Diferencias Finitas. 4.1 Introducción. 4.2 Método de las Diferencias Finitas. 4. Diferencias Finitas
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- Raquel Correa Rojo
- hace 6 años
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1 . Dferencas Fntas Dferencas Fntas. Introduccón La técnca de las dferencas fntas fue la prmera técnca ue surgó para resolver problemas práctcos en ngenería. Ho en día ésta técnca a está obsoleta con lo respecta a solucón de ecuacones en dervadas parcales por eemplo solucón de problemas vgas placas etc. Pero la técnca de dferencas fntas es asta o bastante utlada a la ora de la ntegracón numérca en el tempo.. Método de las Dferencas Fntas Consderemos una funcón defnmos la dervada de con respecto a como: d lm lm d. donde ndca la pendente de la funcón en el punto. Fgura.: Dervada de una funcón.
2 DIFERENCIA FINITA Cuando no tendo más a cero sí a un valor fnto ver Fgura. la dervada en un punto se puede defnr de varas formas. utlamos el punto ue está a la uerda dferenca fnta por la uerda tenemos ue: I. o utlando el punto ue está a la dereca dferenca fnta por la dereca obtenendo así ue: D. donde denomnamos ue. Como podemos ver en la Fgura. al utlar esta técnca estamos obtenendo un valor apromado de la dervada de la funcón cuando obtenemos así el valor eacto de dca dervada. I -valor apromado. por la uerda C -valor apromado. centrada -valor real D -valor apromado. por la dereca Fgura.: Dervada de una funcón por dferenca fntas. Podíamos aún plantear otra posbldad para obtener la dervada de la funcón en el punto a través de los puntos ue están a dereca a la uerda del punto dferenca fnta centrada: Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca C. Como podemos verfcar a través de la Fgura. la dferenca fnta centrada se aproma más al valor eacto. Verfcamos tambén ue la dferenca fnta centrada para la prmera dervada es el valor promedado de la dferenca fnta por la uerda por la dereca:
3 DIFERENCIA FINITA Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca I D. Análogamente podemos defnr dervadas de orden superor por eemplo la dervada segunda: d d lm lm. Dferenca fnta por la uerda: I.7 Dferenca fnta por la dereca: D.8 Utlando la técnca de dferenca fnta centrada la dervada segunda la podemos apromar por:.9.. Dferenca Fnta por la Iuerda A contnuacón defnremos una forma automátca de obtener los operadores L cuando utlamos la técnca de dferenca fnta por la uerda. Como emos vsto anterormente para la prmera dervada tenemos ue ver epresón.. ueremos obtener el operador de la segunda dervada utlando los puntos ue están a la uerda de :. Aplcando una ve más la defncón de dervada por la uerda tenemos ue reemplaando en la epresón anteror obtenemos ue:
4 DIFERENCIA FINITA Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca. Luego defnmos el operador para el caso de dferenca fnta por la uerda. Una forma automátca de obtener el operador es a través de la Fgura.. Fgura.: Dferenca fnta por la uerda. Por eemplo para obtener el operador a través de la Fgura. localamos el valor vamos restando los valores tal como se ndca a contnuacón:. Con eso podemos defnr la cuarta dervada a través de la dferenca fnta por la uerda como:.
5 DIFERENCIA FINITA 7.. Dferenca Fnta por la Dereca A contnuacón defnremos una forma automátca de obtener los operadores L cuando utlamos la técnca de dferenca fnta por la dereca. Como emos vsto anterormente para la prmera dervada tenemos ue ver epresón.. ueremos obtener el operador de la dervada segunda utlando los puntos ue están a la uerda de :. Aplcando una ve más la defncón de dervada por la dereca tenemos ue reemplaando en la epresón anteror obtenemos ue:. Luego defnmos el operador para el caso de dferenca fnta por la dereca. Observemos ue solo utlamos puntos ue están a la dereca del punto. Una forma automátca de obtener el operador es a través de la Fgura.. Fgura.: Dferenca fnta por la dereca. Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca
6 8 DIFERENCIA FINITA Por eemplo para obtener el operador a través de la Fgura. es sufcente acer:. Con eso podemos defnr la tercera dervada a través de la dferenca fnta por la dereca como:.7.. Dferenca Fnta Centrada La dferenca fnta centra utla los puntos ue están localados smétrcamente con referenca al punto consderado. A contnuacón defnremos una forma automátca de obtener los operadores L cuando utlamos la técnca de dferenca fnta centrada. Una forma automátca de obtener el operador es a través de la Fgura.. / / / / / / Fgura.: Dferenca fnta centrada. Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca
7 DIFERENCIA FINITA Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca 9 En la Fgura. la epresón / caractera la dferenca fnta tomada en el punto entre. Por eemplo para obtener la prmera dervada en la Fgura. localamos ue está comprenddo entre / / sacamos el promedo: /.8 egún la Fgura. para la segunda dervada / luego: /.9 Análogamente para la tercera dervada: [ ] [ ] [ ] [ ] / / / / /. Luego:. Observemos ue cuando utlamos dferenca fnta centrada para las dervadas de orden mpar aparece en el denomnador. NOTA: Para la dferenca fntas de orden pares L los coefcentes son los msmos coefcentes de la epresón bnomal n b a por eemplo b ab a b a. con lo cual los coefcentes son. Análogamente b ab b a b a a b a. los coefcentes son
8 DIFERENCIA FINITA Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca. Dferenca Fnta para Dervada Parcal Consderemos aora la funcón. Las dervadas parcales la podemos apromar utlando la técnca de dferenca fnta centrada como:. Las dervadas parcales:. Fgura.: Dferenca fnta. Podemos tambén epresar en forma de operador la dervada como:
9 DIFERENCIA FINITA Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca donde emos adoptado k. Análogamente k. La epresón anteror en forma de operador ueda: Como vsto en el apartado de dferenca fnta con lo cual la dervada parcal se puede representar por:.7 k k
10 DIFERENCIA FINITA Análogamente Con eso el Laplacano ueda:.8.9 Eemplo de aplcacón Consderemos la sguente ecuacón en dervadas parcales. donde representa la deformacón de la membrana cuo valor en el borde de una seccón es gual a cero. Consderemos una seccón cuadrada de lado b como ndca la Fgura.7. Obtener el desplaamento de la membrana en la seccón dada. Fgura.7: Malla de dferenca fnta. olucón: Podemos aprovecar la smetría de la seccón analar solamente un cuarto de la seccón. Además en este cuarto de seccón abrá puntos ue tendrán los msmos desplaamentos con lo cual solo será necesaro analar la mtad del cuarto de seccón ver Fgura.7. Como vsto anterormente podemos apromar el Laplacano a través de dferenca fnta como: Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca
11 DIFERENCIA FINITA Dferencas Fntas Por: Eduardo W. V. Caves Unversdad de Castlla-La Manca. donde emos consderado ue. El operador puede ser representado por: Aplcando este operador en los puntos de la malla L señalados en la Fgura.7 obtenemos el sguente sstema de ecuacones:. Reestructurando el sstema anteror obtenemos ue:. Resolvendo el sstema de ecuacones anteror obtenemos ue:
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