RESOLUCION DE ECUACIONES NO-LINEALES

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1 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales TEMA 3. RESOLUCION DE ECUACIONES NO-LINEALES 1. Introduccón. Nomenclatura 3. Resolucón de una únca ecuacón de la forma =F() 4. Resolucón de una únca ecuacón de la forma f()=0 5. Métodos de resolucón de sstemas de ecuacones no lneales. 6. RESUMEN 7. Programacón en Matlab

2 Cálculo numérco en Ingenería

3 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales 1. Introduccón Se trata de encontrar un valor de, que llamaremos *, que satsfaga las ecuacones (1) f(*)=0 ó () *=F(*) (ENL.1) Cuando las ecuacones f() y F() no son lneales el problema se debe resolver (salvo muy contadas ecepcones) utlzando métodos teratvos. Una solucón teratva genera una secuenca 0, 1,, 3,... donde 0 es un valor estmado ncal y además: Lm = * (ENL.) Es necesaro consegur una funcón teratva para generar una secuenca de convergenca. La teracón se detene cuando se cumple un determnado crtero, basado en una comparacón entre la toleranca en el error deseado ε d y el error real ε y. * El error eacto en cada teracón vene dado por = ε ε La relacón de convergenca se defne como r = + 1 ε Han sdo propuestos dstntos métodos para generar una secuenca de convergenca, todos ellos ntentando mejorar la velocdad con que se alcanza la solucón. En los métodos que vamos a ver a contnuacón la búsqueda de la solucón estará sometda a las sguentes restrccones: a) La raíz buscada se localzará en el ntervalo cerrado [a,b] de tal manera que F() y f() serán funcones contnuas en dcho ntervalo. b) Hay una únca raz en el ntervalo c) * (la raíz) es un número real.

4 Cálculo numérco en Ingenería En el caso de sstemas de ecuacones, el problema que se presenta trata de resolver un sstema de la forma f()=0 donde f es un vector de funcones y es un vector de varables desconocdas. Esten muchos métodos para resolver el problema entre ellos el de susttucón sucesva, Newton, Broyden etc... Vamos a estudar a contnuacón los métodos más etenddos.. Nomenclatura f vector de funcones (que se han de gualar a cero) F vector de funcones (que han de ser guales a ) vector de varables desconocdas (subíndce) número de la teracón (superíndce) ecuacón partcular del sstema j (subíndce) varable partcular respecto con la que se trabaja ε error permtdo o toleranca * punto (vector) de partda λ(a) valor propo de la matrz A w s J H parámetro que determna la aceleracón de algunos métodos punto donde se desarrolla la sere de Taylor en el método de Newton matrz jacobana estmacón de la matrz jacobana 4

5 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales 3. Resolucón de una únca ecuacón de la forma =F() 3.1. Método de Susttucón Sucesva o Iteracón Drecta El método de teracón drecta está basado en generar una funcón de teracón de la forma: ( ) = + 1 F =1,,3... (ENL.3) Como estmacón del error se puede tomar: +1 = ~ ε (ENL.4) En el método de teracón drecta la condcón necesara y sufcente para la convergenca es que el valor estmado esté sufcentemente cerca de la solucón de tal manera que: * ( ) F' <1 (ENL.5) Una posble demostracón es la sguente: De acuerdo con la defncón F( ) = + 1 * * En la solucón = F( ) Restando ambas ecuacones + * = F( ) * 1 F( ) * De acuerdo con el teorema del valor medo: ( ) ( ) ( ) * F F = F' ξ ( ) Recordando que ε + 1 = + 1 * y que ε = * ε+ 1 = F ' ε De las ecuacones anterores ( ξ) S esta sufcentemente cerca de la solucón entonces: ( ) * F' F' ( ) tanto la velocdad lmte de convergenca vendrá dada por: ε+ 1 * r = = F' ( ) ε Solamente s F' ( ) * <1 el error se reducrá en cada teracón. ξ por lo (ENL.6)

6 Cálculo numérco en Ingenería y y= y= F() Fgura 1a. El método de teracón drecta converge. y= F() y y= Fgura 1b. El método de teracón drecta dverge. S la pendente es cercana a la undad la velocdad de convergenca es lenta, y la estmacón del error poco precsa (téngase en cuenta que la estmacón del error se realza entre dos teracones consecutvas y no con el verdadero valor). S la pendente es próma a cero la velocdad de convergenca será grande y la estmacón del error más precsa. Cuando el método de susttucón sucesva converge el límte de la relacón de convergenca vene dado por la ecuacón comentada anterormente. Este tpo de convergenca donde el límte de la relacón de convergenca se aproma a un valor constante se llama convergenca lneal. Para un método de convergenca lneal, la representacón del log( ε ) vs. el numero de teracones 6

7 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales se aproma asntótcamente a una línea recta La pendente de la asntota ( ) * será log ' ( ) F. Ver Fgura 1. S se asume que el valor de F'() no camba mucho en las cercanías de la solucón se puede obtener nformacón adconal de las característcas de convergenca dentro del ntervalo: 1.- Estmacón de F'(*): ~ ε + 1 * r ~ F' ( ) ε (ENL.7).- Estmacón del error eacto: ~ ε ~ ε ε * 1 F' 1 r [ ( )] [ ] (ENL.8) 3.- Estmacón del número adconal de teracones para consegur la solucón dentro de un error de toleranca deseado: εd log ε J = (ENL.9) log r 3.. Método de aceleracón de convergenca de Wegsten El uso de este método se basa en la suposcón de que la dervada de la funcón F() no camba mucho en las promdades de la solucón. Se toman dos puntos ncales: [ F( )] y [ F( )] 1, 1, Se traza entonces la línea recta que une estos dos puntos, y la nterseccón de esta línea con la línea =y se seleccona como la mejor estmacón de la funcón. Así pues, la ecuacón de la recta que pasa por los puntos [ 1, F( 1) ] y [, F( )] vene dada por la epresón: y F( ) = F( ) F ( ) 1 1 ( ) (ENL.10) Para calcular el punto + 1 se calcula la nterseccón de dcha recta con la recta y = de tal manera que:

8 Cálculo numérco en Ingenería ( ) F( ) F F( ) = ( + 1 ) (ENL.11) 1 Llamando F( ) F( s = 1 1), se obtene + 1 F( ) = s ( + 1 ) (ENL.1) despejando + 1 se llega a: 1 s ) + 1 = F( ) = wf ( ) + (1 w (ENL.13) 1 s 1 s donde w 1 = 1 s (ENL.14) Normalmente en lugar de utlzar puntos al azar para la prmera teracón se realza una teracón drecta. El procedmento gráfco se lustra en la Fgura 3. F( 1 ) F( ) F( + 1) Fgura 3. Método de Wegsten. 8

9 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales Se ha demostrado que s el método de teracón drecta converge, el metodo de Wegsten lo hace más rápdamente. Con la únca ecepcón del caso en que F'(*)=0. El método de Wegsten converge ncluso en ocasones en que el método de teracón drecta no lo hace. Sn embargo pueden aparecer dfcultades cuando F' ( ) = 1 en algún punto dentro del ntervalo de la solucón. 4. Resolucón de una únca ecuacón de la forma f()=0 En la prmera parte vmos métodos numércos para resolver una ecuacón no lneal de la forma F()=. Práctcamente todas las ecuacones no lneales pueden ser epresadas de esta forma, pero no es necesaro, esten otras técncas numércas para resolver ecuacones no lneales de la forma f()= Conceptos báscos Como en el caso anteror se trata de encontrar la forma de generar una sere de secuenca 0, 1,,...donde 0 es un valor supuesto ncal de tal manera que se cumpla la ecuacón Lm = * donde es el numero de teracones. Como en el caso anteror es necesara una funcón de teracón que permta generar la secuenca de valores de. En la práctca es mposble generar una secuenca nfnta de valores de, por lo tanto no se podrá obtener la solucón eacta, no obstante nos podremos apromar a ella tanto como queramos. El crtero que nos dce para que valor de nos debemos detener es el llamado crtero de detencón y está basado en la comparacón entre el error de toleranca deseado que llamabamos εd y una estmacón del error ε. La relacón del error en dos teracones sucesvas da una dea de la velocdad de convergenca. S defnmos la relacón de convergenca como:

10 Cálculo numérco en Ingenería r ε = ε + 1 ν donde ν es una constante. Se puede demostrar que s para algunos valores de ν 1, r < 1 = 0, 1,, 3... entonces la secuenca converge a la solucón. S para un valor especfcado de ν el límte: ε Lm ε +1 ν este entonces, ν es el orden de convergenca del método teratvo. Como se menconó anterormente para el método de susttucón sucesva el límte para el valor ν=1 este presentando dcho método convergenca lneal o de prmer orden. Como en el caso anteror lmtaremos nuestra búsqueda de la solucón a un ntervalo cerrado I=[a,b] tal que la funcón f() sea contnua en dcho ntervalo, presente en dcho ntervalo una únca raíz, y que ésta sea un número real. 4.. El método de Bseccón Cuando se usa este método las teracones tenen que comenzar desde dos puntos ncales 0 y 1 de tal manera que f( 0 ) y f( 1 ) tengan sgnos opuestos ( f ( 0 ). f( 1) < 0). Se toma entonces el punto medo del ntervalo [ - 1, ]. La funcón de teracón de este método es: ( )/ + 1 = + 1 (ENL.15) entre tres valores sucesvos de : -1,, +1 debemos guardar para la sguente teracón solamente dos de ellos. El valor de +1 nos lo guardamos sempre, de los otros dos nos quedaremos con aquel que cuyo valor de funcón sea de dferente sgno que el valor de la funcón para +1. De esta forma la raíz de la ecuacón se encontrará sempre acotada por +1 y. Dado que el ntervalo se hace cada vez más pequeño la longtud del ntervalo se puede usar como una estmacón para calcular el error. Es fácl mostrar que después de "" teracones el tamaño del ntervalo se habrá reducdo en un valor de: 10

11 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales L = L0 (ENL.16) donde L0 es el tamaño del ntervalo ncal. El método de la bseccón es muy smple, ncluso en ocasones demasado smple y no puede ser usado para muchas aplcacones de análss numérco. Algunas de sus propedades lo hacen un método ecelente para usos en ngenería. Admtendo que la funcón cumple los requermentos báscos ctados al prncpo del capítulo, s somos capaces de encontrar dos valores para la funcón con sgnos opuestos, la convergenca está asegurada. La prncpal desventaja del método de bseccón es su lenta convergenca. Para varos tpos de problemas nosotros podemos desear usar un método teratvo de convergenca más rápda, el uso de estos métodos es esencal en casos tales como: 1. Se necesta una solucón con una alta precsón. La funcón es muy complcada y su cálculo puede llevar bastante tempo 3. La msma ecuacón no lneal ha de ser resulta muchas veces (centos o ncluso mles) El método de Newton-Raphson Este método está basado en la epansón en una sere de Taylor de la funcón f() en las promdades del punto : ( ) + 1 f ( + 1) = f( ) + ( + 1 ) f' ( ) + f'' ( ) +... (ENL.17) dado que estamos buscando el valor de f(+1)=0, susttuyendo en la ecuacón.6 y desprecando los térmnos de segundo orden, obtenemos la funcón de teracón de Newton-Raphson: ( ) ( ) f + 1 = f = 0,, 1,... 3 (ENL.18) '

12 Cálculo numérco en Ingenería Para que el método converja la funcón no debe presentar, en el ntervalo de búsqueda mámos, mínmos o puntos de nfleón, en caso de no darse esta stuacón el método puede no conducr a la solucón correcta. Aún cumpléndose las condcones anterores la convergenca desde un punto ncal depende de la forma de la funcón. Soolnov propone que aunque se cumplan las condcones generales y la condcón ctada anterormente, s la funcón presenta sgnos opuestos en los dos etremos del ntervalo de búsqueda, debe elegrse como prmer valor del ntervalo de búsqueda para el tanteo el etremo en el que f() y f''() tengan el msmo sgno. El método de Newton-Raphson posee convergenca cuadrátca o de segundo orden. Una observacón general del método de Newton dce que :"El método de Newton sempre converge s se parte de un valor 0 sufcentemente cerca del valor *". Dado que no podemos conocer el valor de * de antemano esta observacón parece de poco uso, pero se puede desarrollar una estratega adecuada basada en esta observacón. S no se dspone de un buen valor ncal se puede utlzar el método de la bseccón para consegur un valor sufcentemente cerca de la solucón y posterormente termnar de resolver el problema por el método de Newton. Cuando se usa el método de Newton se suele usar el valor de la funcón para estmar el error: ~ ε = f ( ) La estmacón del error a partr del cálculo de f()/f'() da mejores valores que solamente la funcón, pero la ecuacón anteror no necesta del calculo de las dervadas que en ocasones pueden ser costosas (en tempo de cálculo). Las teracones se suelen conclur cuando se cumple el sguente test: ( ε ) f( ε ) f + d. d < 0 el que se cumpla esta últma ecuacón asegura que la dferenca (*- ) es menor que el error de toleranca. 1

13 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales La Fgura 4 muestra gráfcamente tres teracones del método de Newton. f() o 1 f() f(1) f(o) Fgura 4. Representacón gráfca del método de Newton 4.4. El método de la secante y la secante mejorado S nosotros no deseamos calcular la dervada podríamos apromar la dervada por una línea recta que pasase a través de los puntos [ -1, f( -1 )] y [, f()] así : ( ) f' [ f( ) f( 1) ] 1 la dervada es pues apromada por una secante entre las dos últmas teracones. La funcón de teracón para el método de la secante es pues: ( 1) + 1 = f( ) =1,,3,4... f( ) f( 1) [ ] Se puede demostrar que el orden de convergenca para el método de la ( ) secante es = Al gual que el método de Newton se puede decr que sempre converge desde un valor ncal sufcentemente cerca a la solucón. Se pueden utlzar, por lo tanto técncas mtas, como comenzar con el método de la bseccón, y termnar con el método de la secante.

14 Cálculo numérco en Ingenería La velocdad de convergenca del método de la secante puede ser fáclmente acelerada. En lugar de apromar f'() por una funcón lneal, parece natural obtener una convergenca más rápda apromando f'() por un polnomo que pasa a través de todos los puntos prevamente calculados, así podremos obtener la sguente funcón de teracón: f( m ) + 1 = m = 0 m= 0 f( m ) f( ) El orden de convergenca de este método se aproma a para valores elevados de. Para = la ecuacón anteror se reduce al método de la secante. Los métodos de la secante y la secante mejorado necestan solamente una evaluacón de la funcón por teracón y su convergenca es cas tan rápda como la del método de Newton. Su uso está recomendado en casos donde sea costosa la evaluacón de la dervada. El método de la secante mejorado es el más costoso, y su uso está solamente recomendado cuando la evaluacón de la funcón consume mucho tempo y es mportante la velocdad de convergenca El método de regula fals El método de regula fals, o de la falsa poscón, es realmente un método de secante que se desarrolló para ntentar aumentar la velocdad del método de la bseccón. Como en el método de la bseccón se parte de dos puntos f(a) y f(b) con sgnos opuestos. El método de la bseccón utlza el punto ntermdedo del ntervalo [a,b] para la sguente teracón. Se puede encontrar una mejor apromacón s tomamos como punto para la sguente teracón el punto de corte de la recta que pasa por (a,f(a)) y (b,f(b)) con el eje do abscsas: punto (c,0): m= f ( b) b f ( a) a = 0 f ( b) c b (ENL.19) Lo que nos da: ( b a) f ( b) c = b (ENL.0) f ( b) f ( a) 14

15 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales La fgura 5 muestra una representacón gráfca del método de la falsa poscón. [ a b3 ] b ] b1 ] bo ] y=f() Fgura 5. Método de Regula Fals. 5.. Métodos de resolucón de sstemas de ecuacones no lneales Método de susttucón sucesva El método es totalmente análogo al estudado para una únca varable. Se trata de reescrbr el sstema de la forma =F(). Llamaremos a una teracón y +1 a la sguente. El esquema teratvo de este método es pues: ( ) +1 =F (ENL.1) lo que mplca que para cada ecuacón: =F ( ) +1 (ENL.) donde el superíndce hace referenca a las dstntas ecuacones del sstema. El crtero para detener las teracones suele ser + 1 < ε d (ENL.3)

16 Cálculo numérco en Ingenería Se puede desarrollar un crtero de convergenca sufcente para el método de susttucón sucesva cuando se parte de unos valores ncales sufcentemente cerca de la solucón. S consderamos la epansón en seres de Taylor del sstema de ecuacones F(): T F F( ) = F( 1) + ( 1) (ENL.4) Suponendo que en las cercanías de la solucón F cte T F + 1 = F( ) F( + 1) = ( 1) (ENL.5) o ben T F + 1 = + 1 = (ENL.6) Recordando que para las normas se cumple AB A B tenemos: F +1 (ENL.7) T Utlzando la norma dos A ( A A) = y recordando que partmos de λ ma un punto sufcentemente cercano a la solucón (es decr la dervada de F() es práctcamente constante en todas las teracones) ( ) λ (ENL.8) ma Es decr el sstema converge cuando el valor absoluto del mámo valor propo de la matrz Jacobana de F que contene todas las dervadas parcales es menor que la undad. La ecuacón anteror permte estmar el numero de teracones para alcanzar una toleranca (ε) dada: 16

17 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales n ter ε Log 0 (ENL.9) Log ( λ ) ma Por ejemplo: 0 = 1 ε= λ ma n Un crtero equvalente al anteror y relatvamente cómodo para comprobar la convergenca sn calcular los valores propos es comprobar que los sumatoros de las dervadas parcales respecto a cada varable en el punto de partda * son menores que la undad: n j= 1 F * ( ) j < 1, para todas las funcones F que consttuyen el sstema. En el tema anteror vmos que cuando solo tenemos una ecuacón, el crtero de convergenca es que la dervada prmera sea menor que la undad en *. En el caso en que tengamos dos ecuacones g 1 (,y) y g (,y) debe cumplrse: g1 g g y 1 ( *, y *) + ( *, y *) g y ( *, y *) + ( *, y *) < 1 ambos < 1 (ENL.30) Las prncpales ventajas de este método son su facldad para programarlo, y que para certos tpos de problemas que aparecen en Ingenería Químca este método es muy adecuado (recrculacón). La prncpal desventaja está en que no converge en muchos casos y en otros la convergenca es muy lenta. 5.. Métodos de relajacón (aceleracón)

18 Cálculo numérco en Ingenería Para problemas donde λ está cercano a la undad, el método de ma susttucón sucesva converge lentamente. En su lugar podemos alterar la funcón convergenca: de punto fjo F() con el objeto de acelerar la velocdad de ) + 1 = wg( ) + (1 w (ENL.31) donde el valor de w se adapta a los cambos en y en F(). Los dos métodos más mportantes son el método del valor propo domnante y el método de Wegsten Método del valor propo domnante (DEM domnant egenvalue method) Este método hace una estmacón de λ calculando la relacón: ma λ (ENL.33) ma 1 Se puede demostrar que el valor óptmo del parámetro w vene dado por: 1 w = (ENL.34) 1 λ ma (Nota: En la obtencón de la ecuacón anteror se admte que todos los valores propos son reales y que el valor propo mámo y mínmo no son muy dferentes. S estas condcones no se cumplen el método podría fallar) Método de Wegsten Este método obtene el factor de relajacón w aplcando el método de la secante (Wegsten undmensonal) a cada una de las varables ndependentemente; es una etensón drecta del método undmensonal: + 1 = wf( ) + (1 w ) (ENL.35) 18

19 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales donde: w 1 = 1 s (ENL.36) s F ( ) F ( 1 = ) (ENL.37) 1 donde representa una varable y una teracón. El método de Wegsten funcona ben cuando no hay mucha nteraccón entre los componentes, por otra parte teracones y cclos enlazados causan dfcultades con este método. Normalmente se suelen realzar de a 5 teracones drectas y sólo entonces se camba a los métodos de valor propo domnante o Wegsten Método de Newton Sn duda, el método de Newton es el método más etenddo para resolver sstemas de ecuacones no lneales y, sn nnguna duda, es el método que debería utlzarse salvo casos especales- para resolver un sstema de ecuacones no lneal. Consderemos un sstema de ecuacones de la forma f ( ) = 0, donde es un vector de n varables reales y f() es un vector de n funcones reales. S se supone un valor para las varables en un punto dado, dgamos s es posble desarrollar en sere de Taylor alrededor del punto s para etrapolar la solucón al punto *. Escrbendo cada elemento del vector de funcones f: T * * f * * * 1 T s s f s ( ) ( ) ( ) f ( ) 0 = f ( ) = 1... n (ENL.38) O ben 1 T ( ) ( ) ( ) * * s T * s * s s * s f ( ) 0 = f ( ) + f ( ) + f ( ) +... = 1... n (ENL.39)

20 Cálculo numérco en Ingenería Donde s T s f ( ) y f ( ) son el vector gradente y la matrz Hessana de la funcón f ( ) respectvamente. S truncamos la sere de forma que se consderen sólo los térmnos de prmer orden, se tene que: s s s f ( + p) 0 = f ( ) + J( ) p (ENL.40) Donde se ha defndo el vector * s p = ( ) como una dreccón de búsqueda haca la solucón del sstema de ecuacones y los elementos de la matrz J corresponden a: { J}, j f = para la fla y la columna j de dcha matrz. (ENL.41) j La matrz J se llama matrz Jacobana (o smplemente Jacobano). S la matrz jacobana no es sngular, se puede resolver drectamente el sstema lneal de ecuacones: s J( ) p = f ( ) s (ENL.4) O ben calcular eplíctamente la nversa de la matrz jacobana, aunque, como se comentó en le capítulo relaconado con la reslucón de sstemas de ecuacones lneales, es mucho más efcente resolver el sstema que calcular eplíctamente la nversa de la matrz Jacobana: * s = 1 ( s ) ( s ) J f (ENL.43) La ecuacón anteror permte desarrollar una estratega para encontrar el vector solucón *. Comenzando con un valor supuesto ncal para el vector de varables ( 0 ), se puede establecer la sguente fórmula de recursón: + 1 J( ) p = f ( ) donde p = (ENL.44) La fórmula de recursón anteror se puede formalzar en el sguente algortmo básco del método de Newton: Algortmo 0

21 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales 1. Suponer un valor para el vector. p.e. 0. Hacer = 0. Calcular f ( ), J ( ) 3. Resolver el sstema de ecuacones lneales J( ) p = f ( ) y calcular + = + p 1 T T 4. Comprobar la convergenca: S f ( ) f ( ) ε1 y ( p ) ( p ) ε parar. Donde ε 1, ε son tolerancas para la termnacón prómas a cero. 5. En otro caso, hacer = + 1 e r al punto 1. El método de Newton tene unas propedades de convergenca muy nteresantes. En partcular el método converge muy rápdamente en puntos cercanos a la solucón. De forma más precsa se puede decr que el método de Newton tene convergenca cuadrátca, dada por la relacón: * 1 * K (ENL.45) Donde ( ) 1 T = es la norma Euclídea, que es una medda de la longtud del vector. Una forma de nterpretar esta relacón es pensar en el caso en el 1 que K=1. S en un momento dado se tene una precsón para de un 1 * dígto. Esto es = 0.1. Entonces en la sguente teracón se tendrán dos dígtos de precsón, en la sguente 4 y en sucesvas teracones ocho, decsés etc. Por otra parte, esta rápda velocdad de convergenca sólo ocurre s el método funcona de forma correcta. El método de Newton podría fallar por dferentes razones, sn embargo las condcones sufcentes para que el método de Newton converja son las sguentes: 1. Las funcones f ( ) y J( ) esten y están acotadas para todos los valores de.. El punto ncal 0, está sufcentemente cerca de la solucón. 3. La matrz J() debe ser no sngular para todos los valores de.

22 Cálculo numérco en Ingenería A contnuacón se consderará en detalle cada una de las condcones anterores así como las meddas a adoptar s no se cumple alguna de las condcones Funcones y dervadas acotadas Por smple nspeccón es posble re-escrbr las ecuacones para evtar dvsones por cero o domnos donde las funcones no están defndas. Además, es posble añadr nuevas varables y ecuacones con el objetvo de elmnar problemas de tpo numérco. Los sguentes dos ejemplos srven para lustrar estos casos: a) Resolver la ecuacón 3/ t f ( t) = 10 e = 0. Para valores de t prómos a cero el valor tanto de la eponencal como de su dervada se hace ecesvamente grande (tende a nfnto a medda que t tende a cero). En 3 su lugar, es posble defnr una nueva varable = y añadr la ecuacón t t 3 = 0. Esto lleva a un sstema de ecuacones mayor, pero en el que las ecuacones están formadas por funcones acotadas. Así se resolvería el sstema: f ( ) = 10 e = 0 1 f ( ) = t 3 = 0 (ENL.46) Donde la matrz Jacobana será: e 0 J ( ) = t (ENL.47) Señalar que ambas funcones así como el Jacobano permanecen acotados para valores fntos de. Sn embargo, la matrz J todavía podría hacerse sngular para certos valores de y t. Resolver la ecuacón f ( ) = Ln( ) 5 = 0. En este caso el logartmo no está defndo para valores no postvos de la varable. Este problema se puede reescrbr utlzando una nueva varable y una nueva ecuacón. Así

23 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales pues defnmos la varable = Ln( 1 ) y por lo tanto el nuevo sstema de ecuacones queda como: 1 1 f = e = 0 f = 5 = 0 (ENL.48) Donde la matrz Jacobana vene dada por: 1 e J ( ) = 0 1 De nuevo, todas las funcones están defndas y acotadas para valores fntos de la varable Cercanía a la solucón En general, asegurar que un punto está cerca de la solucón no es práctco y además el concepto de cercanía a la solucón depende de cada problema en partcular. Por lo tanto, s el punto de partda es malo, se necesta controlar de alguna manera que el método avance haca la solucón. En el método de Newton esto se puede consegur controlando la longtud de paso en cada teracón, de tal forma que el avance haca la solucón puede venr dado por un paso completo del método de Newton o una fraccón de este. Matemátcamente se puede epresar de la sguente manera: + = +αp 1 (ENL.49) Donde alfa es un parámetro que puede tomar valores entre cero y uno, y p es la dreccón predcha por el método de Newton. Por supuesto, s α=1 se recupera el paso completo de Newton. Es necesaro desarrollar ahora una estratega que permta elegr automátcamente el valor de α de forma que asegure que el método de Newton converge. 1 T Comenzaremos defnendo una funcón objetvo φ ( ) = f ( ) f ( ) y buscaremos el mínmo de φ( ) en la dreccón dada por el método de Newton en funcón del parámetro alfa.

24 Cálculo numérco en Ingenería 1 Tenendo que en cuenta que + = +αp s desarrollamos en sere de Taylor: + 1 dφ α d φ φ( ) = φ( ) + α = d α d α (ENL.50) T α T φ( ) + φ( ) ( αp ) + ( p ) φ( )( p ) +... J J ; { J ( )} j S para smplfcar la notacón hacemos que: = ( ) tenendo en cuenta que: f = y j T T 1 T T φ( ) = f ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) (ENL.51) Y que un paso de Newton vene dado por: 1 p = J( ) f ( ) (ENL.5) S multplcamos por detrás la dervada de φ( ), ecuacón (ENL.51), por susttumos en el paso de Newton ecuacón (ENL.5): ( ) 1 φ( ) p = ( ) T ( ) f J J f = f ( ) T f ( ) = φ( ) < 0 (ENL.53) p y S susttumos ahora en la sere de Taylor, ecuacón (ENL.50), suponendo que α 0 con lo que nos podemos quedar con el térmno de prmer orden: + 1 φ( ) φ( ) αφ( ) < 0 (ENL.54) Lo que dce la ecuacón (ENL.54) es que para valores sufcentemente pequeños del parámetro alfa un paso del método de Newton sempre reduce el valor de φ( ). Esta mportante propedad se conoce como propedad de descenso del método de Newton y asegura que el método modfcado con una longtud de paso varable sempre producrá una mejora. El sguente paso sería mnmzar el valor de φ( + αp ) para encontrar el valor óptmo del parámetro α que produce la máma mejora en la dreccón dada por p Sn embargo, esto es muy costoso en térmnos de número de 4

25 Reduccón de Armjo Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales evaluacones de las ecuacones (o lo que es lo msmo de la funcón φ( ) ). En su lugar se elegrá un valor de alfa que produzca una reduccón sufcente en φ( ). Este procedmento se conoce como búsqueda undrecconal de Armjo. La Fgura 6 muestra gráfcamente φ( ) φ ( + p ) Pendente ncal φq ( α ) α l α q α u α =1 Fgura 6. Esquema de la búsqueda undrecconal de Armjo. En lugar de mnmzar el valor de alfa lo que se busca es un valor de alfa que produzca una reduccón sufcente, bajo el crtero de Armjo lo que se busca es un valor de alfa que haga que φ( + αp ) caga por debajo de la cuerda de Armjo, defnda como: φ( + αp ) φ( ) δ α φ( ) (ENL.55) donde δ es una fraccón de la pendente (con valores típcos entre cero y 0.5) que defne la pendente de la cuerda. De esta forma se asegura una dsmnucón satsfactora de φ( ) que será al menos una fraccón δ de la velocdad de reduccón del error en el últmo punto. S esta relacón se satsface para un valor sufcentemente grande de alfa, entonces se toma este paso. Por otra parte, consdérese el caso de la Fgura 6, donde α = 1. En este caso el valor de φ ( + p ) está por encma la cuerda de Armjo, lo que sgnfca que o ben no hay reduccón de φ ( ) o esta reduccón no se consdera

26 Cálculo numérco en Ingenería sufcente, y por lo tanto se necesta un tamaño de paso más pequeño. Tambén necestamos asegurarnos de que ese tamaño de paso no es α, α ) para evtar que ecesvamente pequeño (por ejemplo en el ntervalo [ ] l u el algortmo se quede estancado con muchos movmentos ecesvamente pequeños. Una forma de consegur este objetvo es llevar a cabo una nterpolacón cuadrátca de la funcón φ en térmnos del parámetro α. Dcha funcón de nterpolacón (a la que llamaremos φ ( α ) ) se puede calcular utlzando el valor de la funcón en el punto, en el punto + αp y el valor (0) de la dervada en el punto base ( α = 0 ) φ q = φ( ). Así: α q φ( + αp ) = a + b α + c α = φ ( α) (ENL.56) q φ (0) = a = φ( ) (ENL.57) q ( ) φq α φ( + αp ) = b = = φ( ) α α α = 0 α = 0 (ENL.58) Por lo tanto φ( + αp ) = φ( ) φ( ) α + c α (ENL.59) De donde el valor de c vendrá dado por: φ( + p ) φ( ) + α φ( ) c = α (ENL.60) El mínmo de la funcón cuadrátca se puede obtener dervando con respecto de alfa e gualando a cero: φq ( α) b mn : φq ( α) = 0 = b + c α αq = α c (ENL.61) Susttuyendo las ecuacones (ENL.58 y ENL.60) en la ecuacón (ENL.61) se llega a que: 6

27 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales φ( ) α αq = φ( + αp ) φ( ) + φ( ) α (ENL.6) Basado en las propedades de salvaguarda que tene el crtero de Armjo es posble modfcar el punto 3 del método de Newton ncluyendo la búsqueda undrecconal de Armjo de la sguente manera: Algortmo para la búsqueda undrecconal de Armjo (modfcacón del punto 3 del método de Newton) a. Hacer α = 1 b. Evaluar φ( + αp ) c. S φ( + αp ) φ( ) δ α φ( ) se ha encontrado una longtud de paso que cumple el crtero de Armjo. Hacer 1 + = + αp y contnuar con el punto 4 del método de Newton. En otro caso contnuar con el punto d. d. Hacer λ ma { η, αq} = donde el valor de α q vene dado por la ecuacón (ENL.4) Hacer α = λ α y volver la punto b. Un valores típco de los parámetros δ y η es 0.1 (para ambos). Este procedmento añade robustez y confabldad al método de Newton, especalmente s el punto ncal no es muy bueno. Sn embargo, s no se encuentra un tamaño de paso en 4 o 5 vueltas del algortmo anteror, la dreccón p podría ser una mala dreccón de búsqueda debdo a problemas de condconamento (por ejemplo un Jacobano muy prómo a ser sngular). En el caso etremo, s J( ) es sngular entonces la dreccón de Newton no este y el algortmo falla. A contnuacón se presentan alternatvas para evtar este problema 5.8. Sngulardad en el Jacobano. Modfcacón de la dreccón de Newton S el Jacobano es sngular, o cercano a la sngulardad (y por lo tanto mal condconado) la dreccón dada por el método de Newton es ortogonal (o

28 Cálculo numérco en Ingenería cas ortogonal) a la dreccón de mámo descenso de φ( ). La dreccón de mámo descenso vene dada por la dreccón contra gradente ( φ( )) que tene da la máma reduccón en la funcón φ( ) para longtudes de paso sufcentemente pequeñas. Como consecuenca se podría consderar utlzar la dreccón de mámo descenso en lugar de la dreccón del método de Newton: md T p = φ( ) = J( ) f ( ) (ENL.63) Esta nueva dreccón posee la propedad de descenso, pero sólo tene velocdad de convergenca lneal, defnda como: * 1 * < (ENL.64) Una ventaja del método de mámo descenso es que en tanto en cuanto se md T cumpla que p J( ) f ( ) 0 sempre se encontrará un punto mejor, ncluso s el Jacobano es sngular. Sn embargo, la convergenca podría ser muy lenta. Una stuacón de compromso es combnar las dreccones de mámo descenso y de Newton. Dos de estas estrategas son el método de Levenverg-Marquardt y el método dogleg de Powell. En el prmero de estos métodos se combnan ambas dreccones y se resuelve el sguente sstema lneal para consegur la dreccón de búsqueda: ( λ ) T J( ) J( ) + I p = J( ) f ( ) (ENL.65) Donde λ es un parámetro escalar, no negatvo, que ajusta la longtud y dreccón de cada paso. Para valores de λ = 0 se obtene el método de Newton: ( ) 1 1 T T p = J( ) J( ) J( ) f ( ) = J( ) f ( ) (ENL.66) Por otra parte, s λ se hace grande y domna al valor J( ) J( ) el sstema de ecuacones se aproma a: T 8

29 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales T ( ) 1 T p = λi J( ) f ( ) = J( ) f ( ) (ENL.67) λ Que es la dreccón de mámo descenso con una longtud de paso muy pequeña. Con un valor ntermedo de λ se obtene una dreccón que cae en un punto ntermedo entre la dreccón dada por el método de Newton y la de mámo descenso. Una desventaja del método de Levenverg y Marquardt es que cada vez que se camba el valor de λ es necesaro resolver un nuevo sstema de ecuacones lneales, lo que puede ser numércamente costoso, sobre todo s se tene en cuenta que es posble que sea necesaro probar varos valores de λ antes de consegur una longtud de paso adecuada. En su lugar consderaremos un algortmo que utlza una combnacón entre los métodos de Newton y de mámo descenso y elge la dreccón entre ellos de forma automátca. Este método conocdo como dogleg (a algunos autores la forma de generar la dreccón le recuerda la curva de la pata de un perro) fue desarrollado por Powell. Y gráfcamente se lustra en la Fgura 7: Paso de Cauchy (mámo descenso) γ grande Paso de Newton γ = 0 Fgura 7 Ilustracón del Método Dogled de Powell Aquí el paso más largo es debdo al método de Newton, y el más pequeño a una combnacón entre el método de Newton y el de mámo descenso. Para pasos más pequeños que el dado por la dreccón de mámo descenso, se conserva la dreccón de mámo descenso. Para desarrollar este método se necesta prmero encontrar la longtud correcta (dada por un escalar β) a lo largo de la dreccón de mámo descenso:

30 Cálculo numérco en Ingenería md T p = J f ( ) (ENL.68) Para calcular dcho valor consderamos la mnmzacón de un modelo cuadrátco formado por las ecuacones lnealzadas a lo largo de la dreccón de mámo descenso: T md md ( + β ) ( + β ) 1 mn : f ( ) Jp f ( ) Jp (ENL.69) β Susttuyendo la dreccón de mámo descenso ecuacón (ENL.68) en la anteror se tene que: T T ( ) ( ) β f JJ f = = ( ) ( ) ( ) f J J J J f md T T T md p Jp (ENL.70) El paso md βp es conocdo como paso de Cauchy, y se puede demostrar que su longtud nunca es mayor que la longtud dada por un paso del método de N Newton ( 1 p = J f ( ) ). Para una longtud de paso γ para el paso global, se puede calcular la dreccón del método dogleg de Powell de la sguente manera, donde la longtud de paso γ se puede ajustar de forma automátca: md p Para γ β p ; p = γ p Para γ p ; p = p N N Para p > γ > β p ; p = ηp + (1 η) βp md md N md N md donde η = γ β p p N md β p md Fnalmente señalar que los métodos de Levenverg y Marquardt y el el método dogleg caen dentro de una clase general de algortmos denomnados de regón de confabldad para estos problemas, la longtud de paso γ corresponde al tamaño de la regón alrededor del punto para el que se confía que el modelo cuadrátco es una apromacón precsa de φ( ). Una 30

31 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales mnmzacón apromada de este modelo cuadrátco necesta ajustar λ o η (dependendo del método, Levenverg y Marquardt, o dogleg) en cada teracón. S ben los métodos basados en regones de confabldad son más costosos en térmnos numércos que la búsqueda undrecconal de Armjo, presentan característcas de convergenca mucho mejores, partcularmente para problemas mal condconados Métodos cuas-newton. El método de Broyden Los métodos cuas-newton tenen en común que tratan de evtar el cálculo de la matrz de dervadas parcales en cada teracón. La matrz se estma al prncpo del procedmento y se actualza en cada teracón. Esten varos métodos cuas-newton, el más utlzado de todos es el debdo a Broyden. La funcón de teracón de este método es: ( ) + 1 = Hf (ENL.71) donde H es la -esma estmacón de la nversa de la matrz jacobana. S desarrollamos en sere de Taylor f ( +1 ) en los alrededores de : f f f ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) f + 1 f 1, + 1 1,, + 1, n, + 1 n, 1 n S suponemos conocdos los valores de f ( ) método de secante, entonces llamando p ( ) f ( ) = + = y = f + 1 (, ) y (, f ( )) como un 1 ; (ENL.7) De esta forma la ecuacón para f ( +1 ) se puede reescrbr como: y=b+1p (ENL.73) donde B+1 es la estmacón del jacobano que estamos buscando. La matrz B +1 la podemos descomponer en suma de dos, de tal forma que: B +1 =B +D (ENL.74)

32 Cálculo numérco en Ingenería susttuyendo obtenemos: y = (B + D) p (ENL.75) y = Bp + Dp (ENL.76) Dp=y-Bp (ENL.77) La parte derecha de esta últma ecuacón contene solamente vectores conocdos, la ecuacón tene que ser resuelta para D. Esta ecuacón tene nfnto número de solucones de la forma: D = ( ) T y B p z T z p (ENL.78) donde z T es un vector arbtraro. Por lo tanto la matrz B +1 que estábamos buscando será: ( ) T y Bp z B+ = B + 1 T (ENL.79) z p Esta no es la forma fnal todavía, ya que la ecuacón anteror proporcona una manera de estmar la matrz jacobana, pero nos nteresa la matrz nversa de la jacobana, para ello utlzamos la fórmula debda a Sherman-Morrson, que dce: ( ) Hy p z T H H+ = H 1 T (ENL.80) zhy Broyden encontró por epermentacón numérca que el mejor valor para z T es p T, por lo tanto la forma fnal de la ecuacón para calcular la matrz H+1 es: ( ) Hy p p T H H+ = H 1 (ENL.81) T phy como estmacón ncal de H 0 hay varas opcones, o ben se hace H 0 =I (equvalente a la susttucón sucesva para la prmera teracón), se calcula la nversa del verdadero Jacobano en la prmera teracón, se toma como 3

33 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales prmera apromacón del Jacobano una matrz dagonal con los valores correspondentes a la dagonal prncpal del Jacobano. El algortmo se puede resumr en los sguentes pasos: 1.- Especfcar los valores ncales para 0 y H0.- Calcular f(0) 3.- Calcular +1 y f(+1) 4.- Calcular y, p, y H Chequear el crtero de fnalzacón ( por ejemplo + 1 < ε d ), s se satsface termnar, en caso contraro ncrementar el contador =+1 y volver a la etapa 3. El método de Broyden se usa para problemas a gran escala. Es tambén muy adecuado para usar en sstemas de recrculacón Métodos homotópcos o de contnuacón Debdo a las dfcultades de convergenca global de los métodos tpo Newton o cuas-newton, se ntrodujeron a fnales de los años 70 prncpos de los 80 lo que se conoce como métodos homotópcos o de contnuacón. Aunque dchos métodos se han vendo refnando hasta práctcamente hoy en día. La dea básca de los métodos de contnuacón consste en ntroducr las ecuacones del modelo f() en una combnacón lneal de la forma: H (, θ ) = θ f ( ) + (1 θ ) g( ) = 0 (ENL.8) donde es el vector de varables del problema. θ es el parámetro homotópco y g() una funcón de la que se conoce su solucón (g()=0) o es fáclmente resoluble. Esten dferentes opcones para g(), producendo dferentes comportamentos del método. Algunas alternatvas son: H (, θ ) = θ f ( ) H (, θ ) = θ f ( ) H (, θ ) = θ f ( ) (1 θ ) ( ) (1 θ ) ( f ( ) f ( )) (1 θ ) A( ) Homotopía de punto fjo Homotopía de Newton Homotopía afn

34 Cálculo numérco en Ingenería donde A es una matrz para prevenr problemas de condconamento por el escalado, típcamente se hace gual a f ( o ). Las dferentes funcones homotópcas presentadas anterormente tenen la peculardad de que el error de los componentes de f() decrece lnealmente desde los valores dados por 0. La funcón homotópca más utlzada es la de punto fjo, que además de su smplcdad evta complcacones adconales causadas por la multplcdad adconal que pueden presentarse al añadr funcones no lneales. Una forma de resolver el problema es r dando valores al parámetro θ desde 0 hasta 1 en ntervalos pequeños utlzando el resultado de cada paso como valor ncal para el sguente. Sn embargo, suele ser mejor reformular el sstema de ecuacones no lneales como un sstema de ecuacones dferencales de valor ncal. Así, dervando la funcón homotópca con respecto al parámetro θ: d H (, θ ) dθ = H d H + dθ θ (ENL.83) dado que se conoce el valor de H para 0, se puede ntegrar la ecuacón anteror desde θ=0 hasta θ=1, punto donde se debe cumplr que f()=0. S el sstema tuvese más solucones etendendo el ntervalo de ntegracón más allá de los valores 0 θ 1 se puede encontrar, en muchos casos, otras solucones al problema. Ejemplo de aplcacón de un método homotópco Se desea calcular el volumen molar de CO a 98 K y 50 atm utlzando la ecuacón de estado de Redlch-Kwong RT P = V b V a ( V b) T 5 R Tc a = Pc RT = c b Pc 34

35 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales R = atm l mol -1 K -1 Pc = Presón crítca, atm Tc = temperatura crítca, K V = Volumen molar, l mol -1 Para el CO la presón crítca es de 7.9 atm y la temperatura crítca de 304. K. Para aplcar el método de Newton reescrbmos la ecuacón gualada a cero: f ( V ) RT a = P V b V T ( V b) = 0 Dependendo de cual sea el punto ncal un algortmo básco de Newton (sn búsqueda undrecconal n regón de confabldad) puede converger o no. Por ejemplo partendo de los sguentes valores V 0 = 1 ltro/mol V 0 = 0.1 ltros/mol V 0 = 0. ltros/mol no converge no converge converge a V = ltros/mol S se aplca la homotopía de Newton partendo de V0 = 1 ltro/mol: f ( V 0) = R T a H ( V, θ ) = f ( V ) θ f ( V 0 ) = 0 = P θ f ( V 0 ) V b V ( V b ) T dh ( V, θ ) H dv H = + = 0 d θ V dθ θ H = V RT + ( V b) H = f ( V0 ) θ a T ( V + b) ( + b) T = g ( V ) [ V V ] dv g( V ) f ( V ) = 0 dθ 0 Despejando: dv dθ = f ( V 0 ) g( V )

36 Cálculo numérco en Ingenería Integrando numércamente entre 1 y 0 se obtene: Volumen molar(ltros/mol) Parámetro 1 Fgura 8 Ejemplo de homotopía de Newton. Ec de Redlch-Kwong para CO 6.. RESUMEN La dscusón y resolucón de sstemas de ecuacones lneales, empleando dstntos procedmentos, completa el estudo de la solucón de ecuacones y sstemas. Con esta undad se pretende que el alumnado aplque lo estudado en las undades anterores a la dscusón y resolucón de los sstemas de ecuacones. Comenza con la dscusón de los métodos más comunes, como es el de susttucón sucesva. Posterormente, como paso prevo a su resolucón en los casos en que sea posble, se dscuten lo métodos de relajacón. Por últmo, se descrben los métodos de Newton y Broyden, este últmo adecuado para evtar el complejo cálculo de la matrz jacobana. El domno de los métodos para dscutr y resolver un sstema de ecuacones lneales y no lneales permtrá al alumnado afrontar el planteamento y resolucón de problemas dversos. 7.. Programacón en Matlab 7.1. Métodos tpo F()=: teracon drecta 36

37 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales ( ) = + 1 F =1,,3... functon =sustsuc(f,0,tol) 1=feval(F,0); error=norm(1-0); contador=0; % Comprobamos la convergenca: J=jacobano(F,0); Jp=abs(J); sumas=sum(jp,);% Vector columna con las sumas de las flas de Jp A=(sumas>=1); f sum(a)>=1 dsp('a lo mejor no converge') end whle error>=tol =feval(f,1); error=norm(-1); 1=; contador=contador+1; end =1; contador 7.. Métodos tpo F(X)=X: Wegsten 1 s w ) + 1 = F( ) = wf ( ) + (1 1 s 1 s F( functon =wegsten(f,0,tol) 1=feval(F,0); error=abs(1-0); contador=0; ) F( 1) s = ; 1 whle error>=tol s=(feval(f,1)-feval(f,0))/(1-0); w=1/(1-s); =w*feval(f,1)+(1-w)*1; error=abs(-1); 0=1; 1=; contador=contador+1; end =1; contador w 1 = 1 s 7.3. Método de Wegsten adaptado a la solucón de sstemas de ecuacones functon =wegstens(f,0,tol) 1=feval(F,0);

38 Cálculo numérco en Ingenería error=norm(1-0); contador=0; whle error>=tol s=(feval(f,1)-feval(f,0))./(1-0); w=1./(1-s); =w.*feval(f,1)+(1-w).*1; error=norm(-1); 0=1; 1=; contador=contador+1; end =1; contador 7.4. Ejemplo para Wegsten sstemas functon F=ejemplo18(X) =X(1); y=x(); z=x(3); F(1)=(^-*+y^-z+3)^(1/3); F()=(0.5*z^-+y+z+5)^(1/3); F(3)=(0.5**y+0.1*z^); F=F'; %Para que salga como columna 7.5. Calculo del Jacobano de una funcón functon J=jacobano(F,) nc=*(eps^0.5); dnc=dag(nc); F=feval(F,); J=[]; for =1:length() nc=+dnc(:,); %Solo ncrementamos la varable '' Fnc=feval(F,nc); Derva=(Fnc-F)/nc(); J=[J Derva]; End 7.6. Métodos tpo f()=0: Newton f1 f1 y f1 y f f y = f y y = y= y = J f ( ) (, ) (, ) functon =newton(f,0,tol) % La funcon F debe estar en la forma f()=0 J=jacobano(F,0); 1=0-nv(J)*feval(F,0); error=norm(1-0); 38

39 Tema 3: Resolucón de ecuacones no lneales contador=0; whle error>=tol J=jacobano(F,1); =1-nv(J)*feval(F,1); error=norm(-1); 1=; contador=contador+1; end =1; contador functon F=ejemplonewton(X) =X(1); y=x(); F(1)=*+y^+*y-1; F()=^3+^+3*y-; F=F'; 7.7. Métodos tpo f()=0: Broyden ( ) ( ) + 1 = Hf Hy p z T H H+ = H 1 T zhy p = + 1 = ; y = f + 1 f ( ) ( ) H0= Identdad o Jacobano del punto ncal functon =broyden(f,0,tol) % La funcon F debe estar en la forma f()=0 n=length(0);% Numero de ecuacones H0=eye(n); 1=0-H0*feval(F,0); error=norm(1-0); contador=0; whle error>=tol p0=1-0; y0=feval(f,1)-feval(f,0); H1=H0-((H0*y0-p0)*p0'*H0)/(p0'*H0*y0); =1-H1*feval(F,1); error=norm(-1); 0=1; 1=; contador=contador+1; end =1; contador