dferda (2 Rentas) R R R R n-1 n Las anualdades perpetuas tenen un esquema smlar a las temporales con un numero de perodos captalzados que tenden a nfnto. 1. Anualdades y rentas certas vencdas. Las rentas pueden ser captalzadas (monto de una anualdad), descontadas (valor presente de una anualdad) o evaluadas en cualquer momento de un determnado horzonte temporal, aplcando el prncpo de equvalenca fnancera. A partr de un stock de efectvo ya sea en el presente o en el futuro, es posble calcular el mporte de su correspondente flujo unforme o renta constante. FORMULAS CLAVES DE CÁLCULO FINANCIERO DIAGRAMAS Indca entrada de dnero Indca salda de dnero Pág. EDUCA INTERACTIVA 79

4 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI CIRCUITO MATEMATICO FINANCIERO Sentdo retrospectvo P=S (FSA) P=R (FAS) R R R S (captal fnal) 0 n R = Sere unforme de pagos P (captal ncal) S=P (FSC) S=R (FCS) Sentdo proyectvo FACTOR SIMPLE DE CAPITALIZACION FSC = ( 1 + ) n Transforma una cantdad presente o captal ncal P en un valor futuro o captal fnal (S), por lo tanto al fnal de n perodos a nterés compuesto se tendrá: S = P x FSC - n Donde representa la tasa de nterés nomnal del perodo expresado en tanto por uno y n él numero total de perodos de tempo. Esta formula no es otra que la empleada en el nterés compuesto cuando necestábamos hallar un monto (S) donde: S = P x ( 1 + ) n Ejemplo Cuál será el monto de un deposto de ahorros de S/ a una tasa nomnal mensual de 5.65% con captalzacón mensual s se cancela después de 5 meses? Datos P = 900 = 5.65% ó P = 900 S =? n = 5 meses S =? Solucón S = P x FSC = EDUCA INTERACTIVA Pág. 80

5 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI S = 900 x ( ) 5 S = 900 x S = 1, Respuesta.- El monto o captal fnal después de 5 meses será S/ 1, FACTOR SIMPLE DE ACTUALIZACION FSA = 1 ( 1 + ) n Se derva de la formula anteror despejando P: donde : FSA = 1 ( 1 + ) n P = S x 1 ( 1 + ) n Este factor transforma una cantdad futura (S) en una cantdad presente (P) cuando hay n perodos antes a una tasa de nterés compuesto. P = S x FSA - n Ejemplo Cuál será el valor actual de un depósto que puesto a una tasa efectva anual del 11% producrá un monto de US$ $ 125,235 durante un año? Datos P =? = 11% ó 0.11 anual n = 1 S = 125,235 Solucón P = S x FSA P = 125,235 x ( 1 / ( ) 1 ) P = 112, P=? = 0.11 S = 125,235 1año Respuesta: El valor actual de un monto de US$ 112,824 colocado a una tasa de 11% en un año será USD 112, Pág. EDUCA INTERACTIVA 81

6 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI FACTOR DE CAPITALIZACION DE LA SERIE FCS = ( 1+ ) n - 1 S (captal fnal) R x ( 1 + ) n - 1 R x ( 1 + ) n - 2 R x ( 1 + ) n - 3 R R R R R = Sere unforme de pagos n Cada pago R esta sometdo a nterés compuesto por n perodos el prmero durante n 1 perodos, el segundo durante n 2 perodos y así él ultmo no devenga nterés. Una vez que todos los pagos unformes se han captalzado en el momento n se procede a sumar para llegar al monto o captal fnal (S. La formula general es: S = R x ( 1 + ) n - 1 FCS = ( 1 + ) n 1 FACTOR DE CAPITALIZACION DE LA SERIE UNIFORME Este factor transforma una sere unforme de pagos o depóstos los cuales al captalzarse a un nterés compuesto generan un monto o captal fnal. S = R x FCS - n Ejemplo: Que monto habré acumulado s efectúo 4 depóstos mensuales guales de US$ 150 en m cuenta de ahorros la cual me paga una tasa mensual de 0.56% con captalzacón mensual? EDUCA INTERACTIVA Pág. 82

7 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI R = 150 R = 150 R = 150 R = 150 S =? 0 Datos R = 150 = mensual n = 4 meses S =? R = Sere unforme de pagos = N = 4 meses Solucón S = R x FCS S = 150 x ( ) S = 150 x S = Respuesta: Acumularé US$ FACTOR DE DEPOSITO AL FONDO DE AMORTIZACION FDFA = ( 1 + ) n 1 Vene a ser la nversa del Factor de captalzacón de la sere. Este factor nos ayuda a calcular las seres de pagos unformes que tendríamos que hacer para que transcurrdo un plazo n y ganando una tasa de nterés, lleguemos a formar un monto o captal fnal predetermnado. R = S x ( 1 + ) n 1 Este factor transforma un valor futuro S en pagos o seres unformes de pagos por lo tanto: R = S x FDFA n Pág. EDUCA INTERACTIVA 83

8 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI Ejemplo Me he trazado la meta de comprarme un auto usado cuyo preco es US$ 4,500 y me he propuesto efectuar depóstos en m cuenta de ahorros que me permtan llegar a esa cantdad en un plazo de 12 meses. Cuánto tendré que depostar mensualmente? S = 4,500 R =? R R R R R R R R R R R R 0 = R = Sere unforme de pagos n = 12 meses Datos S = 4,500 n = 12 = o 0.56% mensual R =? Solucón R = S x FDFA R = 4,500 x R = 4,500 x R = ( ) 12 1 Respuesta: Tendré que depostar mensualmente US$ FACTOR DE RECUPERACION DE CAPITAL FRC = x ( 1+ ) n ( 1 + ) n 1 Transforma un captal ncal o presente en una sere de pagos unformes que contenen un nterés y una amortzacón. Esta es la formula mas utlzada a nvel bancaro y se basa en el cobro de una tasa de nterés a rebatr sobre el saldo mpago así como en la amortzacón del préstamo durante el plazo del crédto. R = P x FRC - n Ejemplo Cuál es la cuota mensual que deberé pagar s en lugar de efectuar los depóstos en m cuenta de ahorros decdo solctar un crédto a 12 meses a una tasa efectva anual de 22% y con pagos y captalzacón mensual? EDUCA INTERACTIVA Pág. 84

9 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI R P = 4,500 =22% anual R R R R R R R R R R R 0 Datos n = 12 = 22% o 0.22 anual R =? P = 4, R = Sere unforme de pagos n = 12 meses Solucón Como m esta en térmnos anuales y m n esta en térmnos mensuales, tengo que hallar la tasa equvalente mensual para una TEA = 22% luego: eq = ( 1 + ef ) f / H - 1 eq = ( ) 1/12-1 eq = R = P x FRC R = 4,500 x x ( ) 12 ( ) 12 1 R = 4,500 x R = Respuesta: Tendré que pagar mensualmente US$ FACTOR DE ACTUALIZACION DE LA SERIE FAS = ( 1 + ) n 1 x ( 1+ ) n El FAS transforma una sere de pagos mensuales en un valor presente o captal ncal. Es exactamente la nversa del FRC por lo tanto: P = R x FAS n Ejemplo Cuál será el valor actual de los pagos de US$ mensuales que tengo que hacer en los 12 meses? Pág. P =? =22% anual EDUCA INTERACTIVA 85

10 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI R = R = Sere unforme de pagos R R R R R R R R R R R R 0 Datos n = 12 = 22% o 0.22 anual R = P =? n = 12 meses Solucón P = R x FAS R = x ( ) x ( ) 12 R = x R = 4,500 Respuesta: El valor actual es US$ 4,500 (sí consderamos todos los decmales se redondea a US$ 4,500) CALCULO DE n EN UNA ANUALIDAD. A partr de las formulas: S = R x FCS ó P = R x FAS ó R = S x FDFA R = P x FRC. Podemos calcular n, empleando el método del tanteo o despejándola drectamente de cualquera de lasa formulas señaladas anterormente. Cálculo de n en funcón al FCS o FDFA. Ya que el FCS y FDFA son recíprocos, el despeje de n a partr de las fórmulas antes señalada nos dará el msmo resultado: R ( 1 + ) ^ n - 1 S = S = R ( 1 + ) n - R R ( 1 + ) n = S + R Log R + n Log ( 1 + ) = Log ( S + R ) n Log ( 1 + ) = Log ( S + R ) - Log R EDUCA INTERACTIVA Pág. 86

11 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI n = S Log + 1 R Log ( 1 + ) Cálculo de n en funcón al FRC o FAS. Ya que el FRC y el FAS son recíprocos, el despeje de n a partr de las formulas antes menconadas nos dará el msmo resultado. R = P R = P ( 1 + ) ^ n ( 1 + ) ^ ( 1 + ) ^ - n R 1 -( 1 + ) ^ - n = P - ( 1 + ) ^ -n = P/ R - 1 ( 1 + ) ^ -n = 1 - P/ R n = - Log 1 - P R Log ( 1 + ) Ejemplo: Cuántos depóstos de fn de mes de S/. 500 serán necesaros ahorrar, para acumular un monto de S/ en un banco que paga una TNA del 24% con captalzacón mensual? Solucón: Planteando la ecuacón de equvalenca S = R x FCS ó R = S x FDFA y despejando en cualquera de ellas llegamos a la fórmula, que se resuelve del sguente modo. n = S Log + 1 R Log ( 1 + ) n =? = 0.24/12 Reemplazando datos: R = 500 n = 10. Pág. EDUCA INTERACTIVA 87

12 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI S = Ejemplo: Con cuantas cuotas constantes trmestrales vencdas de S/. 500 se podrá amortzar un préstamo de S/. 5000, por el cual se paga una TET del %?. Solucón. Planteando la ecuacón de equvalenca P = R x FAS ó R = P x FRC y despejando n en cualquera de ellas, llegamos a la formula, que se resuelve del sguente modo. n = - Log 1 - P R Log ( 1 + ) n =? = Reemplazando datos. R = 500 n = P = 5000 Ya que no es aplcable pactar un crédto a trmestres, la presente operacón puede pactarse con 15 cuotas: 14 de S/. 500 y la últma de un mporte mayor, o con 16 cuotas: 15 de S/. 500 y la ultma de un mporte menor. Adoptando esta últma decsón la equvalenca fnancera puede plantearse del sguente modo: 5000 = 500 x FAS : 15 + X x FSA : = X = X X = El dagrama de tempo valor de la anualdad mpropa o varable es el sguente: P = 5000 =6.12% n-1 n = 16 Trm R = 500 R = 500 R = 500 R = 500 R = 500 x = EDUCA INTERACTIVA Pág. 88

13 UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI Práctca Nro. 05 Nota: Los sguentes problemas deben ser resueltos por los estudantes, cualquer consulta lo realzaran por correo del Docente: 1. Efectué las ses transformacones fnanceras equvalentes consderando un captal ncal de S/. 1000, una TNA del 36% con captalzacón mensual y 5 rentas vencdas de 30 días cada una. Respuesta: S=PxFSC = ; R=SxFDFA = ; R=PxFRC = ; P=SxFSA = ; P=RxFAS = ; S=RxFCS = S = P x FSC. 2. Cuál será el monto de un Certfcado de Depósto a Plazo Fjo comprado el 16 de marzo y cancelado el 15 de mayo? La nversón ncal fue de S/. 800 y la TNA fue del 12% con captalzacón dara. Respuesta: S = Cuál será el monto nomnal de un pagare que será descontado faltando 38 días para su vencmento? Al pagare se le aplcara una TNM del 3% con captalzacón dara y se requere dsponer un mporte neto de S/ Respuesta: S = Por qué monto tendrá que aceptarse un pagaré con vencmento a 45 días necestándose dsponer de S/. 5000? En las operacones de descuento el banco cobra una TEA del 20%. Respuesta: S = Hoy una persona deposta en un banco S/. 300, dentro de tres días S/. 400 y 14 días después de este últmo depósto, S/. 200 Cuánto habrá acumulado 40 días después de haber efectuado el prmer depósto s percbe una TNA del 18% con captalzacón dara? Respuesta: S = 915,84 S = R x FCS 6. Calcular el monto de una sere de 6 depóstos de S/. l000 efectuados cada uno de ellos al fnal de cada 15 días. Los depóstos percben una TNA del 36% captalzable mensualmente. Respuesta: S = Industras del Mar S.A. (Indumar) y Peruexport han celebrado un contrato por medo del cual la prmera le alqula a la segunda un terreno por un período de dos años y por una renta de $ 500 mensuales, los cuales deberá depostar a fn de cada mes en una cuenta bancara que le reportará a Indumar una TEA del 15%. Asumendo que Peruexport cumplrá con su compromso qué mporte habrá acumulado Indumar al fnalzar el contrato de alquler? Respuesta: S = En el mes de abrl, la compañía SARA tuvo el sguente movmento en su cuenta corrente: efectuó depóstos de S/ 2000, los días 4 y 8 y S/ los días 12, 16 y 20; asmsmo efectúo retros de S/. I000 los días 12, 16 y 20; calcule el saldo de la cuenta corrente al día 20, s por los saldos deudores paga una TEM del 4% y por los saldos acreedores gana una TEM del 3%? Respuesta: S = P = R x FAS. 9. Calcule el mporte a depostar hoy en un banco que paga una TEM del 3%, el cual permtrá retrar durante 5 meses ( a fn de cada mes ) una renta de S/ Respuesta: P = Pág. EDUCA INTERACTIVA 89

14 UNIVERSIDAD JOSÉ CARLOS MARIATEGUI 10 En un concurso de precos llevado a cabo para la adquscón de una Computadora (HP), los proveedores han presentado las sguentes propuestas: Proveedor A B Meses Los mportes en el momento 0 representan la cuota ncal. Asumendo una TEM del 5%. Cuál sera su recomendacón? Por qué? Respuesta: PA = ; PB = En el proceso de adquscón de una maqunara se han recbdo las sguentes propuestas a) al contado por S/ y b) al crédto con una cuota ncal de S/ y ses cuotas mensuales de S/ Qué opcón escogería usted s el costo del dnero es del 5% efectvo mensual? Respuesta: P = P = S x FSA. 12. Una deuda de S/ que vence dentro de 45 días se propone cancelarla hoy efectuando un pago de S/. 3800, es convenente para el acreedor esta propuesta, s su costo de oportundad es del 5% efectvo mensual? Respuesta: P = Una letra con valor nomnal de S/ ha sdo descontada faltando 48 días para su vencmento aplcando una TEM del 5%. Qué mporte neto recbrá el descontante?. Respuesta: P = R = S x FDFA. 14. S deseamos acumular S/ en un banco medante 5 depóstos guales cada fn de trmestre ganando una TEM del 3%. Cuál será el mporte de cada depósto? Respuesta: R = La empresa Textles S.A. ha decddo ahorrar una determnada suma constante durante dos años, para adqurr una nueva máquna automatzada, cuyo costo será en esa fecha aproxmadamente de $ 9000, S la TEA que ganará en una nsttucón de crédto es 15%, a cuánto ascenderá cada depósto de fn de mes? Respuesta: R = R = P x FRC. 16. Cuál es la cuota fja a pagar por un préstamo bancaro de S/ pactado a una TNA del 24% para ser amortzado en 8 cuotas trmestrales? Respuesta: P = Un automóvl cuyo preco al cash es de $ 10000, es venddo al crédto con una cuota ncal del 35% y 12 cuotas mensuales unformes vencdas. Calcule el mporte de cada cuota s por el fnancamento cobran una TEM del 5%. Respuesta: P = Cálculo de n (FCS y FDFA). 18 Se necesta adqurr una máquna evaluada en $ Dentro de cuántos meses podrá dsponerse ese mporte, ahorrando cada fn de mes una suma constante de $ l800 en una nsttucón fnancera que paga una TEM del 2%? Respuesta: n = Calculo de n (FRC y FAS) 19. En cuánto tempo podrá cancelarse un préstamo de S/ con pagos de S/ cada fn de trmestre? La entdad fnancera cobra una TNA del 24% captalzable trmestralmente. Respuesta: n = EDUCA INTERACTIVA Pág. 90