UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA Departamento de Ingeniería Mecánica y de Materiales Máster en Ingeniería Mecánica y Materiales

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1 EX UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales TECHNICA PROGRESSIO VNIVERSITAT POLITÈCNICA VALÈNCIA TRABAJO DE INVESTIGACIÓN TESIS DE MÁSTER ESTIMACIÓN DE ERROR Y MEJORA DE LA SOLUCIÓN DE DESPLAZAMIENTOS DE ELEMENTOS FINITOS Y DEL RENDIMIENTO DE SOLVERS ITERATIVOS MEDIANTE TÉCNICAS RECOVERY. Presentada por: D. Juan Enrque Arenas Palero. Drgda por: Dr. D. Juan José Ródenas García. Valenca, Septembre de 0

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3 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Resumen En el presente Trabajo Fn de Máster, se ha desarrollado un software para obtener una solucón en desplazamentos mejorada a partr de la proporconada por el Método de los Elementos Fntos (M.E.F.), en el análss de problemas en elastcdad D, concretamente mplementando la técnca Superconvergent Patch Recover (S.P.R.). En prmer lugar, se ha partdo de una malla conforme, que modelza la geometría del componente, utlzándose para el análss por el Método de los Elementos Fntos elementos trangulares o cuadrláteros, ben sean lneales o cuadrátcos. En segundo lugar, la estmacón del error de dscretzacón que se comete en la resolucón, está basada en el estmador de error de ZIENKIEWICZ Y ZHU (estmados ZZ). Aunque la maoría de estudos utlzan la solucón reconstruda del campo de tensones (σ * ), obtenda a partr de la solucón proporconada por el MEF (σ ef ), en el presente Trabajo Fn de Máster se enfoca el estudo haca la utlzacón del campo reconstrudo de desplazamentos (u * ) como base para la estmacón del error de dscretzacón obtendo con la técnca S.P.R. (Superconvergent Patch Recover). Los resultados muestran que la mplementacón de la estmacón de error en norma energétca basada en la técnca S.P.R. (Superconvergent Patch Recover) basada en desplazamentos, proporcona estmacones de error velocdades de convergenca smlares a los obtendos medante la técnca S.P.R. basada en tensones. Por últmo, se ha llevado a cabo un estudo ncal de la aplcacón de la solucón en desplazamentos propuesta anterormente, en el uso de algortmos teratvos de resolucón de sstemas de ecuacones, proectando la solucón en desplazamentos propuesta, obtenda en una malla anteror, sobre una malla posteror para su uso como vector ncal en la aplcacón de Métodos Iteratvos. Los resultados de este estudo ncal, muestran que se produce una reduccón del número de teracones necesaras para converger a la solucón aplcando lo epuesto. --

4 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Palabras clave: MEF, ZZ, SPR, desplazamentos, estmacón de error, métodos teratvos. - -

5 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Abstract In ths Fnal Master Work, we have developed a methodolog to obtan an enhanced dsplacement soluton from FE s Soluton for D elastct problem analss, specfcall mplementng the Superconvergent Patch Recover Technque (S.P.R.). Frstl, the analss starts from a conformng mesh whch models n the component geometr. The Fnte Element Code can use trangular and quadrlateral elements, wth lnear or quadratc confguraton. Secondl, the estmaton of the dscretzaton error estmaton of the FE soluton s based n the ZIENKIEWICZ Y ZHU s Error Estmator (ZZ Estmator). Although, a lot of studes use the enhanced stress feld soluton (σ * ), obtaned from the Fnte Element Method (FEM) (σ ef ), ths Fnal Master Work studes the use of the enhanced dsplacement feld soluton (u * ) to obtan the dscretzaton error estmaton through the Superconvergent Patch Recover Technque (S.P.R.). The solutons show that the mplementaton of the error estmaton n energ norm based n S.P.R. dsplacement Technque provdes smlar error estmatons and convergence rate than the S.P.R. Technque based on stresses. Fnall, we ran a ntal stud about the effect of the use of the recovered dsplacement feld on the behavour of the teratve solvers used b the FE code. The soluton procedure consst on the projectng recovered dsplacement feld, obtaned for gven mesh, nto the followng mesh of the h-adaptatve process then ths projecton s used to evaluate a frst tral soluton for the teratve solvers. The results of ths last stud, show that the number of teratons requred to obtan the convergence s consderabl reduced usng the projecton technque. Kewords: FEM, ZZ, SPR, dsplacements, error estmaton, teratve methods. --

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7 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Resum En el present Treball Fnal de Máster, s ha desenvolupat un software per a obtndre una solucó mllorada en desplaçaments a partr de la donada pel Mètode dels Elements Fnts (M.E.F.) en el anàlss de problemes d elastctat D, concretament mplementant la Tècnca Superconvergent Patch Recover (S.P.R.). Prmerament, es partrà d una malla conforme, que modeltza segons la geometra del component, utltzant-ne per al anàlss pel Mètode del Elements Fnts elements trangular o quadrlàters, be lneals o quadràtcs. En segon terme, l estmacó de l error de dscretzacó que es produe en la resolucó està basada en el estmador d error de ZIENKIEWICZ Y ZHU (estmador ZZ). Encara que la majora d estuds utltzen la solucó reconstruïda del camp de tensons (σ*), obtnguda a partr de la solucó proporconada pel M.E.F. (σ ef ), en el present Treball Fnal de Máster el focus d estud es drge a l utltzacó del camp reconstruït de desplaçaments (u * ) com a base per a l estmacó de l error de dscrettzacó. Els resultats mostren que l mplementacó de l estmacó de l error en norma energètca basada en la Tècnca S.P.R en desplaçaments proporcona estmacons d error veloctats de convergènca smlars a la Tècnca S.P.R. basada e tensons. Per últm, es fa un estud ncal de l aplcacó de la solucó en desplaçaments proposta, en l utltzacó d algortmes teratus de resolucó de sstemes d equacons, projectant la solucó en desplaçaments proposada, obtnguda en una malla anteror, per a la seua projeccó en una malla posteror el seu us com a vector ncal en l aplcacó de Mètodes Iteratus. El resultats d aquest estud ncal, sense ser objecte d aquest Treball Fnal de Máster profundtzar en ell, mostren que se produe una reduccó del nombre d teracons necessàres per a convergr a la solucó aplcant lo eposat anterorment. Paraules claus: MEF, ZZ, SPR, desplaçaments, estmacó d error, mètodes teratus. -v-

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9 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Agradecmentos Agradecerle a Juanjo, m drector de este Trabajo Fn de Máster, su auda, los conocmentos transmtdos su nmensa pacenca. Agradecer a los buenos amgos de la carrera, máster departamento, su auda apoo. A todos los profesores que han partcpado colaborado tanto en m formacón, como en m desarrollo personal. A los amgos de sempre por estar ahí. Y en especal, a m padre, m madre m hermana, por apoarme, quererme sempre haberme enseñado las cosas más mportantes. Muchas gracas a todos. -v-

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11 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales ÍNDICE Resumen... Abstract... Resum... v Agradecmentos... v Introduccón objetvos.... Antecedentes Clasfcacón de errores en el MEF Velocdad de convergenca del error de dscretzacón Superconvergenca Cuantfcacón del error de dscretzacón El estmador ZZ basado en reconstruccón de tensones Reconstruccón medante promedado drecto en nodos La técnca Superconvergent Patch Recover (SPR) Estmador ZZ basado en desplazamentos Desarrollo del nuevo estmador de error Técnca SPR para alsado de desplazamentos Esquema general La técnca SPR en desplazamentos Detalles de mplementacón de la técnca SPR en desplazamentos propuesto

12 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales 4 Verfcacón valdacón del programa Verfcacón de la técnca desarrollada medante ejemplos con solucón analítca Clndro sometdo a presón nterna Placa cuadrada de lado untaro Conclusones del estudo de problemas con solucón analítca Aplcacón a la resolucón de problemas sn solucón analítca Presa con cargas superfcales gravtatoras Conclusones del estudo de problemas sn solucón analítca Uso de la solucón en desplazamentos evaluada en solvers Iteratvos Método Iteratvo del Gradente Bconjugado Establzado (BICGSTAB) Clndro sometdo a presón nterna Placa cuadrada de lado untaro Método Iteratvo del Gradente Conjugado Cuadrado (CGS) Clndro sometdo a presón nterna Placa cuadrada de lado untaro Método Iteratvo del Mínmo Resduo Generalzada (GMRES) Aplcacón a Métodos Iteratvos Placa cuadrada de lado untaro Conclusones Futuras líneas de nvestgacón desarrollo

13 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales 8 Referencas Bblografía ANEJOS Manual del programador Incalzacón de la estructura de datos Estructuras de datos más mportantes

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15 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Introduccón objetvos. En la actualdad el Método de los Elementos Fntos es una de las técncas más utlzadas para la resolucón de una gran varedad de problemas ngenerles, a que aunque los resultados que se obtenen no son eactos, proporcona una estmacón próma a la solucón eacta. El avance en este campo ha permtdo la mejora en la estmacón del error de dscretzacón que se comete en la resolucón, permtendo una apromacón cada vez maor a la solucón eacta en los problemas analzados. Usualmente el estmador de error más utlzado es el desarrollado por Zenkewcz Zhu, el cual utlza la solucón reconstruda del campo de tensones (σ*) obtenda a partr de la solucón proporconada por el MEF (σ ef ). Aunque la maoría de estudos están enfocados en esta dreccón, resultaría nteresante evaluar el campo reconstrudo de desplazamentos (u * ), como base para la estmacón del error de dscretzacón, a que además puede ser utlzado para: - Obtener el campo de tensones reconstrudo. Es fácl obtener el campo reconstrudo de tensones (σ * ) dervando el campo reconstrudo de desplazamentos. - Permtría tener estmacón de solucones de mallas más refnadas, que serían utlzadas como solucón ncal para resolver el sstema de ecuacones medante métodos teratvos. - Evta la necesdad de cálculo de las tensones en los pasos ntermedos de los procesos de refnamento adaptatvo. El objeto del presente trabajo fn de Máster consste en llevar a cabo el desarrollo de un software, medante MATLAB, que permta mejorar la caldad precsón de la solucón en desplazamentos obtenda medante el Método de los - -

16 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Elementos Fntos (M.E.F.), en el análss de problemas en elastcdad D. Para ello se mplementa la técnca Superconvergent Patch Recover (S.P.R.), con el fn de llevar a cabo una reconstruccón del campo de desplazamentos obtendo medante el Método de los Elementos Fntos. Adconalmente se mplementarán unas rutnas de MATLAB con el fn de llevar a cabo un prmer estudo de la aplcacón de la solucón en desplazamentos propuesta, en el uso de algortmos teratvos de resolucón de sstemas de ecuacones. Se pretende utlzar la solucón en desplazamentos propuesta, obtenda en una malla anteror, para su proeccón sobre una malla posteror su uso como vector ncal en la aplcacón de Métodos Iteratvos para la resolucón de sstemas de ecuacones. Se pretende comprobar s dsmnue el número de teracones necesaras para la convergenca a la solucón, al usar esta solucón ncal, s puede darse pe a estudos futuros más profundos. La solucón del campo de desplazamentos se obtendrá medante el M.E.F., combnado con la técnca S.P.R. El entorno gráfco para el lanzamento de cálculos postprocesado de éstos, es el propo Command Wndow de MATLAB, proporconándose en éste los resultados numércos gráfcos objeto del análss de los problemas a analzar. Se partrá de una malla conforme que modelzará la geometría del componente a analzar. Se utlzarán tanto elementos trangulares como cuadrláteros, ben sean lneales o cuadrátcos. Así msmo, tambén tene por objeto la realzacón superacón con éto del trabajo fn de Máster, necesaro para obtener el título del Máster en Ingenería Mecánca Materales. - -

17 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Antecedentes A contnuacón se ntroducen algunos conceptos de Elementos Fntos necesaros para el desarrollo de este trabajo fn de Máster, etraídos de las referencas [6] [] con autorzacón de los autores de los msmos.. Clasfcacón de errores en el MEF El método de los elementos fntos es un método numérco apromado de análss, con lo que los resultados obtendos no serán eactos. El error entre la solucón eacta del problema la obtenda medante el MEF está nfluencado por un conjunto de errores, que se pueden clasfcar como: - Errores de modelado, que aparecen debdo a la dferenca que este entre el sstema físco su modelo matemátco. En general se realzan hpótess smplfcatvas para abordar el problema, las cuales ntroducen dferencas entre ambos sstemas en lo que respecta a los valores de las propedades físcas, a la defncón de las cargas a la geometría (normalmente las fronteras curvas no pueden ser representadas eactamente). Se deben nclur en este apartado los errores ntroducdos por el propo analsta a la hora de generar el modelo, sobre todo en lo que respecta a defncón de las condcones de contorno. Con relatva frecuenca se generan modelos donde, por ejemplo, los apoos del componente están mal defndos o la representacón de las cargas aplcadas no es realsta

18 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales - Errores de redondeo, causados por la utlzacón de un número fnto de dígtos en la representacón de números reales. - Errores de manpulacón, que son los errores de redondeo ntroducdos por un algortmo. Por ejemplo, en la resolucón del sstema de ecuacones se realzan operacones tales como K - (K /K )K, sendo K la matrz de coefcentes. Las dvsones multplcacones tenen asocados sus errores de redondeo la resta puede reducr sgnfcatvamente su precsón s K (K /K )K son smlares. - Errores de ntegracón, provocados por el método numérco apromado selecconado para realzar las ntegracones requerdas por el MEF - Errores de dscretzacón, causado por la representacón de los nfntos g.d.l. de un contnuo, medante un número fnto (dscreto) de g.d.l. En los programas comercales de elementos fntos la utlzacón de la doble precsón de algortmos de cálculo apropados hace que la mportanca de los errores de redondeo manpulacón sobre el resultado fnal suela ser desprecable. Una adecuada ntegracón numérca hará que se mantenga la velocdad de convergenca del error con el refnamento de la malla. Normalmente, a medda que se refna la malla el efecto de los errores de modelado (salvo, claro está, los debdos a una ncorrecta defncón del modelo) se - 4 -

19 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales reduce tanto que la fuente más mportante de error en los resultados del análss de elementos fntos corresponde al error de dscretzacón. En este sentdo, consderaremos úncamente el estudo del error de dscretzacón de la solucón. Los errores de dscretzacón se pueden clasfcar a su vez en categorías dferentes: errores de dscretzacón con efecto local errores de polucón. Los aquí llamados errores de dscretzacón con efecto local son los errores de dscretzacón que aparecen en un elemento debdo al tamaño fnto de ese msmo elemento. Por otro lado los errores de polucón, son los errores que aparecen en los elementos debdos a una defcente dscretzacón de otras partes de la malla. Por ejemplo, s en el componente analzado este una sngulardad (p.e. una greta) en sus nmedacones no se refna la malla adecuadamente, los errores generados en los alrededores de la sngulardad contamnarán los resultados obtendos en el resto de elementos. Se ha comprobado sn embargo que este tpo de errores desaparece s se sgue un procedmento adaptatvo para analzar el problema... Velocdad de convergenca del error de dscretzacón Para una dscretzacón dada, se puede consderar que la solucón real del problema, dentro de un elemento, se puede desarrollar en sere de Talor. Así, por ejemplo, la solucón eacta en un punto de coordenadas (,) de un elemento bdmensonal se podrá escrbr como - 5 -

20 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales u u u + u ( ) + ( ) +... = () S dentro de un elemento de tamaño h, se utlza una epansón polnómca local de grado p, como ( ) e ( ) son del orden de magntud de h, el error será del orden O(h p+ ). De esta forma, en el caso de elastcdad, s se utlzan elementos lneales el error en desplazamentos será del orden O(h ), reducendo por lo tanto el error a una cuarta parte s el tamaño del elemento se reduce a la mtad. Medante argumentos smlares, las dervadas m-ésmas de las funcones en las que se formula el problema, tendrán convergenca con un error de orden O(h p+- m ). Por ejemplo, en elastcdad, las tensones ( tambén las deformacones), son dervadas prmeras de los desplazamentos, por lo que m =. Así pues, s utlzamos elementos lneales el error en estas magntudes será del orden O(h). La tabla sguente resume los órdenes de error de las prncpales magntudes en el problema elástco. Que la solucón tenga un error de orden O(h p+ ) ndca que el error, e, evolucona según una epresón del tpo e = C h p+, donde C es un parámetro constante desconocdo para cada problema

21 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Tabla.- Orden del error de dferentes magntudes en el problema elástco Magntud Orden del error p= p= Desplazamentos u ef O(h p+ ) O(h ) O(h 3 ) Deformacones Tensones ε ef σ ef O(h p ) O(h) O(h ) Energía de deformacón Π ef O(h p ) O(h ) O(h 4 ) Norma energétca u ef O(h p ) O(h) O(h ) Estos razonamentos, que no consttuen un análss rguroso del error de dscretzacón, son váldos sempre cuando no estan sngulardades en el problema consderado. Por sngulardades se entende en el caso de la elastcdad, puntos en los que el resultado en tensones tende a nfnto, nvaldando los argumentos basados en desarrollo en seres de Talor de la solucón. Un ejemplo típco de esta stuacón es el caso de gretas, en cuos etremos, teórcamente, las tensones que aparecen son nfntas (planteamento elástco lneal)... Superconvergenca Las velocdades de convergenca teórcas analzadas anterormente están basadas úncamente en la teoría de apromacón medante polnomos. Se puede comprobar que los resultados epuestos son los que se obtendrían en la maoría de puntos en un elemento. Sn embargo esten certos puntos dentro de los elementos donde la velocdad de convergenca del error supera estos resultados. Estos puntos son los llamados puntos de superconvergenca. Se puede demostrar que: - 7 -

22 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales a) los puntos de superconvergenca de los desplazamentos son los propos nodos del elemento, para cualquer grado polnómco de la nterpolacón. b) los puntos de superconvergenca de las tensones ( por tanto de las deformacones) corresponden, o están prómos, a los puntos de cuadratura de Gauss asocados al grado polnómco utlzado en la nterpolacón de desplazamentos. En estos puntos la velocdad de convergenca de estas funcones es un orden superor a la que se había predcho ncalmente. El ejemplo de la fgura sguente muestra los valores de tensón que se obtenen en un modelo formado por un únco elemento undmensonal para dstntas apromacones polnómcas la localzacón de los puntos de superconvergenca (puntos de la regla de cuadratura de Gauss). Tensón Apromacón en desplazamentos Lneal Cuadrátca Cúbca Puntos de Gauss para cada apromacón Lneal Cuadrátca Fgura.- Puntos de superconvergenca de tensones para dstntas apromacones polnómcas en un elemento undmensonal - 8 -

23 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales En la Fgura se observa con clardad la razón por la que en los puntos de superconvergenca de tensones la velocdad de convergenca corresponde a la que se obtendría con una apromacón polnómca en desplazamentos de un orden superor. En este caso, en el que no ha nfluencas de otros elementos por ser el únco elemento del modelo, se puede observar que el valor de tensón que se obtene en los puntos de Gauss corresponde eactamente al valor de tensón que se obtendría s se utlzase una apromacón polnómca en desplazamentos de un grado superor...3 Cuantfcacón del error de dscretzacón Para cuantfcar el error de dscretzacón se ha de usar una magntud que resulte útl, en lo que respecta a la defncón de procedmentos, que permtan la reduccón de dcho error. En general se busca cuantfcar dcho error medante una norma, que permta defnrlo en base a un escalar. Una magntud habtualmente utlzada es la norma energétca. La norma energétca de las solucones eactas de elementos fntos se defnen como: u u e ef = = σ σ T e T ef ε ε e ef dv = dv = σ σ T e T ef D D σ σ e ef dv = dv = Π Π e ef () Donde los subíndces e ef ndcan solucones eacta de elementos fntos respectvamente. Obsérvese que la norma energétca de la solucón físcamente se corresponde con la raíz cuadrada del doble de la energía de deformacón, Π. Para cuantfcar el error de dscretzacón se consdera habtualmente la norma energétca del error, defnda como: - 9 -

24 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales e e = u e u ef = T ( σ e σ ef ) D ( σ e σ ef ) dv (3) que es la raíz cuadrada del doble de la energía de deformacón del error. Se puede demostrar que esta magntud está relaconada con la norma energétca de la solucón eacta la de elementos fntos medante la epresón: e e u e u ef (4) S se conoce la solucón eacta del problema el uso de la ecuacón (4) permte la evaluacón del error de dscretzacón tanto a nvel global, consderando como domno de ntegracón el volumen total del componente analzado, como a nvel de elemento, consderando como domno de ntegracón el de cada uno de los elementos. La relacón entre el valor global, global e e, el valor en cada uno de los Ne elementos, e e e, vendrá dada por: e global e = Ne e= e e e (5) A partr de la defncón del error de dscretzacón absoluto, se puede defnr el error relatvo en térmnos porcentuales como: - 0 -

25 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales η e e = u e e 00 (6) Consderando que no esten sngulardades, consderando el problema elástco, tal como se vo en el apartado anteror, el error de dscretzacón en norma energétca será una funcón del tamaño de elemento, h, elevado al grado polnómco completo de la nterpolacón de desplazamentos, p. Por lo tanto, en el rango asntótco de la solucón, es decr, para modelos sufcentemente refnados, se podrá escrbr: e e h C 0 p (7) donde C 0 es un parámetro constante postvo que depende del problema estudado ( no del tamaño de los elementos). Esta ecuacón, que relacona el error con el tamaño de elementos orden del polnomo completo ncludo en las funcones de forma, será de gran utldad para relaconar, en térmnos de error, dscretzacones dferentes de un msmo problema. En el caso en el que el problema presente una sngulardad, se puede demostrar que la epresón anteror se transforma en la sguente: e e c C0h c = mn( p, λ) (8) Donde λ es un parámetro que caracterza la ntensdad de la sngulardad. En la fgura sguente se muestran los valores de este parámetro para el Modo I en dferentes geometrías con sngulardad: - -

26 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Lbre Lbre 360º 70º 40º λ =0.5 λ =0.544 λ =0.657 Fgura.- Valores de λ para el modo I en dferentes geometrías sngulares. Puesto que, en el caso general, no todos los elementos de la malla serán del msmo tamaño, resulta nteresante dsponer de una epresón que relacone el error en norma energétca, e e con el número de grados de lbertad, N, de la dscretzacón. Se puede consderar que en problemas -D el valor de N aumenta lnealmente conforme dsmnue el tamaño de los elementos, de manera cuadrátca en el caso -D de manera cúbca en el caso 3-D. Por lo tanto, para refnamentos unformes, el error de dscretzacón eacto en norma energétca, e e se podrá epresar como: e e CN c d c = mn( p, λ) (9) Donde, d representa el número de dmensones del problema C, al gual que C 0, es un parámetro constante postvo que depende del problema estudado ( no del tamaño de los elementos). En el caso de refnamentos adaptatvos, el propo proceso adaptatvo neutralza el efecto de la sngulardad, la epresón anteror se podrá rescrbr como: - -

27 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales e e CN p d (0) Estas relacones podrán establecerse sempre cuando la constante C no varíe de una dscretzacón a la otra. Esta condcón se cumple báscamente cuando se realzan: refnamentos unformes, en los que los elementos de la malla refnada mantenen una proporcón constante con los de la anteror malla, o, refnamentos adaptatvos, en los que la malla se refna en funcón del error evaluado en cada elemento, medante la defncón de mallados unformes dentro de cada uno de los elementos de la malla (refnamento localmente unforme)...4 El estmador ZZ basado en reconstruccón de tensones Como se comentó en una seccón anteror, los estmadores de error son una herramenta básca para poder realzar refnamentos adaptatvos. Zenkewcz Zhu [4] propuseron una técnca para obtener dcha estmacón que es una de las más utlzadas en la práctca, denomnada habtualmente estmador de error de Zenkewcz Zhu o estmador ZZ. La epresón que proporcona el valor eacto del error es la sguente: - 3 -

28 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales e e = u e u ef = T ( σe σef ) D ( σe σef ) dv () El método propuesto por estos autores consste en, partendo de la solucón de E.F., σ ef, determnar una solucón σ* que sea una mejor apromacón a la solucón eacta que la de E.F., calcular la dferenca entre ellas como estmacón del error eacto en tensones. La epresón propuesta por estos autores para obtener la estmacón del error en norma energétca se muestra a contnuacón: T ( σ * σ ef ) D ( σ σ ef ) e = * es dv () Una vez evaluada la estmacón del error absoluto en norma energétca medante la epresón anteror, se podrá tambén obtener una estmacón del error relatvo en norma energétca en térmnos porcentuales utlzando la sguente epresón: η es = u ef e es + e es 00 (3) En la ecuacón () el campo σ * es el llamado campo de tensones reconstrudo (del térmno ngles recovered) aunque suele ser llamado con más frecuenca campo de tensones alsadas. Esten varas técncas para obtener el campo alsado de tensones, σ *. Se epondrá a contnuacón la técnca de alsado - 4 -

29 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales drecto en nodos las deas báscas del alsado medante técncas SPR, que serán desarrolladas en detalle en el apartado sguente. La caldad del procedmento de estmacón del error de dscretzacón se puede cuantfcar medante la llamada efectvdad (θ) del estmador de error, defnda según la epresón: θ = e e es e (4) Evdentemente para la valdar un estmador de error medante este parámetro es necesaro dsponer de problemas con solucón eacta con los que comprobar que el estmador proporcona los resultados adecuados. Un estmador de error es fable s proporcona valores de efectvdad cercanos a la undad (su valor deal). En general se suele consderar que el estmador es fable s se obtenen valores de efectvdad entre Un estmador de error es llamado asntótcamente eacto s proporcona valores de efectvdad que tenden a la undad conforme se refna la malla...5 Reconstruccón medante promedado drecto en nodos En la defncón del campo σ * dentro de cada uno de los elementos de la malla se suele utlzar la sguente epresón: - 5 -

30 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales σ * = Nσ * (5) Donde N son las funcones de forma utlzadas en la nterpolacón de desplazamentos σ * son los valores del campo σ * evaluados en los nodos del elemento. Así pues, la precsón del estmador de error de dscretzacón en norma energétca será funcón de la precsón con la que se calculen los valores nodales σ *. Los códgos de elementos fntos dsponen de subrutnas de alsado de la solucón a través de las cuales se obtene un campo de tensones contnuo o alsado (en vez del dscontnuo obtendo del análss de elementos fntos). Estos procedmentos de alsado permten obtener representacones del campo de tensones más realstas que las de los resultados drectamente obtendos del análss de Elementos Fntos. La técnca más comúnmente utlzada para obtener los campos contnuos de tensones es la de promedado drecto en nodos. La técnca consste en asgnar a cada nodo de la malla el valor promedo de las tensones evaluadas en dcho nodo como correspondente a cada uno de los elementos a los que está conectado. Se utlza para ello la sguente epresón: σ M j e σ ef e= j = M j ( j ) (6) En la epresón anteror - 6 -

31 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales σ j es la tensón alsada en el nodo j. M j es el número de elementos que contenen al nodo j. e ef ( j ) σ es la tensón evaluada medante EF en el nodo j como pertenecente al elemento e. A modo de ejemplo, en la sguente fgura se muestra el campo de tensones obtendo al aplcar la técnca de promedado drecto en nodos al campo de tensones. Se muestra tambén en la fgura un detalle de la evolucón de las tensones en el contorno nferor del componente donde se comparan las tensones obtendas medante el MEF las correspondentes tensones alsadas σ ef σ * Tensón Dstanca (a) Campo de tensones σ * (b) Comparacón de tensones en el contorno nferor Fgura 3.- Evolucón de σ *. Malla de elementos trangulares lneales

32 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales La precsón de los resultados que se obtenen con esta técnca será superor en el nteror del domno a que es ahí donde este un maor número de elementos rodeando a cada uno de los nodos, con lo que este más nformacón por nodo para evaluar la tensón alsada que en el contorno. Como casos etremos obsérvese en la Fgura 3(b) que, en los nodos stuados en los etremos del contorno nferor, la tensón alsada toma el msmo valor que la obtenda medante el MEF. Esto es debdo a que estos nodos están asocados a un únco elemento (véase Fgura 3(a)) por lo que en ellos el alsado medante promedado drecto en nodos no proporcona nngún tpo de mejora. La utlzacón de este método con elementos lneales proporcona un estmador asntótcamente eacto (el valor de efectvdad, θ, tende a la undad con el refnamento de la malla), no ocurrendo lo msmo cuando se utlza con elementos de maor grado...6 La técnca Superconvergent Patch Recover (SPR). La precsón del estmador de error de ZIENKIEWICZ-ZHU depende de la caldad del campo σ * que se obtenga. Incalmente estos autores recomendaron la utlzacón de la técnca de proeccón global L la de promedado drecto en nodos para la obtencón del campo de tensones reconstrudo. Sn embargo, la utlzacón de estos métodos no resultaba adecuada en el caso de elementos cuadrátcos puesto que la efectvdad del estmador de error no tendía a la undad, sendo pues necesara la utlzacón de factores correctores empírcos

33 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Tal como demuestran ZIENKIEWICZ Y ZHU [] el estmador de error ZZ será asntótcamente eacto, s la solucón reconstruda utlzada en la estmacón del error presenta una velocdad de convergenca superor a la de la solucón de E.F. ZIENKIEWICZ Y ZHU [] proponen un método denomnado superconvergente de reconstruccón del campo de tensones que tene esta característca. Las tensones reconstrudas en un determnado nodo se obtenen medante la epansón polnómca defnda en un conjunto de elementos contguos denomnado patch, formado por todos los elementos que contenen a dcho nodo. Para determnar los térmnos de dcha epansón polnómca, se utlza la nformacón de tensones de elementos fntos en los llamados puntos de superconvergenca de tensones, realzando un ajuste de mínmos cuadrados. Por ser un proceso local el coste computaconal es pequeño presentando los resultados obtendos una consderable mejora frente a los obtendos con técncas anterores. A contnuacón se epone en detalle la técnca Superconvergent Patch Recover desarrollada por ZIENKIEWICZ Y ZHU[][6][7]. Como se comentó con anterordad, el objetvo tanto de ésta como de las demás técncas de alsado, es el de encontrar los valores de las tensones reconstrudas en nodos σ * de forma que el campo de tensones alsadas σ * pueda defnrse como σ * = N σ *, donde el campo σ * será más precso que el campo obtendo drectamente medante Elementos Fntos (σ ef )

34 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales ZIENKIEWICZ Y ZHU consderarán que, en cada nodo, cada una de las componentes de tensón σ * se obtenen a partr de un polnomo σ * p de grado completo p, gual al de las funcones de forma N utlzadas en la nterpolacón de los desplazamentos, defndo en un patch formado por los elementos que rodean al nodo consderado. Para cada una de las componentes de tensón (σ, σ, τ ) este polnomo σ * p tene la sguente epresón σ * p = p a (7) donde p contene los térmnos del polnomo. Por ejemplo, para el caso bdmensonal lneal se tendrá que: p = {,, } (8) para el cuadrátco: p = {,,,,, } (9) Sendo a el vector de parámetros desconocdos, por ejemplo, en el caso bdmensonal cuadrátco se tendrá: a = { a, a, a 3, a 4, a 5, a 6 } T (0) La fgura sguente muestra un ejemplo de patch formado por elementos lneales otro formado por elementos cuadrátcos: - 0 -

35 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Elementos trangulares lneales Elementos trangulares cuadrátcos Fgura 4.-Patchs de elementos trangulares lneales cuadrátcos. ⓿ nodo de ensamblaje del patch. nodos que defnen el patch Como a se comentó, para calcular los valores desconocdos a se procede a aplcar la técnca de los mínmos cuadrados, utlzándose en el cálculo los puntos de superconvergenca, o al menos, los puntos en que las tensones se puedan calcular con maor precsón. Para hacer esto se procede a mnmzar la sguente ecuacón: R G G G ( σ ef ( ) σ * p ( )) = ( σ ef ( ) p( ) ) ( a) = a = = () Donde son las coordenadas (, ) de cada uno de los puntos donde se han calculado tensones, G=mk es el número total de estos puntos, sendo k el numero de estos en cada uno de los m elementos que forman el patch. - -

36 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales - - Donde, = = σ = G ef T G T ), ( ), ( ), ( ), ( p a p p () Esta ecuacón habrá de ser planteada para cada una de las componentes de tensón. Esta ecuacón se puede resolver como: a = A - b (3) La condcón de mnmzacón de R G (a) supone que a satsfaga esto. Donde, = = σ = = n ef T n T ), ( ), ( ), ( ), ( p b p p A (4) Para el caso b-dmensonal cuadrátco, desarrollando las epresones anterores, se obtene:

37 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales = = n A [ ] T n ef ef ef ef ef ef = = ), ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( ),, ( σ σ σ σ σ σ b (5) Como puede verse, el número de ecuacones a resolver en cada patch es pequeño (en este caso, un sstema 66 por cada componente de tensón), además la matrz A es la msma para todas las componentes de tensón del patch ha de ser evaluada una sola vez. El hecho de que para cada uno de los patchs el número de ecuacones sea pequeño hace que el procedmento sea computaconalmente poco costoso. Una vez que los parámetros a han sdo calculados, el valor de la tensón en el nodo de nterés σ *, es calculado susttuendo las coordenadas de éste en la epresón del polnomo σ * p. En prncpo los puntos elegdos para calcular las tensones han de ser puntos de superconvergenca de las dervadas de los valores nodales. Dcha superconvergenca ocurre en los puntos de Gauss s se trata de elementos lneales cuadrátcos, en elementos un-dmensonales tambén para cuadrláteros. Sn embargo, la localzacón eacta de los puntos de superconvergenca en trángulos todavía no ha sdo mostrada matemátcamente.

38 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Los puntos de evaluacón de tensones utlzados por ZIENKIEWICZ Y ZHU en trángulos son: - Trángulos lneales: Centrode del elemento. - Trángulos cuadrátcos: Puntos centrales de cada uno de los lados del trángulo. Elementos trangulares lneales Elementos trangulares cuadrátcos Fgura 5.-Cálculo de valores nodales superconvergentes para elementos lneales cuadrátcos: Puntos de evaluacón de tensones, nodos que defnen el patch, Nodos donde se evaluarán tensones a partr del procedmento de alsado, ⓿ nodo de ensamblaje del patch. Los autores eponen que se ha observado convergenca O(h 4 ) para cuadrláteros trángulos de grado (es decr, dos órdenes superor a la normal). Este tpo de convergenca es llamado ultraconvergenca...6. Esquema resumen de la técnca SPR para alsado de tensones El procedmento del alsado del campo de tensones medante la técnca SPR se ejecuta sguendo los pasos que se detallan a contnuacón: - 4 -

39 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales - Se parte de la solucón dscontnua de Elementos Fntos. - Para cada nodo vértce se toma un patch de elementos, formado por todos los elementos que contenen a dcho nodo - Se dentfcan los puntos de superconvergenca de los elementos del patch. - Se selecconan los valores de tensón calculada en puntos de superconvergenca. - Se realza un ajuste por mínmos cuadrados de una superfce polnómca, del msmo grado que la nterpolacón de desplazamentos, a los valores de tensón en puntos de Gauss - Se partcularza la superfce polnómca en el nodo de ensamblado del patch. - Se genera el campo de tensones contnuo en toda la malla a partr de los valores de tensón reconstruda calculados en cada uno de los nodos de la malla utlzando las funcones de nterpolacón los de valores nodales: * * σ j (, ) = N(, ) σ ( p, p); j =,, (6) Donde la funcón j (, ) representaría las dstntas componentes del campo de tensones alsadas (σ * ) (los subíndces representan las tensones nodales que proporcona el ajuste por mínmos cuadrados). σ * Este procedmento queda reflejado gráfcamente en la sguente fgura, dónde se ha aplcado la técnca de alsado de tensones medante el método SPR a una malla de elementos trangulares lneales

40 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales a) b) c) d) e) f) Fgura 6.- Procedmento de alsado medante la Técnca SPR en mallas de elementos trangulares lneales. a) Solucón dscontnua de elementos fntos. b) Identfcacón de puntos de superconvergenca. c) Seleccón de valores de tensón en puntos de superconvergenca. d) Ajuste de una superfce polnómca a los valores de tensón en puntos de Gauss por mínmos cuadrados partcularzacón en nodo de ensamblado. e) Obtencón de tensones medante técnca SPR para el resto de nodos. f) Generacón del campo de tensones contnuo a partr de los valores nodales...6. Detalles de mplementacón de la técnca SPR. A contnuacón se resumen algunos detalles mportantes relaconados con la mplementacón de esta técnca

41 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Nodos de medo lado Utlzando el procedmento anteror para el cálculo de σ *p se observa fáclmente que a la hora de formar los patchs, unos de ellos se solaparán con otros, con lo que los valores de los nodos de medo lado que aparecen en elementos de grado ó superor, serán calculados desde patchs dstntos. Puesto que ambos valores son superconvergentes, ZIENKIEWICZ Y ZHU proponen el promedado de dchos valores. Nodos en la frontera Para evaluar las tensones σ * en nodos stuados en la frontera del componente se pueden plantear tpos de patchs dstntos: - Patch de nodo frontera. El patch se forma con los elementos que rodean al nodo frontera. Las tensones σ * se evalúan de gual manera que en nodos nterores. La mplementacón de esta alternatva resulta senclla a que el tratamento de nodos frontera es eactamente el msmo que el de nodos nterores. Ha que tener en cuenta que los patchs frontera están formados por un número reducdo de elementos, de forma que se podría dar la stuacón de que no estese un número sufcente de puntos de superconvergenca en el patch para resolver el sstema de ecuacones. - Patch nteror. Las tensones en los nodos frontera se evalúan a partr de patchs de nodos nterores que contengan al nodo frontera. Puesto que el tratamento de nodos frontera es dstnto al de los nodos stuados en el nteror del domno, la mplementacón es menos senclla que en el caso anteror. Sn - 7 -

42 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales embargo, puesto que los patchs de nodos nterores están formados por gran número de elementos, el sstema de ecuacones planteado será, por lo general, resoluble. La fgura sguente muestra un patch frontera un patch nteror que pueden ser utlzados en la evaluacón de las tensones σ * en nodos del contorno. Fgura 7.- Patchs utlzados en la evaluacón de tensones en nodos de contorno Izquerda patch frontera. Derecha patch nteror. Según ZIENKIEWICZ Y ZHU los resultados obtendos utlzando patchs de nodos frontera o patchs de nodos nterores para evaluar la tensón σ * en los nodos del contorno son de la msma precsón, recomendando la utlzacón de patchs nterores a fn de evtar problemas asocados a un número nsufcente de puntos de muestreo superconvergentes en el patch. Sn embargo la recomendacón de estos autores no sempre puede ser utlzada. Supóngase un nodo stuado en una esquna conectado solamente a ó elementos, tal como se muestra en la fgura sguente

43 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Fgura 8.- Patchs frontera de elementos: ⓿ nodo de ensamblaje del patch La malla del ejemplo que ZIENKIEWICZ Y ZHU utlzan para lustrar su planteamento está formada por cuadrláteros. Sn embargo cuando se utlzan elementos trangulares la solucón propuesta por estos autores no puede ser utlzada, a que, por ejemplo, en la fgura anteror, en el caso del patch formado por un solo elemento, no este nngún patch nterno a partr del cual poder calcular el valor en el nodo que nos nteresa. Por esta razón, en prncpo, solamente sería posble calcular el valor de la tensón en el nodo esquna a partr de un patch stuado en el contorno de la peza, como por ejemplo el mostrado en la fgura sguente: Fgura 9.- Cálculo del valor nodal de un nodo esquna a partr de un patch frontera cuando en la esquna solo ha un elemento

44 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales En el caso en que el nodo confluan elementos, el valor de la tensón en este s que podría calcularse a partr de un patch nteror: Fgura 0.- Cálculo de un nodo en la frontera a partr de un patch nteror ZIENKIEWICZ Y ZHU eponen que los valores de tensones reconstrudas obtendos para los nodos frontera serán superconvergentes, aunque no se obtendrá ultraconvergenca, O(h 4 ), para elementos cuadrátcos. Cuando se plantea la utlzacón de la técnca SPR sobre mallas con elementos trangulares cuadrátcos se debe tener en cuenta que ha que utlzar los llamados puntos óptmos como puntos de muestreo de tensones. En trángulos lneales este uno solo de estos puntos 3 en el caso de cuadrátcos tal como se ha mostrado en la representacón de las fguras anterores. Por lo tanto para que se pueda resolver el sstema de ecuacones planteado en el patch, se necestará un mínmo de 3 elementos cuando se utlzan elementos lneales de cuando se utlzan elementos cuadrátcos

45 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Tan solo es posble tener menos de 3 elementos en el patch s este es planteado en el contorno. En las fguras anterores se podían observar stuacones en las que aparecen ó elementos a la hora de formar un patch en el contorno tambén stuacones en las que es mposble utlzar patchs nterores a la hora de evaluar tensones en nodos sobre el contorno. Stuacones como las descrtas se pueden encontrar con gran frecuenca durante los procesos adaptatvos de refnado de mallas, sendo todavía más frecuente en las mallas ncales de dchos procesos A fn de que el método sea sufcentemente robusto, resulta de gran nterés la utlzacón de patchs de contorno, aunque con frecuenca se encontrarían patchs formados por ó elementos que, tal como se eplco anterormente, no podrían ser resueltos utlzando los puntos de muestreo de tensones propuestos por ZIENKIEWICZ Y ZHU. LABBE Y GARON [5] plantean el uso de los puntos de ntegracón de Gauss como puntos de muestreo de tensones. Dentro de cada elemento proponen la utlzacón de al menos tantos puntos de Gauss como térmnos tenga el polnomo con que se desean evaluar tensones, asegurando así que el sstema planteado sea sempre resoluble. Problemas de mal condconamento La técnca orgnalmente propuesta por ZIENKIEWICZ Y ZHU [6] [7] puede presentar problemas de mal condconamento s en la resolucón del sstema de ecuacones planteado se utlzan coordenadas globales, especalmente s se utlzan elementos de alto grado polnómco /o tamaños de elemento mu pequeños. Por este hecho, ZIENKIEWICZ [6] epresó la mportanca de usar - 3 -

46 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales coordenadas locales normalzadas con el fn de evtar los problemas de mal condconamento en las matrces utlzadas. Se recomenda la utlzacón de coordenadas normalzadas (, ) según las epresones: = + ma mn = + mn ma mn mn (7) Donde mn, ma mn, ma representan los valores mínmo mámo de las coordenada e en el patch. De esta forma los valores normalzados de las varables e tomarán valores entre -. LABBÉ Y GARON [5] plantean utlzar la técnca de descomposcón LU con pvotamento parcal para resolver el sstema de ecuacones planteado mnmzar de esta forma el problema de mal condconamento de las matrces Característcas de la técnca SPR. contnuacón. Las característcas más sobresalentes de la técnca SPR se resumen a Coste computaconal: - Se trata de un método local de reconstruccón del campo de tensones, con lo que el coste computaconal es reducdo s se compara con el asocado a los métodos globales

47 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales Ultraconvergenca: - La convergenca en tensones de Elementos Fntos es sempre O(h p ) mentras que la de las tensones obtendas medante SPR es O(h p+ ) para valores mpares de p O(h p+ ) para valores pares, llamada ultraconvergenca por ZIENKIEWICZ Y ZHU. Medante las técncas de reconstruccón anterormente estentes, utlzando mallados unformes, se obtenía superconvergenca para valores de p mpares pero no para mpares - Los autores de la técnca adverten que dcha ultraconvergenca solamente se obtene cuando se utlza un mallado unforme. - La ultraconvergenca no se obtene en la frontera, en ésta solamente se obtene superconvergenca O(h p+ ). Debdo a esta razón la norma energétca total resulta superconvergente. Precsón de la solucón reconstruda. - En los trabajos de ZIENKIEWICZ Y ZHU [6] se eponen ejemplos en los que se muestra el reducdo valor del error de la solucón reconstruda medante la técnca SPR. - S ben el objetvo de esta técnca era el de realzar la estmacón de error de la solucón de Elementos Fntos, srve tambén para obtener unos mejores resultados que los obtendos drectamente medante Elementos Fntos. Por supuesto, la estmacón de error sgue sendo la del error de los resultados

48 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales orgnales de Elementos Fntos, aunque la solucón reconstruda es de precsón superor. Refnamento adaptatvo e índce de efectvdad. - Los autores que desarrollaron la técnca muestran medante la utlzacón de ejemplos, que el uso de este procedmento en el refnamento adaptatvo de problemas en los que esten grandes gradentes de tensones proporcona una gran efectvdad a nvel de elemento en la estmacón del error. - El uso de la técnca SPR en el estmador de error ZZ hace que éste tenda asntótcamente a la undad conforme se refna la malla. La justfcacón de este comportamento del estmador de error está justfcada por el teorema desarrollado por ZIENKIEWICZ Y ZHU[4][6], según el cual, s la técnca de alsado es superconvergente, el índce de efectvdad del estmador de error tenderá asntótcamente a la undad

49 Departamento de Ingenería Mecánca de Materales Máster en Ingenería Mecánca Materales 3 Estmador ZZ basado en desplazamentos En el Departamento de Ingenería Mecánca (DIMM), se han desarrollado amplamente métodos de reconstruccón de la solucón del campo de tensones de la solucón que proporcona el método de los elementos fntos, basados en la técnca S.P.R. El objetvo de este Trabajo Fn de Máster es sn embargo el de desarrollar un estmador de error que, a dferenca de lo epuesto anterormente, esté basado en la reconstruccón de la solucón del campo de desplazamentos. La reconstruccón del campo de desplazamentos tene varas aplcacones, pudendo ser utlzada fundamentalmente para: - El cálculo de la estmacón del error en norma energétca. - La obtencón de la solucón mejorada en desplazamentos que podrá posterormente ser dervada para obtener una solucón mejorada en tensones. - El cálculo de las cotas del error. El DIMM ha partcpado en el desarrollo de una técnca que permte obtener cotas superores del error de dscretzacón basada en el alsado de tensones, pero que requere una estmacón del error en desplazamentos. Dsponer de una técnca de reconstruccón del campo de desplazamentos permtría eludr el alsado del campo de tensones calcular drectamente la cota a partr de la solucón alsada de los desplazamentos. - Además, el campo de desplazamentos mejorado puede ser proectado sobre mallas más refnadas, utlzándose como solucón ncal para resolver medante métodos teratvos el sstema de ecuacones en estas mallas