TEMA 5: SISTEMAS ARITMÉTICOS Y LÓGICOS.

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1 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad TEM 5: SISTEMS RITMÉTIOS Y LÓIOS 5 Sumadores bnaros as todo se hace con sumas: sumas, restas, productos, oncepto de acarreo 5 Semsumador Half dder (H) Entradas de bt y salda SUM y RREO S S 5 Sumador completo de bt Full dder (F) omo el semsumador, pero además con entrada de acarreo S ( ) S ( ) o ben Se puede observar que el número bnaro compuesto por resultado de la operacón y tambén el número de unos que hay en la terna de bts S ndca, codfcado en bnaro, el, y SUMDOR ELEMENTL O OMLETO DE IT F S onsderando que el semsumador es un bloque que realza la operacón XOR de dos varables y la operacón ND de las msmas varables, se puede construr un sumador completo de bt a partr de dos semsumadores y una puerta OR según la fgura adjunta: Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos

2 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad SEMISUMDOR SEMISUMDOR S ( ) UERT OR Restador de un bt Se puede defnr drectamente la resta bnaro según la sguente tabla: M S R Resultado Se puede observar que el resultado de la operacón está expresado en complemento a dos con los bts R De gual forma se podría encontrar un sencllo crcuto realzado con puertas para llevar a cabo esta funcón elemental de resta 5 Sumador paralelo con acarreo sere Usando n sumadores completos de bs se construye un sumador completo de n bts n- n- n n- F F F F S n S n- S S S S t s es el tempo para realzar una suma y t c el tempo para realzar un acarreo, resulta: Dato en S S S n- S n n Tempo t s t c t s t c t c t s (n-) t c n t s Inconvenente: necesta que actúen los anterores sumadores para que pueda actuar uno en partcular Se acumulan los retardos de propagacón Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos

3 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 54 Sumador de arrastre antcpado Los acarreos se generan en paralelo (smultáneamente) con los resultados, evtando el problema de propagacón sere de los sumadores vstos anterormente or tanto, estos sumadores son más rápdos que los de acarreo sere Tenendo en cuenta que el sumador total cumple las sguentes ecuacones: Llamamos al llamado térmno ropagador y el llamado térmno enerador, defndos por: y artcularzando la expresón para,,, y queda: ) ( 4 Las saldas dependen de los datos de entradas y acarreos Los acarreos dependen de los térmnos propagadores y generadores Los térmnos propagadores y generadores dependen sólo de los datos de entrada or tanto, las saldas dependen sólo de los datos de entrada y otros que se obtenen drectamente de éstos, y todos se conocen desde el prmer momento S ) (

4 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 4 EUIONES: S 4 Sumador de arrastre antcpado

5 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad 55 Sumador / Restador S S/R la operacón es una suma Las puertas XOR dejan pasar el dato sn más S S/R, las puertas XOR nverten el dato de, con lo que obtene el complemento a, y, además, ntroduce un en el acarreo para tener el complemento a S/R XOR XOR XOR XOR S S/R D D D D D SUMDOR OMLETO DE 4 ITS S S S S S S/R D S 4 S S S S 56 Sumador D SUMDOR OMLETO DE 4 ITS IRUITO OMINIONL RREO SUMDOR OMLETO DE 4 ITS para: S S S S El crcuto combnaconal detecta que la suma es superor a 9 y da una señal que srve a la vez Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 5

6 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad ) ctvar el acarreo posteror ) Restar (o sumar 6, ya que los 4 bts menos sgnfcatvos son los msmos) al número que dé como salda el sumador de 4 bts s la suma está entre y 5, ambos ncludos, o sumar el número 6 a los 4 bts que salen del prmer sumador s la suma está entre 6 y 9 uede parecer que es gual sumar 6 que restar No, hay una dferenca de 6, pero s a un número en bnaro se le suma 6 (), los 4 bts menos sgnfcatvos del resultado son los msmos, gual que s en decmal le sumamos a un número, las 4 últmas cfras no camban La salda de acarreo del segundo sumador completo de 4 bts es rrelevante El dseño de dcho crcuto responde a la sguente tabla de verdad: RREO X X X X cuya solucón es: RREO Los casos comprenddos entre y, ambos ncludos, no se darán nunca, ya que el mayor número posble resulta de sumar 9 9 9, en el caso de sumar los mayores dígtos D y suponendo entrada de acarreo de una etapa anteror Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 6

7 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad 5 Multplcador combnaconal La multplcacón artmétca bnara concde con el producto lógco El resultado es sólo cuando ambos operando son El algortmo de multplcacón utlzado en base decmal es tambén aplcable a base bnara Ejemplo: 5 x x x Sumas totales de bt Sumas parcales de 4 bts Según que las sumas parcales se realcen de golpe o por partes, hay dos crcutos que mplementan esta operacón: uno con sumadores completos de bt y otro con sumadores completos de varos bts, respectvamente Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 7

8 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Multplcador hacendo sumas totales con bt Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 8

9 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Multplcador hacendo sumas parcales de 4 bts Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 9

10 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad 5 Módulos Lógcos 5 omparadores a a b b Z Z Z a a b b OMRDOR > < ompara dos números y según cuál sea mayor, o s son guales, actva una salda, dejando desactvadas las otras dos Z Z Z Se pueden hacer comparadores de números bnaros de 4 bts usando comparadores de bts ara ello, hay que tener en cuenta que al comparar dos números de 4 bts, los dos bts más sgnfcatvos determnan cuál de los dos números es mayor, ndependentemente de los otros dos Esto tambén ocurre en base De la comparacón de dos números y de 4 bts se pueden obtener los sguentes casos: es mayor que s los dos bts más sgnfcatvos de son mayores que los dos bts más sgnfcatvos de, ndependentemente de los dos bts menos sgnfcatvos, o, s sendo guales los dos bts más sgnfcatvos, los dos bts menos sgnfcatvos de son mayores que los dos bts menos sgnfcatvos de es gual que s los dos bts más sgnfcatvos de son guales que los dos bts más sgnfcatvos de, y, además, los dos bts menos sgnfcatvos de son guales que los dos bts menos sgnfcatvos de es menor que s los dos bts más sgnfcatvos de son menores que los dos bts más sgnfcatvos de, ndependentemente de los dos bts menos sgnfcatvos, o, s sendo guales los dos bts más sgnfcatvos, los dos bts menos sgnfcatvos de son menores que los dos bts menos sgnfcatvos de S llamamos ZM, ZM y ZM a las saldas >, y <, respectvamente, del comparador de los bts más sgnfcatvos y ZL, ZL y ZL a las saldas >, y <, respectvamente, del comparador de los bts menos sgnfcatvos, las saldas Z (>), Z () y Z (<), se pueden expresar como: Z ZM Z M ZL Z Z M Z L Z ZM Z M ZL Un comparador de 4 bts con comparadores de bts se puede construr de la sguente forma: Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos

11 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad a a b b a a b b ZM OMRDOR DE ZM NÚMEROS DE ITS ZM ZL OMRDOR DE ZL NÚMEROS DE ITS ZL > < omparador de 4 bts con dos comparadores de bts Los crcutos ntegrados comparadores pueden tener entradas >,, < que transmten el resultado de la entrada a la salda cuando las palabras de bts a comparar son guales Esto se utlza para realzar comparacones de un gran número de bts a partr de comparadores más pequeños, colocándolos en cascada 5 Detectores y generadores de pardad enerador de pardad x x X I x x x x x x ENERDOR DE RIDD R ENERDOR DE RIDD IMR I x x x I x x x Los bts de pardad consttuyen una nformacón redundante que srve para detectar errores en bt S el bt de pardad es el correcto, no ha habdo error S algún bt se camba de valor, el bt de pardad da resultado ncorrecto, ha habdo un error, aunque no se sabe en qué bt Sn embargo, la comprobacón de pardad no detecta error s se camban dos bts S el bt erróneo es el propo bt de pardad, sn que haya error en el resto de los bts, detecta error cuando en realdad no lo ha habdo Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos

12 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Detector de pardad x x x x4 I x x x ENERDOR DE RIDD DESONOID x4 x x x DETETOR DE RIDD I x x x x4 I x x x x4 5 onversores de códgos a a a n ONVERSOR DE ÓDIO b b b m Ejemplo: veamos un conversor de D a dsplay de 7 segmentos Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos

13 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad a D ONVERSOR DE ÓDIO D DISLY DE 7 SEMENTOS a b c d e f g e f g d b c D a b c d e f g Se puede hacer un conversor de códgo usando una pareja de módulos: Decodfcador y odfcador Los códgos pueden tener dstnto número de bts Ejemplo: convertr el códgo en el códgo según la tabla adjunta: ódgo ódgo X X Y Y X X DE x4 OD 4x Y Y uede ocurrr que los dos códgos no tengan el msmo número de bts Lo vemos en este otro ejemplo: convertr el códgo en el códgo según la tabla adjunta: Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos

14 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad ódgo ódgo X X S S S S X X DE x OD 6x4 S S S S Hay crcutos ntegrados que realzan conversones de códgos D bnaro y vceversa Ejemplo: el crcuto ntegrado 7484 converte 6 bts D (4 de menos peso y de más peso, es decr, el mayor número que se puede representar es el 9) en bnaro de 6 bts or ejemplo,, que representaría al, lo converte a en bnaro, que es or el contraro, el crcuto 7485 converte un número bnaro de 6 bts en dos D (con 8 bts); por ejemplo, el número 5, que en bnaro sería, lo expresa como Otro ejemplo de conversor de códgo es un conversor de 4 bts (sendo y los bts más sgnfcatvos de los códgos ray y bnaro, respectvamente) que camba un códgo bnaro puro en ray y vceversa Se rge por las sguentes ecuacones: Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 4

15 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad 54 Undad rtmétca-lógca combnaconal elemental Se trata de dseñar una LU con las sguentes característcas: Datos de 4 bts, y, 4 líneas de seleccón S hasta S para controlar la operacón de la sguente forma S (LÓI) S (RITMÉTI) S S Operacón S S S Operacón and or NOT - xor (sumando ) (sumando ) - Dagrama de bloques Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 5

16 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 6

17 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 7

18 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Se puede observar que S Qué hay que sumarle a en funcón de S y S? b b b b S S LOQUE La operacón a realzar por el loque según las señales de control S y S es: S S SUMR que, desarrolada, se puede expresar como: S S b d en donde la funcón booleana d puede expresarse en funcón de las varables S, S y b de la forma d d d S b S b d d Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 8

19 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad EJERIIOS ROUESTOS ) Dados tres números bnaros de 4 bts,, y, codfcados en bnaro natural, dseñar un crcuto que realce la suma de con el mayor de y S, el resultado debe ser ara ello usar sumadores bnaros y comparadores y las puertas lógcas que sean necesaras ) Un sstema dgtal con dos señales de control y tene en su entrada buses (*), y de 4, y bts, respectvamente representa un número expresado en D exceso, representa un número en bnaro natural y representa un número en bnaro natural La salda del sstema es un bus de 4 bts según la tabla: SLID Todos ceros codfcado en bnaro natural La mtad de (s es mpar, la parte entera de la mtad) El doble de Dseñar el crcuto usando sólo multplexores y un sumador completo de 4 bts, y explcando la solucón del dseño S (*) NOT: Un bus es un conjunto de líneas cada una de las cuales lleva nformacón de bt ) Se dspone de una LU descrta en la tabla adjunta con tres entradas S,S,S que selecconan la funcón a realzar y una cuarta entrada M que dstngue s la funcón es lógca o artmétca Dseñar un crcuto que realce las cuatro funcones sguentes de forma secuencal y cíclca: F ; F ; F ( ) MS( ) ; F 4 con las sguentes herramentas Se dspone sempre de una LU y de módulos contadores necesaros) NOT: "MS" sgnfca SUM RITMÉTI, mentras que "" sgnfca SUM LÓI El sgno "-" es la resta artmétca ENTRD DE DTOS S S S SLID M ) on puertas lógcas ) on módulos combnaconales: decodfcadores y codfcadores Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos 9

20 TENOLOÍ DE OMUTDORES URSO 7/8 Inocente Sánchez udad Descrpcón del funconamento de la LU S S S M Funcones Lógcas M Funcones rtmétcas F F F ( ) F F F F F F ( ) F ( ) MS( ) F F ( ) MS( ) F F F F 4) Se trata de dseñar una Undad rtmétco Lógca con las sguentes característcas: las entradas serán dos números (a,a ) y (b,b ) de bts cada uno Las saldas serán 4 líneas S, S, S, S más dos líneas adconales F y F El funconamento es: S >, en las líneas S, S, S, S estará el producto artmétco de y, sendo F y F S la salda será gual que en el caso anteror salvo que F S <, S a b, S a b, S ( a b ), y S a b, sendo F y F NOT: ( es la suma lógca, es el producto lógco) a F a F UNIDD RITMÉTIO LÓI DISEÑR M E b S S S b S DISLY DE 7 SEMENTOS Encontrar la tabla de verdad que resuelve el problema (,4 puntos) Implementar las funcones con los elementos solctados: F usando sólo puertas NND (, puntos) F como suma de productos (, puntos) S usando sólo puertas NOR (, puntos) S como producto de sumas (, puntos) S con un DE 4x6 con saldas actvas a nvel alto (, puntos) S con un MUX 8x (, puntos) ontendo del bloque M sabendo que el número se debe ver cuando la operacón realzada haya sdo una multplcacón artmétca, sendo E la señal de habltacón, actva a nvel bajo Tema 5: Sstemas artmétcos y lógcos