Expresiones racionales. la función racional. ... l--- Denominador (no nulo)

Transcripción

1 Epresones raconales Así como llamamos números raconales a los números de la forma % con a b enteros (b :t= O)llamaremos epresones raconales a las epresones de la forma: P() Q()... f--- umerador... l--- Denomnador (no nulo) donde P() Q() son polnomos de una sola ndetermnada sendo Q() no nulo. Ejemplo 1:-ª- es una epresón raconal porque el numerador P() = 3 es un polnomo el denomnador Q() = tambén es un polínomo Ejemplo 2: 3 + 6X2 + \12 es una porque P() = es un..: Q() =. Ejemplo 3: X3 + V no es una epresón raconal porque. la funcón raconal Llamamos funcones raconales a las funcones cua fórmula es una epresón raconal: f() = P() Q() Salvo que se ndque otra cosa debe quedar entenddo que el domno de una funcón es el conjunto más amplo de números reales para el cual la fórmula tene sentdo. Como la dvsón por Ono está defnda el domno de una funcón raconal es el conjunto de todos los valores de la varable que no anulan al denom'nador. que ten- Cuando trabajamos con funcones raconales como su domno puede no ser m es mu mportante qamos constantemente presente su domno. Ejemplo 1: El domno de la funcón g() = ~ es: Dom g = m - { } -2 Ejemplo 2: El domno de la funcón p() = ~ es: Dom p = Ejemplo 3: El domno de la funcón q() = es: Dom q =.. e + 3) X2 + 1 Ejemplo 4: El domno de la funcón r() = es: Dom r =. e -5)( + 2)

2 Ejemplo 5: Consderemos la funcón h() = X2-9 Para ndcar su domno necestamos eclur las de su denomnador como éste es un polnomo utlzaremos las técncas que aprendmos para hallarlas. Factorízamos el =. Raíces del denomnador: l = 2 = => Dom h = R - { } Ejemplo 6: Consderemos la funcón j() = Para ndcar su dornno factorzamos el denomnador: =. Raíces del denomnador: l = 2 = 3 = => Dom j =. Smplfcacón de epresones raconales Al trabajar con funcones raconales nos resultará convenente smplfcar sus fórmulas es decr sus epresones raconales. Es posble smplfcarlas cuando esten factores comunes al numerador al denomnador; de lo contraro la epresón raconal es rreducble. Consderemos la funcón j() del ejemplo 6. Una vez factorzados su numerador su denomnador podemos epresar su fórmula así: j() = _-"C--_-_1)<.>C""...+_1L)--:- ( + 3)( - 1)( + 1) Smplfcamos todos los factores comunes: j() = ~~ 1 (+3)~C~ =~ (» 1; ;-l) Las dos epresones raconales anterores son equvalentes. Es más sencllo trabajar con la rreducble pero sn perder de vsta que el domno de la funcón es el que quedó determnado a partr de la epresón orgnal.. "'>- Entonces podemos escrbr: j() = 1_ con Dom j = R - { } +3 r-: ract uen 2. ndquen el domno de cada funcón s es posble smplfquen sus fórmulas para que sean rreducbles. f()=~ 2 + X h() = () = J'( ) = ---:------: m () = ---'--'---'--':..:..:...::--=-:--'----'-----'--''-' ~ 3. Smplco afrma que el domno de la funcón f() = : r es R. Es certo? Por qué? ++ v5

3 Gráfcos de funcones raconales nterseccón con el eje La nterseccón del gráfco de una funcón f() con el eje se produce cuando la varable se anula. Esto es posble úncamente s = Opertenece al domno de f(); en caso contraro no ha nterseccón. Ejemplo: Consderemos la funcón f() = ~ Dom f = Nos preguntamos: = O pertenece al domno de f?: ; entonces calculamos feo) = - 2 = => La nterseccón del gráfco de ( con el eje es el punto P = ( ; ) 1. f f{[\ ~:. =. '\.; 1 :-r-;. R o V " \ " Ceros Las nterseccones del gráfco de una funcón raconal f() con el eje se producen para los valores de que anulan la funcón es decr para aquellos que anulan alnumerador que pertenecen al domno de f. Esos valores de síesten.son los ceros de f(). Ejemplo 1: Hallemos los ceros de la funcón f() = ~ -l Dom f'». Para hallar los ceros resolvemos la ecuacón: + 1 = O => =.::...:.. Como = -1 pertenece al domno de f el conjunto de ceros de f()~: co = { } Ejemplo 2: Consderemos la funcón g() = Dom g =. Factorzamos los polnomos smplfcamos: _(.>..._.._.. _.._.._.. _..t = -- ( )( ) Obtuvmos una epresón de g() que es gual a la de f() del ejemplo. Sn embargo g() f() no son la msma funcón a que sus domros son dstntos. ntentemos hallar los ceros de g(): Planteamos: = O => =. Obtuvmos un valor de que no pertenece al domríío de g. Luego Co =. 1- '. -. '. 1'\!...!'-J. r-o \. l r-.o ~ 1'\ 1\ : ~.1 'f~1 m :1 1 r- ~ J J "" + /1 +:1 J ~~ract uen 4. ndquen el punto de nterseccón del gráfco de cada una de las sguentes funcones con el eje ; s es que este: 4-16 g()= h()= Hallen los ceros de las funcones del ejercco 4 s es que ~ 6. esten. Analcen la valdez de las sguentes afrmacones: a) Una funcón corta el eje a lo sumo una vez. b) Una funcón corta el eje a lo sumo una vez. e) S Dom f = R => f() corta el eje. d) S Dom f = R => f() corta el eje.

4 Asíntotas vertcales Estudaremos una característca que suelen presentar algunas funcones raconales. Consderemos la funcón f() =!'cuo domno es: Dom f = Como no podemos calcular f(o) analzaremos las mágenes de f() para valores de mu prómos a O. A) S nos acercamos al por la derecha (0+): B) S nos acercamos al por la zquerda (0-): 0- --' ~ - o f(ooool) =. f(oooool) =. f(ooooool) =. res cada vez más prómos a Opor la derecha los valores de f() son cada vez Lo ndcamos así: S tende a 0+=> => f() tende a +00 (+00 ~e lee: más nfnto) A medda que toma valoo t r- f().-x f(-ooool) =. f(-oooool) =. f(-ooooool) =. A medda que toma valores cada vez más prómos a Opor la zquerda los valores de f() son cada vez Lo ndcamos así: S tende a 0- => => f() tende a -00 (-00 se lee: menos nfnto) ttt"t=-> 1/1 o f{) --X El gráfco de f() = ~ tene una rama derecha una rama zquerda S tende a 0 cada una de las ramas se aproma a la recta vertcal cua ecuacón es = (es el eje ). Esa recta es una asíntota vertcal de la funcón. Valores de f() t ~ cada vez maores \ 1 f(.-x -" ~ prómo a o Asíntota Val?res de f() r- vertcal cada vez maores = O.- " S el denomnador de la formulá de una funcón raconal no tene ceros esa funcón no tene asíntotas vertcales. En cambo s a es cero del denomnador no anula al numerador la recta de ecuacón = a es una asíntota vertcal. Por ejemplo: g() = 1 tene dos asíntotas vertcales cuas ecuacones ( + l)( - 2) on = -1 Y = 2.! gb1 -. : a' 1 1\... 1 \ o... '=- :2 ; \\ - 1-1\ ract uen 7. Es certo que la funcón f() = =l tene una asíntota ver ~ 8. tcal de ecuacón = O? Por qué? Consderen la funcón f() = 5 e ndquen qué suce-4 de con las mágenes de los valores de que tenden a 4+

5 h MnfO'»1ntrn Asíntotas horzontales Contnuaremos analzando la funcón f() = ~ para estudar otra característca que suelen presentar algunas funcones raconales. Analcemos las mágenes de f() para valores de cada vez maores para valores de cada vez menores. A) Valores de cada vez maores (+00): B) Valores de cada vez menores (-00): +00 [ )r-}-> -Hf: O O f(10 000) = f( ) =. f( ) =. f(l ) =. A medda que toma valores cada vez maores los valores de f() están cada vez más prómos a. f( ) =. f(-l ) =. A medda que toma valores cada vez menores lo valores de f() están cada vez más prómos a. S tende a +00 => f() tende a O S tende a -00 => f() tende a O 1 f{) =-; -ff[t -=========-----no-r--' ~O =========~~~ 1 f() = -; S tende a +00 o a -00 cada una de las ramas del gráfco de f() se aproma a la recta horzontal cua ecuacón es: = (es el eje... ). Esa recta es una asíntota horzontal de la funcón. Asíntota ~ horzontal 1 = O f() =-; ~ ~ Valores de. cada vez menores O Valores de cada vez maores de su e- Una funcón raconal tene asíntota horzontal s el qrado del numerador presón es menor o gual que el grado del denomnador. ~ract uen 9. Es certo que la funcón f() = -l tene una asíntota horzontal de ecuacón = O? Por qué? 10. a) Analcen cómo son las mágenes de la funcón f() = 2X: 1 para valores de cada vez maores para valores de cada vez menores. b) ndquen s f() tene asíntota horzontal. En caso afrmatvo escrban su ecuacón. 11. Escrban las ecuacones de las asíntotas vertcales horzontales de cada una de las funcones grafcadas: f- - >-=- p.==-t -1 '-- ~~- f---l-\ ~~3 v! )\.9 : \ lo r-- '.1< f-f-l- f-htx- l / l H Lc. / -- _.f- -- )L \ ;-- lr O ' r --í !

6 Construccón del gráfco Para grafcar una funcón raconal f() podemos segur estos pasos:.0 ndcamos el domno de f'() a partr de su fórmula orgnal. _0 os fjamos s la epresón de f() es reducble. En caso de serlo la smplfcamos obtenemos la epresón de una nueva funcón s(). ndcamos su domno. A partr del gráfco de s() obtendremos el gráfco de (). El gráfco de f() es como el de se) ecepto para los valores de que pertenecen al domno de s pero no al domno def En esos valores de el gráfco de f() tene "agujeros". ".0 Analzamos s la funcón tene asíntotas vertcales. En caso de que estan escrbmos sus ecuacones las trazamos en el gráfco con una línea punteada..0 Analzamos s la funcón tene asíntotas horzontales. Para ello consderando que fe) = ~~~ podemos utlzar este esquema:... f! gr[p{)] < gr[q{)] =o gr[p{)] = gr[q{)] = gr[p{)] > gr[q{)] coefcente prncpal de P() coefcente prncpal de Q() No tene En caso de que estan escrbmos las ecuacones de las asíntotas horzontales las trazamos en el gráfco con una línea punteada. 5. Hallamos el punto de nterseccón del gráfco de la funcón con el eje s es que este lo marcamos': 6. Hallamos los ceros de la funcón s es que esten los marcamos en el gráfco. 7. S es necesaro calculamos algunas mágenes de la funcón que nos auden a trazar el gráfco. Por ejemplo s ha asíntotas vertcales suele ser útl obtener las mágenes de los valores de prómos a ellas a uno otro lado de cada una. 0 Trazamos el gráfco de fe) de modo que la curva pase por los puntos que marcamos se aprome a las asíntotas s es que esten. Ejemplo 1: Grafquemos la funcón f() = X2-2 4 cuo domno es Dom f Smplfcamos la epresón: f() = (. )(. ) => s() = Dom s: Observamos que = 2 pertenece al domno de pero no al de Entonces hacemos así: 1. Grafcamos s() que es una funcón lneal.!! 2. Construmos el gráfco de fe) que es como el de s() pero con un "agujero" en el punto que correspondería a la magen de = 2.! ' b ; +. " í!! ' -+

7 Ejemplo 2: Grafquemos la funcón f() = ndcamos su domno: Dom f =. Es reducble la epresón de la fórmula de f()?. Analzamos s tene asíntota vertcal: El valor de que anula al denomnador de la fórmula de f() es: = Nos preguntamos: anula tambén al numerador? => La ecuacón de la asíntota vertcal es: =. Trazamos una línea punteada para marcar esa asíntota. Analzamos s tene asíntota horzontal: Como los grados de los polnomos numerador denomnador son calculamos el cocente de los coefcentes. Ecuacón de la asíntota horzontal: = --- Trazamos una línea punteada para marcar esa asíntota. Hallamos la nterseccón del gráfco con el eje : f( ) = => P = ( ; ) ~ -B.1 r- v 4 J.. ~ 1 o : - -) - 4 Marcamos ese punto. Hallamos los ceros: Planteamos: = O => = => co = { } Marcamos ese punto en el gráfco. Calculamos algunas mágenes más marcamos esos puntos: ~ - f(l) =... f(2) =. f(-3) =... f(-4) =... Trazamos las dos ramas de la curva de f() hacéndola pasar por los puntos que marcamos antes apro-.. mándola a las Debemos tener en cuenta que: sr.1-~ende a -1- => f() tende a s tende a -1+ => f() tende a s tende a +00 o a _00 => f() tende a. ~~ract uen 12. Grafquen la funcón f() = Para ello después de ndcar su domno smplfquen la epresón de la fórmula de f() llamen s() a la funcón que obtuveron cua epresón es rreducble e ndquen su domno. Analcen grafquen s() después sobre la base de ese gráfco obtengan el de f() tenendo en cuen- '. ta que s un valor de pertenece al domno de s() pero.. no al de f() en esa abscsa habrá un "agujero" en el gráfco de f(). ~ 13. Grafquen las sguentes funcones: f() = g() h() = X